3.2.1 Conceituação
Nessa seção são apresentados, de forma sucinta, os conceitos básicos de estabilidade a pequenas perturbações, necessários ao entendimento desse capítulo. No Apêndice A são apresentados os principais aspectos sobre este tópico de uma forma mais aprofundada (incluindo as formulações matemáticas que foram utilizadas neste trabalho). Optou-se pela inclusão através de um apêndice por se tratar de um tema difundido na literatura.
A Estabilidade a Pequenas Perturbações (ou a Pequenos Sinais) corresponde à habilidade do SEP em manter-se em sincronismo depois de uma pequena perturbação (de carga ou geração). A análise desse tipo de estabilidade é realizada utilizando-se equações linearizadas considerando-se um determinado ponto de operação (KUNDUR, 1994).
3.2.2 Modelagem Dinâmica do Sistema Elétrico de Potência
A dinâmica de um SEP pode ser descrita por um conjunto de equações não lineares algébricas e diferenciais conforme apresentado a seguir:
58
𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑧, 𝑢 (3.1)
0 = 𝑔 𝑥, 𝑧, 𝑢 (3.2)
𝑦 = 𝑥, 𝑧, 𝑢 (3.3)
em que 𝑥 ∈ ℜ𝑛 é o vetor de variáveis de estado, 𝑧 ∈ ℜ𝑚 é o vetor de variáveis algébricas, 𝑢 ∈ ℜ𝑝 é o vetor de variáveis de entrada do sistema e 𝑦 ∈ ℜ𝑞 é o vetor de variáveis de
saídas. A equação (3.1) denota as equações diferenciais associadas aos geradores, controladores, cargas e dispositivos dinâmicos. A equação (3.2) corresponde às equações algébricas que definem o sistema de transmissão. As equações que definem as variáveis de saída do sistema (potência elétrica, corrente elétrica, frequência, tensão nas barras, etc) são dadas em (3.3).
As equações anteriores podem ser linearizadas em torno de um ponto de equilíbrio 𝑥0, 𝑧0, 𝑢0 e, após manipulações algébricas para a eliminação das variáveis 𝑧, tem-se um novo sistema de equações definido em (3.4)14.
𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (3.4)
em que 𝐴 é a matriz de estados (𝑛 x 𝑛), 𝐵 é a matriz de entrada (𝑛 x 𝑝), 𝐶 é a matriz de saídas (𝑞 x 𝑛) e 𝐷 é a matriz de transmissão direta (𝑞 x 𝑝).
As matrizes 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 representam o sistema linearizado em torno de um ponto de equilíbrio, na forma de espaço de estados e no domínio do tempo.
Conforme apresentado no Apêndice A, as técnicas de Análise Modal são empregadas para a análise da estabilidade a pequenas perturbações. A estabilidade do sistema pode ser avaliada a partir dos autovalores da matriz de estados 𝐴. Cada autovalor 𝜆𝑖 possui autovetores
à direita (𝜙𝑖) e a esquerda (𝜓𝑖) (vide seção A.6 do Apêndice A).
Também denominados de mode-shapes, os autovetores à direita 𝜙𝑖 fornecem
informações importantes na participação de uma máquina ou grupo de máquinas em um modo de oscilação específico. Por exemplo, quando se estuda os desvios de velocidade do rotor Δ𝜔 de todos os geradores, e concentramos a atenção no comportamento de determinado modo de oscilação, tem-se o que se denomina mode-shape de velocidade.
14
Considerando as equações linearizadas, uma notação matematicamente rigorosa seria: 𝛥𝑥 𝑡 = 𝐴𝛥𝑥 𝑡 + 𝐵𝛥𝑢 𝑡 e 𝛥𝑦 𝑡 = 𝐶𝛥𝑥 𝑡 + 𝐷𝛥𝑢 𝑡 . Entretanto, por questões de simplicidade o índice 𝛥 será desconsiderado e a indicação do domínio do tempo 𝑡 será omitida.
59
Um autovalor complexo 𝜆𝑖 é um número com parte real e imaginária conforme a equação (3.5). Cada autovalor está associado a um determinado modo de oscilação e possui um fator de amortecimento 𝜉𝑖 e uma frequência de oscilação 𝑓𝑖, conforme apresentado na
equação (3.6) e (3.7). 𝜆𝑖 = 𝜎𝑖+ 𝑗𝜔𝑖 (3.5) 𝜉𝑖 = − 𝜎𝑖 𝜎𝑖2+ 𝜔 𝑖 2 (3.6) 𝑓𝑖 = 𝜔𝑖 2𝜋 (3.7) 3.2.3 Modos de Oscilação
Cada autovalor 𝜆𝑖 corresponde a um modo de oscilação específico. A natureza do modos de oscilação (eletromecânico, excitação, etc) pode ser identificada através dos fatores de participação definidos no Apêndice A. Quando os maiores fatores de participação relativos a um modo 𝜆𝑖 estão associados aos ângulos dos geradores e velocidades angulares, diz-se que
o modo é de natureza eletromecânica. Caso contrário, se estiverem associados às tensões internas e tensões de campo, diz-se que o modo de oscilação é de excitação.
Os modos de oscilação podem ser avaliados de acordo com a frequência de oscilação 𝑓𝑖 (PAL e CHAUDHURI, 2005): intra-planta, local, inter-área, modos de controle e modos
torsionais.
Abaixo são descritos os modos de interesse dessa tese:
modos intra-planta (2 a 3 Hz): um ou mais geradores oscilam contra outro de uma mesma planta;
modos locais (1 a 2 Hz): um gerador (ou grupo de geradores) oscila contra o resto do sistema. Também é caracterizado como um modo local as oscilações entre unidades geradoras pertencentes à mesma área do sistema;
modos inter-área (0,1 a 0,7 Hz): são observados quando um grupo de geradores localizados em uma área oscila contra outro grupo de geradores localizados em outra área do sistema.
60 3.2.4 Torques de Sincronismo e de Amortecimento
Na ocorrência de um distúrbio, alguns geradores irão acelerar ou desacelerar, devido ao desequilíbrio entre os torques elétrico e mecânico nas máquinas síncronas. O torque elétrico total desenvolvido pela máquina pode ser decomposto em duas parcelas: o torque de sincronização Δ𝑇𝑠= 𝐾𝑠. Δδ (em fase com o desvio angular) e o torque de amortecimento
Δ𝑇𝑑 = 𝐾𝑑. Δω (em fase com o desvio de velocidade), conforme a equação (3.8).
Δ𝑇𝑒 = 𝐾𝑠. Δδ + 𝐾𝑑. Δω (3.8)
Na equação (3.8) 𝐾𝑠 é referido como coeficiente de torque sincronizante e 𝐾𝑑 é referido como coeficiente de torque de amortecimento. Para que ocorra a estabilidade é necessário que ambos os coeficientes de torque sejam positivos:
a) A ausência de torque de amortecimento conduz a um problema de instabilidade oscilatória, sendo solucionado com o uso de estabilizadores de sistemas de potência;
b) A ausência de torque sincronizante conduz a um problema de instabilidade monotônica (aperiódica).
No passado, com o objetivo de reforçar os torques de sincronização e melhorar a estabilidade transitória dos sistemas elétricos, foram empregados os sistemas de excitação estáticos de alto ganho e baixa constante de tempo. Entretanto, os altos ganhos dos sistemas de excitação deterioraram os torques de amortecimento nos geradores síncronos (DEMELLO e CONCORDIA, 1969).
Nesse contexto, em (DEMELLO e CONCORDIA, 1969) foi proposto o uso de Estabilizadores de Sistemas de Potência - ESP (Power System Stabilizer- PSS) com o objetivo de se inserir torque de amortecimento para amortecer as oscilações. Naquela publicação, os estabilizadores consistiam de um controlador com blocos de ganho e de compensação de fase cuja entrada era a velocidade angular do gerador e a saída do controlador era um sinal de tensão a ser inserido na entrada do sistema de excitação (tensão de referência). Dessa forma, a função do PSS é modular a tensão de referência do sistema de excitação visando o amortecimento de oscilações eletromecânicas (ROGERS, 2000).
61