3.3 Implementando o Ótimo
3.3.3 Equilíbrio de Lindahl
z > zm; em cujo caso o resultado da eleição é alterado, e uma quantidade maior de bem público é ofertada.
O problema é que o agente já desejava uma quantidade menor de bem público e seu anúncio tem potencial para distanciá-lo ainda mais de sua quantidade favorita.
Se a utilidade for decrescente no ’desvio’com relação ao ótimo, e.g., z zi , então o agente perderá utilidade. Sob essas condições os agentes terão incentivo para falar a verdade.
Como a quantidade ofertada de bem público é determinada em um processo de votação pelo eleitor mediano, podemos achar a quantidade de bem público de equi-líbrio pela solução de
maxz Um Mm z H; z ; cuja condição de primeira ordem é
@Um(Mm z=H; z)=@z
@Um(Mm z=H; z)=@x = 1 H: Note que com H agentes a regra de Samuelson é
XH h=1
@Uh xh; z =@z
@Uh(xh; z)=@x = 1;
ou,
Eh @U(x; z)=@z
@U(x; z)=@x = 1 H: Portanto a alocação de equilíbrio de votação será e…ciente se
Eh
@U(x; z)=@z
@U(x; z)=@x = @Um(xm; z)=@z
@Um(xm; z)=@x:
Genericamente, esta condição não será satisfeita. Não conseguimos, porém, dizer se há sub ou super-oferta de bem-público.
3.3.3 Equilíbrio de Lindahl
Os preços de Lindahl são tais que cada consumidor paga uma fração pi correspon-dente à sua contribuição (share) no custo do bem público. Desta forma, o produtor do bem público percebe um preço para o bem público igual a p = P
ipi. Vamos supor que o mercado onde se dá a produção (lembrar: diferente de provisão!) do bem
público é concorrencial de tal forma que, em equilíbrio, p é igual ao custo marginal do bem público.
O problema de maximização individual é max
zi
Ui Mi pizi; zi cuja condição de primeira ordem é
@Ui Mi pizi; zi
@x pi+@Ui Mi pizi; zi
@zi = 0
ou
@Ui xi; zi =@zi
@Ui(xi; zi)=@xi =pi Isto gera uma função de reação de Lindahl,
Li Mi; pi =zi
De…nição: Um equilíbrio de Lindahl é um vetor de preços individuais p1; :::; pn tais que: i)Li Mi; pi =z 8iii) P
ipi=p=g0(z ):
Note que a quantidade produzida é dada por p=g0(z ):Como cada consumidor iguala sua taxa marginal de substituição a seu preço individual tem-se
X
i
@Ui xi; z =@zi
@Ui(xi; z )=@xi =X
i
pi =g0(z ); a provisão ótima [BLS].
[Inserir Grá…co]
Considere o agente 1:Suas curvas de indiferença no espaço 1 G1 são dadas por dG1
d = G1@U1=@x
@U1=@G1 1@U1=@x:
Como@U1=@x >0;a curva de indiferença será positivamente inclinada se@U1=@G1 >
1@U1=@x;negativamente inclinada se@U1=@G1< 1@U1=@x e vertical no ponto em queG1 é a escolha ótima para 1;i.e., quando @U1=@G1 = 1@U1=@x:
A curva de reação (talvez devêssemos chamá-la de currva de demanda?) do agente 1é construída juntando todos os pontos em que as curvas de indiferença são horizon-tais.
Como 1 é o ’preço’deG1 para o agente1, desde que este bem não seja de Gi¤en, a curva de reação será negativamente inclinada.
Uma análise similar vale para o agente 2:
O equilíbrio de Lindahl ocorre no ponto em que G1 =G2:Cada agente paga sua fração i; i= 1;2:;do total.
Ao formalizarmos o modelo em toda a sua generalidade, a primeira pergunta relevante é se um equilíbrio existe. Há várias demonstrações de existência utilizadas na literatura que exploram as similaridades do equilírbrio de Lindahl com uma economia competitiva apropriadamente de…nida.
As propriedades do equilíbrio de Lindahl já foram bastante debatidas na literatura.
Em particular, é possível mostrar que além de ser e…ciente de Pareto (como já deve ter …cado claro pela exposição acima), sob determinadas condições, toda alocação e…ciente pode ser decentralizada em um equilíbrio de Lindahl com divisão apropriada (lump-sum) dos recursos.
Por outro lado, no que concerne à relação entre equilíbrio de Lindahl e núcleo (core) da economia, conquanto seja verdadeiro o fato de que todo equilíbrio de Lindahl se encontra no núcleo, não é verdade que o núcleo seja contraído para o equilíbrio de Lindahl, o que ocorre com o equilíbrio competitivo (e.g., Aumann (1964)).2 A razão para a falha na equivalência é que quando uma coalizão tenta melhorar relativamente a uma alocação ela tem que ser capaz de prover, usando somente seus próprios recursos, as quantidades adicionais de bens públicos. Como há retornos associados ao tamanho da coalizão no que tange à provisão de bens públicos, é difícil para uma coalizão produzir uma melhora.
O modelo de Lindahl é apresentado por Samuelson (1969) como um ’algoritmo de pseudo-demandas’ ainda que Lindahl (1979) o tenha proposto como um mecansimo de fato que funcionaria mais ou menos da seguinte forma.
2Muench (1972) oferece um exemplo em que o conjunto de alocações pertencentes ao núcleo é maior do que o conjunto de equilíbrios de Lindahl, apesar de a economia possuir um contínuo de agentes.
Comecemos com uma regra arbitrária de divisão dos custos...
Um grande problema prático do equilíbrio de Lindahl, é que pressupõe a existência de micro-mercados (um para cada agente) de tal forma que a hipótese competitiva deixa de ser válida. Neste caso, sem competitividade, a questão da revelação ver-dadeira passa a ser importante, já que pode ser do interesse dos agentes informar de maneira desonesta o seu preço particular e manipular em seu proveito o mecanismo.
Os incentivos para mentir e ’pegar carona’na doação alheia
Suponha que cada agente possa atribuir valor v = 1 ou v = 0 ao bem público (uma ponte). O valor para o agente do bem público é informação privada.
O governo propõe o seguinte esquema para determinar se o bem público vai ser ofertado e como vai ser …nanciado. Como o governo não pode observarviparai= 1;2;
tem que basear suas decisões nos anúnciosr1 er2 dos agentes1e2;respectivamente.
1)z= 1 se e somente se r1+r2 1:
2) Se z= 1;
8>
<
>:
1 = 1; 2= 0 ser1= 1; r2 = 0
1 = 0; 2= 1 ser1= 0; r2 = 1
1= 2= 1=2 ser1 = 1; r2 = 1
Consideremos, então, o payo¤ do agente 1 quandov1 = 1:
r2= 1 r2 = 0 r1 = 1 1=2 0
r1 = 0 1 0
Portanto,r1 = 0é uma estratégia (fracamente) dominante. Como vale o mesmo para o agente 2; teremos que a ponte jamais será construida, mesmo sendo socialmente ótimo fazê-lo.
Podemos pensar em exemplos, e sistemas que gerem incentivos que gerem sempre super-provisão, em vez de sub-provisão. (ver Myles (2006), p. XX).
O ponto fundamental, aqui, é que os agentes têm incentivos para reportar fal-samente suas preferências (a hipótese de agentes tomadores de preços nos micro-mercados não faz muito sentido). A questão que nos proporemos a investigar a seguir é a existência de um sistema que permita ao mesmo tempo a revelação da verdade como no caso da votação e a provisão e…ciente, como no caso do equilíbrio de Lindahl.