Equilíbrio Geral: O modelo de Harberger

Hipóteses do Modelo Considere uma economia que produz dois bens, X e Y; a partir de 2 insumos, capital, K, e trabalho, L, ambos em oferta …xa. A tecnologia em ambos os setores exibe retornos constantes de escala.

Suporemos ainda que há perfeita mobilidade de fatores e agentes com preferências idênticas e homotéticas.

Equilíbrio competitivo sem impostos A tecnologia é descrita por meio das funções custo das …rmas,C^X(X; r; w) e C^Y (Y; r; w), onde r é o preço do aluguel do capital ew é o salário.

Como a tecnologia exibe retornos constante de escala, temos que C^X(X; r; w) = Xc^X(r; w) e C^Y (Y; r; w) =Y c^Y (r; w):

O ótimo das …rmas é a condição de determinação dos preços dos bens como função dos preços dos insumos e (geralmente) da quantidade produzida. Em uma economia competitiva isso ocorre no ponto em que preços são igualados aos respectivos custos marginais,p^X =c^X(r; w), para o setorX ep^Y =c^Y (r; w), para o setorY.

Note que como a tecnologia é caracterizada por retornos constantes de escala o preço de equilíbrio independe da quantidade produzida,pⁱ =cⁱ(r; w) i=X; Y:

As demandas por insumos, por sua vez, são determinadas de acordo com o lema de Hotelling pela condição,

Lⁱ =icⁱ_w(r; w) e Kⁱ=icⁱ_r(r; w) i=X; Y:

As duas equações seguintes determinam as condições de equilíbrio nos mercados dos fatores trabalho e capital, respectivamente,

c^X_w(r; w)X+c^Y_w(r; w)Y =L;

e

c^X_r (r; w)X+c^Y_r (r; w)Y =K:

Dados,X,Y,LeK;as duas equações determinamr ew:Ocorre queXeY são tam-bém endógenas. Portanto, precisamos de mais equações para acharmos o equilíbrio da economia. Precisaremos, portanto, olhar para a demanda da economia.

A demanda marshalliana pelos bensXeY são dadas porX p^X; p^Y; R eY p^X; p^Y; R ; ondeR=p^XX+p^YY =wL+rK:

O equilíbrio do mercado de bens é, então, dado por

X p^X; p^Y; R =X; e Y p^X; p^Y; R =Y

Como dissemos antes, estaremos supondo que as preferências dos agentes são idênticas e homotéticas. Neste caso, podemos escrever a demanda Marshalliana do indivíduoh como

X^h p^X; p^Y; R^h =x p^X=p^Y R^h e Yⁱ p^X; p^Y; R^h =y p^X=p^Y R^h:

Temos, então, que a razão entre as demandas agregadas dos bensX eY é igual a X

Y = P

hX^h p^X; p^Y; Rⁱ P

hY^h(p^X; p^Y; Rⁱ) = x p^X=p^Y P

hR^h y(p^X=p^Y)P

hR^h = x p^X=p^Y y(p^X=p^Y); i.e., uma função da razão de preços simplesmente.

Note que, como pⁱ =cⁱ(w; r) podemos resolver o sistema e achar w e r de equi-líbrio.

O que vamos fazer a seguir é introduzir impostos ad valorem sobre os preços de bens e insumos e analisar seus efeitos sobre preços e quantidades de equilíbrio.

Todos os Impostos Possíveis Agora devemos distinguir o preço ao ofertante de bens (…rmas) e insumos (inidvíduos) e ao demandante de bens (indivíduos) ou insumos (…rmas). A maneira mais conveniente de de…nir é considerar que todos os preços são preços ao ofertante e deixar explícito o imposto pago pelo demandante.

A lógica é simples se o preço do aluguel do capital, r, ou da mão-de-obra, w; é diferente de um setor para outro, então os ofertantes redirecionarão sua oferta (no caso da mão de obra, migrarão) para o setor que pague mais, igualando, em equilíbrio, o preço ao ofertante nos dois setores.

Assim, quando todos os bens e insumos são tributados temos as novas condições de determinação dos preços dos bens,

p^X =c^X r 1 +t^KX ; w 1 +t^LX e

p^Y =c^Y r 1 +t^KY ; w 1 +t^LY : Equilíbrio no mercado de fatores,

c^X_w r 1 +t^KX ; w 1 +t^LX X+c^Y_w r 1 +t^KY ; w 1 +t^LY Y =L e

c^X_r r 1 +t^KX ; w 1 +t^LX X+c^Y_r r 1 +t^KY ; w 1 +t^LY Y =K Equilíbrio no mercado de bens,

X p^X 1 +t^X ; p^Y 1 +t^Y ; R =X e

Y p^X 1 +t^X ; p^Y 1 +t^Y ; R =Y onde (supondo que os impostos são retornados lump-sum),

R =p^X 1 +t^X X+p^Y 1 +t^Y Y =wL+rK+T com

T =rt^KXK^X +rt^KYK^Y +wt^LXL^X+wt^LYL^Y +p^Xt^XX+p^Yt^YY:

Análise de incidência Há, em um certo sentido, um excesso de impostos neste modelo, já que somente preços relativos importam. O que vamos fazer a seguir é analisar a introdução de dois impostos especí…cos: um impostot^KX no uso de capital no setor X e um impostot^X no produto do setor X:

Para que possamos usar as ferramentas do cálculo diferencial, suporemos variações in…nitesimais dos impostos em torno da situação inicial em que não existem tributos, i.e., estaremos considerando: um imposto in…nitesimal, dt^KX, no uso de capital no setorX e um imposto in…nitesimal, dt^X, no produto do setorX:

Neste caso teremos a condição de determinação dos preços dos bens, p^X =c^X r 1 +t^KX ; w e p^Y =c^Y (r; w);

as equações de equilíbrio nos mercados de fatores,

c^X_w r 1 +t^KX ; w X+c^Y_w(r; w)Y =L; e c^X_r r 1 +t^KX ; w X+c^Y_r (r; w)Y =K;

e as equações de equilíbrio nos mercados de bens,

X p^X 1 +t^X ; p^Y; R =X e Y p^X 1 +t^X ; p^Y; R =Y onde

R=p^X 1 +t^X X+p^YY =wL+rK+T com

T =rt^KXK^X +p^Xt^XX

Como a totalidade do imposto volta de forma lump-sum para o agente, a análise de incidência …ca facilitada e os efeitos são efeitos puros de distorções. Além disso, como já falamos, o exercício consiste de uma avaliação de uma variação in…nitesimal de impostos em torno de t^KX =t^X = 0: Primeiro note que, da restrição de recursos da economia, e da hipótese de oferta …xa de insumos, vem

dK^X+dK^Y =dL^X+dL^Y = 0:

Assim, de…nimos para cada variável z; z^ dz=z = dlogz como a taxa de vari-ação da variável (o uso do acento circun‡exo nas variáveis para denotar sua varivari-ação percentual levou o procedimento a ser chamado por muitos de álgebra do chapéu).

As duas restições de recursos da economia podem, então, ser reescritas como K^XK^^X +K^YK^^Y = 0 e L^XL^^X +L^YL^^Y = 0:

Seja ^KX K^X=K;com de…nições análogas para ^KY; ^LX e ^LY:

Esses parâmetros podem ser usados pra medir intensidade relativa do uso de fatores em cada setor. Obviamente, ^KX + ^KY = ^LX + ^LY = 1: Assim se, por exemplo, ^KX =:4e ^LX =:3, então ^KY =:6 e ^LY =:7. Dizemos que o setorX é mais capital-intensivo e menos trabalho-intensivo que o setorY ( ^KX= ^LX = 4=3>

6=7 = ^KY= ^LY). Note que se trata de intensidade relativa.

Como conseqüência temos K^^Y =

KX

KY K^^X e L^^Y =

LX

LY L^^X. (7.1)

De…na agora

X @logK^X=L^X

@logr=w e ^Y @logK^Y=L^Y

@logr=w ,

a elasticidade de substituição na produção nos setores X e Y, respectivamente.

Então,

K^^X L^^X = ^X ^r w^+dt^KX ; (7.2)

K^^Y L^^Y = ^Y (^r w)^ ; (7.3)

ou

K^^X L^^X = ^X ^r w^+dt^KX ; e

KX KYK^^X +

LX

LY L^^X = ^Y (^r w)^ :

Multiplicando a segunda equação por ^LY= ^LX e somando temos K^^X 1

KX KY

LY

LX = ^X r^ w^+dt^KX

LY LX

Y (^r w)^ ou

K^^{X LX}

KX KY

LY = ^{LX X} + ^{LY Y} (^r w)^ ^{X LX}dt^KX

Lembrando que

KY LX KX LY = 1 ^{KX LX KX} 1 ^LX = ^{LX KX}

e de…nindo ^{LX KX} = ^{KY LY};temos:

K^^X = ^{X LX} + ^{Y LY KY} ( ^w ^r) ^{X KY LX}dt^KX (7.4)

Note que é exatamente o sinal do parâmetro que determina qual setor trabalho-intensivo e qual setor é capital trabalho-intensivo; > 0 (resp., < 0) implica em que o setorX seja trabalho-intensivo (resp., capital-intensivo) e o setorY capital-intensivo (resp., trabalho-intensivo)

Precisamos agora determinarw^ r:^ Para tanto, começamos com a relação (muito usada na contabilidade do crescimento econômico) entre produto e rendas dos fatores.

De…namos agora as participações relativas das rendas do capital e do trabalho em cada setor como, s^KX rK^X=p^XX com de…nições análogas para s^KY; s^LX e s^LY: Naturalmente,s^KX+s^LX =s^KY +s^LY = 1:

Então,²

X^ =s^LXL^^X +s^KXK^^X = ^K^X+s^LX L^^X K^^X Y^ =s^LYL^^Y +s^KYK^^Y = ^K^Y +s^LY L^^Y K^^Y Usando (7.2) temos

X^ = ^K^X +s^{LX X} r^ w^+dt^KX Da mesma forma, fazendo uso de (7.3) e das relações (7.1) temos

Y^ = ^K^Y +s^{LY Y} (^r w)^

=

KX

KY K^^X +s^{LY Y} (^r w)^

Subtraindo uma equação da outra, e lembrando que ^KY + ^KX = 1, é possível obter,

X^ Y^ = K^^X

KY + s^{LX X} s^{LY Y} (^r w) +^ s^{LX X}dt^KX:

2Vale lembrar que com uma função de produção com retornos constantes (homogeneidade de grau 1) temos

dF =@F(K; L)

@L dL+@F(K; L)

@K dK:

Po outro lado, competição perfeita garante que

p@F(K; L)

@L =wep@F(K; L)

@K =r;

donde

dF F = wL

|{z}pF

s^L

dL L + rK

|{z}pF

s^K

dK K .

Usando a equação (7.4) X^ Y^ = K^^X

KY + s^{LX X} s^{LY Y} (^r w) +^ s^{LX X}dt^KX O lado direito da expressão pode ser reescrito

( ^w r) [^ ^{X LX}+ ^{Y LY LX KX} s^{LX X}+

Usando agora as funções demanda e, particularmente sua homoteticidade, i.e., usando o fato de que

X

Esta equação introduz uma nova incógnita com a mudança de preços relativos.

Porém, diferenciando as equações p^X =c^X r 1 +t^KX ; w ep^Y =c^Y (r; w) tem-se

Logo, onde s =s^LX s^LY é positivo se e somente se a participação do trabalho é maior no setor X do que no Y:

Note que

s = rKwL p^XXp^YY Substituindo (7.7) em (7.6), tem-se que

X^ Y^ = " s ( ^w ^r) +s^KXdt^KX+dt^X

Multiplicando agora a equação acima por e fazendo uso de (7.5) podemos escrever

Para facilitar a discussão, consideremos alguns casos particulares.

Caso t^KX >0; t^X = 0 Neste caso a expressão (7.8) torna-se

O termo de substituição é o primeiro que nos vem à cabeça quando pensamos no efeito da tributação do capital no setor X: Diz respeito ao fato de que as …rma do setor X tenderão a usar menos capital e mais trabalho para cada nível de produção de X: Esta não é toda a história, porém. A tributação do capital no setor X eleva o custo marginal de X (basta que o capital seja um ‘insumo normal’) e, portanto, o seu preço. Os consumidores tenderão a substituir X por Y levando a uma mudança na composição da economia, com a ampliação do setor Y e contração do setor X:

O efeito sobre w^ ^r dependerá da intensidade relativa do uso de capital e trabalho nos dois setores. Se o setor X for relativamente mais intensivo em capital w^ r^ tenderá a aumentar, o contrário ocorrendo seX for relativamente mais intensivo em mão-de-obra.

Há vários casos interessantes a serem considerados. Primeiro, se supusermos que as funções de produção são do tipo Leontie¤ (i.e., elasticidade de substituição igual a 0) teremos,

A intensidade relativa do uso dos fatores será crucial para determinar o efeito sobre o preço relativo.

Supondo que ambas a função de produção e as preferências sejam Cobb-Douglas temos, "= ^X = ^Y = 1 e a expressão é simpli…cada para E a expressão pode ser simpli…cada para

^

Quando somente o bem …nal é tributado, o único efeito sobre o preço relativo dos fatores dá-se por meio da composição setorial.

Limitações da Análise Negligenciamos efeitos-renda. De fato, como a análise é realizada em torno de t = 0, não há efeitos de primeira ordem na utilidade, que é, desta forma mantida constante.

Adotamos hipótese não realista acerca das preferências. A hipótese de homoteti-cidade nos permite simpli…car sobremaneira o problema. No entanto, é uma hipótese usualmente rejeitada empiricamente.

Negligenciamos a possível existência de outras distorções. Isto é verdade tanto no que concerne às políticas públicas (i.e., ignoramos salário mínimo, outros impostos, etc.) quanto a própria existência de mercados não-concorrenciais.

Supomos que os insumos estão em oferta …xa. No caso do estoque de capital, essa hipótese parece associada com uma análise estática já que o estoque de capital é …xo no curto prazo. Para a oferta de trabalho, porém, a hipótese parece ir de encontro à evidência mesmo no curto prazo (principalmente se considerarmos as respostas na margem extensiva).

Finalmente, cabe lembrar que estamos lidando com uma economia fechada. Se admitirmos que o capital é móvel, a própria noção de oferta …xa no curto prazo deixa de ser válida. Porém, a análise em economia aberta exige a escolha das dimensões em que essa hipótese é feita. Livre comércio? Perfeita mobilidade de capital? Algumas dessas hipóses podem, de fato, tornar toda a análise desinteressante.

No documento ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 1 (páginas 151-160)