Modelos

Barbosa (2001b, p. 2), citando outro autor45, trouxe a seguinte definição para modelo matemático: “é quase sempre um sistema de equações ou inequações algébricas, diferenciais, integrais, etc., obtido através de relações estabelecidas entre as variáveis consideradas essenciais ao fenômeno sobre análise”. Porém, ele criticou a Modelagem Matemática na Educação Matemática como construção desses modelos, dizendo que isso leva a algumas incoerências, já que, segundo ele, “os propósitos, a dinâmica do trabalho e a natureza das discussões matemáticas” (BARBOSA, 2001b, p. 2) diferem entre o contexto escolar e o trabalho dos Matemáticos Aplicados. Após tais considerações, Barbosa (2001b, p. 5-6) afirmou que, em sua concepção de Modelagem Matemática, não há garantia da

presença de um modelo matemático propriamente dito na abordagem dos alunos. Somente a análise dos caminhos seguidos na resolução pode nos falar sobre sua ocorrência; eles podem desenvolver encaminhamentos que não passem pela construção de um modelo matemático.

Já Barbosa (2008, p. 48) apresentou uma definição de modelo mais coerente com a concepção de Modelagem Matemática do autor. Sobre modelos feitos pelos alunos, ele afirmou que:

toda representação matemática da situação, por escrito, é chamada de modelo matemático. Esta noção é propositalmente ampla e inclusiva, agendando a intenção

45 _{BASSANEZI, R. Modeling as a teaching-learning strategy. For the learning of mathematics, Vancouver, v. 14,}

de capturar as diferentes formas que os alunos representam uma determinada situação, independente de sua capacidade de descrição, generalização e prescrição.

Ainda sobre o modelo na sala de aula, Barbosa (2008, p. 48) adicionou que “podemos também reconhecer como modelo matemático qualquer outro tipo registro matemático escrito que se refira à situação-problema, como as operações matemáticas básicas”. Em relação ao uso de modelos pela sociedade, o referido autor afirmou que eles atuam como instrumentos de poder e propôs que os alunos analisem criticamente tais modelos.

O objetivo de Barbosa (2009b) foi analisar o papel dos modelos matemáticos na educação científica. Ele afirmou que se interessa pelo modelo como representação (ou simbolização) de algo e, mais especificamente, pelos modelos matemáticos. Segundo Barbosa (2009b, p. 70-71) os modelos matemáticos são “aqueles que empregam símbolos matemáticos, sejam tabelas, gráficos, equações, inequações, etc., ou, em outras palavras, empregam conceitos, notações e/ou procedimentos matemáticos”. Também, ele apresentou uma classificação dos modelos matemáticos (baseada na finalidade do uso desses) que, segundo ele, não esgota as possibilidades. Nela, os modelos foram divididos em: modelo matemático como justificativa, “utilizado para sustentar a introdução de um conceito novo” (BARBOSA, 2009b, p. 80); modelo matemático como definição, visto como um conceito a ser dominado, e; modelo matemático como estruturante, que tem como fim ordenar informações e fazer previsões.

No entanto, para Barbosa (2009b, p. 82), a educação científica (da qual faz parte a Matemática e, por conseguinte, a Modelagem Matemática) “deve abordar os modelos matemáticos de uma maneira mais problemática, expondo seus enviesamentos. Não se trata apenas de mostrar aos alunos o papel da matemática nos constructos científicos, mas também o de fazer a critica sobre tal processo”.

Barbosa (2009a) afirmou que, por meio dos modelos matemáticos, a matemática tem um papel importante na sociedade. Segundo o autor, tais modelos “subsidiam a tomada de decisões em diversas situações.” (BARBOSA, 2009a, p. 2). Como nos dois artigos anteriores (BARBOSA, 2008, 2009b), Barbosa (2009a, p. 2) sublinhou que “a produção de modelos matemáticos não é um processo neutro”, que “conforme a escolha que fizermos, teremos um modelo diferente para o fenômeno” e, “que o interesse de quem está construindo o modelo pode jogar um papel crucial na escolha das variáveis e no estabelecimento das hipóteses na abordagem da situação”. Em relação a isso, interessou ao autor que os alunos observassem a natureza e o papel dos modelos matemáticos e tivessem discussões reflexivas, ou seja, que relacionassem “os critérios utilizados na construção de um modelo matemático e seus resultados.” (BARBOSA, 2009a, p. 9)

Bassanezi (2002, p. 19) considerou modelo como a representação de um sistema e afirmou que os modelos são utilizados “quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela”. Ele definiu modelo matemático como “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado.” (BASSANEZI, 2002, p. 20). E, diferente de Barbosa (2008, 2009a, 2009b), Bassanezi (2002, p. 20, grifo nosso) afirmou que:

a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas.

Outra diferença que observamos com relação às considerações sobre modelos matemáticos, apresentadas pelos dois pesquisadores, consiste na classificação desses modelos, sendo que a de Bassanezi (2002) foi motivada pelo tipo de matemática utilizada. Para Bassanezi (2002, p. 20-22), o modelo matemático pode ser: linear ou não linear, em vista das equações que o compõe; estático ou dinâmico, por representar a forma de um objeto ou uma variação, respectivamente; educacional ou aplicativo, sendo que o primeiro visa servir de base para construção do segundo, e; estocástico ou determinístico, respectivamente, um supõe prever precisamente e o outro utiliza probabilidades.

Segundo Bassanezi (2002), a construção de um modelo adequado a situação que se pretende estudar pode necessitar do desenvolvimento de um novo ramo da matemática ou de diferentes formas de abordá-la. Ainda assim, Bassanezi (2002, p. 31) afirmou que “nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre pode ser melhorado, e agora poderíamos dizer que um bom modelo é aquele que propicia a formulação de novos modelos”. Ele também afirmou que “um modelo parcial pode atender às necessidades imediatas de um pesquisador mesmo que não comporte todas as variáveis que influenciam na dinâmica do fenômeno estudado” (BASSANEZI, 2002, p. 31). Relacionamos tais afirmações à proximidade do autor com a Matemática Aplicada e com o afirmado por Klüber (2012, p. 233-234):

assumir a Ciência como um processo cumulativo e natural solicita uma compreensão como essa; de que o estudo evolutivo, que mostra que cada novo modelo é melhor que o anterior, é a principal característica de um processo de modelagem matemática não importando se isso se faz no âmbito da pesquisa ou do ensino e da aprendizagem.

Para Burak (2010, p. 23), “modelo pode ser entendido como uma representação, e dessa forma contempla e engloba além dos modelos matemáticos e outros como uma lista de supermercado, a planta de uma casa entre outros”. Em relação à utilidade dos modelos, de acordo com Burak (2010, p. 23, grifo nosso), eles “podem ser construídos para expressar uma

situação que enseja novos elementos ou alguma situação para a qual não se tem, ou não se conhece um modelo”.

Na concepção de Modelagem Matemática apresentada por Burak (2010, p. 23) “o trabalho com os modelos matemáticos, [...] não constitui prioridade”. Sendo que, na Educação Básica, “a maioria dos conteúdos trabalhados, [...], vale-se de modelos já prontos: funções, equações lineares ou quadráticas, fórmulas das áreas de figuras planas e espaciais”. Também sobre a relação dos modelos com os níveis de escolaridade, Burak (2017, p. 20, grifo nosso) afirmou que:

[...] a construção de um modelo matemático [...] não é prioridade quando as práticas ocorrem na Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental, pois neste período da formação das crianças há que ensiná-las a construir conceitos mais do que se apropriar de fórmulas e realizar matematizações que pelo nível de abstração exigido, não lhes são significativas.

Nessa afirmação pudemos notar que o autor rejeita os modelos quando os relaciona a fórmulas, matematizações e abstrações. Com relação a isso ele traz, formalmente, na sequência do artigo, as mesmas definições de modelo que Burak (2010) e esclarece que se pode

[...] construir modelos simples quando, em dada situação, houver necessidade de trazer novos elementos para a o contexto em estudo. Há que considerar o ferramental matemático construído pelo estudante nessa fase da escolarização [Educação Básica]. Um modelo simples, que reproduza as características do fenômeno estudado, mesmo com uma matemática elementar, é suficiente para esclarecer melhor uma determinada situação. (BURAK, 2017, p. 21)

Quanto aos modelos, mesmo que os três autores os tenham definido como representação, também observamos diferenças entre as concepções de Modelagem Matemática apresentadas nesta dissertação. Elas ocorrem em relação à obrigatoriedade e à finalidade do uso dos modelos e estão sintetizadas no Quadro 7. As ideias de Jonei Cerqueira Barbosa e Dionísio Burak parecem estar mais próximas, pois eles não priorizam a construção de um modelo matemático e aceitam o uso ou análise de modelos já prontos. Já na concepção de Rodney Carlos Bassanezi, o foco é o processo de construção dos modelos.

Na Modelagem

Matemática Modelos

Definição Representação

Construção Sim Não garantida ou não é prioridade

Focos (quando presentes)

Nos seus processos de construção

Na sua relação com níveis/fases de

escolaridade

Nas análises críticas de suas construções e

resultados

Concepções Bassanezi (2002) Burak (2010, 2017) Barbosa (2001b,

2009a, 2009b)

Quadro 7: Modelos nas diferentes concepções de Modelagem Matemática. Fonte: arquivo pessoal.