A tricotomização entre aritmética, álgebra e geometria nos erros apresentados por estudantes da disciplina de cálculo diferencial integral I

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BEATRIZ ALVES DA SILVA DALMOLIN

A TRICOTOMIZAÇÃO ENTRE ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA NOS ERROS APRESENTADOS POR ESTUDANTES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO

DIFERENCIAL INTEGRAL I

Tubarão 2015

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DIFERENCIAL INTEGRAL I

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação, linha de pesquisa Educação em Ciências da Universidade do Sul de Santa Catarina, requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação.

Orientadora: Profª Drª Josélia Euzébio da Rosa

Tubarão 2015

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BEATRIZ ALVES DA SILVA DALMOLIN

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A todos que participaram direta ou

indiretamente durante a realização deste e,

em especial, ao meu esposo Rudinei e à

minha filha Luiza.

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AGRADECIMENTOS

O início desta caminhada foi difícil e diversas vezes cheia de conflitos. A sua realização até o presente momento só foi possível, pois tivemos a contribuição de muitas pessoas, as quais agradeço de modo especial:

A Deus, por ter me oportunizado conhecer pessoas tão especiais.

À minha orientadora, professora Dr.ª Josélia Euzébio da Rosa, a quem tenho profunda admiração e respeito pela pessoa incrível que é: profissional competente e amiga. Agradeço por compartilhar seus conhecimentos, com muita paciência e dedicação, pois a realização desta só foi possível com sua presença constante. A ela, meu muito obrigada.

Ao professor Dr. Ademir Damazio, por suas contribuições sempre valiosas, também responsável pela minha determinação em ingressar em um Programa de Pós-Graduação.

À professora Dr.ª Vanessa Dias Moretti e ao Prof. Dr. Gilvan Luiz Machado Costa pelo aceite em participar da banca de qualificação e pelas contribuições que virão.

A todos os professores doutores do Mestrado em Educação da Unisul que, durante a realização das disciplinas geraram discussões e com muito empenho contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho. Agradeço também, a todos os colegas do mestrado.

À coordenadora do curso (Mestrado em Educação), Doutora Maria da Graça Nóbrega Bollmann.

À secretária Dani, por sua eficiência no desempenho de sua profissão.

Aos integrantes do GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educação Matemática na Abordagem Histórico-Cultural) Dr. Ademir, Dr.ª Josélia, Eloir, Sandra, Lucas Sid, Lucas Lemos, Willian, Osvaldo, Manoel, Day, Val, Ediséia, Cris, Ana e Josiane pelos momentos de estudos, perguntas e reflexões, e pelos materiais bibliográficos disponibilizados.

À Sandra, Ana, Cris e Cleber pelas leituras com olhar crítico. Obrigada por todas as contribuições e principalmente pelos momentos de angústias compartilhados. Muito obrigada pela amizade.

Aos coordenadores da Faculdade em que a pesquisa foi realizada, em especial à professora da turma e aos estudantes.

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A toda a minha família, em especial: meus pais, Nicolau e Mariléia, por todo o incentivo e educação concedida. A meus irmãos por todo o apoio psicológico. A meus sogros por todo o incentivo.

A meu esposo Rudinei, grande amor, pelo companheirismo, carinho, e presença incansável em momentos de tantas angústias e aflições. Cabe um agradecimento especial a minha filha Luiza, que por mais que ainda não entenda, sempre se mostrou compreensível, amiga, um grande amor, razão da minha vida.

A todos que direta ou indiretamente estiveram presentes, meu MUITO OBRIGADA!

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RESUMO

O objetivo deste presente estudo é investigar a natureza dos erros apresentados pelos estudantes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, em dois cursos de Engenharia. A análise dos dados fundamenta-se nos princípios da Teoria Histórico-Cultural, com foco para obra de Davýdov, cuja matriz epistemológica encontra-se no Materialismo Histórico Dialético, considerado como método de estudo. Desenvolvemos as seguintes ações: Estudo dos pressupostos da teoria Histórico-Cultural para o ensino de Matemática; Levantamento dos erros apresentados pelos estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I; Categorização e análise dos erros encontrados com base nos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural; O contexto de coleta de dados foi uma Faculdade da rede particular localizada no sul do Estado de Santa Catarina. A investigação foi realizada em uma turma de Cálculo Diferencial e Integral I com sete estudantes de dois cursos de Engenharia. Estes foram acompanhados individualmente pela pesquisadora. Durante a coleta de dados, foram realizados registros escritos, fotografias e gravações de áudio das conversas dos estudantes com a professora ou com a própria pesquisadora e os erros cometidos foram fotografados. A organização dos dados foi realizada a partir da seguinte unidade de análise: Tricotomia entre Aritmética, Geometria e Álgebra. Durante a análise de dados, apresentamos as contribuições da Teoria Histórico-Cultural com vistas à compreensão dos erros detectados. Concluímos que a natureza dos erros detectados revela essa tricotomia das áreas mencionadas. Vislumbramos, como possibilidade de superação, a proposição davydoviana que prevê a interconexão dessas significações matemáticas desde o primeiro ano escolar, a partir do estudo das grandezas.

Palavras-Chave: Tricotomia entre aritmética, geometria e álgebra; erros; Cálculo Diferencial e Integral I; Teoria Histórico-Cultural.

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ABSTRACT

The objective of this present study is to analyze the nature of the errors made by students of the discipline of Differential and Integral Calculus I, in two engineering courses. Data analysis is based on the principles of historical-cultural theory, with focus to the work of Davýdov, whose epistemology is in Dialectical Materialism History, considered as a study method. We developed the following actions: Study of the assumptions of historical-cultural theory to the teaching of mathematics; Analysis of errors presented by the students in the discipline of Differential and Integral Calculus I; Categorization and analysis of the nature of the errors found on the grounds of the Historic-Cultural Theory; Reflection on content and teaching methods that make it possible to overcome the errors detected. The methodology used in this research is a qualitative approach, the study type of case, which had as data collection context a private college network in southern state of Santa Catarina. The research was carried out in a class of Differential and Integral Calculus I students in two engineering courses. The research collaborators are seven students, who were followed individually by the researcher. During data collection, written records, photographs and audio recordings of conversations of the students with the teacher or with the researcher were made and the mistakes were photographed. The organization of data was performed using the following analysis unit: Trichotomy between arithmetic, geometry and algebra. After data analysis, we present the contributions of historical-cultural theory with a view to understanding the errors detected. At this stage of research, we concluded that the nature of the errors made by students of the discipline of Differential and Integral Calculus I is related to the trichotomy of the mentioned areas. We see as a possibility for overcoming the Davýdov proposal which provides for an interconnection of such mathematical meanings, from the first school year, with the study of quantities.

Keywords: Trichotomy of arithmetic, geometry and algebra; Errors; Differential and Integral Calculus I; Theory Historical-Cultural.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 01 – Resolução E2 da operação 1.000 x 0,9 =___ ... 54

Ilustração 02 – Resolução de E4 para: D = 2 x π x 385.000 ... 57

Ilustração 03 – Resolução E2 exercício de divisão 90 ÷ 81 ... 57

Ilustração 04 – Resolução de E7 referente à divisão de 8.100 por 1.000 ... 59

Ilustração 05 – Resolução de E6 referente à multiplicação: 16 x 36 ... 60

Ilustração 06– Resolução E7 referente a uma equação envolvendo fração ... 61

Ilustração 07 – Resolução com predomínio das significações aritméticas ... 62

Ilustração 08 - Resolução correta fundamentada na aritmética, geometria e álgebra ... 63

Ilustração 09 – Resolução E1 exercício de função: limites das significações geométricas ... 67

Ilustração 10 – Resolução de E5 exercício envolvendo função ... 69

Ilustração 11 – Resolução E3 exercício de função ... 70

Ilustração 14 – Exercício de função ... 74

Ilustração 15 - Exercício de função ... 76

Ilustração 16 - Exercício função ... 81

Ilustração 17 – Resolução apresentada por E1 referente ao exercício de função ... 81

Ilustração 18 – Exercício de função ... 83

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LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Índice de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de quatro cursos de engenharia nos anos de 2012 e 2013. ... 12

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ... 10

1 MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO ... 18

2 CONTEXTO DE COLETA DOS DADOS ... 31

2.1 OS PRIMEIROS CONTATOS ... 32

2.2 OS ESTUDANTES QUE PARTICIPARAM DA PESQUISA ... 33

2.2.1 Estudante E1 – 24 anos de idade ... 33

3 O ERRO DE MATEMÁTICA NA LITERATURA BRASILEIRA ... 39

3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ERRO ... 39

3.2 ALGUMAS PESQUISAS BRASILEIRAS SOBRE ANÁLISE DE ERROS ... 43

4 A NATUREZA DOS ERROS APRESENTADOS PELOS ESTUDANTES ... 50

4.1.1 Erros de Aritmética ... 50

4.1.2 Erros de Geometria ... 64

4.1.3 Erros de Álgebra ... 78

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 91

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INTRODUÇÃO

No momento em que iniciei1_{a graduação na Licenciatura em Matemática, já}

estava há algum tempo fora da sala de aula, enquanto estudante. Nesse período, verifiquei o quanto meus colegas, que haviam recém-concluído o Ensino Médio, tinham dificuldades com os conceitos considerados básicos de Matemática. Isso me inquietava, e iniciava aqui um caminho a ser trilhado. Ao ingressar a docência na Educação Básica, pude constatar como se encontrava a educação, mais especificamente a educação Matemática escolar.

Durante a graduação, conheci a Teoria Histórico-Cultural e vislumbrava nesta a possibilidade de refletir sobre a realidade detectada na docência. Mas para isso, precisaria aprofundar seus fundamentos. Para tanto, resolvi cursar uma especialização, o que não se mostrou suficiente. Nesse período, iniciei a docência no Ensino Superior e percebi o quanto havia piorado a compreensão dos estudantes em relação aos conceitos básicos de Matemática, afinal, eram muitos erros cometidos. Na busca por possibilidades que poderiam me auxiliar, vislumbrei o mestrado.

Desse modo, foram as experiências por mim vivenciadas na prática docente que me levaram ao mestrado e, consequentemente, desenvolver a presente pesquisa sobre os erros apresentados pelos estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de dois cursos de engenharia de uma faculdade localizada no sul do Estado de Santa Catarina.

Enquanto professora de Matemática na Educação Básica e de Cálculo no Ensino Superior, tenho acompanhado as opiniões negativas de inúmeros professores e estudantes a respeito dos conteúdos matemáticos, além do número consideravelmente elevado de reprovação.

Em sua tese de doutorado, Barufi (1999) pesquisou sobre a construção/negociação de significados no curso universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. Na época, a autora em referência já chamava atenção para o alto índice de reprovação nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Os estudantes da Escola Politécnica da USP podem exemplificar essa situação. As reprovações, no período de 1990 a 1995 variavam entre 20% e

1_{Dada a natureza do texto, neste início utilizaremos a primeira pessoa do singular e na sequência a primeira}

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75%. E no universo dos estudantes do Instituto de Matemática e Estatística o menor índice não é inferior a 45%, isto é, não se aprovava mais que 55% dos matriculados em uma disciplina de Cálculo. A autora considerou os livros didáticos como sua principal fonte de dados por se tratar de um instrumento de trabalho do professor. Após análise, constatou que as dificuldades não estão relacionadas à falta de bons livros. Porém, ressalta a importância de se repensar o papel do professor no processo de ensino e aprendizagem e a adoção do computador como um instrumento facilitador, possibilitando múltiplas relações.

Rezende (2003) pesquisou em sua tese de doutorado as dificuldades de natureza epistemológica dos estudantes de Cálculo I. Nessa pesquisa, apresentou alguns dados de reprovação da Universidade Federal Fluminense, mais agravantes do que os revelados por Barufi (1999) na USP. Segundo Rezende (2003), o índice de reprovação se encontrava na faixa de 45% a 95%, sendo que, para o Curso de Matemática, este não é inferior a 65%. O autor ressalta que a falta de conceitos considerados essenciais para o Cálculo advém da educação básica e da própria evolução histórica da matemática, por tratar-se de obstáculos epistemológicos.

Atualmente, o problema persiste, como revela a pesquisa de Rocha (2010). Rocha (2010) desenvolveu, com estudantes de Cálculo I, atividades computacionais. Em sua pesquisa, os índices de reprovação variaram entre 40% e 50% e alcançam 85% no curso de Engenharia de Minas. Rocha acompanhou uma turma de Cálculo Diferencial e Integral I. Durante um semestre, desenvolveu atividades computacionais referente ao conteúdo de Cálculo I a partir do software GeoGebra. Seu intuito era desenvolver nos estudantes uma compreensão mais profunda dos conceitos. O autor detectou que o ambiente de informática contribui para que os estudantes se tornem mais exploradores e participativos nas aulas, o que auxilia na compreensão de aspectos conceituais.

Essa realidade de reprovações não é diferente na faculdade em que a presente pesquisa foi desenvolvida. Os índices de reprovação também são altos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, nos cursos em que são oferecidas (Engenharias) conforme o gráfico2 a seguir (1):

2_{Para obtenção de tais dados, foi necessária uma autorização prévia da instituição. O gráfico foi elaborado a}

partir do acesso ao sistema de gestão da própria faculdade no qual consta o percentual de aprovação e reprovação (Gráfico 1).

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Gráfico 1 – Índice de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de quatro cursos de engenharia nos anos de 2012 e 2013.

Fonte: Faculdade pesquisada, 2014.

O levantamento das informações apresentadas no gráfico 1 foi realizado no ano de 2014. Os dados são referentes à reprovação em quatro cursos de Engenharia nos quatro semestres dos anos 2012 e 2013. A fim de preservar a identidade, os cursos foram denominados, aleatoriamente, por: Engenharia 1, Engenharia 2, Engenharia 3 e Engenharia 4. Tal conduta se fez necessária em função da política de privacidade da instituição pesquisada.

A análise do gráfico 1 nos possibilita constatar que: na Engenharia I, o maior índice de reprovação é de 81,08% e o menor é de 24,73%. Nesse mesmo curso, há uma grande variação entre os índices e a média é de 47,98%. Na Engenharia 2, o percentual fica entre 77,78% e 45,33%, cuja média para os quatro semestres é 63,13%. No curso de Engenharia 3, os dados variam entre 69,66% e 46,34%, com média de 61,65%. Por fim, na Engenharia 4, os indicadores não mudam muito em relação aos demais cursos, pois o índice de reprovação fica entre 60,42% e 48,89%, com média de 53,88%3.

Assim, nos anos de 2012 e 2013, a média de reprovação, nos quatro cursos de Engenharia juntos, resultou em 56,66%. Portanto, menos de 50% dos estudantes matriculados nesses cursos foram aprovados.

3_{Não tivemos acesso às razões que geraram tais discrepâncias em semestre letivo e outro ou entre uma}

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Os índices de reprovação, anteriormente apresentados, não ocorrem apenas com os universitários brasileiros, mas também na realidade mundial. Essa situação também é investigada por pesquisadores internacionais. David Tall (1976) é um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemático avançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades de aprendizagens dos conceitos básicos de Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como base para as suas análises epistemológicas.

Outro exemplo internacional foi o movimento em prol da reforma do ensino de Cálculo, iniciado na década de 1980, liderado por Peter Lax. Nascido em Budapeste (Hungria) em 1926, seus trabalhos foram tanto em Matemática aplicada como em Matemática pura. Seu principal trabalho ficou conhecido por “Calculus Reform” (Reforma do Cálculo). Esse movimento teve como principal atributo o uso de tecnologia, visto por meio de software computacional e de calculadoras gráficas, usadas para o aprendizado de conceitos, teoremas e também para a resolução de problemas, que devem ser apresentados numérica, geométrica e analiticamente.

Nasser (2007) cita algumas pesquisas realizadas em âmbito internacional que possuem como objeto de estudo as dificuldades apresentadas pelos estudantes nas disciplinas de Cálculo:

As pesquisas relacionadas ao fracasso em Cálculo focam principalmente nas dificuldades da compreensão das noções de função (Vinner, 1983), limite e derivada (Giraldo, 2002; Tall, 1991; Leme e Igliori, 2003), no domínio do Teorema Fundamental do Cálculo (Vianna, 1998), ou na forma como os alunos estudam (Frota, 2000).

Os fatores que provocam dificuldades de aprendizagem também foram objeto de pesquisas da escola francesa. Bachelard, por exemplo, apontou os obstáculos didáticos (Brousseau, 1983; Artigue, 1989), que podem ser de origem ontogênica, de natureza didática e de ordem epistemológica (Igliori, 2002) (NASSER, 2007, p. 2).

Um dos trabalhos mais recentes foi desenvolvido por David Tall e Mikhail Katz. Nessa pesquisa, os autores concentram a análise no:

[...] desenvolvimento do pensamento matemático da percepção e da ação humana em formas mais sofisticadas de raciocínio e prova, oferecendo diferentes percepções daquelas oferecidas por análises históricas ou matemáticas. Ela revela o poder conceitual da visão de Cauchy e da mudança fundamental envolvido na passagem da variabilidade dinâmica do cálculo para a formulação da teoria conjunto moderno de análise matemática (TALL E KATZ, 2014, p. 1).

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A reflexão dos referidos autores, é que Cauchy “incentiva a refletir sobre os princípios que usamos para analisar o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos, e fazer um esforço para entender a lógica de diferentes pontos de vista teóricos” (TALL E KATZ, 2014, p. 1).

Diante da realidade anteriormente exposta, delimitei, o objeto de investigação: Os erros de Matemática apresentados pelos estudantes durante a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de dois cursos de Engenharia.

Ao analisar a natureza dos erros cometidos pelos estudantes, apresentamos algumas reflexões com vistas à superação destes, com base na Teoria Histórico-Cultural, com foco para obra de V.V. Davýdov.

A finalidade da pesquisa é contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da Matemática com vistas à aprendizagem dos conceitos científicos e o desenvolvimento do pensamento teórico. Partimos da hipótese de que os erros apresentados pelos estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial Integral I revelam a tricotomia entre aritmética, álgebra e geometria.

Gomes (2013) diz que, historicamente, essas três eram disciplinas distintas, desde o descobrimento, quando o primeiro grupo de jesuítas chegou ao Brasil em 1549, pois os:

[...] conhecimentos matemáticos, contemplava-se o ensino da escrita dos números no sistema de numeração decimal e o estudo das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais. [...] Havia pouco espaço para os conhecimentos matemáticos e grande destaque para o aprendizado do latim. [...] Em 1772, um alvará do marquês de Pombal criou as “aulas régias”, nas quais isoladamente se ensinaram primeiramente a gramática, o latim, o grego, a filosofia e a retórica, e, posteriormente, as disciplinas matemáticas: aritmética, álgebra e geometria. Eram aulas avulsas, e, em relação aos conhecimentos matemáticos, há indícios de que havia poucos alunos e, também, que era difícil conseguir professores (GOMES, 2013, pp. 14-15).

No início do século XX, a congregação do Colégio Pedro II, liderada por Euclides Roxo (1890-1950), então Diretor do Externato (Colégio Pedro II, cargo que ocupou de 1925 a 1930), sugeriu para Conselho Nacional de Ensino uma transformação do ensino secundário, que foi homologada em 26 de julho de 1928, e legitimada pelo Decreto nº 18.564, de 15 de janeiro de 1929. Tal sugestão tendia a um movimento maior cuja intenção era uma reforma da educação Matemática nos cursos secundários. A reforma era a criação de uma única disciplina

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chamada Matemática, que incorporaria a aritmética, geometria e álgebra, que até o momento eram separadas em três disciplinas (DASSIE E ROCHA, 2003).

Até a promulgação do referido decreto, faziam parte do currículo do ensino secundário a aritmética, a álgebra e a geometria (onde era incluída a trigonometria), ou seja, não existia uma disciplina intitulada “matemática”, pois o seu ensino era realizado de forma fragmentada, por meio de seus diferentes ramos. Sem dúvida, de todas as mudanças realizadas na seriação do Colégio Pedro II, a que implicou transformações mais profundas foi essa fusão empreendida nas disciplinas generalizadas com a denominação “matemáticas” (DASSIE E ROCHA, 2003, pp. 65-66).

O objetivo da reforma é que a Matemática, como disciplina única, não seria mais focada apenas no desenvolvimento do raciocínio, como era vista até o momento, mas contemplaria também a aplicação, despertando no estudante a capacidade de entender o mundo e assim poderia aplicar seus conhecimentos em diversas situações da vida prática, podendo, obter uma interpretação exata e profunda do mundo objetivo (BICUDO, 1942, p. 156).

A implementação dessa reforma foi efetuada gradualmente, planejada por Euclides Roxo:

Na cadeira de Matemática fez-se uma completa renovação, de acordo com as atuais diretivas pedagógicas dominantes, quanto a essa disciplina, em quase todos os países civilizados. Adotados somente para o 1º ano em 1929, será a nova orientação estendida, em 1930, ao 2º ano e, assim sucessivamente, a todos os anos do curso. Em conseqüência dessa reforma, deverão os alunos, ao invés de um exame final de Aritmética, outro de Álgebra e um terceiro de Geometria, fazer, no 4º ano, um exame final único de Matemática, sendo os do 1º, 2º e 3º de simples promoção (ROXO, 1929, p. 2).

As mudanças aqui ocorridas tinham por base a experiência já realizada em outros países, como, Alemanha, França, Inglaterra e Estados Unidos. Essas transformações eram uma tentativa de adaptar o ensino de Matemática ao desenvolvimento industrial que vinha acontecendo em todo o mundo, no final do século XIX. Aqui no Brasil, inicialmente foi implantada apenas no Colégio Pedro II e após a Reforma Francisco Campos (1931), essas mudanças foram implementas no âmbito nacional.

Porém, quase um século depois, detectamos nos dados da presente investigação, resquícios da tricotomização entre aritmética, geometria e álgebra subjacente aos erros cometidos pelos estudantes. Portanto, uma investigação sobre a natureza destes, por meio da

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análise dos dados obtidos e do diálogo com os estudantes sobre o raciocínio que os levaram a cometê-los, pode contribuir para repensarmos o ensino da Matemática no Ensino Fundamental, Médio e Superior.

De acordo com Khidir (2006, p. 15):

[...] os alunos que estão concluindo os anos iniciais do Ensino Fundamental, possuem dificuldades pontuais e elementares com relação ao desempenho em Matemática e a consequência disto é que estão ingressando nos anos finais de mesmo nível de ensino com carências de conceitos fundamentais para o desenvolvimento cognitivo nesta disciplina.

No decorrer dos anos de escolarização, os estudantes têm acumulado fragilidades na aprendizagem dos conteúdos, considerados básicos para o desenvolvimento do pensamento matemático. E as consequências dessas carências se agigantam no ensino superior o que pode gerar os índices de reprovação anteriormente apresentados. Dentre as dificuldades detectadas por Khidir (2006), a pior delas, está relacionada à aquisição das habilidades cognitivas e dos conceitos necessários à passagem de uma fase de ensino à outra. Quando um estudante passa para fases seguintes de escolarização sem a apropriação dos conceitos básicos, a aprendizagem fica cada vez mais complexa, uma vez que implica na dificuldade de compreensão dos outros conteúdos a serem aprendidos.

Perante esse quadro, questionamo-nos: O que há de específico nesse conhecimento que o torna quase incompreensível aos estudantes? O que acontece no processo de ensino da Matemática que alguns estudantes chegam à graduação com dificuldades inclusive sobre as operações básicas? Será que os conceitos matemáticos atualmente abordados no Ensino Fundamental são suficientes? Ou, o problema reside no método de ensino adotado no Ensino Superior, que não dá conta da apropriação do conhecimento por parte dos estudantes? Como se dá o processo de apropriação do conhecimento matemático no Ensino Fundamental, Médio e Superior? Quais as aproximações e distanciamentos entre esses níveis de escolarização no que tange aos conhecimentos matemáticos?

Diante desses nossos questionamentos referentes ao ensino de Matemática, surge a necessidade de delimitação da pergunta diretriz. Para tanto, elaboramos o seguinte problema de pesquisa: Qual a natureza dos erros apresentados pelos estudantes durante a realização da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, em dois cursos de Engenharia?

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Para isso, propomos o seguinte objetivo na pesquisa: Identificar e analisar os erros apresentados pelos estudantes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I em dois cursos de Engenharia. A fim de alcançar o objetivo proposto elencamos as seguintes ações:

 Estudo dos pressupostos da teoria Histórico-Cultural para o ensino de Matemática;

 Levantamento dos erros apresentados pelos estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I;

 Categorização, análise e reflexão da natureza dos erros encontrados com base nos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural;

Após a coleta dos dados, procedemos à análise. Durante esse processo, revelamos a seguinte unidade: Tricotomização entre aritmética, geometria e álgebra.

A base do referencial teórico para esta análise foi a Teoria Histórico-Cultural. A referida teoria se fundamenta nos princípios do Materialismo Histórico e Dialético, que constitui o método de investigação do estudo apresentado no capítulo I.

No capítulo dois, apresentamos o contexto em que se realizou a coleta dados. Traremos como a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I é trabalhada em específico nessa Faculdade, assim como carga horária e estudantes matriculados nessa disciplina. Mostraremos também como foram os primeiros contatos da pesquisadora com esses estudantes e professora titular da disciplina. Por fim, como decorreu a coleta de dados e como cada um dos estudantes pesquisados reagiu diante da pesquisadora, trazendo um pouco do contexto social, escolar de cada estudante pesquisado.

No terceiro, abordamos algumas considerações sobre o que é o erro para alguns autores. Quando que deve-se considerar que um erro do estudante pode auxiliar na aprendizagem ou não. Trazendo também pesquisas sobre erros de estudantes brasileiros relacionadas com a Educação Básica e Ensino Superior, referentes à Matemática.

No quarto procedemos a análise dos dados, não apenas descrevendo o erro mas sim explicando e fazendo uma reflexão teórica fundamenta na Teoria Histórico Cultural. Para finalizar, tecemos algumas considerações.

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1 MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO

No decorrer do presente capítulo, discorremos sobre os princípios provenientes do método de investigação adotado, o Materialismo Histórico Dialético. Inicialmente trataremos do movimento investigativo ancorado em Marx, Engels entre outros, assim como a unidade de análise. Na sequência, anunciamos os pressupostos que sustentam as reflexões teóricas realizadas no decorrer da análise dos dados, a partir de Lev Semenovich Vigotski e Vasilievich Davýdov.

Segundo Moraes (2012), o Materialismo Histórico e Dialético é o método mais adequado para realização de pesquisas comprometidas com a prática social e com a transformação da realidade. O Materialismo Histórico e Dialético se origina a partir das ideias de Marx, a partir do princípio de que “não é a consciência que determina a vida, mas a vida que determina a consciência” (MARX, ENGELS, 1984, p. 37).

Para Martins (2008), o indivíduo se constrói a partir da sociedade, ou seja, não existe constituição de homem fora das relações sociais. O modo como as pessoas agem, pensam e se comportam reflete as relações sociais vinculadas à produção de vida material. Para Triviños (1987), de acordo com a concepção do marxista, há uma realidade fora da consciência. Portanto, a realidade existe independentemente de como pensamos ou conhecemos.

A lógica dialética de Marx tem seus princípios na dialética de Hegel. Marx deu continuidade ao trabalho feito por Hegel. Entretanto, a dialética de Hegel se fundamentava no pensamento, ou seja, o movimento se dava no pensamento. Já para Marx, a concepção da dialética se dá na construção do ser em suas relações materiais. Ou seja, o princípio constituinte da história para Hegel é o pensamento, para Marx são as relações materiais. Nas palavras de Martins (2008, p. 33) “Marx tem as relações materiais como princípio constitutivo e organizativo do ser social, [...] o idealismo, por sua vez, inverte essa assertiva”.

Para o Materialismo Histórico o homem é um ser social, que se determina na história, por meio das relações sociais. Nas palavras de Marx, podemos afirmar que:

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[...] na produção social da própria vida, os homens contraem relações determinadas, necessárias e independentes de sua vontade, relações de produção estas que correspondem a uma etapa determinada de desenvolvimento das suas forças produtivas materiais. A totalidade destas relações de produção forma a estrutura econômica da sociedade, a base real sobre a qual se levanta uma superestrutura jurídica e política, e à qual correspondem formas sociais determinadas de consciência. O modo de produção da vida material condiciona o processo em geral da vida social, político e espiritual. Não é a consciência dos homens que determina seu ser, mas, ao contrário, é o seu ser social que determina sua consciência (MARX, 1991, p. 29).

Portanto, na concepção de Marx, não é possível aceitar a ciência com uma visão neutra da realidade. Assim, para os precursores do Materialismo, Marx e Engels, a relação homem-mundo era vista de modo que o mundo possui a capacidade de restringir o homem, mas, de modo simultâneo, o aponta diversas possibilidades para a ação humana (MARTINS, 2008).

A realidade, o concreto, torna-se um elemento abstraído pela consciência e esta, por sua vez, inserida na realidade prática, pensa-o como um concreto situado em um ambiente de múltiplas relações sócio-históricas. Portanto, deve-se entender a consciência, o pensamento como um permanente processo de movimento, no surgimento das contradições e sua solução (MARTINS, 2008).

Nesse sentido, em pesquisa que se pauta no Materialismo Histórico e Dialético, há que se considerar a concepção marxista da realidade:

O pesquisador que segue uma linha teórica baseada no materialismo dialético deve ter presente em seu estudo uma concepção dialética da realidade natural e social e do pensamento, a materialidade dos fenômenos e que estes são possíveis de conhecer. Estes princípios básicos do marxismo devem ser completados com a idéia de que existe uma realidade objetiva fora da consciência e que esta consciência é um produto resultado da evolução do material, o que significa que para o marxismo a matéria é o princípio primeiro e a consciência é o aspecto secundário, o derivado (TRIVIÑOS, 1987, p. 73).

Ainda para Triviños (1987), o conhecimento do objeto, na perspectiva materialista dialética, pode ser esboçado a partir da contemplação viva do fenômeno. Para a análise do fenômeno, o autor em referência sugere a elaboração e aplicação de diferentes tipos de instrumentos para reunir informações como questionários, entrevistas, observações, etc.

Assim, pautamo-nos em uma concepção materialista da história, a qual parte do princípio de que o homem é um ser social determinado pelas relações vividas por ele. E,

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portanto, só é possível a mudança da realidade por meio da prática sócio-histórica, fundamentada na teoria.

É característica do marxismo ressaltar as transformações da realidade ao observá-la ao longo dos tempos. Fixando o olhar em todo esse processo, percebe-se que as alterações sofridas pelo mundo em cada nova etapa histórica são decorrências da luta que os agrupamentos humanos travaram pela manutenção da vida (MARTINS, 2008, p. 25).

Na luta pela sua sobrevivência, o homem defronta-se com a natureza, e a transforma, por meio do trabalho, com o objetivo de garantir as condições necessárias para isso. Desse modo, o mundo natural e social é produto da atuação do homem e não de um ser transcendental. A capacidade humana de modificar a natureza pelo trabalho é o que distingue o homem dos demais seres (MARTINS, 2008). Assim “nessa perspectiva, o trabalho é aquilo que fundamentalmente humaniza e possibilita o desenvolvimento da cultura” (Moretti, Asbahr, & Rigon, 2011, p. 478).

Nessa direção, no estudo do objeto, é necessário considerá-lo em seu movimento de transformação, visto que a realidade está em constante mudança. Inclusive, como nos ensina Engels (1979, p. 51): “O movimento é o modo de existência da matéria.” Historicamente, com o desenvolvimento da ciência:

[...] tudo aquilo que se considerava rígido, se havia tornado flexível; tudo quanto era fixo, foi posto em movimento; tudo quanto era tido por eterno, tornou-se transitório; ficava comprovado que toda a Natureza se movia num eterno fluxo e permanente circulação (ENGELS, 1976, p. 23).

Tanto Marx quanto Engels partem dessa constante transformação, das inumeráveis mudanças que ocorrem a todo o momento na realidade, para explicar a dialética.

Dessa forma, voltava-se às concepções dos grandes fundadores da filosofia grega: em tôda a Natureza, desde o menor ao maior, do grão de areia aos sóis, dos protistas ao homem, há um eterno vir a ser e desaparecer, numa corrente incessante, num incansável movimento e transformação. Tudo isso, apenas com uma diferença essencial: tudo quanto, entre os gregos, era uma intuição genial, tornou-se agora para nós o resultado de uma investigação severamente científica, ligada à experiência e, por conseguinte, o conhecimento se apresenta sob uma forma muito precisa e clara (ENGELS, 1976, p. 23).

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Marx e Engels assumem que os princípios do movimento do mundo foram pesquisados inicialmente por Hegel. A partir da concepção dialética de Hegel é que os autores do materialismo se fundamentam, mas com ressalvas materialistas ao idealismo.

[...] Hegel que pela primeira vez - e aí está o seu grande mérito - se concebe todo o mundo da natureza, da história e do espírito como um processo, isto é, em constante movimento, mudança, transformação e desenvolvimento, tentando, além disso, ressaltar a íntima conexão que preside a esse processo de movimento e desenvolvimento. Contemplada deste ponto de vista, a história da humanidade já não parecia como um caos inóspito de violências absurdas, todas igualmente condenáveis diante do foro da razão filosófica hoje já madura, e boas para serem esquecidas quanto antes, mas como o processo de desenvolvimento da própria humanidade, que cabia agora ao pensamento acompanhar nas etapas graduais e através de todos os desvios, e demonstrar a existência de leis internas que orientam tudo aquilo que à primeira vista poderia parecer obra do acaso cego (ENGELS, 1985, p. 49).

Portanto, para Hegel, que é idealista, o conhecimento é formado pelo pensamento, já para o materialismo dialético, a prática é que propicia o pensamento pelo conhecer. Ao se discutir a dialética como um processo de conhecimento, não se deve dispensar as considerações que Kosik nos traz:

A dialética da totalidade concreta não é um método que pretenda ingenuamente conhecer todos os aspectos da realidade, sem exceções, e oferecer um quadro “total” da realidade, na infinidade de seus aspectos e propriedades; é uma teoria da realidade e do conhecimento que dela se tem como realidade. A totalidade concreta não é um método para captar e exaurir todos os aspectos, caracteres, propriedades, relações e processos da realidade; é a teoria da realidade como totalidade concreta. Se a realidade é entendida como concreticidade, como um todo que possui a sua própria estrutura (e que, portanto, não é caótico), que se desenvolve (e, portanto, não é imutável nem dado de uma vez por tôdas, que se vai criando (e que, portanto, não é um todo perfeito e acabado no seu conjunto e não é imutável apenas em suas partes isoladas, na maneira de ordená-las), de semelhante concepção da realidade decorrem certas conclusões metodológicas que se convertem em orientação heurísticas e princípio epistemológico para estudo, descrição, compreensão, ilustração e avaliação de certas seções tematizadas da realidade (KOSIK, 1976, p. 36).

Por conseguinte, a dialética não é designada apenas pelo movimento do mundo, mas também as incessantes modificações do pensamento, ou seja, toda a maneira de pensar e suas constantes transformações. De acordo com Kosik (1976), a dialética também conceitua a realidade como uma totalidade que possui interconexões entre suas partes, e não apenas como um acúmulo de partes isoladas. Logo, ao modificar seus aspectos quantitativos, podem provocar mudanças qualitativas em sua totalidade. Portanto, para obter o conhecimento do

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constante movimento de transformação da realidade, é necessário fazer a análise de suas partes em conexão com o todo, pois, por meio das mudanças dessas partes é que ocorrem as modificações do todo.

Ancorado nessa concepção, Vigotski (2007), afirma que a concepção da história humana não está fundamentada somente nas decorrências da natureza sobre o ser humano, mas que o homem também “[...] age sobre a natureza e cria, através das mudanças nela provocadas, novas condições naturais para sua existência.” (VIGOTSKI, 2007, p. 62).

Para uma análise dessa constante transformação, a qual deve orientar uma construção de análise para os elementos pesquisados, o autor propõe que o todo seja analisado a partir de unidades de análise. Estas são, “[...] um produto da análise que, diferente dos elementos, possui todas as propriedades que são inerentes ao todo e, concomitantemente, são partes vivas e indecomponíveis dessa unidade” (VIGOTSKI, 2009, p. 8).

Para o processo de análise, adotamos os três princípios apresentados por Vigotski (2007): 1) Análise de processos e não de objetos; 2) Explicação e não apenas a descrição; 3) Revelação do problema do comportamento fossilizado.

1) Análise de processos e não de objetos: Vigotski (2007) esclarece que a

análise de processo norteia a investigação de um objeto ou fenômeno que se encontra em constante movimento. Para tanto, reconstroem-se as etapas do processo desde sua gênese até o presente a fim de se atingir a totalidade da realidade investigada. Nesse sentido, para a análise dos erros dos estudantes, não é suficiente apenas obter as avaliações por eles realizadas, mas acompanhá-los durante a realização dos exercícios, exposição das dúvidas e a respectiva solicitação de explicações a professora.

2) explicação e não apenas a descrição: O autor em referência nos alerta que “a

mera descrição não revela as relações dinâmico-causais reais subjacentes ao fenômeno” (VIGOTSKI, 2007, p. 45). A descrição se restringe aos aspectos externos, ou seja, limita-se à aparência do fenômeno. Já a explicação é caracterizada pela análise da essência e não na sua aparência externa. Desse modo, em vez de apenas descrever os erros, buscamos revelar sua natureza, por meio de entrevistas e conversas realizadas durante a resolução dos exercícios.

3) Revelação problema do comportamento fossilizado: Vigotski (2007) nos informa

sobre os processos mecanizados que tornam-se fossilizados ao perderem sua aparência original. Assim, as características externas já não dão subsídios que possibilitam a revelação da natureza interna, sua essência. Nesse sentido, a análise dos erros por si só, nada diz sobre

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sua natureza. Fez-se necessário buscar, durante o processo de resolução dos exercícios e por meio da explicação dos estudantes sobre o raciocínio por eles utilizado, a natureza desses.

A prática social, contexto no qual emergem os erros analisados, é ponto de partida e de chegada da investigação. Primeiramente, essa prática mostrou-se pelo seu aspecto inicial, enquanto concreto caótico. Portanto, fez-se necessário todo um processo investigativo para que revelássemos as abstrações. Esse movimento culminou na redução de todas as informações que tínhamos em uma unidade de análise: Tricotomização entre aritmética, geometria e álgebra. Portanto, foi durante a análise do comportamento fossilizado que revelamos a unidade de análise. A etapa seguinte consistiu na explicação dos erros detectados a partir da unidade revelada, no movimento de ascensão do abstrato ao concreto pensado.

Isso porque o concreto, de acordo com Marx (2003, p. 248), estabelece-se como dessa forma, pois é “a síntese de múltiplas determinações, logo, unidade da diversidade”. O concreto é, “para o pensamento, um processo de síntese, um resultado, e não um ponto de partida, apesar de ser o verdadeiro ponto de partida e, portanto, igualmente o ponto de partida da observação imediata e da representação” (MARX, 2003, p. 248).

No processo de síntese, capta-se o concreto como o produto da análise de determinado fenômeno ou objeto. Portanto, o modo como o pensamento apreende o objeto de estudo não ocorre imediatamente, mas mediatizado pelo processo de análise e de abstrações teóricas.

Embora a abstração represente o objeto não sob a forma em que ele existe na realidade, ela tem por conteúdo aquilo que realmente existe. As abstrações da produção em geral, da matéria em geral, do átomo em geral refletem o que existe em cada forma concreta de produção, em cada tipo de matéria, em cada átomo. Não se pode apreender nenhuma forma de produção, nenhum tipo de matéria, etc. sem a abstração sobre a produção em geral, a matéria em geral (KOPNIN, 1978, pp. 158-159).

Para o referido autor, na lógica dialética, o princípio para a abstração não consiste em separar os indícios sensoriais que são perceptíveis no objeto, mas a partir deles desvelar outras características no objeto que possibilitam revelar sua essência.

Marx inicia sua análise mostrando que, no terreno da ciência, no caso, da economia política, ao estudar-se uma determinada realidade, por exemplo, um país, o procedimento mais correto aparentemente seria começar pelo real, pelo concreto. Mas Marx mostra que existe aí um equívoco, pois o pensamento não pode se apropriar do concreto de forma imediata, não pode reproduzi-lo através do contato

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direto definido pela experiência empírica. O contato direto produz no pensamento uma “representação caótica do todo”, que não pode ser considerada como efetiva apropriação da realidade pelo pensamento (VERNEQUE, 2011, p. 5).

Nesse sentido, o concreto consiste na reprodução, pelo pensamento humano, das relações internas genéticas, essenciais, de um dado objeto no interior de um todo em desenvolvimento (DAVÝDOV, 1982). No ponto de chegada, o fenômeno passa a ser compreendido como síntese de múltiplas determinações. A “compreensão de tais determinações e mediações possibilitará a elaboração e implementação de ações transformadoras” (PASQUALINI, 2010, p. 25).

É importante ressaltar que os dados de reflexão são aqueles que o pesquisador coleta na sua relação direta com o fato, durante as observações, entrevistas e experimentos. Mas, o que designa o processo de formação do conhecimento são as investigações e generalizações elaboradas pelo pesquisador (ILYENKOV, 2008). A representação inicial, a manifestação externa, não é capaz de traduzir o todo, torna-se necessário passar para análise das partes e revelar a essência que as interconecta (DAVÝDOV, 1982).

Na realidade, a psicologia nos ensina a cada instante que, embora dois tipos de atividades possam ter a mesma manifestação externa, a sua natureza pode diferir profundamente, seja quanto à sua origem ou à sua essência. Nesses casos são necessários meios especiais de análise científica para pôr a nu as diferenças internas escondidas pelas similaridades externas. A tarefa da análise é revelar essas relações. Nesse sentido, a análise científica real difere radicalmente da análise introspectiva subjetiva, que pela sua natureza não pode esperar ir além da pura descrição. O tipo de análise objetiva que defendemos procura mostrar a essência dos fenômenos psicológicos ao invés de suas características perceptíveis (VIGOTSKI, 2007, p. 46).

A revelação da essência, obscurecida pelas características externas do objeto ou fenômeno consiste no concreto pensado, no ponto de chegada da investigação. Trata-se do conhecimento mais profundo, pois reflete as relações internas do objeto estudado na relação entre universal, particular e singular. Para atingir a concretude de um objeto de estudo, deve-se revelar o universal, o esdeve-sencial na universalidade do objeto em estudo e reproduzi-lo em termos conceituais (PASQUALINI, 2010).

O ser singular se designa como todo o ser determinado. Portanto, é imprescindível instituir a conexão dialética entre o singular e universal, para assim se chegar ao conceito. O elemento mediador entre singular e universal é o particular. Para mergulhar na essência de um

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objeto ou fenômeno é necessário revelar a vinculação dialética entre o universal, o particular e o singular.

Quanto mais autêntica e profundamente os nexos da realidade, suas leis e contradições, vierem concebidos – de um modo aproximativamente adequado – sob a forma da universalidade, tanto mais concreta, dúctil e exatamente poderá ser compreendido também o singular. A imensa superioridade do marxismo-leninismo sobre qualquer teoria burguesa se baseia, entre outras coisas não mais importantes, sobre esta ininterrupta utilização das leis da unidade dialética e do caráter contraditório na relação de singularidade, particularidade e universalidade. Quem estuda as grandes análises históricas dos clássicos do marxismo-leninismo, suas explicações teóricas de etapas decisivas e de reviravoltas históricas, encontrará sempre a elaboração e a aplicação desta dialética (LUKÁCS, 1978, p. 104).

Para Oliveira (2005), o universal nos expõe o complexo, as ligações internas, as leis de todo o processo e evolução que compreendem a totalidade histórico-social. A expressão singular de um objeto, nos mostra somente o que é imediato, considerando este como o ponto de partida do conhecimento (MARTINS, 2006). Já o particular, por estar entre o singular e o universal, tem sua função mediadora. “Ou seja, o particular assume qualidades constitutivas e características pelas quais a singularidade se constitui” (ALVES, 2013, p. 24).

Ocorre, porém, que nenhum fenômeno se expressa apenas em sua singularidade ou universalidade. Como opostos, se identificam, e a contínua tensão entre eles (singular - universal) se manifesta na configuração particular do fenômeno. Em sua particularidade ele assume as especificidades pelas quais a singularidade se constitui em dada realidade de modo determinado, porém não completo, não universal. Ainda segundo Luckács, o particular representa para Marx a expressão lógica da categoria de mediação entre o específico (singular) e o geral (universal), que não podem ser compreendidos de modo isolado e por si mesmos (MARTINS, 2006, p. 11-12).

Desse modo, na especificidade do nosso objeto de estudo, o universal é algo que ocorre em todas as universidades, como verificamos nas pesquisas sobre a temática (CURY, 1988; ZANARDI, LIMA, 2008; ROCHA, 2010; PEREIRA FILHO, 2012; GARZELLA, 2013). Os erros por nós detectados não são apresentados apenas pelos estudantes da faculdade pesquisada, não ocorre apenas no Brasil, mas mundialmente. Porém, como nos alerta Sousa (2014), o universal não pode ser considerado como um coroamento definitivo de singularidade, o que justifica a realização da presente pesquisa. Para tanto, a singularidade investigada, os erros apresentados pelos estudantes não podem ser considerados como a realidade do sujeito em si e por ela mesma. Portanto, faz-se necessário considerar a existência de elemento mediador entre o universal e singular.

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A fim de capturar a essência da realidade investigada em concernência com os princípios teóricos apresentados, a coleta dos dados foi realizada por meio de gravações de áudio, fotos, registros escritos e entrevistas.

Durante a análise dos dados, elegemos uma unidade de análise, a tricotomização entre aritmética, geometria e álgebra. Amparados no modo de organização do ensino proposto por Davýdov e colaboradores, a partir dos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, apontamos alguns elementos que indicam possibilidades de superação dos limites detectados na investigação.

Um dos precursores da Teoria Histórico-Cultural foi L. S. Vigotski (1896-1934). Esse renomado cientista iniciou seus estudos no início do século XX, mais precisamente em 1917, coincidindo com a revolução russa. Existia, na realidade da revolução, a necessidade de redefinição de uma nova concepção de educação para uma nova sociedade, a socialista. Para tanto, Vigotski seguiu as ideias iniciais de Marx e Engels sobre o Materialismo Histórico e Dialético. Posteriormente, Luria, Leontiev, Rubinstein, Galperin, Elkonin, Davýdov, entre muitos outros, deram continuidade a seus estudos.

Vigotski centrou suas reflexões sobre a origem e desenvolvimento do psiquismo humano. Buscou em Marx e Engels a explicação para constituição de homem a partir do Materialismo Histórico e Dialético, em que a essência humana não é uma abstração, mas é constituída por um conjunto das relações sociais (VIGOTSKI, 2007).

A Psicologia histórico-cultural toma como seu objeto a atividade humana no desenvolvimento do psiquismo, cujo conceito foi introduzido por Vigotski e, posteriormente, analisado e desenvolvido por outros psicólogos soviéticos, entre os quais, Rubinstein e Leontiev (DAVÍDOV, 1988). A atividade, entretanto, não se refere, como em geral é entendida, a uma mera ação de um sujeito que responde às influências de seu meio de forma imediata (SOUSA, 2014, p. 69).

Para Vigotski, o convívio em sociedade e a comunicação entre as pessoas é o que impulsiona o desenvolvimento humano. É pelo trabalho que o homem modifica não apenas a natureza, mas também a sua consciência e seu comportamento, distinguindo-se, assim, de outros seres e se instituindo como humano.

Nesse contexto, o que origina a consciência e o pensamento abstrato é a vivência do ser a partir de suas condições da vida em sociedade. A comunicação entre as pessoas é

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classificada por Vigotski (2007) de atividade externa, ocorre no plano interpessoal e mais adiante se internaliza no processo de internalização a linguagem que é o elemento mediador.

Mas o processo que determina a história e a cultura de um ser humano, não deve ser entendido de maneira que o ser humano apenas toma para si determinados comportamentos para em seguida reproduzi-los, pois pode modificar-se e transformar também todos os sujeitos que participam da vida social desse ser humano.

Na perspectiva histórico-cultural a aprendizagem é um fenômeno social, acontece e se desenvolve nas relações estabelecidas entre os sujeitos mediados pelas trocas simbólicas. Desta forma, o meio social constitui o manancial no qual se baseia o desenvolvimento conceitual da criança. Segundo Vygotsky, o homem, ao buscar relacionar-se com os objetos, utiliza-se dos sistemas simbólicos de que dispõe, fornecidos pela cultura, pelo meio social. Esse tipo de operação permite o desenvolvimento da abstração e da generalização que, nessa perspectiva, vai do social para o individual (MOURA, MORETTI, 2003, p. 68).

Assim, a gênese das transformações que ocorrem no homem decorre da vivência em sociedade e de sua constituição histórica. Segundo Vigotski (2009), o que subsidia a evolução das funções mentais é a aprendizagem. O desenvolvimento mental é resultado de uma aprendizagem bem articulada e organizada que vai ao encontro de diversos processos de desenvolvimento.

Tal aprendizagem inicia em casa, desde o nascimento, quando a criança entra em contato com sujeitos e situações distintas. Apesar da relevância atribuída por Vigotski (2009) para a aprendizagem extra escolar, o autor considera essencial a aprendizagem vinda da escola. Pois é quando deve surgir o novo para o desenvolvimento da criança.

Assim, funções psicológicas superiores têm primeiro sua correspondente social e são internalizadas no processo de interação com outros indivíduos. Esse é um processo dinâmico em que a internalização de determinada função leva à reestruturação de outras e acaba transformando o próprio processo (Vygotsky, 1984), implicando uma reestruturação mental. Para o autor, existe uma diferença substancial entre o que uma criança é capaz de produzir isoladamente e o nível de desenvolvimento que atinge numa situação de interação, seja com o professor ou com a colaboração de um colega (MOURA, MORETTI, 2003, p. 68).

Vigotski denomina de nível de desenvolvimento real o estágio em que a criança se encontra e potencial quando precisa ser orientada por um adulto ou um companheiro para desenvolver uma determinada tarefa. A distância entre o nível de desenvolvimento real e o nível de desenvolvimento potencial é denominado por Vigotski (2007) de Zona de

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Desenvolvimento Proximal (ZDP): “O nível de desenvolvimento real caracteriza o desenvolvimento mental retrospectivamente, enquanto a zona de desenvolvimento proximal caracteriza o desenvolvimento mental prospectivamente” (VIGOYSKI, 2007, p. 98). O conceito de ZDP

[...] se constitui como um importante indicador do progresso intelectual da criança, também evidencia a importância da aprendizagem no desenvolvimento psicológico humano e a importância das acumulações histórico-culturais no desempenho escolar da criança (KHIDIR, 2006, p. 52).

Assim, para se avaliar o nível de desenvolvimento de um estudante, é necessário reconhecer o que este consegue atingir, não apenas independentemente, mas também com o auxílio de outros colegas ou até mesmo do professor.

A execução correta em determinada tarefa nem sempre revela a compreensão por parte dele. Uma resposta correta pode apenas resultar de uma resolução mecânica, do tipo “siga os passos”. Portanto, é importante que o professor investigue a origem do raciocínio adotado e, de alguma forma, contribua para compreensão conceitual. Além disso, faz-se necessário repensar não apenas o modo de organização do ensino, mas também seu conteúdo. Um dos pesquisadores que objetivou os princípios de Vigotski e seus continuadores em uma proposição de ensino foi Davýdov, por ele denominada de Ensino Desenvolvimental.

Para Davýdov, a questão mais central da psicologia pedagógica é a relação entre educação e desenvolvimento, explicada pela lei geral da gênese das funções psíquicas da criança no convívio com os adultos e os colegas no processo de ensino e de aprendizagem na escola (LONGAREZI & PUENTES, 2013, p. 324).

Trata-se do processo de ensino e aprendizagem do conhecimento teórico. Na proposição davydoviana, o professor tem um papel fundamental na orientação do estudante durante o desenvolvimento das tarefas. Porém, tal orientação é organizada de modo que desenvolva a autonomia intelectual da criança.

Na base do pensamento de Davídov está a idéia-mestra de Vygotsky de que a aprendizagem e o ensino são formas universais de desenvolvimento mental. O ensino propicia a apropriação da cultura e o desenvolvimento do pensamento, dois processos articulados entre si, formando uma unidade (LIBÂNEO, 2004, p. 14).

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Para tanto, Davídov (1987) propõe o princípio da educação que desenvolve. O ensino deve dirigir os ritmos e o conteúdo do desenvolvimento e criar nos estudantes as condições psíquicas que podem ainda faltar do ponto de vista dos próximos anos escolares com base em generalizações teóricas. Para tanto, Davídov (1987) sugere os seguintes princípios:

1) todos os conceitos que constituem a disciplina escolar dada ou seus principais capítulos devem ser assimilados pelas crianças por via do exame das condições de origem, graças às quais, tais conceitos tornam-se indispensáveis (em outras palavras, os conceitos não se dão como “conhecimentos já prontos”);

2) a assimilação dos conhecimentos de caráter geral e abstrato precede a familiarização com conhecimentos mais particulares e concretos; este princípio se desprende da orientação de revelar a origem dos conceitos e se corresponde com as exigências da ascensão do abstrato ao concreto;

3) no estudo das fontes objetal-materiais, de uns ou outros conceitos, os estudantes devem, diante de tudo, descobrir a conexão geneticamente inicial, geral, que determina o conteúdo e a estrutura do campo dos conceitos dados (por exemplo, para todos os conceitos da matemática escolar, essa conexão geral é a das grandezas; para os conceitos da gramática escolar, é a relação da forma e o significado na palavra);

4) é necessário reproduzir esta conexão em modelos objetais, gráficos ou símbolos especiais que permitam estudar suas propriedades de “forma pura” (por exemplo, as crianças podem representar as conexões gerais das magnitudes em fórmulas com letras, cômodas para o estudo ulterior das propriedades dessas conexões; a estrutura interna da palavra pode ser representada com ajuda de esquemas gráficos especiais);

5) em especial, é preciso formar nos estudantes ações objetais de tal índole que permitam às crianças revelar no material de estudo e reproduzir nos modelos a conexão essencial do objeto e, logo, estudar suas propriedades (por exemplo, para revelar a conexão que está na base dos conceitos de números inteiros, fracionais e reais é necessário formar nas crianças uma ação especial para determinar a característica de divisibilidade e multiplicidade das grandezas);

6) os estudantes devem passar paulatinamente e ao seu devido tempo das ações objetais à sua realização no plano mental.

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Davýdov, juntamente com um grupo de colaboradores, objetivou esses princípios em uma proposição para o ensino de Matemática. Esta é objeto de investigação de vários pesquisadores brasileiros. A opção pelo estudo da proposição davydoviana ocorre pelo entendimento de que ela pode contribuir para a reflexão sobre o atual modo de organização do ensino de Matemática no Brasil (ROSA, 2012; MADEIRA, 2012; ALVES, 2013; CRESTANI, 2013; DORIGON, 2013; MATOS, 2013; SILVEIRA, 2012; SOUZA, 2013; ROSA, DAMAZIO e ALVES, 2013; ROSA, DAMAZIO e CRESTANI, 2014; ROSA, DAMAZIO e SILVEIRA, 2014; SILVEIRA, 2014; HOBOLD, 2014; SOUSA, 2014; SILVEIRA, 2015.

A proposição de Davýdov e colaboradores para o ensino de Matemática foi desenvolvida na Rússia por 25 anos a partir dos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural. O ponto de partida para o ensino de Matemática são as grandezas discretas e contínuas. A partir das relações entre elas é que são introduzidos os conceitos matemáticos. O conceito de número, ponto de partida, por exemplo, é o real. Diferentemente do que ocorre no Brasil, cujo início se dá pelos números naturais (ROSA, 2006 e 2012).

As representações gráficas (significações geométricas) se constituem em elementos mediadores no movimento que se inicia a partir das grandezas, no plano objetal, até atingir a modelação algébrica (ROSA, 2012). Desse modo, na proposição davydoviana as significações aritméticas, algébricas e geométricas são indissolúveis, forma um todo único.

A reflexão dos erros apresentados pelos estudantes, ancorada na proposição davydoviana, vai ao encontro de uma das nossas finalidades: apresentar possibilidades didáticas que permitam o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes. Pois concebemos a pesquisa desenvolvida em um Programa de Pós-Graduação em Educação como um dos instrumentos que fomenta a busca por soluções para a superação dos limites inerentes ao processo de ensino e aprendizagem e o consequente desenvolvimento do pensamento teórico. Para tanto, entendemos a importância da explicitação do contexto em que a presente pesquisa foi realizada, que será tratado no próximo capítulo.

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2 CONTEXTO DE COLETA DOS DADOS

Consideramos que os erros cometidos estão relacionados à aprendizagem, que por sua vez, está diretamente ligada ao ensino. Por isso, foi preciso analisar os erros dos estudantes no contexto de sua manifestação, a fim de investigar sua natureza. Desse modo:

• as aulas de Cálculo Diferencial e Integral I, do curso de engenharia, formam o contexto no qual a coleta de dados foi realizada;

• a sala de aula que é o ambiente dos sujeitos pesquisados (estudantes), no qual pesquisadora se fez presente;

• a pesquisadora esteve em contato direto com o processo de explicitação do objeto investigado (os erros cometidos pelos estudantes);

• os meios de coleta de dados foram utilizados pela pesquisadora.

A coleta de dados ocorreu em uma Faculdade da rede particular localizada no Sul do estado de Santa Catarina. O nome da instituição deverá ser mantido em sigilo, por isso, atribuímos o nome fictício de Faculdade Pesquisada. A disciplina contexto de pesquisa é composta por quarenta estudantes, todos do sexo masculino, com idade entre 18 e 47 anos. Destes, apenas sete aceitaram participar da pesquisa. A fim de preservar a identidade dos estudantes, elencamos nomes fictícios, conforme segue: E1, E2, E3, E4, E5, E6 e E7, todos do

sexo masculino, como já mencionado. Estes, não são apenas de um curso, pois como a disciplina de Cálculo é comum para todos os cursos de engenharia, essa turma é mista - são estudantes de várias engenharias. A escolha pela turma de Cálculo I se deu pelo fato de que essa disciplina constitui todo o início da Matemática para as fases e disciplinas seguintes.

Os estudantes da pesquisa, fonte de dados, são da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de dois cursos de Engenharia, com carga horária de cento e oito horas/aula, equivalentes a seis créditos, dos quais, quatro são integralizados nas quintas-feiras, no período noturno, e dois aos sábados pela manhã. Nas aulas realizadas nas quintas-feiras, ocorre a explicação do conteúdo pela professora e a realização das avaliações. Aos sábados, os estudantes resolvem os exercícios sob orientação da professora da disciplina. Os encontros realizados aos sábados, num total de nove, são distribuídos ao longo do semestre sem regularidade temporal.

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A coleta de dados foi realizada durante todos os encontros de sábado, do segundo semestre do ano de 2014. Os sete estudantes que aceitaram colaborar com a pesquisa foram acompanhados durante a resolução dos exercícios. Desse modo, os dados consistem nas produções desenvolvidas pelos estudantes (exercícios e avaliações). A coleta ocorreu por meio de gravações de áudio, registros escritos e fotográficos. Os registros foram realizados durante as conversas dos estudantes com a professora da disciplina ou com a própria pesquisadora. Nesses momentos, solicitávamos que explicassem suas resoluções. As gravações em áudio foram transcritas.

2.1 OS PRIMEIROS CONTATOS

No primeiro momento, solicitamos autorização para realizar a pesquisa na faculdade. Fomos muito bem recebidos pela coordenação e direção. Após a autorização concedida para a realização da pesquisa na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, conversamos com a professora da turma que também não se opôs à pesquisa, e sempre apoiou e ajudou no que fosse necessário. No primeiro dia de coleta de dados, a professora nos apresentou como estudante de um curso de Pós-Graduação (Mestrado) que iria desenvolver uma pesquisa com aqueles que aceitassem participar.

Inicialmente, os estudantes resistiram, não aceitaram. Então, explicamos o objeto de investigação, finalidade da pesquisa e perguntamos quem aceitaria participar. Apenas dois concordaram. Reforçamos, com ajuda da professora, a relevância da pesquisa para a educação matemática escolar e, finalmente, sete estudantes aceitaram colaborar.

O início da coleta de dados foi difícil devido à resistência dos estudantes. Eles tentavam ocultar suas produções, quando percebiam que haviam errado, apagavam rapidamente. Além disso, ao conversar conosco sobre o raciocínio utilizado, falavam com tom de voz muito baixo, o que prejudicava a captação do áudio. O processo de conquista foi se dando conforme os dias passavam. Reforçamos, por várias vezes, em conversas individuais, o processo de pesquisa. Até que chegou o momento em que eles não se incomodavam mais com nossa presença. Inclusive, em alguns momentos da resolução dos exercícios, em vez de pedir