O m´ etodo das projec¸c˜ oes - Um teste ` a estacionaridade da m´ edia

5.3 Um teste ` a estacionaridade da m´ edia

5.3.2 O m´ etodo das projec¸c˜ oes

Na presente subseçcão sugere-se a utiliza¸cão de um procedimento baseado em pro- jeçcões ortogonais, de modo a transformar as localiza¸cões das observa¸cões da amostra, que são multidimensionais, em números reais. A ideia fundamental deste método reside no facto de que, se existir uma tendência polinomial em Z(s), então existe pelo menos uma recta l onde, para qualquer localiza¸cão s ∈ l, a fun¸cão

g: _{l ⊂ R}2 −→ _R

s 7−→ g(s) = E[Z(s)]

e uma fun¸cão polinomial não constante. Assim, para averiguar se existe uma tendência polinomial num dado processo Z(s) (a partir de uma amostra {Z(s1), Z(s2), ..., Z(sn)}),

poder-se-ia testar, para todas as rectas definidas pelas localiza¸c˜oes {s1, s2, ..., sn} da

amostra, se a fun¸cão g é, ou não, uma fun¸cão polinomial não constante. No entanto, este procedimento não seria adequado, uma vez que o número de rectas definidas pelas localiza¸cões da amostra pode ser bastante grande e, para além disso, cada uma dessas rectas, geralmente, contém um número muito pequeno de localiza¸cões/observa¸cões, o que torna praticamente imposs´ıvel a realiza¸cão de qualquer teste.

Uma maneira de ultrapassar esta dificuldade consiste em agrupar todas as rectas que têm a mesma direçcão, numa única recta, à custa de projeçcões ortogonais. Este procedimento evita uma análise separada de cada uma das rectas e permite juntar um número elevado de observa¸cões por cada direçcão, por forma a que seja poss´ıvel efectuar um teste em cada uma das direçcões consideradas. A ideia é semelhante à de Cressie (1993) que foi apresentada na seçcão 5.3. No entanto, Cressie apenas considerou

projeçcões ortogonais na direçcão das linhas/colunas da grelha das localiza¸cões. Na metodologia que aqui se propõe, considera-se um conjunto de direçcões com interesse e faz-se uma projeçcão ortogonal em cada uma dessas direçcões. As projeçcões ortogonais vão permitir que se fa¸ca o teste à estacionaridade da média, em cada uma das direçcões pretendidas.

Para facilitar a apresenta¸cão do método das projeçcões, é necessário introduzir alguma nota¸cão. Assim, considere-se a direçcão do vector unitário ~e = h0/ kh0k ,

e denote-se por l~e uma recta representativa de todas as rectas com a direc¸c˜ao de

h0. Sejam x1, ..., xn os pontos obtidos através da projeçcão ortogonal das localiza¸cões

s1, ..., sn sobre a recta l~e e denotem-se por Zi as vari´aveis aleat´orias Z(si), para i =

1, ..., n.

A Figura 5.4 ilustra o método das projeçcões ao longo da direçcão do vector ~e. Do lado esquerdo da figura, é poss´ıvel visualizar a localiza¸cão si e a sua correspondente

projeçcão ortogonal xi sobre a recta l~e. Do lado direito da mesma figura, é poss´ıvel

ver como as projeçcões ortogonais das observa¸cões, dão origem a uma nova amostra, na qual se pode definir o modelo de regressão das observa¸cões Zi sobre as projeçcões

xi das localiza¸cões (i = 1, ..., n). A representa¸cão gráfica das projeçcões num diagrama

de dispersão também tem a vantagem de, numa análise preliminar, sugerir formas espec´ıficas para E[Z(s)].

Figura 5.4: Ilustra¸cão do método das projeçcões. Com as projeçcões ortogonais das localiza¸cões da amostra original sobre a recta l~e, forma-se uma nova amostra onde se

O conjunto dos pares ordenados {(x1, Z1), ..., (xn, Zn)} da nova amostra permite

testar se a fun¸cão g~e: R → R, que é definida por g~e(x) = E[Z(x)|x], é ou não uma

fun¸cão polinomial constante. Para cada direçcão fixa do vector ~e, é poss´ıvel efectuar esse teste recorrendo a um modelo de regressão linear, onde

g~e(x) = E[Z(x)|x] = β0+ p X k=1 βkxk, p ∈ N, (5.3.1) com Zi = β0+ p X k=1 βkxki + i e E[i|xi] = 0, para i = 1, ..., n.

O teste é efectuado testando o valor dos coeficientes do modelo de regressão, isto é, H0 : ∀k∈{1,...,p} βk= 0 vs H1 : ∃k∈{1,...,p} βk 6= 0. (5.3.2)

Se, em alguma das direçcões consideradas, existirem motivos para rejeitar a hipótese nula, então é porque a fun¸cão g~e(x) não é constante ao longo dessa direçcão. Isto

significa que existem pelo menos dois pontos si e sj pertencentes ao dom´ınio D, tais

que E[Z(si)] 6= E[Z(sj)], o que leva a concluir que o processo Z(s) n˜ao apresenta

estacionaridade da média. Se, por outro lado, a hipótese nula não for rejeitada em qualquer uma das direçcões consideradas, poder-se-á aceitar que o processo Z(s) apresenta estacionaridade da média. É de salientar que não interessa testar o parâmetro β0, uma vez que este não contribui para a existência (ou não) de tendência.

Como se supõe que as localiza¸cões da amostra do processo Z(s) são fixas, então as suas projeçcões ortogonais xi também o são. Como o processo Z(s) é considerado

m-dependente, ent˜ao as observa¸c˜oes Zi e, consequentemente, os erros i do modelo

de regressão, também o vão ser (i = 1, ..., n). Portanto, o método das projeçcões transforma o teste da estacionaridade da média, num conjunto de testes efectuados em modelos de regressão linear, com regressores fixos e erros m-dependentes. Sendo assim, o modelo de regressão linear caracterizado por (5.3.1) é idêntico ao do ponto (5.1.1), que foi considerado nas seçcões 5.1 e 5.2. Por isso, os estimadores apresentados nessas duas seçcões, podem ser utilizados para efectuar o teste (5.3.2).

Contudo, tal como se referiu anteriormente, as matrizes de covariâncias, quer dos estimadores-MM, quer do estimador LAD, são dif´ıceis de estimar através da metodologia tradicional, dada a estrutura de dependência revelada pelos erros do modelo. Deste modo, seguidamente apresenta-se uma metodologia bootstrap, baseada no método das

projeçcões, que permite aproximar a matriz de covariâncias de ˆβ_LAD e de ˆβ_{M M}. Como a metodologia é a mesma para ambos os estimadores, a partir de agora, ˆβ vai repre- sentar, quer ˆβ_LAD, quer ˆβ_{M M}.

A metodologia bootstrap que se utiliza para aproximar a matriz de covariâncias de ˆβ é a SFBB apresentada na seçcão 5.2 para aproximar a distribui¸cão assintótica dos estimadores-MM, sob condi¸cões de m-dependência. No entanto, para recorrer às projeçcões, existe uma etapa intermédia na sua aplica¸cão (em rela¸cão ao que foi descrito anteriormente). Logo, todos os argumentos que são válidos para justificar a utiliza¸cão da metodologia bootstrap SFBB da seçcão 5.2 vão permanecer válidos para esta seçcão. Assim, os blocos bootstrap continuam a ser formados com as observa¸cões do processo original Z(s), uma vez que são essas observa¸cões que revelam a estrutura de dependência original. Depois de formar um bloco de observa¸cões do processo original através da distância d0 definida em (5.2.1), tal como foi explicado na seçcão 5.2, utiliza-se o método das projeçcões para transformar esse bloco, num outro bloco formado por observa¸cões do modelo de regressão linear, tal como mostra a Figura 5.5.

Figura 5.5: Esquema da constru¸c˜ao dos blocos bootstrap.

Resumindo, depois de seleccionar aleatoriamente a observa¸cão s∗_j e de formar o bloco sobre a amostra original do processo Z(s), utiliza-se o método das projeçcões para obter o bloco associado, o qual é formado pelas observa¸cões (xi, Zi), onde xi é a

Z(si) da amostra de Z(s). Cada bloco ´e ent˜ao formado por

b∗_j = {(xi, Z(si)) : d0(s?j, si) ≤ L}. (5.3.3)

A metodologia bootstrap que se utiliza para aproximar a matriz de covariˆancias Vn

do estimador ˆβ, pode ser sumariada nos seguintes passos:

1. Escolhe-se, ao acaso, uma das localiza¸c˜oes {s1, s2, ..., sn} da grelha da amostra

original de Z(s) e denomina-se essa localiza¸c˜ao de s∗_j.

2. Com a localiza¸c˜ao s∗_j forma-se o bloco b∗_j = {(xi, Z(si)) : d0(s∗j, si) ≤ L, 0 < L ≤

m}, onde d0(si, sj) = maxk=1,2|si,k− sj,k|.

3. Para fixar o n´umero de observa¸c˜oes por bloco, consideram-se apenas blocos com no = maxj=1,...,nb{#b

∗

j} observa¸cões. Caso a observa¸cão seleccionada dê ori-

gem a um bloco com menos observa¸c˜oes do que no, ignora-se essa observa¸c˜ao

e selecciona-se outra.

4. Consideram-se blocos b∗_j sucessivos at´e se obter a amostra bootstrap (b∗₁, ..., b∗_n

b). O

número total de blocos nb é o menor inteiro que satisfaz a condi¸cão nb× no ≥ n.

5. A partir da amostra bootstrap obt´em-se uma r´eplica bootstrap ˆβ_k∗(b) do estimador ˆ

βk, para k = 1, ..., p.

6. Repetem-se os passos anteriores B vezes obtendo-se um conjunto de r´eplicas bootstrap ˆβ_k∗(1), ..., ˆβ_k∗(B)do estimador de βk, para k = 1, ..., p.

Como se referiu, em rela¸cão à seçcão 5.2, apenas foi alterado o passo número 2, por forma a incorporar o método das projeçcões.

Com as r´eplicas bootstrap ˆβ_k∗(1), ..., ˆβ_k∗(B)

, ´e poss´ıvel obter uma estimativa da matriz de covariˆancias do estimador ˆβ, Vn. Deste modo, para qualquer k = 1, ..., p e

l = 1, ..., p, o elemento da k-ésima linha e da l-ésima coluna de Vné dado por

b Vn[k, l] = dCov[ ˆβk, ˆβl] = 1 B B X j=1 ( ˆβ_k?(j)− ˆβk)( ˆβ ?(j) l − ˆβl). (5.3.4)

No caso particular de k ser igual a l, isto ´e, na diagonal principal da matriz bVn, en-

contram-se as estimativas da variˆancia dos estimadores ˆβk, as quais v˜ao ser denotadas

por ˆs2_ˆ

Deste modo, ficam reunidas as condi¸cões para que seja poss´ıvel aplicar os resultados estabelecidos nas seçcões 5.1 e 5.2, sobre a distribui¸cão assintótica do LAD e dos estimadores-MM. Então, o teste (5.3.2) pode ser efectuado recorrendo ao facto de

β−→ NL p(β, bVn). (5.3.5)

Note-se que, deste modo, a questão de testar a estacionaridade da média é recolo- cada no contexto de testes paramétricos em popula¸cões normais, o que facilita a sua aplica¸cão/divulga¸cão.

No documento Métodos robustos em geoestatística (páginas 106-111)