O conjunto de estimativas pontuais do variograma, que ´e obtido atrav´es da amostra do processo Z(s), designa-se frequentemente por variograma emp´ırico. No seguimento, utilizar-se-´a essa designa¸c˜ao, quando o conjunto de estimativas pontuais do variograma for encarado como um instrumento de an´alise preliminar de dados.
Nesta sec¸c˜ao, apresenta-se um m´etodo de an´alise preliminar de dados, que per- mite fazer conjecturas sobre o variograma te´orico que melhor modela um determinado
conjunto de dados. Como foi visto no Cap´ıtulo 2, o variograma emp´ırico ´e uma
variograma emp´ırico que, posteriormente, se estimam os parˆametros desconhecidos do modelo de variograma escolhido.
Teoricamente, o variograma emp´ırico ´e encarado como sendo ´unico, ou seja, cada amostra concreta do processo Z(s) d´a origem a apenas um variograma emp´ırico. Mas isto s´o acontece, quando cada ponto do variograma emp´ırico ´e determinado exacta- mente pelas localiza¸c˜oes que est˜ao separadas pelo vector h ∈ Rd. Contudo, na grande
maioria das aplica¸c˜oes, o variograma emp´ırico n˜ao se obt´em exactamente deste modo, dado que ´e frequente encontrarem-se vectores que separam poucos pares de localiza¸c˜oes. Consequentemente, o variograma emp´ırico ´e determinado `a custa de regi˜oes de to- lerˆancia dos vectores h. Isto significa que, um ponto de um variograma emp´ırico ´e determinado por todos os pares de localiza¸c˜oes que est˜ao separadas por vectores que,
de algum modo, est˜ao pr´oximos de h. Por exemplo, em processos de variograma
isotr´opico, a proximidade ´e medida em termos de khk , como foi referido na sec¸c˜ao 2.1. A ideia que preside `a utiliza¸c˜ao de regi˜oes de tolerˆancia, resume-se a ter em conta que, se o vector si− sj est´a pr´oximo do vector s0i− s0j, ent˜ao os valores do variograma
nesses vectores, tamb´em devem ser pr´oximos entre si, i.e., 2γ(si − sj) ≈ 2γ(s0i− s 0 j).
Assim, ´e adequado e conveniente agrupar os vectores pr´oximos, para obter um dado ponto do variograma emp´ırico.
Uma das situa¸c˜oes em que se torna imprescind´ıvel a utiliza¸c˜ao de regi˜oes de tolerˆan- cia, ocorre quando as localiza¸c˜oes da amostra est˜ao dispostas de uma forma irregular. Nesse caso, ´e bastante frequente encontrarem-se vectores que separam apenas um par de localiza¸c˜oes, ou seja, existe apenas um par (si, sj) tal que si − sj = h. Por isso, o
variograma emp´ırico deve ser determinado atrav´es de regi˜oes de tolerˆancia.
Apesar das regi˜oes de tolerˆancia serem amplamente utilizadas na pr´atica, elas ge- ram alguma ambiguidade no variograma emp´ırico. Mais precisamente, cada regi˜ao de tolerˆancia considerada, d´a origem a um variograma emp´ırico diferente. A Figura 6.2 representa esta ambiguidade. Nela podem-se observar quatro variogramas emp´ıricos, que foram obtidos a partir da mesma amostra de um processo de variograma isotr´opico. Todos os variogramas emp´ıricos foram determinados pela express˜ao (2.1.1). A ´unica diferen¸ca de representa¸c˜ao para representa¸c˜ao, reside nas regi˜oes de tolerˆancia consi- deradas. ´E poss´ıvel verificar que, apesar dos quatro variogramas emp´ıricos exibirem
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Figura 6.2: Quatro variogramas emp´ıricos obtidos a partir da mesma amostra de um processo Z(s) de variograma isotr´opico, variando apenas as regi˜oes de tolerˆancia.
sensivelmente o mesmo tipo de padr˜ao, existe uma variabilidade diferente em cada um deles – compare-se, por exemplo, o do canto superior esquerdo com o do canto inferior direito da figura.
Surge assim a motiva¸c˜ao para considerar um conjunto de variogramas emp´ıricos que se podem obter a partir de uma amostra fixa, em vez de ter em conta apenas um variograma emp´ırico.
Considere-se assim o conjunto Ω de todos os variogramas emp´ıricos distintos, que podem ser obtidos a partir de uma amostra {Z(s1), ..., Z(sn)} do processo Z(s), vari-
ando apenas as regi˜oes de tolerˆancia consideradas. O conjunto Ω pode ser encarado como uma popula¸c˜ao de variogramas emp´ıricos da amostra {Z(s1), ..., Z(sn)}.
Tal como foi referido na sec¸c˜ao 2.1, ao construir as regi˜oes de tolerˆancia, h´a que ter em aten¸c˜ao alguns aspectos – as regi˜oes n˜ao devem ser muito pequenas, para evitar que incluam poucos incrementos do processo; tamb´em n˜ao devem ser muito grandes, pois perde-se informa¸c˜ao sobre a estrutura de dependˆencia presente dentro de cada regi˜ao, tornando o variograma emp´ırico mais grosseiro.
O processo usual de escolha do modelo de variograma, ´e baseado apenas num
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unico variograma emp´ırico de Ω. Mas, ´e poss´ıvel considerar uma amostra aleat´oria (2ˆγ1, ..., 2ˆγB) de variogramas emp´ıricos da popula¸c˜ao Ω e, a partir dessa amostra, fa-
zer conjecturas sobre o modelo de variograma adequado. Note-se que, no passado, esta abordagem teria sido invi´avel devido a dificuldades computacionais. No entanto, o desenvolvimento dos meios inform´aticos, criou condi¸c˜oes para que, actualmente, se explore esta via com grande facilidade.
A Figura 6.3 ilustra a sugest˜ao anteriormente apresentada. Nela pode-se visualizar o gr´afico obtido representando, simultaneamente, cinquenta variogramas emp´ıricos, cal- culados a partir da mesma amostra que foi utilizada para construir a Figura 6.2. Como se pode verificar, h´a vantagem em considerar uma amostra de variogramas emp´ıricos, pois evidencia melhor a estrutura de dependˆencia existente e facilita a posterior selec¸c˜ao do modelo de variograma.
Se o estimador usado para obter as estimativas pontuais do variograma for centrado, tal como ´e o estimador de Matheron, todos os variogramas emp´ıricos pertencentes `a popula¸c˜ao Ω tˆem valor esperado aproximadamente igual ao variograma do processo Z(s), isto ´e,
∀2ˆγ∈Ω∀h∈D2ˆγ E[2ˆγ(h)] ≈ 2γ(h),
onde D2ˆγ representa o conjunto dos vectores onde 2ˆγ foi determinado. Repare-se
que, todos os variogramas emp´ıricos da amostra aleat´oria (2ˆγ1, ..., 2ˆγB) s˜ao apenas
aproximadamente centrados, uma vez que as regi˜oes de tolerˆancia podem introduzir algum enviesamento nas estimativas pontuais.
O m´etodo de reamostrar m´ultiplos variogramas emp´ıricos a partir de uma ´unica amostra, tamb´em ´e ´util para obter uma aproxima¸c˜ao inicial para os parˆametros do modelo de variograma em quest˜ao. Para tal, deve-se utilizar um estimador robusto, por motivos j´a analisados na sec¸c˜ao 6.1. Assim, na constru¸c˜ao de cada variograma
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Figura 6.3: Cinquenta variogramas emp´ıricos obtidos atrav´es de (2.1.1), a partir da mesma amostra da Figura 6.2.
emp´ırico, recomenda-se, por exemplo, a utiliza¸c˜ao do estimador Qn de Genton. As
estimativas pontuais obtidas, revelam uma aproxima¸c˜ao inicial resistente, que ´e ´util para estimar os parˆametros do modelo de variograma.
Como se referiu, a obten¸c˜ao de m´ultiplos variogramas emp´ıricos facilita a escolha do modelo e a obten¸c˜ao de estimativas iniciais para os parˆametros desse modelo. No entanto, por raz˜oes que se explicam no seguimento, esse conjunto de variogramas pon- tuais, n˜ao deve ser utilizado como ponto de partida para a segunda etapa da estima¸c˜ao. De facto, caso se considerasse o conjunto formado por todos os pontos, obtidos com todos os diferentes variogramas emp´ıricos, ficar-se-ia com uma nuvem de pontos, a qual era constitu´ıda por observa¸c˜oes com uma estrutura de dependˆencia demasiado complexa – por um lado, os variogramas emp´ıricos s˜ao independentes entre si; mas por outro lado, cada variograma ´e constitu´ıdo por observa¸c˜oes correlacionadas. Desse modo, numa ´unica representa¸c˜ao, passariam a figurar observa¸c˜oes correlacionadas e n˜ao correlacionadas, sem distin¸c˜ao. Assim, n˜ao haveria garantias de que os m´etodos a usar na segunda fase de estima¸c˜ao, gozassem de boas propriedades.
Pelos motivos expostos, o m´etodo apresentado na presente sec¸c˜ao, n˜ao tem como objectivo a estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo de variograma. A sua utilidade reve- la-se numa fase inicial de an´alise preliminar de dados, quando se pretende investigar qual o modelo de variograma que ´e mais adequado, ou quando se pretende encontrar uma aproxima¸c˜ao inicial para os seus parˆametros.