Recordemos que para pol´ıgonos simples, Chv´atal [Chv´atal 1975] provou que para vigiar qualquer pol´ıgono de n v´ertices, bn
3c guardas s˜ao sempre suficientes e por vezes necess´arios.
A prova de Fisk deste mesmo resultado conduziu Avis e Toussaint `a constru¸c˜ao dum algoritmo O(n log n) para a coloca¸c˜ao dos bn
3c guardas [Avis & Toussaint 1981].
O Teorema 1.2, an´alogo ao Teorema da Galeria de Arte de Chv´atal, mas agora para pol´ıgonos ortogonais, afirma que bastam e s˜ao por vezes necess´arios bn
4c guardas.
Teorema 1.2 [Kahn et al. 1983] Para vigiar qualquer pol´ıgono ortogonal de n v´ertices
s˜ao sempre suficientes e por vezes necess´arios bn
4c guardas, ou seja, br2c + 1, sendo r o
n´umero de v´ertices reflexos.
Este resultado ´e v´alido tamb´em quando se restringe a coloca¸c˜ao dos guardas aos v´ertices do pol´ıgono. A prova pode ser encontrada, por exemplo, em [O’Rourke 1987].
A Figura 1.6 (a) ilustra um pol´ıgono em que bn
4c guardas s˜ao suficientes e a Figura 1.6 (b)
mostra um pol´ıgono em que bn
4c guardas s˜ao necess´arios.
(a) (b)
Figura 1.6: Ambos os pol´ıgonos ortogonais tˆem 16 v´ertices. Segundo o Teorema 1.2, o limite superior para o n´umero de guardas necess´arios para vigiar cada um dos pol´ıgonos ´e 4. Bastam 2 guardas para vigiar o pol´ıgono representado em (a) e s˜ao precisos 4 guardas para vigiar o pol´ıgono representado em (b).
Edelsburnner, O’Rourke e Welzl desenvolveram um algoritmo com complexidade temporal
O(n log n) [Edelsbrunner et al. 1984] para a coloca¸c˜ao de bn
4c guardas num pol´ıgono orto-
12 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes de L. Mais tarde, Sack e Toussaint mostraram que, para pol´ıgonos ortogonais mon´otonos, tal coloca¸c˜ao pode ser efectuada em tempo O(n log log n) [Sack & Toussaint 1988]. Um pol´ıgono ´e mon´otono se pode ser decomposto em duas cadeias mon´otonas em rela¸c˜ao `a mesma linha. Uma cadeia ´e mon´otona em rela¸c˜ao a uma linha se os pontos que a constituem mantiverem a mesma ordem quando projectados sobre essa linha.
1.3.1
Pol´ıgonos com buracos
O livro de O’Rourke [O’Rourke 1987] refere alguns resultados e conjecturas existentes para o n´umero de guardas necess´arios para vigiar um pol´ıgono com buracos.
Em particular, em 1982 O’Rourke mostrou que bn+2h
3 c guardas s˜ao suficientes para vigiar
um pol´ıgono de n v´ertices e h buracos, e Shermer provou que s˜ao por vezes necess´arios bn+h 3 c
guardas. Hoffmann et al. mostraram que bn+h
3 c guardas s˜ao sempre suficientes, melho-
rando o resultado de O’Rourke [Hoffmann et al. 1991]. Estes valores s˜ao v´alidos quando n˜ao se introduz qualquer restri¸c˜ao ao posicionamento dos guardas. No entanto, para guar- das em v´ertices, o problema est´a em aberto, existindo a seguinte conjectura de Shermer (cf., [Urrutia 2000]).
Conjectura 1.1 [Shermer] Para vigiar qualquer pol´ıgono de n v´ertices e h buracos s˜ao
suficientes bn+h
3 c guardas-em-v´ertices.
Para o caso em que o n´umero de buracos ´e 1, Shermer provou que o resultado era v´alido. Contudo, para h > 1, mant´em-se em aberto.
Para pol´ıgonos ortogonais s˜ao tamb´em conhecidos alguns resultados idˆenticos. Em parti- cular, Hoffmann provou que, para vigiar um pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h buracos, s˜ao sempre suficientes bn
4c guardas [Hoffmann 1990]. Para o caso de guardas-em-v´ertices,
Shermer conjectura o seguinte.
Conjectura 1.2 [Shermer] Para vigiar qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h
buracos, s˜ao sempre suficientes bn+h
4 c guardas-em-v´ertices.
`
A semelhan¸ca da Conjectura 1.1, tamb´em esta ´e v´alida para pol´ıgonos com 1 buraco, mas para h > 1, a conjectura mant´em-se em aberto [Aggarwal 1984].
O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 13 O exemplo dado na Figura 1.7 mostra que bn+h
4 c guardas-em-v´ertices s˜ao ocasionalmente
necess´arios.
Figura 1.7: Exemplo dum pol´ıgono ortogonal com buracos que necessita de bn+h
4 c guardas-
em-v´ertices e uma poss´ıvel solu¸c˜ao. O pol´ıgono tem 44 v´ertices, 4 buracos e necessita de 12 guardas-em-v´ertices.
Por outro lado, Hoffmann encontrou uma fam´ılia de pol´ıgonos ortogonais com buracos que necessita de exactamente b2n
7 c guardas-em-v´ertices. A Figura 1.8 mostra um pol´ıgono dessa
fam´ılia. Este resultado constitui um contra-exemplo a uma conjectura de Aggarwal que
Figura 1.8: Exemplo dum pol´ıgono ortogonal com buracos que necessita de b2n
7 c guardas-
em-v´ertices e poss´ıvel solu¸c˜ao. afirmava b3n
11c guardas-em-v´ertices eram sempre suficientes. A n˜ao dependˆencia do n´umero
de buracos ´e interessante, tendo Hoffmann elaborado a seguinte conjectura.
Conjectura 1.3 [Hoffmann] Para vigiar qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h
buracos s˜ao sempre suficientes b2n
7 c guardas-em-v´ertices.
Os pol´ıgonos de Hoffmann tˆem 14k v´ertices e 2k buracos, e como b2n
7 c = bn+h4 c, este limite
nada acrescenta `a conjectura de Shermer.
Os Teoremas 1.3 e 1.4 enunciam os dois melhores resultados para pol´ıgonos ortogonais com um n´umero arbitr´ario de buracos e guardas colocados em v´ertices.
Teorema 1.3 [O’Rourke 1987] Qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h buracos
pode ser sempre vigiado por bn+2h
14 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes Teorema 1.4 [Hoffmann & Kriegel 1993] Qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices
e h buracos pode ser sempre vigiado por bn
3c guardas-em-v´ertices.
N˜ao ´e dif´ıcil verificar que para h > n
6 tem-se b n+2h
4 c > b n
3c e portanto, nesse caso, o segundo
resultado ´e melhor do que o primeiro.
A Tabela 6.10 apresenta um resumo dos resultados referidos para 2π-guardas.
Tipo de pol´ıgono Coloca¸c˜ao de guardas Limite inferior Limite superior
Simples sem restri¸c˜oes bn
3c bn3c
Ortogonal sem restri¸c˜oes bn
4c bn4c
Simples com h sem restri¸c˜oes bn+h
3 c bn+h3 c
buracos em v´ertices bn+h3 c (?)
Ortogonal com sem restri¸c˜oes bn4c
h buracos em v´ertices bn+h4 c bn+h4 c (?) b2n 7 c (?) bn+2h4 c bn 3c, h > n6
Tabela 1.1: Limites inferiores e superiores para o n´umero de 2π-guardas necess´arios para vigiar um pol´ıgono. As conjecturas est˜ao assinaladas com o sinal (?).
Nas duas pr´oximas sec¸c˜oes apresentamos os melhores resultados conhecidos para α-reflec- tores colocados em v´ertices, com α = π e α = π
2.