Resultados para π-guardas em grid n-ogons Fat

A Tabela 6.19 mostra os tempos obtidos para a determina¸c˜ao da visibilidade, determina¸c˜ao da dominˆancia e tempo total de execu¸c˜ao para a parti¸c˜ao ΠH. Analisando essa tabela

verific´amos que a visibilidade tinha um maior peso no tempo final.

O gr´afico da Figura 6.22 mostra o ajuste entre o tempo de execu¸c˜ao obtido experimen- talmente e o polin´omio interpolador de grau 2 obtido segundo o m´etodo das diferen¸cas divididas.

Para a parti¸c˜ao Πr−cut n˜ao foi poss´ıvel obter resultados para todos os pol´ıgonos da amostra,

pois os tempos de execu¸c˜ao eram muito elevados. Como se pode observar na Tabela 6.20, os tempos de execu¸c˜ao disparam para n ≥ 74.

Avaliac¸˜ao Experimental 107

V´ertices Tempo vis.(s) Tempo vis. + dom.(s) Tempo total(s)

20 0,03 0,03 0,03 40 0,13 0,17 0,20 60 0,31 0,39 0,41 80 0,63 0,77 0,81 100 0,92 1,27 1,30 120 1,41 1,89 1,94 140 1,95 2,73 2,78 160 2,55 3,69 3,77 180 3,24 4,95 5,05 200 4,02 6,38 6,49

Tabela 6.19: Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da dominˆancia e do tempo to- tal de execu¸c˜ao para ΠH em fun¸c˜ao do n´umero de v´ertices em pol´ıgonos da classe Fat

considerando π-guardas.

Figura 6.22: Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o tempo total de execu¸c˜ao e o polin´omio p(n) de grau 2 para π-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos Fat.

O gr´afico da Figura 6.23 mostra o ajuste entre o tempo de execu¸c˜ao obtido experimental- mente e a fun¸c˜ao exponencial que interpola os dados nos pontos de abcissa 6 e 76.

Observando a Tabela 6.20 verific´amos que o principal respons´avel pelo elevado tempo de execu¸c˜ao era a resolu¸c˜ao do sub-problema de cobertura m´ınima.

108 Avaliac¸˜ao Experimental

V´ertices Tempo vis.(s) Tempo CSP(s) Tempo total(s)

10 0,02 0,02 0,03 20 0,13 0,02 0,14 30 0,44 0,03 0,48 40 1,13 0,22 1,36 50 2,38 3,49 5,88 60 4,56 23,17 27,78 70 7,86 361,19 369,11 72 8,61 377,73 386,41 74 9,47 921,45 931,02 76 10,40 945,53 956,00'16min

Tabela 6.20: Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da resolu¸c˜ao dos sub-problemas de cobertura m´ınima e do tempo total de execu¸c˜ao para Πr−cut em fun¸c˜ao do n´umero de

v´ertices em pol´ıgonos da classe Fat considerando π-guardas.

Figura 6.23: Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o tempo total de execu¸c˜ao e a fun¸c˜ao expo- nencial p(n) = 5, 8 exp(0, 2n) para π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos Fat.

A Tabela 6.21 apresenta a dimens˜ao dos problemas de cobertura m´ınima resolvidos para alguns pol´ıgonos da classe Fat para as parti¸c˜oes ΠH e Πr−cut com π-guardas.

Analisando a informa¸c˜ao relativa ao n´umero de vari´aveis e de restri¸c˜oes do problema for- mulado, verific´amos que o seu n´umero n˜ao justificava um tempo t˜ao elevado. Com efeito, para a parti¸c˜ao ΠH, a dimens˜ao dos problemas de cobertura m´ınima para os pol´ıgonos

mencionados na Tabela 6.21 era elevada e no entanto, o tempo necess´ario para resolver esses problemas n˜ao sobressa´ıa do tempo total de execu¸c˜ao.

Nota: Para a parti¸c˜ao Πr−cut, a resolu¸c˜ao dos dois problemas de igual dimens˜ao poder´a

estar relacionada com o exposto na Sec¸c˜ao 2.3 acerca da verifica¸c˜ao se a solu¸c˜ao obtida na resolu¸c˜ao de OP T¤( ˜R(Γi)) cobria as pe¸cas de R(Πi) com i ≥ 0.

Avaliac¸˜ao Experimental 109

ΠH Πr−cut

V´ertices Vari´aveis, Restri¸c˜oes V´ertices Vari´aveis, Restri¸c˜oes

100 10 , 5 64 194 , 97 82 , 29 194 , 97 202 , 101 68 206 , 103 206 , 103 206 , 103 160 10 , 5 72 218 , 109 127 , 44 218 , 109 322 , 161 76 230 , 115 326 , 163 230 , 115 200 10 , 5 157 , 54 402 , 201 406 , 203

Tabela 6.21: Compara¸c˜ao entre a dimens˜ao dos problemas de cobertura m´ınima resolvidos para alguns pol´ıgonos da classe Fat para as parti¸c˜oes ΠH e Πr−cut considerando π-guardas.

¦ Comparac¸˜ao entre resultados experimentais e resultados te´oricos

Quanto ao n´umero de π-guardas necess´arios para vigiar um Fat observ´amos que ´e um para n = 4, 6 e ´e dois para n ≥ 8. Este resultado, com ou sem restri¸c˜ao de cardinalidade, ´e o esperado, pois para vigiar um pol´ıgono Fat com o n´umero m´ınimo de 2π-guardas os v´ertices onde tˆem de ser colocados os guardas s˜ao convexos (`a excep¸c˜ao dos Fat com

n = 6, 8, 10).

6.3.3

Resultados para

-guardas em grid n-ogons Fat

Tal como para π-guardas, n˜ao foi poss´ıvel obter resultados para toda a amostra no caso de π

2-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut. Como se pode observar na Tabela 6.22 o tempo necess´ario

para a determina¸c˜ao da dominˆancia duplica dum pol´ıgono com n v´ertices para outro com

n + 2 v´ertices. Este resultado deve-se, em princ´ıpio, ao elevado n´umero de classes de pe¸cas

110 Avaliac¸˜ao Experimental

V´ertices Tempo vis.(s) Tempo dom.(s) Tempo total(s)

10 0,00 0,00 0,02 20 0,06 0,03 0,09 30 0,23 0,16 0,42 40 0,61 2,09 2,73 50 1,25 73,99 75,27 52 1,42 152,84 154,34 54 1,59 322,25 323,89 56 1,78 667,67 669,50 58 1,99 1405,11 1407,16'23min30s

Tabela 6.22: Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da dominˆancia e do tempo total de execu¸c˜ao para Πr−cut em fun¸c˜ao do n´umero de v´ertices em pol´ıgonos da classe Fat

considerando π

2-guardas.

O gr´afico da Figura 6.24 mostra o ajuste entre o tempo de execu¸c˜ao obtido experimental- mente e a fun¸c˜ao exponencial que interpola os dados nos pontos de abcissa 8 e 58.

Figura 6.24: Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o tempo total de execu¸c˜ao e a fun¸c˜ao expo- nencial p(n) = 2, 4 exp(0, 2n) para π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos Fat.

Observando o gr´afico da Figura 6.24 verific´amos que o tempo de execu¸c˜ao ´e menor que a fun¸c˜ao exponencial determinada, o que indica que esta n˜ao ´e a fun¸c˜ao que melhor descreve o comportamento do tempo de execu¸c˜ao.

Para a parti¸c˜ao ΠH observ´amos que o comportamento ´e melhor do que o obtido para

2π-guardas e π-guardas. Verific´amos tamb´em que o tempo necess´ario para a determina¸c˜ao da visibilidade tem uma maior contribui¸c˜ao no tempo final para π

2-guardas do que no caso

Avaliac¸˜ao Experimental 111

V´ertices Tempo vis.(s) Tempo vis. + dom.(s) Tempo total(s)

20 0,02 0,03 0,03 40 0,09 0,16 0,16 60 0,22 0,27 0,27 80 0,38 0,45 0,45 100 0,58 0,75 0,75 120 0,86 1,08 1,09 140 1,19 1,45 1,45 160 1,63 1,97 1,99 180 2,08 2,50 2,52 200 2,58 3,13 3,13

Tabela 6.23: Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da visibilidade e dominˆancia e do tempo total de execu¸c˜ao para ΠH em fun¸c˜ao do n´umero de v´ertices em pol´ıgonos da classe

Fat considerando π

2-guardas.

O gr´afico da Figura 6.25 mostra o ajuste entre o tempo de execu¸c˜ao obtido experimen- talmente e o polin´omio interpolador de grau 2 obtido segundo o m´etodo das diferen¸cas divididas.

Figura 6.25: Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o tempo total de execu¸c˜ao e o polin´omio p(n) de grau 2 para π

2-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos Fat.

¦ Comparac¸˜ao entre resultados experimentais e resultados te´oricos Relativamente ao n´umero de π

2-guardas necess´arios para vigiar um Fat observ´amos que

´e um para n = 4, 6 e ´e dois para n ≥ 8. Tal como para π-guardas este ´e um resultado conhecido.

112 Avaliac¸˜ao Experimental