Metodologia

Tendo em conta os argumentos apresentados na sec¸c˜ao 6.1, para que o resultado fi- nal da estima¸c˜ao do variograma seja robusto, deve-se utilizar um estimador robusto logo na primeira etapa de estima¸c˜ao do variograma, quando se determina o conjunto das estimativas pontuais, qualquer que seja o m´etodo a utilizar na segunda etapa de estima¸c˜ao. Sendo assim, para que o estimador global do variograma tenha boas pro- priedades, quer no que toca `a robustez, quer no que diz respeito `a eficiˆencia em modelos normais, deve-se considerar um estimador pontual do variograma que seja simultanea- mente robusto e com boa eficiˆencia e, na segunda fase, um estimador dos parˆametros do modelo de variograma que seja o mais eficiente poss´ıvel.

118

O estimador pontual do variograma que melhor consegue conciliar boas proprieda- des de robustez com boa eficiˆencia em modelos normais ´e o estimador Qn de Genton,

como j´a foi referido na sec¸c˜ao 6.2. Sendo assim, considera-se que este ´e o estimador mais indicado para proceder `a estima¸c˜ao pontual do variograma (primeira etapa de estima¸c˜ao).

Por outro lado, em Lahiri et al. (2002) foi demonstrado que o m´etodo dos m´ınimos quadrados generalizados (GLS ) ´e o m´etodo mais eficiente para a estima¸c˜ao dos pa- rˆametros do modelo de variograma, assumindo a dependˆencia entre observa¸c˜oes de um processo Gaussiano. No entanto, em termos pr´aticos, o GLS ´e bastante dif´ıcil de implementar, mesmo quando se utiliza o estimador de Matheron na primeira etapa da estima¸c˜ao. As dificuldades surgem, porque a matriz de covariˆancias do estimador pontual do variograma depende do pr´oprio variograma que se est´a a estimar, e porque a forma dessa matriz ´e muito complicada, mesmo quando os modelos s˜ao normais. Isto torna imposs´ıvel a utiliza¸c˜ao dos GLS, principalmente quando as estimativas pontuais do variograma s˜ao obtidas atrav´es de um estimador robusto. Genton (1998b) refere que a matriz de covariˆancias do estimador Qn ´e imposs´ıvel de determinar analiticamente,

mesmo quando as observa¸c˜oes do processo s˜ao independentes. O m´etodo dos m´ultiplos variogramas vai permitir contornar a dificuldade de utiliza¸c˜ao dos GLS.

Uma das ideias fundamentais que estiveram na base da proposta do estimador de m´ultiplos variogramas foi sugerida pelo artigo de Lahiri et al. (2002). Nesse artigo, os autores mostram que, sob certas condi¸c˜oes de regularidade, o estimador GLS tem a mesma eficiˆencia assint´otica do que o estimador de m´ınimos quadrados pondera- dos (WLS ), ou do que o estimador de m´ınimos quadrados usuais (OLS ), desde que a estima¸c˜ao seja efectuada utilizando um n´umero de estimativas pontuais igual ao n´umero de parˆametros que se pretendem estimar no modelo de variograma. Por isso, desde que se tenha um estimador consistente do variograma na primeira etapa de es- tima¸c˜ao, calculado num n´umero de pontos igual ao n´umero de parˆametros do modelo de variograma, ent˜ao, `a medida que o n´umero de observa¸c˜oes da amostra aumenta, a utiliza¸c˜ao do OLS, do WLS ou do GLS, na segunda etapa, conduz `as mesmas pro- priedades assint´oticas do estimador global, uma vez que aqueles estimadores s˜ao todos assintoticamente eficientes.

Contudo, para que o estimador global do variograma tenha boas propriedades, n˜ao basta considerar um n´umero de estimativas pontuais (obtidas com um estimador ro- busto) igual ao n´umero de parˆametros desconhecidos do modelo e, de seguida, estimar os parˆametros do modelo por OLS. ´E preciso ter em conta que, quando se utiliza este m´etodo sem as devidas precau¸c˜oes, podem-se obter resultados muito pouco preci- sos. Repare-se que o n´umero de parˆametros desconhecidos do modelo de variograma ´

e bastante pequeno, normalmente na ordem dos trˆes parˆametros. Consequentemente, como o n´umero de estimativas pontuais do variograma tem que ser igual ao n´umero de parˆametros a estimar, v˜ao existir muito poucas observa¸c˜oes para estimar os parˆametros do modelo de variograma.

Uma das consequˆencias imediatas da existˆencia de poucas estimativas pontuais do variograma ´e a poss´ıvel falta de identificabilidade dos parˆametros do modelo. Isto quer dizer que, se as estimativas pontuais do variograma n˜ao satisfizerem algumas condi¸c˜oes de regularidade, a solu¸c˜ao de m´ınimos quadrados pode n˜ao ser ´unica. Por isso, ´e fundamental estabelecer condi¸c˜oes sobre as estimativas pontuais do variograma, para que a solu¸c˜ao de m´ınimos quadrados seja ´unica. Este tema vai ser desenvolvido na subsec¸c˜ao 6.4.2.

A poss´ıvel existˆencia de solu¸c˜oes m´ultiplas no m´etodo dos m´ınimos quadrados, n˜ao ´e o ´unico problema que pode ocorrer. De facto, no procedimento tradicional de estima¸c˜ao, ´e usual considerarem-se mais observa¸c˜oes do que parˆametros. Ao conside- rar tantas estimativas pontuais do variograma quanto os parˆametros, isso implica um aumento significativo da variabilidade dos estimadores de m´ınimos quadrados, princi- palmente quando a amostra do processo em estudo ´e pequena. Para al´em disso, quando h´a poucas estimativas pontuais do variograma, as estimativas de m´ınimos quadrados dependem muito dos vectores h onde se estimou pontualmente o variograma. A Figura 6.4 ilustra esta situa¸c˜ao, num processo de variograma isotr´opico. Pode-se verificar que as curvas estimadas dependem muito das normas de h, para as quais se obtiveram as estimativas pontuais do variograma.

Uma maneira de reduzir a variabilidade do estimador de m´ınimos quadrados sem

120

Figura 6.4: Diferentes estimativas do modelo de variograma em fun¸c˜ao da localiza¸c˜ao das estimativas pontuais.

disponibilize diversas estimativas dos parˆametros e, de entre elas, obter a estimativa final do variograma. ´E essa a ideia que se utiliza no desenvolvimento do m´etodo dos m´ultiplos variogramas.

Assim, na primeira etapa do m´etodo, estima-se pontualmente o variograma atrav´es

do estimador Qn de Genton. O n´umero de estimativas pontuais do variograma deve

ser igual ao n´umero de parˆametros do modelo de variograma que se pretende estimar. Os vectores onde se estima o variograma pontualmente devem ser escolhidos por forma a n˜ao causarem problemas de identificabilidade (vide subsec¸c˜ao 6.4.2).

Na segunda etapa, estimam-se os parˆametros do modelo de variograma atrav´es do estimador OLS que, no contexto do par´agrafo anterior, ´e assintoticamente eficiente.

Na terceira etapa do procedimento de m´ultiplos variogramas, constr´oi-se um con- junto de estimativas dos parˆametros do modelo, estimadas a partir da mesma amostra, mas variando os locais onde se obtˆem as estimativas pontuais do variograma. Note-se que o conjunto de estimativas dos parˆametros pode ser encarado como um conjunto de estimativas do variograma.

modelo de variograma, usam-se medidas centrais dessas estimativas (neste caso com o recurso `a mediana amostral), para definir a estimativa final do variograma.

Para concretizar as quatro fases do procedimento da estima¸c˜ao por m´ultiplos va- riogramas, considere-se o caso particular de um processo de variograma isotr´opico com os trˆes parˆametros usuais desconhecidos, nomeadamente, a amplitude, o patamar e o efeito de pepita.

Para que o m´etodo de OLS seja assintoticamente eficiente, na primeira etapa de estima¸c˜ao do variograma interessa obter trˆes estimativas pontuais. Por outro lado, para que o m´etodo de OLS n˜ao tenha solu¸c˜oes m´ultiplas, as estimativas pontuais do variograma devem satisfazer algumas condi¸c˜oes de regularidade (a ver detalhadamente na subsec¸c˜ao 6.4.2). As estimativas pontuais do variograma s˜ao determinadas atrav´es do estimador Qn de Genton, que ´e robusto e que tem boa eficiˆencia em modelos nor-

mais. Na segunda etapa, estimam-se os parˆametros do modelo de variograma atrav´es do m´etodo de OLS. Nestas condi¸c˜oes, o m´etodo de OLS ´e assintoticamente eficiente. Na terceira etapa, repetem-se as etapas anteriores variando os vectores onde se obtˆem as estimativas pontuais do variograma. Assim, obt´em-se um conjunto de estimativas {ˆθ1, ..., ˆθB} dos parˆametros do modelo de variograma, ou seja, obt´em-se um conjunto de

variogramas estimados a partir da mesma amostra de Z(s). Para concluir, determina-se o variograma central do conjunto que foi obtido. Esse variograma central, que ´e enca- rado como a estimativa final do variograma, ´e obtido pelas medianas das estimativas dos parˆametros, {ˆθ1, ..., ˆθB}.

Na subsec¸c˜ao 6.4.3 ´e apresentado um algoritmo de c´alculo das estimativas.