Estado do Conhecimento

Nesta subseção apresentamos a recontextualização pedagógica e a reprodução da Modelagem Matemática em duas teses (BRAGA, 2015; BRAZ, 2017) e cinco dissertações (ALVES, 2015; CORRÊA, 2017; LORIN, 2015; MENDES, 2018; SCHÜTZ, 2015) selecionadas conforme a descrição do APÊNDICE A. Alguns aspectos guiaram nossas observações iniciais, são eles: objetivos, concepção(ões) de Modelagem Matemática, teoria utilizada para análise e contexto de coleta/produção de dados. Esses aspectos são apresentados no Quadro 9. Em seguida, trazemos comentários sobre tal Quadro e relações entre os contextos dessas teses e dissertações e os conceitos de Basil Bernstein.

Aspectos Pesquisas Objetivos Concepção de Modelagem Matemática Teoria utilizada para análise Contexto de coleta/produção de dados Alves (2015)

“investigar saberes docentes para o desenvolvimento da Modelagem Matemática na Educação Básica mediante a

vivência de atividades envolvendo o conteúdo matemático de Função Afim”

(p. 21)

Barbosa (200147, 200448), mas adotou etapas

propostas por Biembengut e Hein (2013)49 (interação, matematização e modelo matemático) Tardif (2002)50, saberes necessários para um professor atuar na docência. Licenciandos/ licenciados que participaram do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) entre 2010 e 2015. Braga (2015) “compreender repercussões na aprendizagem pelas interações evidenciadas no ambiente de Modelagem Matemática na perspectiva da Teoria da Atividade de Engeström” (p. 23) Bassanezi (2012) Teoria da Atividade de Engeström Curso de Iniciação Científica, com licenciandos/ licenciados em Matemática Lorin (2015)

“Quais competências são requeridas ou são desenvolvidas

pelos alunos com o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática?” (p. 23) Almeida e Brito (2005)51, relacionada à Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica. Teoria Fundamentad a nos Dados (Grounded Theory) e Competência s de Modelagem Matemática, Maaβ (2006)52 Disciplina de Modelagem Matemática, com alunos do quarto semestre da Licenciatura em Matemática Schütz (2015)

“identificar contribuições que o desenvolvimento de projetos de Modelagem Matemática com o apoio de recursos tecnológicos

possibilitam no ensino e aprendizagem de conteúdos da disciplina de Métodos Matemáticos, do Curso de Matemática Licenciatura da UFSM” (p. 16) Bassanezi (2010)53 Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs) Disciplina de Métodos Matemáticos, da Licenciatura em Matemática Braz (2017)

“identificar e analisar nos processos de negociação de significados mantidos em uma

Barbosa (2004, 200354), Klüber e Burak (2008), Teoria Social da Aprendizage Disciplina de Modelagem Matemática

47 _{BARBOSA, J. C. Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros professores. 2001. 253 f.}

Tese (Doutorado) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.

48

BARBOSA, J. C. Modelagem matemática: O que é? Por quê? Como? Veritati, n. 4, p. 73-80, 2004.

49 _{BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: contexto, 2013.} 50 _{TARDIF, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 2002.}

51

ALMEIDA, L. W. BRITO, D. S. Atividades de modelagem matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir? Ciência & Educação, v. 11, n. 3, p. 483-498, 2005.

52 _{MAAβ, K. What are modelling competences? ZDM, vol. 38 (2), 2006.}

53 _{BASSANEZI, R. C. Ensino–aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo:}

Contexto, 2010.

54 _{BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim (RS), v. 27, n.98, p. 65-74,}

Comunidade de Prática constituída em uma disciplina de Modelagem Matemática de um curso de Licenciatura em

Matemática aprendizagens sobre Modelagem e as experiências que permitiram

suas ocorrências.” (p. 19) Caldeira e Soares (2008)55 m (desenvolvida na perspectiva da Educação Matemática) da Licenciatura em Matemática Corrêa (2017) “investigar se e como os acadêmicos do Curso de Matemática Licenciatura da UFSM mobilizam registros de

representação semiótica ao explorarem o conceito de volume de combustível em um cilindro por meio de atividades que seguem os princípios da modelagem matemática.” (p. 13) Biembengut e Hein (2003)56, relacionada à Modelagem Matemática como o processo envolvido na obtenção de um modelo Registros de Representaçã o Semiótica, Raymond Duval Disciplina de Educação Matemática II da Licenciatura em Matemática Mendes (2018)

“o que os signos interpretantes produzidos ou utilizados em

atividades de modelagem matemática nos permitem inferir

com relação ao conhecimento matemático dos estudantes” (p.

16) Almeida e Brito (2005)57 e Lesh et al. (2003)58, relacionada à sequência de atividades e Ärlebäck e Doerr (2015)59, relacionada à atividades de aplicação e exploração de modelos Semiótica peirceana Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I da Licenciatura em Matemática

Quadro 9: Objetivos, concepções, teorias e contextos de pesquisas que trataram da Modelagem Matemática na Licenciatura em Matemática

Fonte: arquivo pessoal.

Observamos que os objetivos das referidas teses e dissertações: recontextualizaram, referindo-se a termos, as teorias utilizadas em suas análises. Por exemplo, em seu objetivo Alves (2015) refere-se a saberes docentes; Lorin (2015), a competências; Braz (2017), a Comunidades de Prática, e; Mendes (2018), a signos interpretantes. Todas as pesquisas utilizaram o termo Modelagem Matemática em seus objetivos, mas não remeteram a concepção que as baseou. Diante disso, as pesquisas não iniciaram, em seus objetivos, a

55

CALDEIRA, A. D.; SOARES, M. T. C. Modelagem Matemática de fenômeno ambiental e as práticas escolares de professores das séries iniciais do litoral do Paraná. Periódico do Programa de Pós graduação em Educação da UCDB. n. 26, jul/dez. 2008.

56

BIEMBENGUT, M. S. HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2003.

57

Idem à Nota de Rodapé 56.

58 _{LESH, Richard; CRAMER, Kathleen; DOERR, Helen; POST, Thomas; ZAWOJEWSKI, Judith. Model}

Development Sequences. In: Richard Lesh & Helen Doerr, (Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching. Mahwah: Erlbaum, 2003.

59 _{ÄRLEBÄCK, Jonas; DOERR, Helen. Moving beyond a single modelling activity. In: Mathematical Modelling}

recontextualização pedagógica dessas concepções, que foram elaboradas no campo de produção da Educação Matemática.

Em relação às concepções de Modelagem Matemática assumidas pelas referidas pesquisas, destacamos a recorrência de estudos mais recentes (em relação a 2002) de Rodney Carlos Bassanezi. Também, Alves (2015) e Corrêa (2017) adotaram as etapas sugeridas por Biembengut e Hein (2003, 2013), sendo essas: Interação, Matematização e Modelo Matemático. Apesar de não discutidos nesta dissertação, Biembengut e Hein (2003, 2013) trazem uma concepção de Modelagem Matemática semelhante à de Rodney Carlos Bassanezi, ou seja, referem-se a essa tendência como processo de obtenção de modelos. Ainda, notamos que Alves (2015) e Mendes (2018) complementaram suas considerações sobre Modelagem Matemática com etapas definidas em estudos distintos dos que os basearam quanto às concepções. Como Jonei Cerqueira Barbosa defende que não se utilize procedimentos e esquemas prévios durante a resolução de problemas na Modelagem Matemática, consideramos que Alves (2015) recontextualizou essa concepção em sentido oposto a ela (CALADO, 2007; SILVA, M., 2009), transformando o texto de Jonei Cerqueira Barbosa durante as atividades que contaram com a participação de licenciandos/licenciados em Matemática.

Alves (2015), Braga (2015), Lorin (2015), Schütz (2015), Braz (2017), Corrêa (2017) e Mendes (2018) utilizaram distintas teorias em suas análises sobre Modelagem Matemática na Licenciatura em Matemática, mas nenhuma delas relacionada à Basil Bernstein. Alves (2015) e Braga (2015) foram as únicas pesquisas que não tiveram como contexto disciplinas da Licenciatura em Matemática. Dentre as demais, duas (MENDES, 2018; SCHÜTZ, 2015) tiveram, como contexto de coleta/produção de dados, disciplinas específicas, com objetivos ligados à matemática. Duas pesquisas (BRAZ, 2017; LORIN, 2015) tiveram como contexto a disciplina de Modelagem Matemática e Corrêa (2017) também coletou/produziu seus dados em uma disciplina cujos objetivos estão ligados ao ensino, à didática e à pedagogia.

A partir daqui, vinculamos contextos das teses e dissertações referidas no Quadro 9 a conceitos de Basil Bernstein. Buscamos considerar a explicitação inicial dos “projetos” ou “atividades” (no âmbito da Modelagem Matemática) apresentada nessas pesquisas, com a intenção de que, nessas explicitações, pudéssemos observar as relações entre professor formador (e/ou pesquisador) e licenciandos participantes, sem as resoluções dos licenciandos e as análises apresentadas nas referidas pesquisas. No entanto, Lorin (2015) e Mendes (2018) trouxeram explicitação inicial e resoluções concomitantemente, diante disso, aproveitamos

para observar a apropriação de regras de reconhecimento e realização nos textos produzidos pelos participantes dessas pesquisas.

Alves (2015) contou com a participação de seis licenciandos/licenciados em matemática, que tinham sido ou eram bolsistas do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência(PIBID) à época da coleta/produção de dados daquela dissertação. Esses licenciandos/licenciados responderam a um “questionário diagnóstico”. Alves (2015, p. 64) afirmou que, durante a aplicação desse questionário, “alguns questionamentos sobre o conceito de modelagem matemática e suas etapas no ensino vieram à tona, pois os pibidianos não apresentavam profundidade sobre o assunto. Mesmo assim, tratamos de não comentar qualquer questionamento e interferir nas respostas”. Diante disso, com relação aos conceitos de Basil Bernstein, consideramos que o valor da classificação na relação pesquisador participantes foi muito forte, pois houve uma separação entre a posição do pesquisador e a dos participantes, quando o primeiro não respondeu/comentou os questionamentos dos demais. Também, observamos um enquadramento muito forte da sequência, pois o pesquisador, ao não “interferir nas respostas”, não alterou a sequência do que havia planejado, mesmo que tenha havido uma intervenção dos licenciandos/licenciados, assim, o pesquisador controlou a prática pedagógica e, apresentou resistência à transformação do texto pedagógico do planejamento do ambiente de modelagem (SILVA, L., 2013). Em contra partida, na aplicação do questionário, ponderamos que o enquadramento dos critérios de avaliação foi muito fraco, pois, ao não “interferir nas respostas” dos participantes, o pesquisador não teve o controle sobre o texto que seria produzido.

Alves (2015) apresentou, também, duas “atividades” aos licenciandos/licenciados participantes. A primeira “atividade”, segundo Alves (2015), foi configurada conforme o Caso 1 (nota de rodapé 53), ou seja, o pesquisador apresentou a situação-problema e os dados para sua resolução). Dessa forma, ele teve maior controle sobre a seleção, o que, em termos de conceitos de Basil Bernstein, é caracterizado por enquadramento forte. Ao descrever a referida “atividade”, Alves (2015) utilizou as etapas propostas por Biembengut e Hein (2013) (nota de rodapé 54), ao invés dos termos situação-problema, escolha dos dados e resolução dos problemas trazidos por Jonei Cerqueira Barbosa. Assim, nessa descrição observamos que o pesquisador recontextualizou (BERNSTEIN, 1996), transformou, o texto que o guiou inicialmente, com a inserção de outro texto. Durante a “Atividade 1”, Alves (2015, p. 82) afirmou que o envolvimento do pesquisador “aconteceu de maneira mediadora em todos os momentos e provocadora em alguns períodos onde os pibidianos não conseguiam avançar nas ideias relativas ao desenvolvimento da modelagem”. Com base na teoria de Basil Bernstein,

isso pressupõe classificações e enquadramentos fracos, com uma relação próxima entre pesquisador e licenciandos/licenciados. No entanto, Alves (2015, p. 84) trouxe que, por meio dessas intervenções, os participantes construíram modelos matemáticos que representavam a situação proposta. Diante disso, consideramos que pode ter havido um maior controle do pesquisador em relação à construção desses modelos, ou seja, um enquadramento forte dos critérios de avaliação.

A “Atividade 2” ocorreu de forma semelhante à “Atividade 1”, a diferença foi que Alves (2015) caracterizou a segunda “atividade” como Caso 2 (BARBOSA, 2004) (nota de rodapé 53), já que os participantes levaram “de suas casas informações necessárias envolvendo as potências dos aparelhos e equipamentos elétricos a fim de mensurar a consumo energético” (ALVES, 2015, p. 100). Dessa forma, os licenciandos/licenciados participaram da coleta de dados (conforme sugerido por Jonei Cerqueira Barbosa para o referido Caso). Diante disso, eles tiveram certo controle sobre a seleção na “Atividade 2”, ou seja, com relação aos conceitos de Basil Bernstein, o enquadramento foi enfraquecido.

O contexto de Braga (2015), um curso de iniciação científica cujo tema foi Cálculo e Modelagem Matemática, teve a participação de vinte e três licenciandos/licenciados (dez no grupo da manhã e treze no grupo da tarde). Esse curso ocorreu no Laboratório Experimental de Modelagem Matemática (LEMM), criado e operacionalizado pela pesquisadora e, que, segundo ela,

difere do ensino tradicional, bem como da dinâmica de sala de aula normal, pois não existe um currículo prévio a ser cumprido. Além disso os alunos participam das atividades por opção, ou seja, os alunos não são “forçados” a agir e nem buscam pontuação em alguma disciplina (BRAGA, 2015, p. 58-59)

Diante disso, e dos conceitos de Basil Bernstein, consideramos que no LEMM o enquadramento da seleção e da sequência seria, pois a pesquisadora poderia ter como foco apenas a recontextualização pedagógica, propiciando mais controle aos participantes, já que o discurso pedagógico oficial (DPO), dado pelo currículo prévio, não seria um regulamento. Ainda, a relação entre pesquisadora e participantes, no LEMM, poderia ser dada por classificações e enquadramentos fracos, em vista da participação ser opcional e de não haver pontuações em disciplinas (consideramos que essas pontuações são um instrumento de poder professor).

Dentro dos grupos manhã e tarde, os participantes formaram subgrupos. Segundo Braga (2015), o curso, planejado igualmente para os dois grupos, teve três etapas. Na primeira, a pesquisadora entregou aos participantes uma receita de bolo de caneca e, cada subgrupo fez um bolo. A partir disso, os licenciandos participantes elaboraram problemas e

buscaram respostas. Segundo Braga (2015, p. 62), “a segunda etapa do curso consistiu em apresentar diversas temáticas que poderiam ser utilizadas para fazer Modelagem Matemática e a partir do interesse dos alunos pelos temas propostos, os grupos seriam formados”. Já na terceira etapa, os participantes, nos subgrupos já formados, escolheram temas livres para “fazer Modelagem Matemática”.

Na primeira etapa apresentada por Braga (2015), a pesquisadora forneceu aos licenciandos/licenciados o tema, os ingredientes para o bolo e materiais (como termômetros), assim o enquadramento foi forte na seleção. Na segunda etapa, a pesquisadora ofereceu a todos os participantes uma lista de temas, “considerando o fato de que seus desmembramentos estivessem relacionados com o espaço de aprendizagem LEMM, bem como alguns estivessem relacionados com questões atuais da sociedade” (BRAGA, 2015, p. 73), para que eles escolhessem um. Assim, consideramos que o controle da pesquisadora diminuiu em relação à primeira etapa. E, em termos bernstenianos, houve um enfraquecimento do enquadramento, mas esse continuou forte, já que os licenciandos/licenciados deveriam escolher um item da lista que foi elaborada pela pesquisadora.

Na terceira etapa, segundo Braga (2015), os participantes escolheram um tema livre. Diante disso, ponderamos que o enquadramento da seleção foi mais enfraquecido em relação às demais etapas, sendo que os participantes tiveram o controle sobre a seleção. Braga (2015, p. 74) trouxe que “a escolha do tema livre foi bastante trabalhosa, pois os alunos não tinham um referencial, um ponto de partida e por isso trocavam de temas diversas vezes por motivos variados”. Com relação a essa escolha, observamos que o enfraquecimento do enquadramento trouxe inseguranças, não só para os professores/pesquisadores, mas também para os alunos/participantes, que podiam estar acostumados com o controle por parte do professor.

Braga (2015, p. 67) afirmou que “ao final de cada etapa do curso, [...], os alunos produziam relatórios do processo de Modelagem Matemática por eles desenvolvido. Bem como apresentavam suas problematizações e decisões no formato de seminário para os outros alunos participantes do curso”. Diante disso, consideramos que houve controle da pesquisadora sobre a sequência (enquadramento forte), já que ela programou para o fim de cada etapa a produção de relatórios e a apresentação. No entanto, observamos uma união entre as categorias pesquisadora e participantes, classificação fraca com relação aos conceitos de Basil Bernstein, quando os licenciados tomaram o papel de “transmissores”, apresentando suas problematizações e decisões aos colegas.

Lorin (2015) desenvolveu sua coleta/produção de dados na disciplina de Modelagem Matemática da Licenciatura em Matemática de uma universidade federal do Paraná, contando

com a participação de doze licenciandos. Ela analisou quatorze encontros, nos quais foram desenvolvidas seis “atividades” de Modelagem Matemática, “introduzidas gradativamente, de acordo com os três momentos de familiarização, com o intuito de promover a familiarização dos alunos com esse tipo de atividade” (LORIN, 2015, p. 40). Sobre familiarização, Lorin (2015) teve como referência Almeida, Silva e Vertuan(2012)60, que trouxeram três momentos nos quais observamos que o controle do professor vai diminuindo e as decisões (sobre situação-problema, coleta e análise de dados, escolha de variáveis e de conceitos matemáticos, obtenção e validação do modelo, análise da situação e comunicação da investigação) vão sendo compartilhadas com os alunos, ou seja, em cada um desses momentos há um enfraquecimento do enquadramento com relação ao momento anterior.

No primeiro momento, três “atividades” foram desenvolvidas pela professora da disciplina, sendo observadas pela pesquisadora. Nessas “atividades”, a professora escolheu os temas e, ela e os licenciandos “definiram conjuntamente as variáveis e hipóteses, fizeram as simplificações necessárias, realizaram obtenção e validação dos modelos matemáticos correspondentes aos problemas propostos, bem como as análises de cada um dos modelos” (LORIN, 2015, p. 41). No segundo momento, a professora desenvolveu duas atividades e a pesquisadora uma. Nessas “atividades”, os temas foram propostos por elas, e os licenciandos tomaram as demais decisões. No terceiro momento, os licenciandos, divididos em grupos, escolheram o tema e desenvolveram “atividades” de Modelagem Matemática. Ponderamos que, entre os três momentos apresentados por Lorin (2015), ocorreu um enfraquecimento do enquadramento, principalmente diante da escolha dos temas. No Quadro 10 trazemos “atividades” apresentadas por Lorin (2015) e a seguir as relacionamos aos conceitos de regras de reconhecimento e realização de Basil Bernstein.

60 _{ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na educação básica. São}

Primeiro Momento, apresentado pela professora da disciplina Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 83 apud LORIN,

2015, p. 48)

Segundo Momento, apresentado pela professora da disciplina. Fonte: Lorin (2015, p. 54)

Terceiro momento, apresentado por um grupo de alunos Fonte: Lorin (2015, p. 59)

Terceiro momento, apresentado por outro grupo de alunos

Fonte: Lorin (2015, p. 62-63) Quadro 10: Momentos analisados por Lorin (2015)

Fonte: Adaptado de Lorin (2015).

Observamos que a professora da disciplina (que Lorin (2015) teve como contexto) apresentou o tema aos licenciandos (no primeiro e segundo momentos) com um título, três

parágrafos de texto escrito – contendo informações sobre o tema – e, uma ou duas tabelas com dados numéricos. Um dos grupos (representado na primeira coluna do Quadro 10) apresentou o tema que escolheu para o terceiro momento exatamente como a professora. Consideramos que nesse grupo os licenciandos reconheceram a apresentação do tema feita pela professora e realizaram a apresentação do seu tema conforme esse reconhecimento. Dessa forma, em relação aos conceitos de Basil Bernstein, dizemos que eles haviam se apropriado, no contexto das aulas com Modelagem Matemática que participaram, de regras de reconhecimento e realização para a apresentação do tema. Já o outro grupo (segunda coluna do Quadro 10), recontextualizou a apresentação dos dados numéricos feita pela professora, ao invés de duas tabelas, o grupo utilizou dois gráficos. Assim, consideramos que os alunos, quando têm determinado controle sobre a prática pedagógica (no caso de Lorin (2015) sobre a escolha e apresentação do tema) podem, assim como o professor, recontextualizar pedagogicamente algumas formas de apresentação, sem que possamos afirmar que eles não haviam se apropriado de regras de reconhecimento e realização.

A coleta/produção de dados de Schütz (2015) ocorreu na disciplina de Métodos Matemáticos da Licenciatura em Matemática de uma universidade federal do Rio Grande do Sul. Essa disciplina foi criada por meio de uma reformulação das disciplinas de Cálculo Numérico A e Equações Diferenciais Ordinárias A, daquela universidade. O envolvimento com a Modelagem Matemática, pelos oito licenciandos participantes, deu-se por meio do “projeto” final da disciplina. O tema desse projeto foi escolhido pelos licenciandos, então pressupomos que eles tivessem certo controle em relação aos seus projetos, enfraquecendo o enquadramento. No entanto, Schütz (2015) salientou que os projetos propostos pelos licenciandos teriam que contemplar o máximo possível de conteúdos da disciplina (Métodos Matemáticos). Em relação a isso, observamos um fortalecimento do enquadramento quanto à seleção dos conceitos de matemática utilizados nos projetos de Modelagem Matemática. Sobre a contemplação dos conteúdos, Schütz (2015, p. 45) afirmou que os licenciandos ficaram apreensivos e, diante disso, “foi esclarecido que inicialmente fossem pensando em temas (assuntos) que gostariam de investigar e não propriamente nos conteúdos envolvidos para a sua resolução, pois a professora os auxiliaria quanto a possibilidade ou não de explorá- los”. No trecho referenciado, observamos (de início) um enfraquecimento da classificação, com relação à preocupação da professora da disciplina sobre a apreensão dos licenciandos e com a oferta de auxílio. No entanto, “quanto a possibilidade ou não de explorá-los”, vinda sob orientação da professora, ponderamos que a classificação foi forte, pois pareceu ser da

professora (por sua posição) a escolha final do tema, o que fortaleceu também o enquadramento da seleção.

Schütz (2015, p. 45) trouxe que, para que os licenciandos compreendessem a Modelagem Matemática e escolhessem seus temas, foram indicadas referências bibliográficas, não discutidas nas aulas. Isso nos dá indícios em relação ao controle dos licenciandos sobre quais das referências estudar, em qual ordem e ritmo, e que aspectos considerar mais importantes. Diante disso, no estudo sobre Modelagem Matemática indicado em Schütz (2015), consideramos que o enquadramento foi fraco. Quanto aos prazos, que definiram o ritmo do desenvolvimento dos projetos, Schütz (2015, p. 45) trouxe que “como os alunos estavam demorando para se definir quanto ao tema, a professora estipulou um prazo para que entregassem as propostas de temas para serem analisadas e discutidas entre o grupo, a professora e a pesquisadora”, consideramos que isso indica um enquadramento fraco do ritmo, com prazos definidos a partir da ação (ou falta dela) dos licenciandos. Sobre o prazo de entrega dos projetos, Schütz (2015) o justificou pelo período de fechamento das notas das disciplinas, segundo o calendário acadêmico da universidade. Diante disso, tendemos a