Exemplo - Uso e Actualiza¸c˜ao da Informa¸c˜ao

4.3 Uso e Actualiza¸c˜ao da Informa¸c˜ao

4.3.4 Exemplo

Observemos o pol´ıgono da Figura 4.18 (a). Temos Gs_{(p) = {v}

1, v14}. Para determinar a

parti¸cão induzida pelas seçcões vis´ıveis da pe¸ca p, introduzimos em p, para cada v ∈ Gs_(p),

os respectivos cortes partindo a pe¸ca. À medida que os cortes são adicionados é necessário actualizar a visibilidade. Isto é, a forma como cada uma das novas pe¸cas é vis´ıvel de cada vértice em Gs_{(p), se totalmente vis´ıvel ou se não vis´ıvel.}

p v3 v4 v1 v2 v5 v6 v7 v8 v9 v1 0 v 11 v1 2 v1 3 v1 4 v1 5 v1 6 v1 7 (a) (b) (c) v1 8

Figura 4.18: (a) A pe¸ca p ´e parcialmente vis´ıvel dos v´ertices v1 e v14. (b) Resultado da

introdu¸cão do corte que define a seçcão vis´ıvel de v1 e actualiza¸cão da visibilidade. (c)

Adi¸cão dos cortes originados pela seçcão vis´ıvel de v14 e actualiza¸cão da visibilidade. Uma

face do arranjo n˜ao fica vis´ıvel de nenhum v´ertice.

Na Figura 4.18 (b) é adicionado à pe¸ca o corte provocado pelo vértice v1, resultando duas

novas pe¸cas. A pe¸ca vis´ıvel de v1 é a que está à esquerda do corte introduzido. Na

Figura 4.18 (c) são inseridos os cortes relativos ao vértice v14. Da pe¸ca não vis´ıvel de v1

resultam duas novas pe¸cas e da pe¸ca vis´ıvel resultam três novas pe¸cas. O vértice v4 vê a

regi˜ao delimitada pelos cortes.

A conclusão que se retira é que a pe¸ca p é não vis´ıvel por seçcões. Isto porque uma das pe¸cas de Zp é invis´ıvel para todos os vértices em Gs(p). Nesta situa¸cão, a parti¸cão da

74 Determinac¸˜ao da Visibilidade Consideremos agora o exemplo da Figura 4.19. Neste caso, temos Gs_{(p) = {v}

1, v6, v16}. v3 v4 v2 v5 v7 v8 v9 v1 0 v11 v1 2 v1 3 v1 4 v1 5 v1 7 v1 8 v1 9 v2 0 p v1 v6 v1 6

Figura 4.19: A pe¸ca p ´e parcialmente vis´ıvel dos v´ertices v1, v6 e v14.

Constru´ımos a parti¸c˜ao Zp como a Figura 4.20 ilustra.

(a) (b) (c)

Figura 4.20: Actualiza¸cão do arranjo e da visibilidade por (a) introdu¸cão do corte provocado pelo vértice v1; (b) adi¸cão do corte originado pelo vértice v6; (c) inser¸cão do corte relativo

ao v´ertice v16.

Conclu´ımos que todas as pe¸cas resultantes s˜ao vis´ıveis dalgum v´ertice v em Gs_{(p), logo a}

Cap´ıtulo 5

Implementa¸c˜ao

Para avaliar o método proposto implementámos uma aplica¸cão com uma interface gráfica utilizando a linguagem Java e o ambiente de desenvolvimento Netbeans 4.11_{. Para a resolu-}

¸cão dos sucessivos sub-problemas de cobertura m´ınima, analisados no Cap´ıtulo 2, utilizámos os resolutores da biblioteca Choco (versão 1.2.03) que é uma biblioteca Java para resolu¸cão de problemas de satisfa¸cão de restri¸cões em dom´ınios finitos baseada no paradigma de Pro- grama¸cão por Restri¸cões [Rossi et al. 2007]. O sistema Choco2 _{é actualmente um projecto}

em código aberto (open source, em Inglês) [F. Laburthe & Le Project OCRE 2000]. Essencialmente, em programa¸cão por restri¸cões são declaradas restri¸cões e um resolutor é usado para as resolver. As restri¸cões são rela¸cões e um problema de satisfa¸cão de restri¸cões (também abreviadamente designado por CSP, Constraint Satisfaction Problem, em Inglês) estabelece as rela¸cões entre as variáveis de decisão. Mais formalmente, um problema de satisfa¸cão de restri¸cões consiste num conjunto de variáveis, cada uma com um dom´ınio de valores, e num conjunto de restri¸cões em subconjuntos dessas variáveis.

5.1 Estrutura de Classes da Implementa¸c˜ao

Na Figura 5.1 está desenhado o diagrama correspondente às classes que definem as estruturas de dados. Além destas classes/estruturas criadas por nós, foram ainda utilizadas as classes Hashtable, BitSet e Arrays existentes na API do Java.

1_{http://www.netbeans.org/} 2_{http://choco.sourceforge.net}

76 Implementac¸˜ao

Figura 5.1: Diagrama das classes que constituem as estruturas de dados.

Classes para estruturas de dados Em seguida ser˜ao descritas, duma forma geral, as principais classes para as estruturas de dados utilizadas na implementa¸c˜ao.

A classe Structure (Figura 5.2) ´e utilizada para representar o pol´ıgono/parti¸c˜ao. Um

Figura 5.2: Atributos das classes Structure, LoL e Vertex.

objecto desta classe é definido à custa de objectos da classe Vertex e da classe LoL. A classe LoL (Figura 5.2) permite representar listas simples de objectos com uma etiqueta (ou chave) associada. Cada objecto desta classe é composto por um objecto Object, um outro Rational e um do tipo LoL para guardar a referência do elemento seguinte da lista.

Implementação 77 No caso dum objecto Structure, esta estrutura auxiliar contém a lista dos buracos. Um objecto da classe Vertex (Figura 5.2) representa um elemento duma lista duplamente ligada de GridNode. Outros atributos relevantes são objectos do tipo BitSet para representar os conjuntos Gt_{(v) e G}s_{(v) e um objecto do tipo HasseNode para possibilitar uma mais rápida}

actualiza¸cão do diagrama de Hasse que representa a rela¸cão ¤-dominância entre classes de vértices.

GridNode (Figura 5.3) contém, além das coordenadas do ponto da parti¸cão, uma referência para uma das meias arestas de que é origem. Para isso, GridNode tem associado um objecto

Figura 5.3: Atributos das classes GridNode, HalfEdge e Face.

do tipo HalfEdge. Um objecto da classe HalfEdge (Figura 5.3) representa um elemento duma lista duplamente ligada de meias arestas. Cada objecto desta classe é definido pelo GridNode que é a sua origem, pela HalfEdge gémea e pela Face incidente, isto é, a pe¸ca que delimita. A classe Face (Figura 5.3) permite representar pe¸cas. Cada objecto da classe Face é definido por uma das HalfEdge que a delimita, por objectos BitSet para representar Gt_{(p) e G}s_{(p) e uma lista LoL para guardar os cortes, agrupados pelo vértice}

que os origina (etiqueta correspondente à posi¸cão do foco). A classe Face contém ainda métodos que permitem decompor uma pe¸ca e verificar se a pe¸ca é ou não vis´ıvel por seçcões. Um objecto do tipo Cut (Figura 5.4) identifica uma seçcão vis´ıvel dum guarda e é definido por um array de objectos da classe RationalPoint2D e por um Vertex, para identificar o guarda que originou o(s) corte(s).

78 Implementação A classe RationalPoint2D representa um ponto cujas coordenadas são números racionais, isto é, do tipo Rational. Como pode existir mais do que uma seçcão vis´ıvel associada a um mesmo vértice numa pe¸ca, os objectos do tipo Cut são guardados em objectos do tipo MPElement. Cada objecto da classe MPElement (Figura 5.4) representa um elemento duma lista de Object duplamente ligada. Deste modo, a lista de cortes em Face é uma lista de cortes associados a um mesmo vértice.

Algumas das classes da estrutura de dados foram criadas como estruturas auxiliares. ´

E este o caso da classe Segment (Figura 5.5) que ´e definida por dois objectos do tipo HalfEdge (primeira e ´ultima meia aresta do p-segmento) e ainda um objecto do tipo Segment que nos permite aceder ao p-segmento seguinte. Portanto, um objecto da classe

Figura 5.5: Classes Segment, EdgeVisibility e VisibilityWindow e seus atributos. Segment representa um elemento duma lista de p-segmentos. As classes EdgeVisibility e VisibilityWindow auxiliam na determina¸cão da visibilidade. A classe EdgeVisibility (Figura 5.5) é uma subclasse da classe Segment. Além dos atributos desta classe tem dois objectos RationalPoint2D que indicam os pontos de in´ıcio e fim do segmento vis´ıvel. Estes pontos estão sobre os p-segmentos in´ıcio e fim herdados da classe Segment. Um objecto da classe VisibilityWindow (Figura 5.5) é definido por dois objectos do tipo RationalPoint2D e um outro do tipo VisibilityWindow que nos permite aceder à janela de visibilidade seguinte, caso exista. Durante a análise duma pe¸ca, para saber a forma como a pe¸ca é vis´ıvel dum guarda g, vão sendo determinados os segmentos da sua fron- teira que são vis´ıveis de g. Estes segmentos vis´ıveis são guardados em objectos do tipo EdgeVisibility. Após a análise da pe¸ca, determinamos os pontos iniciais e finais de cada segmento vis´ıvel e criamos objectos VisibilityWindow que serão associados à respectiva pe¸ca vizinha (não analisada) da pe¸ca acabada de analisar. Cada um destes pontos ficará guardado num dos objectos do tipo RationalPoint2D. Assim, em cada objecto do tipo Face poderá existir uma lista de janelas de visibilidade que é re-iniciada para cada guarda g. Apesar de os elementos da classe VisibilityWindow constituirem uma estrutura auxiliar e temporária, esta estrutura está associada à classe Face para evitar a inser¸cão e pesquisa de janelas de visibilidade numa lista com as pe¸cas da parti¸cão.

Implementação 79 Cada objecto da classe HasseNode (Figura 5.6) é constitu´ıdo por três objectos do tipo MPElement que representam a lista de pais, filhos e de objectos (vértices ou pe¸cas) daquele nó do diagrama. Além destes atributos, tem ainda um objecto do tipo BitSet para Gt_(v)

Figura 5.6: Classes HasseNode e VertexHN e respectivos atributos.

ou Gt_{(p) conforme se trate dum n´o dum diagrama para v´ertices/guardas ou para pe¸cas. No}

caso dos vértices, os nós têm guardados objectos da classe VertexHN (Figura 5.6). Cada objecto desta classe é definido por um objecto Vertex e por uma etiqueta que identifica a posi¸cão considerada para o foco.

Classes para algoritmos Na Figura 5.7 está desenhado o correspondente diagrama das classes que implementam os algoritmos necessários ao longo de todo o processo de determina¸cão do número m´ınimo de guardas necessários para vigiar um dado pol´ıgono assim como a sua localiza¸cão.

Figura 5.7: Classes que implementam as diferentes fases do m´etodo.

A classe associada à interface gráfica é uma subclasse da classe JFrame que permite a interaçcão com o utilizador. É nesta classe que serão chamados os métodos correspondentes às diferentes fases do algoritmo de resolu¸cão de MVG. De notar que a execu¸cão destes métodos não está dependente da existência duma classe deste tipo. Isto é, para executar os métodos basta ter uma classe com um método main(). A classe come¸ca por fazer a

80 Implementação leitura do ficheiro com o pol´ıgono e criar o objecto do tipo Structure. Os procedimentos necessários a esta tarefa encontram-se na classe WriteReadData (Figura 5.7). Esta classe é também responsável por guardar (em ficheiros) a informa¸cão final sobre cada um dos pol´ıgonos (Figura 5.8).

Figura 5.8: Informa¸c˜ao recolhida na resolu¸c˜ao de MVG para um pol´ıgono.

Para executar a parti¸cão do pol´ıgono recorremos aos métodos implementados na classe Sweep (Figura 5.7). Primeiro, é necessário proceder à constru¸cão da lista de eventos. Vimos no Cap´ıtulo 3 que os eventos são determinados por p-segmentos. Para representar um

p-segmento usamos a classe Segment. A classe Sweep tem as classes Horizontal e Vertical

(Figura 5.7) como suas subclasses. Estas classes implementam m´etodos espec´ıficos para os varrimentos horizontal e vertical, respectivamente.

A classe Visibility (Figura 5.7) contém os métodos que permitem caracterizar a visi- bilidade. Estes métodos determinam os conjuntos Gt_{(p), G}s_{(p), G}t_{(v) e G}s_{(v) para cada}

v ∈ VP e cada p ∈ Π. Durante a determina¸c˜ao destes conjuntos, fica associada a cada pe¸ca

p ∈ Π, a informa¸c˜ao sobre os cortes que cada v´ertice de Gs_{(p) origina na pe¸ca. Ainda na}

caracteriza¸cão da visibilidade, para cada vértice, são determinados os segmentos vis´ıveis da fronteira das pe¸cas. No final de termos todos os segmentos vis´ıveis da fronteira duma pe¸ca, determinamos as suas janelas de visibilidade (para as pe¸cas que lhe são vizinhas e ainda não foram analisadas). Isto é, determinamos os pontos inicial e final de cada segmento vis´ıvel. A janela de visibilidade é representada pela classe classe VisibilityWindow. Cada objecto desta classe é definido por dois pontos (um para o in´ıcio e outro para o fim da janela de visibilidade) e um objecto do tipo VisibilityWindow. Como cada pe¸ca poderá ter mais do que uma janela de visibilidade, cada objecto VisibilityWindow representa um elemento da lista de janelas de visibilidade associada a uma pe¸ca. Os cones de visibilidade são constru´ıdos também com base nas janelas de visibilidade.

Implementação 81 As classes Dominance (Figura 5.7) e HasseNode contêm os métodos necessários para cons- truir e actualizar os diagramas de Hasse que representam as rela¸cões de ¤-dominância para classes de vértices/guardas e classes de pe¸cas. A classe Dominance implementa ainda o algoritmo boxDominanciaConjunta. DomFace e DomVertex (Figura 5.7) são subclasses de Dominance e têm métodos espec´ıficos para a ¤-dominância entre classes de pe¸cas e entre classes de vértices/guardas, respectivamente.

A classe MinVertexGuard (Figura 5.7) implementa os métodos que definem e resolvem os sub-problemas de cobertura m´ınima e controla também as condi¸cões de paragem que definem a descoberta do número de guardas óptimo. A classe General (Figura 5.7) contém um conjunto de fun¸cões comuns a diversas classes.

No documento Sobre iluminação de polígonos com focos ou reflectores em vértices (páginas 98-106)