Erros de Geometria

A geometria surgiu da própria evolução da história humana desde o início da civilização. A palavra geometria é derivada do grego, geometrein, a qual geo significa terra e

metrein quer dizer medida. Portanto, a geometria em seu estágio atual de desenvolvimento

derivou de uma ciência que originalmente se tratava da medição da terra. Herodotus (Século 5 a.C.), credita aos egípcios por todo início de estudo da geometria, mas, algumas antigas civilizações, como, os babilônios, hindus e os chineses também possuíam muito conhecimento geométrico (SANTOS e VIGLIONI, 2011).

Assim, o aparecimento da geometria ocorreu em função do desenvolvimento da agricultura, por meio da necessidade de demarcação de terras e do cálculo de áreas. Precisavam, também, armazenar suas produções, iniciando, neste momento, o cálculo de volume. Para tanto, a arquitetura não fica de fora, a construção de templos, pirâmides, também exigiam certo conhecimento geométrico (SANTOS e VIGLIONI, 2011).

Um dos primeiros nomes da história da geometria foi Thales de Mileto. Mesmo sem se saber muito sobre a vida desse matemático grego, a história traz alguns registros importantes sobre suas demonstrações. Porém, a geometria só assumiu seu estágio mais

desenvolvido por meio da obra de Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.). Este foi um professor, matemático platônico, que criou a geometria euclidiana (PINHO et all, 2005).

Os Elementos de Euclides é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C. Os 4 primeiros livros, que hoje pode ser pensando como capítulos, tratam da Geometria Plana conhecida da época, enquanto os demais tratam da teoria dos números, dos incomensuráveis e da geometria espacial (SANTOS e VIGLIONI, 2011, p. 14).

Nesses livros, Euclides sistematiza a geometria que mais era importante na sua época, “com um rigor nas demonstrações que se tornou padrão para toda a matemática por mais de dois milênios” (PINHO et all, 2005).

O ensino de geometria no Brasil, no início do século XX ainda não era visto com muita relevância, tendo em vista que a maioria da população era analfabeta. Somente os filhos e parentes de latifundiários conseguiam chegar a um nível mais elevado de educação. Estes tinham preferência pelo jurídico, que facilitava o acesso a cargos políticos. Havia, portanto, pouco interesse em estudos geométricos de nível teórico. Por outro lado, o ensino de matemática nas escolas primárias era essencialmente utilitário: aprendia-se apenas algumas técnicas operatórias necessárias à vida prática das atividades comerciais existentes naquela época, e se trabalhavam apenas algumas noções de geometria (PAVANELLO, 1993).

Por sua vez, o ensino secundário é, em geral, pago e destina-se, pois, às elites e à preparação para os cursos superiores. Os conteúdos de matemática (aritmética, álgebra, geometria, etc) são ensinados separadamente e por professores diferentes. O tratamento dado a eles e puramente abstrato, sem qualquer preocupação com as aplicações práticas (PAVANELLO, 1993, p. 8).

Atualmente, o que encontramos em algumas escolas brasileiras, é que o ensino de geometria é desenvolvido somente no final do ano letivo e seu estudo ocorre superficialmente, enfatiza-se a memorização de fórmulas e as correspondentes aplicações, sob alegação da falta de tempo (ALMOULOUD et al, 2004).

Para Pavanello (1993), foi a partir da divulgação da Lei 5692/71, que as escolas brasileiras conseguiram definir seus currículos e, muitas delas retiraram a geometria ou deixaram para o final do ano letivo. Esse abandono causou preocupação, por ser tão importante quanto à aritmética e a álgebra. Nessa direção, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental defendem que a Geometria “desempenha um papel

fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada” (BRASIL, 1998, p. 122), o mundo em que vive.

Ainda conforme os PCN, a geometria é uma área pela qual os estudantes têm interesse em aprender. Também destaca que auxilia na aprendizagem de números e medidas, estimulando a observação, percepção, identificação de algumas regularidades, entre outras.

De acordo com o referido documento, o professor que trabalha com espaço e forma, em sala de aula, pode explorar situações com construções geométricas. Não apenas nos limites do estudo das formas, “mas também as noções relativas à posição, localização de figuras e deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas”. O estudo do espaço e forma precisam ser “explorados a partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento” (BRASIL, 1998, p. 51).

Para, Del Grande (1994, p. 126) a sugestão é que algumas atividades geométricas poderiam desenvolver e destacar habilidades espaciais em criança dos anos iniciais. Para o referido autor, a percepção espacial é “a habilidade de reconhecer e discriminar estímulos no e do espaço e para interpretar esses estímulos associando-os a experiências anteriores”. Para ele, os exercícios matemáticos desenvolvidos geometricamente contribuem para a apropriação dos conceitos, oportunizando aos professores detectarem como o pensamento geométrico é construído nas crianças. Del Grande (1994) ainda ressalta que essa percepção geométrica é fundamental para a elaboração de exercícios e para a organização do ensino de Matemática.

Para Davýdov as significações geométricas desempenham um papel fundamental na mediação entre a realidade, o plano objetal e o plano mental. Os esquemas e modelos que representam a relação geneticamente inicial, formados a partir de elementos geométricos tais como segmentos, retas, arcos, entre outros, constituem o elo entre a ação objetal e a mental. Trata-se de uma etapa importante no processo de abstração, até atingir as representações algébricas (DAVÝDOV, 1982). Porém, os estudantes não se apóiam nas significações geométricas durante o desenvolvimento dos exercícios e atividades propostos pela professora da disciplina, conforme segue a ilustração 09:

Ilustração 09 – Resolução E1 exercício de função: limites das significações geométricas

Fonte: Acervo da autora, 2014.

A proposta do exercício consiste em desenvolver uma função com base no raio do cilindro, que represente o custo de uma lata. De acordo com o enunciado, a lata possui formato de um cilindro circular reto, com capacidade para 500cm³. O custo para a tampa e a base é de 0,02 centavos/cm² e o custo da lateral de 0,01 centavo/cm².

E1 iniciou corretamente a resolução, considerou 500cm³ (volume) relacionado

com a fórmula Volume = base x altura. A fórmula da área da base é dada por está

correta, pois a base é circular, mas como temos duas áreas da base (tampa), portanto a área,

considerando a base e a tampa, seria . Ao expressar a altura em termos do raio,

o estudante adotou a fórmula do comprimento da circunferência ( ), que não possui relação alguma com a altura, e sim com área da lateral, pois a lateral da lata forma um retângulo, onde ficaria . O correto seria representar primeiramente a altura em

termos do raio, ou seja, iniciando do volume , como e o ,

logo, , para posteriormente representar a função,

ou ainda .

Vale salientar que a geometria é uma parte da Matemática que estuda as formas em sua dimensão abstrata. E não como representação direta de objetos, tal como antecede no ensino tradicional. “Desde o nascimento, o ser humano encontra-se em contato com a realidade, com objetos e com o mundo ao seu redor, e é a partir dessa relação que vai se

constituindo seus conhecimentos” empíricos (VAZ, 2013, p. 70). Cabe ao ensino desvelar as relações teóricas, abstratas que respaldam aquela aparência externamente dada (DAVÝDOV, 1982). “No entanto, quando se fala em ensino de geometria, os professores associam o ensino a nomeação de figuras simples e usuais (quadrado, triângulo, círculo), para, posteriormente, ensinarmos o cálculo da área dessas figuras” (VAZ, 2013, p. 70), nos limites da segunda dimensão, sem muitas relações com a terceira. De acordo com Del Grande (1994), a geometria possibilita o desenvolvimento da compreensão referente à dimensão espacial dos estudantes, no entanto, E1 não consegue raciocinar espacialmente e relata “[...] sempre me

confundo nesses exercícios em que envolve área e volume, pois não consigo pensar, se tivesse o desenho já pronto acho que seria mais fácil” (sic). Consequentemente, os estudantes não dão conta dessas relações no plano abstrato, tal como o erro apresentado por E1 (Ilustração09), que

se apoiou apenas nas fórmulas prontas, sem refletir sobre a situação apresentada, uma vez que não consegue representar geometricamente a situação dada, o que poderia se constituir em elemento mediador para que pudesse atingir a interpretação algébrica correta. Cury (1988), na pesquisa apresentada no capítulo anterior, afirma que os erros relacionados à geometria estão ligados ao fato de que os estudantes quase sempre recebem o conteúdo acabado, sem a devida demonstração de fórmulas e teoremas, não possuindo a compreensão teórica. A autora é enfática: trata-se do abandono da geometria na Educação Básica, o que impede a formação de conceitos que servirão de base para a aprendizagem de novos conhecimentos. O mesmo ocorre com o E5, conforme ilustração 10.

Ilustração 10 – Resolução de E5 exercício envolvendo função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

E5 comete um erro semelhante a E2. Ambos consideram o comprimento da

circunferência como a altura do cilindro. E5,além de não representar a base e a tampa, não

contempla o custo do material envolvido e explica que é “[...] difícil esses exercícios em que tem que interpretar” (Sic). Tanto E5 quanto E2 têm dificuldades em interpretar o problema.

A interpretação de problemas, de acordo com Davýdov, requer a capacidade de representar a relação interna inerente à situação dada por meio de esquemas abstratos, compostos por elementos geométricos. Esses esquemas não representam a situação diretamente dada, mas a relação essencial do conceito, ou do sistema conceitual que possibilita a sua resolução. Trata-se da interpretação teórica do problema (DAVÝDOV, 1982). Porém, nem a representação empírica da situação dada os estudantes apresentaram.

As limitações na interpretação de problemas em níveis mais abstratos também decorrem, de acordo com Davídov (1987), do predomínio do “princípio do caráter visual” no ensino. Como no exercício em análise não se apresenta nenhuma imagem, o estudante não consegue interpretar e assim resolver. Para Davídov (1987) esse princípio contempla o reflexo sensorial das propriedades externas do objeto. O “princípio do caráter visual” “é externamente simples, até banal, se, de fato, a prática de sua aplicação não fosse tão séria (e, para o desenvolvimento mental, tão trágica), como é na realidade”. Isso ocorre, pois esse princípio desenvolve nos estudantes unicamente o pensamento empírico (DAVÍDOV, 1987, p. 148).

Veremos nas imagens seguintes os erros cometidos por estudantes referentes à função do 1º grau. Tais estudantes não conseguem relacionar a função com sua representação gráfica. Uma função, no entendimento do estudante, não passa de uma abstração com procedimentos algébricos. A incompreensão das significações geométricas é recorrente inclusive nos exercícios referentes às funções, conforme a ilustração 11.

Ilustração 11 – Resolução E3 exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

E3 entende que precisa iniciar a partir da lei geral de uma função do primeiro grau

, mas não dá continuidade. No entanto, não faz nenhum esboço gráfico, como também não possui relação com as variáveis. Ele só substitui o “a” por três e o “b” por 25, pois 25 e 3 constituem as variáveis que se relacionam com a temperatura. Em seguida, faz a relação das variáveis de profundidade 1.500m e 100m e determina um valor para x (x = 15).

Na sequência, substitui o valor de 15 para x na primeira função . O estudante não

faz relação alguma com os valores de x e y.

E3 explica que chegou à função porque entende que 25 é a

temperatura inicial e 3 é a temperatura que varia, então, é multiplicado por x. Para a segunda

função diz apenas que teria que encontrar o valor de x para 1.500 metros de

equação de primeiro grau. E finaliza informando que o valor final que precisava encontrar era o valor de y, e, portanto, era só substituir o x na primeira equação, , cujo resultado foi: (registros escritos).

O estudante apresenta argumentos com base na resolução imediata da situação, sem manifestar compreensão conceitual durante a explicação referente ao processo de resolução de uma questão. Realizou tais procedimentos para não deixar em branco. Podemos confirmar na sua fala (E3):

Tenho dificuldade em tudo, pois fiquei quatro anos parado antes de iniciar a graduação. Agora não lembro mais de nada! Esqueci tudo, até pra tirar da raiz, estou aprendendo tudo novamente, tenho que relembrar, tem muito sinal, essas troca de sinal não consigo entender, quando tá somando, quando tá multiplicando. Quando passa pra lá diminuindo, ou somando, dividindo, é muito complicado. Função, fração é tudo muito complicado. Agora que eu tô aprendendo o mínimo múltiplo comum! Tá feio o negócio! (sic).

Tanto na resolução quanto na explicação, E3 não recorre a modelação geométrica

da situação, embora não solicitada no enunciado, o que poderia mediar a interpretação do modelo algébrico (lei da função), tal como ocorre com E2 na ilustração 12, na resolução de um

exercício avaliativo.

Ilustração 12 – Resolução E2 exercício de função

E2 consegue relacionar a informação de que em 100m de profundidade temos

25ºC ao modelo de função ( ). Mas no momento de representar graficamente, ele o

faz incorretamente. Considera, no gráfico, a temperatura como a variável independente e a profundidade, a variável dependente. Consequentemente, não consegue fazer corretamente o gráfico. A interpretação correta, neste caso, seria o inverso, pois a profundidade seria o x (independente) e a temperatura o y (dependente).

Segundo Caraça (1952, p. 134) a curva gerada por um sistema de coordenadas cartesiana, define-se uma função real de y(x), desde que “sejam a e b dois números reais, um pertencente ao domínio da variável x, outro ao domínio da variável y”. O par (a,b) corresponde o ponto M pertencente a curva. Os números (a,b) são denominados de “coordenadas cartesianas do ponto M, a abscissa e b ordenada; ao eixo Ox, eixo das abscissas; ao eixo Oy, eixo das ordenadas; ao ponto O, origem das coordenadas” (CARAÇA, 1951, p. 135).

No entanto, durante a análise, não detectamos tal compreensão no plano geométrico atrelado a sua representação algébrica. Em outras palavras, tratam-se de modelos algébricos, vazios de significação geométrica. Situação semelhante ocorreu com E5 na

ilustração seguinte (Ilustração 13)

Ilustração 13 – Resolução E5 exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

Assim como outros estudantes, E5 também não vincula a função a uma

representação gráfica. A interpretação do estudante foi que a temperatura de 25º C correspondia ao momento inicial (na posição zero de profundidade), e não após 100 metros,

como consta no enunciado. Na resolução, o estudante traz a função sem

relacionar com a forma geral de função , descartando, assim, a relação entre as

variáveis.

Quando questionado sobre a resolução, E5 não percebe o erro e relata o modo

como chegou à função _{. Afirma que a temperatura de 25ºC consiste na}

temperatura da profundidade inicial, e a partir daí é que a temperatura aumenta 3ºC conforme a profundidade também aumenta, em razão de 100m, portanto 3/100, ou seja, temperatura/profundidade. E5 explica sobre o lugar da incógnita x: é temperatura inicial e a

partir desse ponto é que aumenta a razão de 0,03, portanto, a incógnita x vai nessa razão. Para o estudante, o f(x) representa temperatura e o x a profundidade (registros escritos). Ainda sobre suas dificuldades acrescenta, (E5):

[...] função do segundo grau e função de primeiro grau. Não sei quando é pra aplicar Báskara ou não. Função composta eu também não consigo entender. A derivada nem se fala, eu olho a tabela e fico pensando, pra que todas essas fórmulas? Erro quando vou aplicar as fórmulas da tabela. Também não consigo interpretar os problemas, os exercícios no meu Ensino Médio eram sem interpretação (sic).

Os erros cometidos nas avaliações anteriormente relatados são recorrentes, conforme constatamos no período de realização de exercícios. Os estudantes não concebem função como uma relação entre duas grandezas que pode ser representada graficamente. Não compreendem a relação de equivalência, erram na operacionalização, e apresentam dificuldades na identificação das variáveis dependentes e independentes, na representação e interpretação geométrica. Para Caraça (1951), o conceito de variável é essencial para a compreensão do conceito de função. Esse é um instrumento propício para o estudo das leis quantitativas da realidade. De acordo com o autor em referência, a definição de uma função consiste em:

Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-sey = f(x) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x y. A x chama-se variável independente, a y variável dependente.

Para indicar que y é função de x, usaremos também escrever simplesmente y(x); para representar aquele valor b de y que corresponde a um valor particular a de x, escreve-se b = f(a) ou b = y(a), conforme se usou a representação y = f(x) ou y(x) (CARAÇA, 1951, p. 129).

No entanto, os estudantes não manifestam essa compreensão em relação ao conceito base para o conteúdo da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. E continuam sem compreender, mesmo após a revisão proposta no início da disciplina, tal como se verifica no exercício proposto pela professora para resolução em sala de aula, apresentado na sequência (Ilustração 14). Ressaltamos que todos os exercícios propostos apresentam o gabarito com as correspondentes resoluções. Esse exercício refere-se ao conteúdo do conceito de função (domínio, imagem e valor numérico de uma função).

Ilustração 14 – Exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

A seguir, transcrevemos um diálogo entre E2 e a professora da disciplina durante o

período de realização dos exercícios:

E2: Nessa questão aqui tá pedindo a imagem da função, o que é a imagem?

Professora: O que define uma função pra onde ela existe é o domínio, então a partir do domínio é que vai existir a imagem, o y. É o domínio que manda na função, então neste exercício, o domínio começa no -1, e quando o x é -1, substituindo na função - 1 pro x, resolvendo pra y, que encontramos y=2.

E2: o resultado no caso?

Professora: é. O gráfico pra y inicia a partir do 2, logo a tua imagem. Agora você tem que analisar o gráfico da função pra saber pra onde essa imagem vai, ela inicia no 2, mas pra onde ela vai? Pode ir pro infinito, parar em algum ponto, você precisa analisar isso agora. Você pode substituir um valor dentro do domínio pra ver se o gráfico vai crescendo, se ele é infinito.

E2: Então a imagem é só substituir?

Professora: Não necessariamente, nessas mais simples dá pra fazer desta maneira, pega-se o valor onde começa o domínio e analisa a imagem (Sic).

O diálogo apresentado possibilita a constatação de que E2 não tem conhecimento de

domínio e imagem de uma função e não se apropriou do conhecimento geométrico referente à função, pois não é capaz de representar uma função em sua forma gráfica.

Após a conversa anteriormente relatada, E2 vai para seu lugar, sem entender muito

sobre o que é imagem, resolve o exercício conforme orientação da professora. Encontra para y o valor de 2, mas não compreende por que vai para o infinito e nem por que o intervalo é fechado em 2. Ao formular a resposta final, coloca o intervalo aberto no 2. Quando vê a resposta do exercício, ele apaga rapidamente e coloca intervalo fechado, conforme resposta que tem em mãos. A pesquisadora, que até o momento somente observava, intervém e inicia um diálogo com o estudante.

Pesquisadora: Como chegou à resposta?

E2: A professora falou que era só substituir o domínio aqui na raiz, no lugar do x,

pois o domínio deu que o x tem que ser -1, pois -1+1=0 porque dentro da raiz tem que ser zero ou maior que zero, não pode ser negativo.

Pesquisadora: Porque não pode ser negativo? E2: Porque não existe raiz de um número negativo

Pesquisadora: Mas por que não existe?

E2: Sabe que eu não sei, só lembro que a professora sempre falava que não existia.

Pesquisadora: Voltando à imagem, tu partiu do domínio pra encontrar o que mesmo? E2: Eu parti do domínio pra encontrar imagem eu acho, foi como a professora me

mandou fazer, onde começa o gráfico, sei lá... alguma coisa assim. Pesquisadora: E por que 2 é infinito?

E2: Não entendi, só coloquei, pois está na resposta que a professora deu (Sic).

Percebemos que o estudante não compreendeu a ideia de função, seus limites de domínio e imagem. Ou seja, fez sem compreender o que fez. Apenas seguiu as orientações procedimentais da professora.

O que segue são reflexões apresentadas referentes ao exercício a seguir (Ilustração 15) desenvolvido em sala de aula. E3 não consegue compreender, assim como E2, domínio e

Ilustração 15 - Exercício de função

Fonte: Acervo da autora, 2014.

E3 faz alguns questionamentos à professora sobre domínio e imagem de uma

função:

E3: Não entendi esta questão, o que é mesmo a imagem, domínio?

Professora: A imagem é o y onde a função vai existir. A questão quer saber qual é o x cujo y é o seu dobro. Em termos gerais é isso, então se o x é x o y vai ser o seu dobro, quem é o dobro de x?

E3: Então eu tenho que achar primeiro o valor de x?

Professora: Se tu tem um número qual é o dobro dele? E3: É o valor de y

Professora: Um número qualquer, se tu tens três qual é o dobro de três? E3: Nove, ...seis

Professora: Seis, duas vezes três, quatro o dobro de quatro? E3: Oito

Professora: Duas vezes quatro que é oito, então o dobro é duas vezes, então se tu tens um número qualquer, x, qual é o dobro dele?

E3: Vai ser x², não?

Professora: Dobro! É ao quadrado, ou...? E3: então, ele vezes ele!

Professora: O dobro é duas vezes ele, então? E3: então, tá certo.

Professora: se tens um número que é x o dobro é 2x, se o domínio é um número x