Escoamento Bifásico Gás-Líquido

Neste trabalho serão adotados os conceitos de escoamento multifásico em tubos para o estudo de bombas centrífugas operando com mistura gás-líquido. A terminologia que será adotada é baseada naquela proposta por Shoham (2006) e Rosa (2012). As variáveis de interesse do escoamento bifásico gás-líquido são estabelecidas por parâmetros dimensionais e adimensionais, muitos dos quais serão utilizados no decorrer deste trabalho e cujas definições são apresentadas a seguir. Os subscritos 𝐿 e 𝐺 representam a fase líquido e gás, respectivamente. Todas as variáveis são expressas em Sistema Internacional de unidades.

A vazão mássica da mistura gás-líquido 𝑚̇_𝑀 é definida como a soma da vazão mássica das fases, assim:

𝑚̇𝑀 = 𝑚̇𝐿+ 𝑚̇𝐺 _(2.30)

onde 𝑚̇𝐿 e 𝑚̇𝐺 são as vazões mássicas do líquido e do gás, respectivamente. A vazão volumétrica da mistura 𝑞_𝑀 é definida como:

𝑞𝑀 = 𝑞𝐿+ 𝑞𝐺 _(2.31) Sendo que: 𝑞_𝐿 =𝑚̇𝐿 𝜌_𝐿 ; 𝑞𝐺 = 𝑚̇𝐺 𝜌_𝐺 (2.32)

onde 𝑞𝐿 e 𝑞𝐺 são as vazões volumétricas do líquido e do gás, respectivamente; e 𝜌𝐿 e 𝜌𝐺 são as massas específicas do líquido e do gás, respectivamente. No caso do estudo de bombas centrífugas, as massas específicas das fases são calculadas nas condições de temperatura e pressão da sucção.

As velocidades superficiais do líquido 𝑉𝑆𝐿 e do gás 𝑉𝑆𝐺 são definidas como sendo a vazão volumétrica da fase dividida pela área da seção transversal do tubo, conforme Equação (2.33). Fisicamente, 𝑉_𝑆𝐿 e 𝑉_𝑆𝐺 representam a velocidade média que cada fase teria se escoasse sozinha na tubulação.

𝑉_𝑆𝐿 = 𝑞𝐿

𝐴_𝑡 ; 𝑉𝑆𝐺 = 𝑞𝐺

𝐴_𝑡 (2.33)

onde 𝐴_𝑡 é a área da seção transversal ao escoamento.

A velocidade da mistura 𝑉_𝑀 é dada pela soma das velocidades superficiais de cada fase, assim:

𝑉_𝑀 = 𝑉_𝑆𝐿+ 𝑉_𝑆𝐺

(2.34) A fração de vazio 𝛼 é uma propriedade estatística do escoamento, medida localmente e que representa a probabilidade de existência de uma dada fase em um certo ponto no campo de escoamento. Em abordagens unidimensionais, a fração de vazio do gás 𝛼_𝐺 é definida como a razão entre a área transversal ocupada pelo gás e a área da seção transversal ao escoamento.

𝛼_𝐺 =𝐴𝐺 𝐴𝑡

= 1 −𝐴𝐿

𝐴𝑡 (2.35)

onde 𝐴𝐺 é a área ocupada pelo gás e 𝐴𝐿 é a área remanescente ocupada pelo líquido. De forma análoga para o líquido, tem-se 𝛼_𝐿:

𝛼𝐿 = 𝐴_𝐿

𝐴𝑡 (2.36)

A soma das frações de cada fase, ou a soma da probabilidade de ocorrência das fases deve ser unitária, portanto:

𝛼_𝐺+ 𝛼_𝐿 = 1

(2.37) A velocidade média local de cada fase é definida por:

𝑉_𝐿 = 𝑞𝐿 𝐴𝐿

; 𝑉_𝐺 = 𝑞𝐺

𝐴𝐺 (2.38)

Essas velocidades, também, podem ser escritas em função das velocidades superficiais e fração de vazio, assim:

𝑉_𝐿 = 𝑉𝑆𝐿

𝛼_𝐿 ; 𝑉𝐺 = 𝑉_𝑆𝐺

Essas são as velocidades médias reais das fases líquido e gás, que são maiores que as velocidades superficiais.

Para escoamentos bifásicos em tubos verticais ou inclinados ascendentes, a fase menos densa e/ou menos viscosa tende a escoar com maior velocidade. Em escoamentos gás- líquido, o gás escoa mais rápido que o líquido exceto em escoamentos descendentes. A diferença entre as velocidades locais das fases resulta no escorregamento de uma fase em relação a outra (Govier e Aziz, 1972). A velocidade de escorregamento 𝑉_{𝑆𝐿𝐼𝑃} (slip velocity) entre as fases é dada por:

𝑉𝑆𝐿𝐼𝑃 = 𝑉𝐺− 𝑉𝐿 _(2.40)

Alguns escoamentos bifásicos apresentam um arranjo topológico coerente com os princípios de uma mistura homogênea. Esses escoamentos são chamados de homogêneos, e idealmente, não apresentam escorregamento entre as fases. Portanto, a velocidade da fase líquida é igual à velocidade da fase gasosa. De modo geral, essa condição é válida para o escoamento de pequenas bolhas dispersas carregadas por uma fase líquida continua que ocorre comumente em escoamentos com elevadas vazões de líquido.

Para escoamentos homogêneos podemos reescrever as Equações (2.35) e (2.36), considerando 𝑉_𝐺 = 𝑉_𝐿. Isto é: 𝛼_𝐺 =𝐴𝐺 𝐴_𝑡 = 𝐴𝐺𝑉𝐺 (𝐴𝐺+ 𝐴𝐿)𝑉𝐺 = 𝑞𝐺 𝑞_𝐺 + 𝑞_𝐿 = 𝜆𝐺 𝛼_𝐿 = 𝐴𝐿 𝐴_𝑡 = 𝐴𝐿𝑉𝐿 (𝐴𝐺+ 𝐴𝐿)𝑉𝐿 = 𝑞𝐿 𝑞_𝐺 + 𝑞_𝐿 = 𝜆𝐿 (2.41)

onde 𝜆_𝐺 e 𝜆_𝐿 são conhecidas como frações homogêneas de gás e líquido, respectivamente. A velocidade de deslizamento (drift velocity) das fases é definida como sendo a velocidade relativa a um referencial que se move com a velocidade do centro de volume da mistura. O termo deslizamento significa a magnitude do desvio da velocidade da fase em relação a velocidade da mistura 𝑉_𝑀. Assim:

𝑉𝐷𝐿 = 𝑉𝐿− 𝑉𝑀 ; 𝑉𝐷𝐺 = 𝑉𝐺 − 𝑉𝑀 _(2.42)

onde 𝑉𝐷𝐿 e 𝑉𝐷𝐺 representam as velocidades de deslizamento das fases líquido e gás, respectivamente.

A velocidade de deslizamento superficial das fases (drift flux), ou velocidade de difusão da mistura, é outro importante parâmetro em escoamentos bifásicos que tem origem na diferença de velocidade entre as fases. As velocidades de deslizamento superficiais para o líquido e o gás são definidas por:

𝐽𝐿 = 𝛼𝐿(𝑉𝐿− 𝑉𝑀) ; 𝐽𝐺 = 𝛼𝐺(𝑉𝐺 − 𝑉𝑀) _(2.43)

onde 𝐽_𝐿 e 𝐽_𝐺 representam as velocidades de deslizamento superficial das fases líquido e gás, respectivamente.

2.1.2.1 Modelo de Deslizamento (Drift-Flux)

O modelo de deslizamento ou Drift-Flux Model foi proposto originalmente por Zuber e Findlay (1965). Esse modelo cinemático considera o deslizamento e a não uniformidade de distribuição das fases na seção transversal da tubulação. A formulação do modelo de deslizamento parte da representação local das variáveis do escoamento, seguido do processo de média. O valor médio de uma variável 𝜓 na área da seção transversal 𝐴 do tubo é definido por (Rosa, 2012):

〈𝜓〉 = 1

𝐴∫ 𝜓_𝐴 𝑑𝐴 (2.44)

onde 〈𝜓〉 representa a média da variável 𝜓 na área transversal do tubo.

Outra definição fundamental para o desenvolvimento do modelo de deslizamento é o processo de média ponderada pela concentração da fase na seção transversal. A média da propriedade 𝑓 da fase 𝑘 ponderada pela fração de vazio 𝛼_𝑘 desta fase, representada por 〈𝑓_𝑘〉𝛼_, é definida por: 〈𝑓𝑘〉𝛼 = 1 𝐴 ∫ 𝛼_𝐴 𝑘𝑓𝑘 𝑑𝐴 1 𝐴 ∫ 𝛼_𝐴 𝑘 𝑑𝐴 (2.45)

Aplicando a definição de média a Equação (2.45), tem-se:

〈𝑓𝑘〉𝛼=

〈𝛼𝑘𝑓𝑘〉

O processo de média pode ser aplicado em ambos lados da Equação (2.42), resultando na velocidade de deslizamento média ponderada pela fração da fase 𝑘. Considerando-se a fase gás, tem-se:

〈𝑉𝐷𝐺〉𝛼= 〈𝑉𝐺〉𝛼− 〈𝑉𝑀〉𝛼 _(2.47)

onde 〈𝑉_𝐷𝐺〉𝛼 _{é a velocidade de deslizamento média ponderada do gás, 〈𝑉}

𝐺〉𝛼 é a velocidade média ponderada do gás e 〈𝑉_𝑀〉𝛼 _{é a velocidade média ponderada da mistura.}

As velocidades médias ponderadas 〈𝑉𝐺〉𝛼 e 〈𝑉𝑀〉𝛼 podem ser calculadas aplicando- se a definição da Equação (2.46). Isto é:

〈𝑉𝐺〉𝛼= 〈𝛼𝐺𝑉𝐺〉 〈𝛼𝐺〉 = 〈𝑉𝑆𝐺〉 〈𝛼𝐺〉 (2.48) 〈𝑉𝑀〉𝛼 = 〈𝛼𝐺𝑉𝑀〉 〈𝛼𝐺〉 (2.49)

Substituindo as Equações (2.48) e (2.49) na Equação (2.47), tem-se:

〈𝑉𝐷𝐺〉𝛼= 〈𝑉𝑆𝐺〉

〈𝛼𝐺〉

−〈𝛼𝐺𝑉𝑀〉

〈𝛼𝐺〉 (2.50)

Introduzindo o parâmetro de distribuição 𝐶0 chega-se a: 〈𝑉𝑆𝐺〉 〈𝛼𝐺〉 = 𝐶₀〈𝑉𝑀〉 + 〈𝑉𝐷𝐺〉𝛼 _(2.51) sendo: 𝐶₀ = 〈𝛼𝐺𝑉𝑀〉 〈𝛼𝐺〉〈𝑉𝑀〉 (2.52)

O parâmetro de distribuição 𝐶0 é introduzido devido à Equação (2.50) possuir uma média de um produto. É conveniente expressar essa equação por meio do produto das médias em vez de média de produtos, o que é feito introduzindo o 𝐶₀. O parâmetro de distribuição 𝐶₀ depende, exclusivamente, do perfil de 𝛼_𝐺 e 𝑉_𝑀 na seção transversal.

Zuber e Findlay (1965) verificaram, experimentalmente, que 𝐶₀ e 〈𝑉_𝐷𝐺〉𝛼 _eram constantes para os padrões bolhas e intermitente no escoamento vertical. Para o escoamento em bolhas, tem-se: 𝐶₀ = 1,2 − 0,2√𝜌𝐺 𝜌_𝐿 (2.53) 〈𝑉𝐷𝐺〉𝛼 = 1,53 [ 𝑔(𝜌𝐿− 𝜌𝐺)𝜎 𝜌_𝐿2 ] 0,25 (2.54)

onde 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝜎 é a tensão superficial.

Para o escoamento intermitente vertical 𝐶₀ = 1,2 e 〈𝑉_𝐷𝐺〉𝛼 _{é dado por:}

〈𝑉𝐷𝐺〉𝛼 = 0,35 [ 𝑔𝐷_𝑇(𝜌_𝐿− 𝜌_𝐺)𝜎 𝜌𝐿 ] 0,5 (2.55)

onde 𝐷𝑇 é o diâmetro da tubulação.

2.1.3 Desempenho de BCSs Operando com Mistura Bifásica Gás-Líquido