Nessa seção são apresentados alguns requisitos que devem ser observados durante a fase de projeto dos controladores de amortecimento para sistemas de potência.
3.4.1 Ganho Nulo em Regime Permanente
O ganho nulo em regime permanente para os controladores de amortecimento é um requisito que deve ser atendido para evitar que os controladores atuem após o amortecimento das oscilações (OLIVEIRA, 2006). Caso ocorra a atuação do controlador em regime permanente, a tensão de referência do regulador de tensão será modificada. Uma forma de garantir o ganho nulo em regime permanente é a inclusão de um filtro denominado washout na função de transferência do estabilizador conforme apresentado na equação (3.9).
𝑊𝑎𝑠 𝑠 = 𝑠. 𝑇𝑤 1 + 𝑠. 𝑇𝑤
(3.9)
A escolha do valor da constante de tempo 𝑇𝑤 não é crítica e pode ser feita conforme
indicado em (KUNDUR, 1994; PAL e CHAUDHURI, 2005): 1 a 2 segundos para amortecimento de modos locais e 10 a 20 segundos para o amortecimento de modos inter- área.
3.4.2 Realimentação Dinâmica de Saídas
De forma geral, o projeto de controladores considerando realimentação pode ser feito considerando a seguinte classificação:
i. realimentação de estados ou de saídas; ii. realimentação estática ou dinâmica.
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O projeto de controladores utilizando a realimentação de estados necessita que todos os estados do sistema estejam disponíveis (por medição ou estimação), o que não é viável em plantas de grande porte como os sistemas elétricos de potência. Umas das desvantagens é que deve-se projetar controladores cuja ordem é igual a da planta.
Nesse contexto, a realimentação utilizando as variáveis de saída (variáveis mensuráveis) do modelo de espaço de estados é a mais empregada.
A realimentação de saída pode ser estática ou dinâmica. A realimentação estática de saídas consiste em determinar um ganho estático para estabilizar o sistema, o que é, em muitos casos, insuficiente para a estabilização.
Dessa forma, utiliza-se a realimentação dinâmica de saídas que, de forma geral, pode ser entendida como uma associação entre estágios de ganho e de compensação de fase. Essa abordagem é a mais robusta, pois acompanha as variações de frequência do sistema. Adicionalmente, nas aplicações práticas (DILL, 2013), empregam-se controladores cuja ordem é menor que a da planta.
Os controladores cuja ordem é menor que a da planta possuem uma vantagem em relação à implementação prática. Em contrapartida, conforme verificado na literatura (TROFINO, 2000), o projeto de tais controladores utilizando-se métodos de controle robusto (ou moderno) corresponde a um problema de otimização não convexo de difícil solução.
3.4.3 Esforço do Controle
O problema do projeto de controladores visando a estabilização do SEP pode ser entendido como encontrar um controlador que mova os pólos (autovalores) para o semi-plano esquerdo complexo. Adicionalmente, quanto mais distante os pólos estiverem do eixo imaginário, mais rápida será a resposta transitória.
O projeto de controladores visando mover os pólos para uma posição mais distante do eixo imaginário pode ser feito considerando a minimização da abscissa espectral (BURKE, LEWIS e OVERTON, 2002; DILL, 2013). A abscissa espectral é definida como sendo a maior parte real de todos os autovalores da matriz de estados em malha fechada (que considera a planta e o controlador). Nesse caso, pode-se dizer que os pólos (ou modos ou autovalores) estão sendo acelerados (TROFINO, 2000).
A energia despendida pelo controlador para acelerar os modos do sistema pode ser interpretada como o esforço do controle. Quanto maior a distância entre os modos e o eixo
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imaginário, maior será o esforço realizado pelo controlador. Nesse sentido, deve-se encontrar um compromisso entre o esforço do controle e a aceleração dos modos de oscilação, tendo em vista a melhoria da resposta transitória.
Na teoria de controle, a minimização do esforço de controle está associada à minimização da norma 𝐻2 (PAL e CHAUDHURI, 2005), "definida como a energia de saída de um sistema em resposta a um distúrbio na entrada desse". De forma geral, ganhos baixos para o controlador estão associados a um esforço de controle reduzido.
A norma 𝐻2 pode ser alternativamente definida como a energia da resposta ao impulso, que é a energia do sinal da saída. Dessa forma, a norma 𝐻2 só é definida para sistemas estáveis (sistemas instáveis apresentam resposta impulsiva infinita) (TROFINO, 2000).
A seguir é apresentada uma formulação matemática da norma 𝐻2. Entretanto, o leitor interessado em uma formulação matemática mais formal e rigorosa deve verificar a referência (PAL e CHAUDHURI, 2005).
Considere uma matriz de transferência do sistema 𝐺𝐻 𝑠 em malha fechada. A norma 𝐻2 do sistema 𝐺𝐻 2 é definida como apresentado na equação (3.10).
𝐺𝐻 2 =∆ 1 2𝜋. 𝑇𝑟𝑎ç𝑜 𝐺𝐻 𝑗𝜔 ∗. 𝐺𝐻 𝑗𝜔 . 𝑑𝜔 ∞ −∞ (3.10)
em que 𝐺𝐻 𝑗𝜔 ∗ denota a transposta conjugada da matriz 𝐺
𝐻 𝑗𝜔 e 𝑇𝑟𝑎ç𝑜 corresponde ao
traço de uma matriz, definido como a soma dos elementos da diagonal principal.
Na literatura existem várias formas de calcular computacionalmente a norma 𝐻2. As plataformas computacionais comumente usadas no projeto e análise de sistemas de controle, como o MATLAB®, possuem funções para o cálculo da norma 𝐻2.
3.4.4 Redução de Ordem
Um sistema elétrico de potência representado em espaço de estados, possui muitas variáveis de estados. Embora não seja um requisito a ser atendido em todas as metodologias de projeto, a redução de ordem do sistema possui vantagens e desvantagens (MOORE, 1981).
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i. no caso de metodologias que utilizem informações dos autovalores em malha fechada (como a otimização do fator de amortecimento nas metodologias baseadas em otimização paramétrica usando os algoritmos bioinspirados), calcula-se um número menor de autovalores, reduzindo o esforço computacional, como sugerido em (MARTINS, TARANTO e HAUER, 2000); ii. quando o objetivo é o amortecimento dos modos inter-área, pode-se usar um
modelo de ordem reduzida que capture somente as dinâmicas associadas à esses modos (SANCHEZ-GASCA e CHOW, 1996);
iii. no caso de metodologias baseadas em controle robusto (ou moderno) que serão definidas adiante (como LMIs), a redução de ordem permite a obtenção de controladores de ordem reduzida (DILL, 2013). No caso de outras metodologias baseadas em controle robusto (como LQR) as técnicas de redução de ordem permitem maior facilidade na determinação das matrizes de pesos (DOTTA, 2009);
Como desvantagem da redução de ordem da planta, pode-se perder informações importantes de alguns estados do sistema.