Estima¸c˜ ao dos parˆ ametros de um modelo de variograma

riograma

O conjunto de estimativas pontuais do variograma, cuja obten¸cão foi descrita na seçcão anterior, não é suficiente para traduzir a estrutura de dependência de um processo geoestat´ıstico, uma vez que n˜_{ao tem dom´ınio em R}d, e que nem sempre é condicionalmente definido negativo. Assim, para se obter uma estimativa válida do variograma, é ne- cessário ajustar um modelo paramétrico que seja adequado às estimativas pontuais encontradas.

A escolha do modelo de variograma que melhor se ajusta à estrutura de dependência revelada pelas observa¸cões do processo, não é uma tarefa fácil, uma vez que o conjunto de variogramas válidos é bastante vasto. O procedimento mais utilizado na prática, consiste em escolher, com base em conhecimentos emp´ıricos, uma fam´ılia de modelos do conjunto de todos os variogramas paramétricos válidos

{2γ : 2γ(h) = 2γ(h; θ); h ∈ Rd_{, θ ∈ Θ}.}

Actualmente existem alguns m´etodos estat´ısticos que podem ajudar o investigador no

processo de selec¸c˜ao do modelo de variograma. Como exemplo, Gorsich e Genton

(2000) propuseram uma metodologia de escolha do modelo de variograma com base na compara¸cão de derivadas. Na opinião desses autores, os modelos de variograma diferem muito pouco entre si – o que difere, significativamente, é a derivada de cada uma das

fun¸c˜oes 2γ, de acordo com os modelos. Consequentemente, esses autores defendem

que o modelo de variograma que é mais adequado ao processo em estudo, é aquele cuja derivada se aproxima mais da estimativa da derivada do modelo, a qual se obtém usando a estimativa não paramétrica encontrada na primeira etapa de estima¸cão. Por outro lado, Maglione e Diblasi (2001) desenvolveram um teste para decidir se um

determinado modelo de variograma ´e adequado para modelar um dado processo em

estudo.

Depois de se ter escolhido uma fam´ılia de variogramas, estimam-se os parâmetros de modo a que a fun¸cão variograma se aproxime o mais poss´ıvel das estimativas pontuais do variograma, as quais foram obtidas na primeira etapa do processo de estima¸cão.

Por outras palavras, determina-se ˆθ ∈ Θ que faz com que 2γ(h; ˆθ) optimize o critério de ajustamento escolhido. Existem diversos critérios de ajustamento, com base nos quais se encontram os estimadores mais utilizados, de entre os quais se salientam a máxima verosimilhan¸ca e os m´ınimos quadrados. Seguidamente apresentam-se os cor- respondentes métodos de estima¸cão.

2.2.1 M´etodo da m´axima verosimilhan¸ca

O estimador de máxima verosimilhan¸ca é obtido, em geral, supondo a distribui¸cão normal de Z(s). Admitindo a estacionaridade da média e que as observa¸cões são provenientes de uma distribui¸cão normal multivariada, com matriz de covariâncias Σ(θ), i.e., que Z = (Z(s1), ..., Z(sn)) ∼ N (µ, Σ(θ)), então o logaritmo da fun¸cão de

verosimilhan¸ca vem expresso por log L(θ) = −n 2 log(2π) − 1 2log(det(Σ(θ))) + 1 2(Z − µ) T_Σ(θ)−1 (Z − µ),

onde det(Σ(θ)) representa o determinante da matriz Σ(θ). O estimador de m´axima

verosimilhan¸ca, ˆθM L, obt´em-se determinando o valor θ ∈ Θ que maximiza a fun¸c˜ao

log L(θ).

Repare-se que as estimativas pontuais do variograma não entram no processo de maximiza¸cão da fun¸cão de verosimilhan¸ca. De facto, de acordo com este método, tais estimativas apenas contribuem para seleccionar o modelo de variograma mais adequado.

Embora os estimadores de m´axima verosimilhan¸ca tenham boas propriedades em

geral, também têm algumas desvantagens. Para além de ser necessário pressupor o co- nhecimento da distribui¸cão do processo, verifica-se que ˆθM Lé um estimador enviesado,

como se pode ver em Cressie (1993).

Por estes motivos, o método da máxima verosimilhan¸ca é menos utilizado do que, por exemplo, o método dos m´ınimos quadrados e, por isso, não será considerado em detalhe no desenvolvimento deste trabalho.

2.2.2 M´etodo dos m´ınimos quadrados

O método de m´ınimos quadrados é intuitivo, está muito divulgado e impõe hipóteses pouco restritivas sobre as distribui¸cões das observa¸cões do processo. Por isso, não é de

admirar que seja um dos métodos mais utilizados nas aplica¸cões da Geoestat´ıstica. Considere-se um vector constitu´ıdo pelas estimativas pontuais do variograma, 2ˆγ = (2ˆγ(h1), ..., 2ˆγ(hH)), para H ∈ N, e um outro vector cujas componentes são definidas

por um modelo de variograma param´etrico v´alido, 2γ(θ) = (2γ(h1; θ), ..., 2γ(hH; θ)),

os quais foram obtidos nos mesmos pontos h1, ..., hH. O estimador de m´ınimos quadra-

dos ˆθLS é determinado pela solu¸cão θ ∈ Θ que minimiza uma expressão do tipo

(2ˆγ − 2γ(θ))TV−1(2ˆγ − 2γ(θ)), (2.2.1)

onde V representa a matriz de covariˆancias do estimador.

Se V for a matriz identidade de ordem H, ent˜ao ˆθLS corresponde ao estimador

de m´ınimos quadrados simples (denotado por OLS ); se V for uma matriz diagonal tal que vi = Var[2ˆγ(hi)], o crit´erio passa a ser designado por m´ınimos quadrados

ponderados (denotado por WLS ); finalmente, se V for uma matriz quadrada tal que vi,j = Cov[2ˆγ(hi), 2ˆγ(hj)], o estimador resultante ´e referido como estimador de m´ınimos

quadrados generalizados (denotado por GLS ).

Tendo em conta as caracter´ısticas do processo, a matriz V não é múltipla da identidade. Por isso, o estimador de OLS é desaconselhado, uma vez que não goza das propriedades que o tornam atractivo num cenário de observa¸cões i.i.d.. Por outro lado, não é poss´ıvel conhecer a matriz V, pois ela depende do próprio variograma que se pretende estimar.

No exemplo que se segue, particulariza-se o c´alculo de V para o caso do estimador de Matheron, supondo um processo Gaussiano.

Exemplo 2.2.1. Seja Z(s) um processo Gaussiano. A estacionaridade da m´edia garante que ∀s∈D∀h∈Rd Z(s + h) − Z(s) p2γ(h) ∼ N (0, 1), e, portanto, que ∀s∈D∀h∈Rd (Z(s + h) − Z(s))2 2γ(h) ∼ χ 2 1, (2.2.2) onde χ2

1 representa a distribui¸c˜ao do Qui-quadrado com um grau de liberdade.

Para facilitar a nota¸c˜ao, considere-se que hi,j = si − sj e represente-se por Ti,j =

Z(si) − Z(sj) o incremento do processo entre si e sj. Note-se, desde j´a, que por (2.2.2)

se sabe que T2

Calculando a variˆancia do estimador de Matheron apresentado em (2.1.1), para um qualquer vector hm tem-se que

Var[2ˆγ(hm)] = _{(#N (h}1 m))2Var h P N (hm)T 2 i,j i = _{(#N (h}1 m))2 P i,j P k,lCov[Ti.j2 , Tk.l2 ]. (2.2.3)

Contudo, ´e poss´ıvel verificar que as parcelas Cov[T2

i.j, Tk.l2 ] podem ser expressas em

termos da fun¸c˜ao 2γ. Para tal ´e preciso ter em conta um resultado simples, o qual pode ser encontrado, por exemplo, em Casella e Berger (2002). Esse resultado afirma que, se X ∼ N (µX, σX2), Y ∼ N (µY, σY2), Cov[X, Y ] = σX,Y, Var[X2] = σ_X22 e Var[Y2] = σ_Y22,

ent˜ao Cov[X2_{, Y}2_] σX2σ_Y2 = σ 2 X,Y σ2 XσY2 .

Sendo assim, tomando X = Ti,j e Y = Tk,l, facilmente se conclui que

Cov[T_i,j2 , T_k,l2 ] = r VarT2 i,j Var h T2 k,l i × Cov[Ti,j,Tk,l]2

Var[Ti,j]Var[Tk,l] =

√

8γ2(hi,j)8γ2(hk,l)Cov[Ti,j,Tk,l]2

2γ(hi,j)2γ(hk,l) = 2Cov[Ti,j, Tk,l]2

= 2[Cov[Z(si), Z(sk)] + Cov[Z(sj), Z(sl)] − Cov[Z(si), Z(sl)] − Cov[Z(sj), Z(sk)]]2

= 2[γ(hi,k) + γ(hj,l) − γ(hi,l) − γ(hj,k)]2.

Isto implica que as variâncias e covariâncias do estimador de Matheron dependem do próprio variograma. Então, a matriz V é dependente do próprio parâmetro θ que se pretende estimar. Para além disso, e como se pôde observar, mesmo para o estimador

de Matheron num processo Gaussiano, a forma da matriz V n˜ao ´e simples. Mais,

a inversão de V e a minimiza¸cão por GLS é, frequentemente, computacionalmente imposs´ıvel (vide Lahiri et al. (2002)).

♦ Tendo em vista ultrapassar a dificuldade de cálculo da matriz V, Cressie (1993) recomenda uma alternativa. A ideia é considerar que o estimador de WLS é um bom compromisso entre o OLS e o GLS no que diz respeito à eficiência/facilidade de cálculo. O autor sugere que os elementos da diagonal principal da matriz V sejam aproximados por

vm = Var[2ˆγ(hm)] ≈

2[2γ(hm; θ)]2

#N (hm)

Esta aproxima¸c˜ao resulta de (2.2.3), assumindo que os T2

i,jtˆem entre si uma covariˆancia

nula.

Apesar de Cressie defender o uso do WLS, Zimmerman e Zimmerman (1991) de-

senvolveram estudos emp´ıricos que indicam que o OLS e o WLS tˆem desempenhos

semelhantes, pelo que consideram desnecess´aria a utiliza¸c˜ao do WLS.

A Figura 2.2 representa um conjunto de curvas de acordo com um modelo esférico, as quais foram obtidas com as estimativas pontuais do semivariograma da Figura 2.1. Cada curva foi determinada através de um método de estima¸cão diferente. A linha a cheio representa a estimativa obtida por OLS, a curva a tracejado foi obtida utilizando WLS, com a aproxima¸cão de Cressie (1993) e, finalmente, a curva a ponteado foi obtida pelo método da máxima verosimilhan¸ca.

Figura 2.2: Representa¸cão das estimativas pontuais do semivariograma obtidas atra- vés do estimador de Matheron e dos semivariogramas do modelo esférico estimados por WLS, OLS e máxima verosimilhan¸ca.

E de salientar que, tal como verificaram Zimmerman e Zimmerman, as curvas o-

btidas por OLS e por WLS s˜ao bastante semelhantes, principalmente para valores

2.3 Propriedades assint´oticas dos estimadores do

No documento Métodos robustos em geoestatística (páginas 44-49)