Erros de Álgebra

Para Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a Álgebra divide-se em Álgebra Clássica ou Elementar e Álgebra Moderna ou Abstrata. A Álgebra Clássica ou Elementar é considerada como uma Aritmética universal ou generalizada, já a Álgebra Moderna ou Abstrata a compreende como um “sistema cujos símbolos e regras operatórias sobre eles são de natureza essencialmente arbitrária” (FIORENTINI, MIORIM, MIGUEL, 1993).

Para Usiskin (1995, p. 13), a concepção de álgebra generalizada “trata-se de técnicas importantes, não só para a álgebra, mas também para a aritmética”. De acordo Panossian a

concepção de ensino de álgebra como aritmética generalizada é muito presente em propostas curriculares e nas ações dos professores. Essa generalização é realizada sobre as propriedades numéricas. É verdade que, com o uso dos símbolos, é possível generalizar a aritmética, mas há uma diferença entre identificar a álgebra como aritmética generalizada e entender que a álgebra pode generalizar a aritmética (PANOSSIAN, 2014, p. 55).

Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), na evolução histórica da álgebra destacam-se as seguintes etapas de desenvolvimento da linguagem algébrica: retórica ou verbal, sincopada e simbólica. A etapa conhecida como retórica ou verbal teve início com os povos egípcios, babilônios e os gregos pré-diofantinos. Ficou conhecida por esse nome porque os passos relativos aos esquemas operatórios dos números e equações eram escritos na linguagem corrente. Já a sincopada e simbólica teve início no século III com o grego Diofanto de Alexandria, que inseriu um símbolo para a incógnita. E, mais adiante no século XII, o povo hindu, especialmente Brahmagupta, também teria utilizado. O matemático francês Viète (1540-1603) teria sido o principal responsável pelo desenvolvimento de ideias algébricas que passaram a ser expressas somente por símbolos. Na obra “La Géométrie” de Descartes (1596- 1650) o autor teria utilizado as últimas letras do alfabeto (x, y, z,...) para representar as incógnitas e variáveis, e para as quantidades fixas utilizou das primeiras letras do alfabeto (a, b, c, d,...) (FIORENTINI et al, 1993a, pp. 79-80).

Assim, a definição de variável está diretamente associada à álgebra, que por sua vez, relaciona-se com a noção de função, pois, de acordo com Eves (2004, p. 661), Lejeune Dirichlet define:

Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um conjuntos de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x , corresponde automaticamente, por uma lei ou regra, um valor a y , então se diz que y é uma função (unívoca) de x .

Segundo Eves (2004), foi Leibniz quem atribuiu pela primeira vez a palavra função, em 1694, para explicitar uma quantidade qualquer associada a uma curva. Para Boyer (1974, p. 297) “Leibniz não é responsável pela moderna notação para função, mas é a ele que se deve a palavra “função”, praticamente no mesmo sentido em que é usada hoje, pois se referia a quantidades que dependem de uma variável”.

Já em 1718, Johann Bernoulli, relacionou a palavra função a uma expressão qualquer formada por variáveis e constantes. Mais tarde, foi Euler quem “considerou uma função como sendo uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes” (EVES, 2004, p. 660).

Boyer (1974) traz a seguinte definição de função escrita por Euler: “Se x é uma quantidade variável, então, toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama – se função da dita variável” (BOYER, 1974, p. 326).

O desenvolvimento histórico do conceito de função, segundo Moura e Moretti (2003):

[...] foi marcado por alguns estágios facilmente identificados através das estratégias utilizadas, em diferentes épocas, para a resolução de problemas envolvendo variações de quantidades. Segundo Youschkevitch (1976, p. 39) são três os principais estágios. Na Antigüidade há o estudo de casos particulares de dependência entre duas variáveis não havendo, contudo, a noção geral de quantidade variável e funções. Já na Idade Média estas noções gerais são expressas pela primeira vez sob uma forma geométrica e mecânica, mas na qual cada caso concreto de dependência entre duas quantidades é definido por uma descrição verbal ou por um gráfico. É só no Período Moderno, final do século XVI e especialmente durante o século XVII, que expressões analíticas e funções começam a prevalecer. Estes estágios refletem, na realidade, o caminho percorrido pelo homem através da história rumo à generalização e à formalização do conceito de funções. O processo de abstração demonstra uma real e profunda compreensão do conceito ao mesmo tempo em que é fator de construção desta compreensão (MOURA, MORETTI, 2003, p. 69).

Para Caraça (1951), entender o conceito de função nos permite instituir relações entre a geometria e a álgebra, chamadas também de expressão analítica e lugar geométrico, que segundo o autor é um passo fundamental para a unificação dessas duas áreas.

Conforme os PCN, o estudo da álgebra contempla também o uso das regras para resolução à suas diversas funções, no que se relaciona a generalização de padrões, no trabalho com resolução de problemas, relações entre grandezas e outros. Referente aos 6º e 7º anos, os PCN afirmam que é necessário nesse ciclo:

[...] que os alunos compreendam a noção de variável e reconheçam a expressão algébrica como uma forma de traduzir a relação existente entre a variação de duas grandezas. É provável que ao explorar situações-problema que envolvam variação de grandezas o aluno depare com equações, o que possibilita interpretar a letra como incógnita. Nesse caso, o que se recomenda é que os alunos sejam estimulados a construir procedimentos diversos para resolvê-las, deixando as técnicas convencionais para um estudo mais detalhado no quarto ciclo (BRASIL, 1998, p. 68).

Com relação ao ensino de resolução das equações, inequações e sistemas de equações, os PCN sugerem que aconteça no decorrer do 8º e 9º anos. Ainda dizem que apesar de ser possível desenvolver aspectos algébricos nos anos iniciais, será nos anos finais do ensino fundamental que o estudo da álgebra será ampliado.

Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de uma equação.

Esse encaminhamento dado à Álgebra, a partir da generalização de padrões, bem como o estudo da variação de grandezas possibilita a exploração de noção de função [...]. Entretanto, a abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do ensino médio (BRASIL, 1998, p. 50-51).

Em síntese, de acordo com os PCN, a álgebra deve então ser inserida no 6º ano e aprofundada no 8º e 9º ano e ainda dar continuidade no Ensino Médio. Tal orientação ocorre porque a

tendência da Educação Algébrica tem sido acreditar que o pensamento algébrico só se manifesta e desenvolve através da manipulação sintática da linguagem concisa e específica da Álgebra. Entretanto, essa relação de subordinação do pensamento

algébrico à linguagem desconsidera o fato de que, tanto no plano histórico quanto no pedagógico, a linguagem é, pelo menos a princípio, a expressão de um pensamento. Acreditamos subsistir entre pensamento algébrico e linguagem não uma relação de subordinação, mas uma relação de natureza dialética (FIORENTINI et al, 1993, p. 85).

Durante a coleta de dados, buscamos indícios de expressão de um pensamento algébrico. No entanto, a análise indica que a ênfase incide na manipulação de símbolos sem a compreensão do que estes significam. Na sequência, apresentamos um exercício proposto pela professora em sala (Ilustração 16) e, na sequência, expomos a resolução apresentada por E1

(Ilustração 17):

Ilustração 16 - Exercício função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

Ilustração 17 – Resolução apresentada por E1 referente ao exercício de função

E1 resolve conforme a regra: “[...] o que está dividindo passa multiplicando”

(Sic). Portanto o x que estava dividindo o 1.000 passou multiplicando o x que estava somando. Trata-se de um procedimento com símbolos algébricos, mas sem a compreensão do

que estes representam. O movimento operatório correto seria: ou .

E1 relata que seus erros consistem em “[...] erros de funções, erros de sinal, coisas bem

básicas mesmo, o maior problema é as regrinhas para resolução de função” (Sic). Os erros de E1 nos levam ao estudo da álgebra. Essas “regras” relatadas pelo estudante nada mais são do

que os procedimentos operatórios realizados para a resolução de uma função. O que o estudante apresenta é a generalização da álgebra abstrata, mas vazia do significado sobre as relações que lhe deram origem, sem a compreensão do porquê desses processos operatórios. Conforme já constatou Panossian (2014), a álgebra como aritmética generalizada é muito comum e utilizada sem iniciar pelo conceito em si, mas direto pela generalização abstrata. O que pode gerar falta de compreensão por parte dos estudantes de tantas “regras” na Matemática.

Desse modo, como afirmam Lins e Gimenez (1997), de nada adianta prorrogar a introdução da álgebra na educação escolar. Ao contrário, é necessário sim, iniciar mais cedo o seu ensino, para que se desenvolva juntamente com a aritmética e a geometria, para que uma implique no desenvolvimento da outra (DAVÝDOV, 1982).

Conforme mencionamos anteriormente, para os PCN, a álgebra deve ser introduzida somente no 6º ano, sendo aprofundada, de fato, somente no final do Ensino Fundamental, ou seja, prorroga-se o estudo da álgebra para os anos finais desse período escolar. Enquanto que, para Davýdov (1982) esse estudo deve iniciar desde o primeiro ano escolar juntamente com a relação entre grandezas, introduzindo, assim, a unificação das três áreas da Matemática.

O que observamos em nossa pesquisa com os estudantes é claramente o oposto do que propõe Davýdov, no que se refere ao ensino dos conceitos científicos. Apresentamos mais um erro de álgebra semelhante ao de E1 no exercício (Ilustração 18), que foi proposto pela

Ilustração 18 – Exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

Ilustração 19 – Resolução E6 exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

E6 inicia o exercício questionando a professora:

E6: Tem uma fórmula, tem outra e agora? Já não entendi mais nada! Essa questão é

de primeiro grau ou de segundo grau? Diz aqui que o 5 corta o eixo y, então o 5 é o

b? Você disse que era o b.

Professora: Não, o 5 é o c, porque agora a função é de 2º grau, então o número que fica sozinho onde corta o y, na do 1º grau é o b e na do 2º grau é o c. Então o c vai ser o 5.

Em uma das entrevistas que realizamos com os estudantes, E6 revela que suas

dificuldades são “referentes ao conteúdo de função”. Diz que não consegue identificar “se é de segundo grau ou primeiro grau, se é Báskara ou não” (sic). O diálogo entre professor e estudante, apresentado anteriormente, confirma sua fala referente a tais dificuldades. Fica evidente que o estudante apenas memorizou as fórmulas sem atribuir significado aos seus elementos e a relação entre eles.

O estudante comete dois erros (Ilustração 19), um na multiplicação de sinais e outro ao determinar o valor final da incógnita. Ele faz , onde encontra . Após verificar, na lista de resolução, que não encontrou a resposta correta, resolve analisar a sua, mas não detecta o erro. Após algum tempo de silêncio apaga, sem encontrar o erro e resolve novamente, mas chega ao mesmo resultado. Explica para a pesquisadora que fez 4/2 “[...] porque está multiplicando e então passa dividindo, não é?” (Sic).

Esse tipo de compreensão também foi detectada na pesquisa de Freitas (2002, p. 98), quando o estudante afirma “aqui está multiplicando e passa dividindo e está menos passa mais”. E6 relata que comete muitos erros “com as regras de sinais e em como montar e

resolver uma função” (sic), tal como ocorreu na ilustração 19.

Moura e Sousa (2004) falam que é indispensável que se estude a álgebra no seu sentido lógico-histórico e não apenas seu estágio atual de desenvolvimento. A importância de se fundamentar o uso de conceitos vinculados ao seu processo generalizador e formativo incontestável. Pois, a história dos conceitos possui um caráter conceitual entre a “causalidade dos fatos e a formalização dos conceitos científicos” (MOURA; SOUSA, 2004, p. 11). Mas aspecto lógico-histórico não é evidenciado nas respostas analisadas na presente investigação. Todos os estudantes investigados cometem erros semelhantes: a álgebra não passa de manipulações simbólicas sem sentido, desvinculadas do processo de generalização e formação dos conceitos teóricos, tal como ocorre com E1 (Ilustração 20):

Ilustração 20 – Resolução E1 exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

E1 consegue relacionar os dados com função, ou seja, faz a relação entre as duas

variáveis, esboça o gráfico, mas depois comete um erro algébrico ao resolver as equações do 1º grau. Questionado sobre o erro, o estudante responde: “[...] como manda a regra, tudo que tá multiplicando passa dividindo” (Sic). É isso que E1 faz, mas esquece de um termo que

estava somando. Afirma que tem dificuldades em resolver equações, o que confirma em sua resolução. Um dos procedimentos corretos consiste em primeiro dividir o 200 por 100, assim,

, dá propriedade distributiva, temos: para, finalmente,

por meio da propriedade de equivalência, concluir que Após determinar o valor de b,

faz-se necessário determinar o outro valor desconhecido: , portanto,

. E1 afirma que suas “[...] principais dificuldades são erros básicos,

relacionados à Matemática básica, conteúdo de Ensino Médio” (Sic).

As resoluções apresentadas anteriormente refletem o tipo de conceito desenvolvido pelos estudantes. Tratam-se de conceitos empíricos, constituídos por “[...] essências fixas, coaguladas. E cada ‘essência’ aparece ao exame como uma coleção de

qualidades justapostas, exteriores, numa ordem de generalidade crescente” (LEFEBVRE, 1983, pp. 142-143, grifo do autor). Conforme expressam as falas de E1 “regrinha [...] o que

está dividindo passa multiplicando”, “como manda a regra, tudo que tá multiplicando passa dividindo” e E6 “Porque está multiplicando e então passa dividindo [...]”. Mas por que passa

dividindo? Qual a relação interna, qual a essência, que possibilita essa síntese? Essa e outras respostas, os estudantes não sabem responder. Os estudantes não conseguem explicar os porquês não só algebricamente, mas também geometricamente e aritmeticamente. Não concebem essas três significações como constituintes dos conceitos matemáticos em unidade. Para eles, são áreas distintas da Matemática.

Panossian (2008) se utiliza de um exemplo em que estudantes precisavam encontrar uma fórmula geral para a resolução de uma situação proposta pela pesquisadora. A partir de casos particulares, com orientação da pesquisadora, os estudantes resolveram o problema, expressaram uma forma geral. No entanto, essa forma só se fazia geral para uma situação particular e não para qualquer situação. Isso porque, a generalização se deu por meio de um caso em particular, denominada por Davýdov de empírica, característica do ensino tradicional no qual o conhecimento não chega à dimensão universal dos conceitos em nível de concreto pensado. Ao atingir o concreto pensado, o ser revela o universal aplicável a qualquer situação particular. Porém, tanto no exemplo apresentado por Panossian (2008) como os estudantes que participaram da presente investigação, não contemplam a dimensão universal dos conceitos. Portanto, trata-se, de acordo com Davýdov (1982), de manifestação apenas do pensamento empírico.

Isso se dá, de acordo com Davýdov (1982), porque o ensino tradicional é organizado conforme a faixa etária do estudante. Em cada fase do ensino, são apresentados aos estudantes “aquilo que são capazes de assimilar na idade dada. Porém, quem e quando se pode definir com precisão a medida desta ‘capacidade’? [...] a medida dessa capacidade se formou espontaneamente na prática real do ensino tradicional” (DAVÍDOV, 1987, p. 146). Desse modo, subestima-se a capacidade da criança, entende-se, por exemplo, que a álgebra é inacessível para elas nos primeiros anos de escolarização e só para os adolescentes, para tanto, deve ser ensinada nos últimos anos do Ensino Fundamental. Mas Davýdov parte do pressuposto vigotskiano de que aprendizagem gera desenvolvimento e que, portanto, a álgebra deve ser incluída desde os primeiros anos de escolarização. De acordo com Vigotski (2007), a

álgebra contribui para a compreensão da aritmética com maior clareza. E Davídov (1987) argumenta que a aprendizagem nos limites da aritmética restringe a compreensão da álgebra.

Ilienkov (2006, p. 53) reforça tais assertivas ao afirmar que o “pensamento lógico inicia seu desenvolvimento a partir dos 6 anos”. O ideal para uma criança, em idade escolar, é receber “informação e socialização adequada, depois é mais difícil adquiri-la, apesar da capacidade e plasticidade do cérebro.” (ILIENKOV, 2006, p. 53)

Em relação aos conhecimentos matemáticos correspondentes ao currículo da Educação Básica, conforme as falas de E1, E2, e E4, respectivamente: “Minhas principais

dificuldades são erros básicos, relacionados à Matemática básica, [...] coisas bem básicas mesmo [...]” (sic); “[...] essas coisas que parecem ser mais simples. Que para mim, são muito complicadas não entra na minha cabeça, não entendo, [...]” (sic); “[...] regras de Matemática básica, interpretação, fração e sinal [...]”.

Entendemos que, tais fragilidades decorrem dos conteúdos e métodos adotados no ensino denominado por Davýdov de tradicional. Este possibilita o desenvolvimento do pensamento empírico, suficiente para resolver situações corriqueiras do dia a dia das pessoas, mas que não dá conta da atuação no plano teórico, tal como requerem os cursos de engenharia em foco. E4 explicita as limitações do Ensino tradicional quando diz: “Do Ensino Médio pra

Faculdade, foi um salto muito grande, comparando os conteúdos passados lá e o conteúdo cobrado aqui” (sic). Nessa direção, E3 lamenta: “[...] hoje vejo que faltou muito” (sic).

O propósito do ensino tradicional incide em inculcar nos estudantes conhecimentos empíricos. O processo de abstração, generalização e formação do conceito fundamenta-se na lógica formal tradicional (DAVÝDOV, 1982). Em outras palavras, o

pensamento empírico é desenvolvido nos estudantes a partir dos fundamentos da lógica formal que fundamenta o ensino tradicional.

Segundo Davídov (1987), a origem da escola tradicional está relacionada aos modos de produção capitalista, em que para servir ao capital não precisa ir além da empiria. Para servir esse sistema, o referido autor afirma que a educação precisaria somente incutir conhecimentos e habilidades das quais garantam a formação mais ou menos qualificada de mão de obra para a produção industrial.

O ponto de partida para a formação do conceito, na lógica formal tradicional, são as características externamente dadas nos objetos ou ilustrações que representam, diretamente aos órgãos dos sentidos, o conteúdo do conceito em estudo. A partir da análise das

características externamente dadas, separa-se àquelas que são comuns a várias situações observadas. Nessa perspectiva, não se adentra nas relações internas que explicam e determinam a origem da aparência externa (DAVÝDOV, 1982).

Como resultado do processo, forma-se, no plano ideal, uma imagem, uma representação geral e abstrata do diretamente observável. Nesse movimento entre o plano externo e o plano interno não há um elemento mediador cujo conteúdo seja a relação essencial do conceito. Ao contrário, é o sensorial diretamente refletido no plano mental, trata-se de uma “imagem sensorial-concreta sob forma empírica” (KOPNIN, 1978, p. 158).

Trata-se de uma representação válida para serem aplicadas em situações específicas, semelhantes àquelas que visualmente lhes deram origem. Qualquer traço distinto, em uma nova situação, mesmo que no interior de um mesmo conceito, é considerada como algo novo.

Ou seja, por mais que o ensino tradicional desenvolva generalizações e abstrações consideradas como gerais, na verdade são particulares. Não se contempla a relação essencial que possibilita a orientação no desenvolvimento nas várias situações que aparentemente são distintas, mas que internamente, tem a mesma relação de origem, a mesma fórmula. E7

afirmou que só tinha dificuldade em identificar a fórmula a ser adotada para a resolução dos exercícios e sugere: “[...]se tivesse a fórmula pra cada exercício não errava nada[...] o problema maior é que tem muita fórmula”.O depoimento de E5, assim como de outros estudantes, também vai nessa direção: (E5): “[...] não sei quando é pra aplicar Báskara ou não”

(Sic).

As fórmulas representam uma relação. De acordo com Davýdov (1982), a compreensão dessa relação, a partir do estudo das grandezas, sejam elas discretas, contínuas ou escalares e sua posterior modelação nas formas objetal, gráfica e literal constituem o conteúdo do pensamento teórico-matemático formado a partir da interconexão entre as significações aritméticas, algébricas e geométricas. No entanto, conforme explicitam os depoimentos, não há compreensão dessa relação, por isso, a impossibilidade da interpretação do problema e de identificação da fórmula a ser adotada.

Na entrevista com os estudantes que colaboraram com a presente pesquisa, constatamos que estes iniciaram o 1º ano escolar somente com aritmética (números naturais), e apenas no sétimo ano tiveram contato com a álgebra. Quanto à geometria, foram raros os

momentos dedicados ao seu estudo. Daí a origem da unidade de análise da presente investigação: a tricotomia da aritmética, geometria e álgebra.

Durante o processo de realização da presente pesquisa, exploramos alguns trabalhos já realizados por pesquisadores os quais foram mostradas no capítulo anterior. Quanto à pesquisa de Khidir (2006) e Panossian (2008), as dificuldades encontradas nos estudantes foram principalmente em como lidar com os conceitos algébricos, pois para os pesquisadores, seus estudantes investigados não se apropriaram da essência do conceito, mas, apenas, de procedimentos de resolução. As outras pesquisas Cury (1988), Zanardi e Lima