Sobre iluminação de polígonos com focos ou reflectores em vértices

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palavras-chave Geometria Computacional, Problema da Galeria de Arte, Polígono Ortogonal, Minimização de Guardas em Vértices, Reflectores.

resumo O Problema da Galeria de Arte e as suas variantes têm sido intensivamente estudados desde os anos 70, mantendo-se vários problemas em aberto. Um dos problemas da classe de Problemas da Galeria de Arte é o da colocação de focos em vértices dum polígono de forma que o iluminem completamente e o seu número seja mínimo. Este é um problema NP-difícil. Nesta dissertação, abordamos algumas variantes deste problema,

nomeadamente para polígonos ortogonais (com e sem buracos) e focos com amplitude de iluminação 2π, π e π/2.

Apresentamos um método que permite determinar o valor óptimo de focos por aproximações sucessivas e que segue a estratégia adoptada em [Tomás e al. 2004]. As aproximações são obtidas por resolução de sub-problemas de cobertura mínima, sendo melhoradas através do refinamento da partição inicial do polígono.

Descrevemos ainda a aplicação desenvolvida para avaliação experimental do método nas diferentes variantes do Problema da Galeria de Arte mencionadas. Esta aplicação permite ainda escolher a partição inicial.

Nessa avaliação experimental foram usadas amostras constituídas por polígonos ortogonais aleatórios com n vértices, representáveis numa grelha regular com exactamente uma aresta em cada linha da grelha. Para focos de amplitude 2π, concluímos que o número de guardas mínimo era n/6. Este valor é inferior ao valor teórico ⎣n/4⎦, suficiente para guardar qualquer polígono ortogonal e ocasionalmente necessário.

Para polígonos com dois buracos rectangulares, gerados a partir de polígonos da amostra referida, verificámos que o número de guardas mínimo era (n+h)/6. Neste caso, a conjectura é que bastam sempre ⎣(n+h)/4⎦ guardas para vigiar um polígono ortogonal genérico com h buracos (sendo ocasionalmente necessários).

Para reflectores, é habitual impor que seja colocado, no máximo, um reflector por vértice. Os nossos resultados não verificam necessariamente esta condição. As funções que interpolam os resultados experimentais que obtivemos para π-reflectores e π/2-reflectores para polígonos ortogonais simples são respectivamente fπ(n) = (11n-30)/50 e fπ/2(n) = (23n-60)/100.

Para polígonos com dois buracos rectangulares, as funções que interpolam os valores obtidos fπ(n) = (9n-52)/40 e fπ/2(n) = (17n+4)/80.

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keywords Computational Geometry, Art Gallery Problem, Orthgonal Polygon, Minimum Vertex Guard, Reflectors.

abstract The Art Gallery Problem and its variants have been extensively studied since the seventies, several problems remaining open. In this thesis we address the problem of placing a minimum number of lights (guards) on the vertices of a polygon so that the whole polygon is illuminated (guarded). It is known that this is an NP-hard problem.

We focus on orthogonal polygons (with and without holes) and lights with illumination range limited to 2π, π and π/2.

We present an algorithm to compute the minimum number of lights by

successive approximations, that follows the strategy proposed in [Tomás et al. 2004]. Each approximation is obtained by solving a minimum set covering problem for a given partition. Better approximations are achieved by refining the initial partition of the polygon.

We describe the implementation we developed to experimentally evaluate this method for the different variants. This application allows the choice of different initial partitions.

For that evaluation, we used random n-vertex orthogonal polygons that can be represented on a regular grid with exactly one edge in each line of the grid. For lights with amplitude 2π, we concluded that the minimum number of guards for random polygons is n/6. This value is smaller than the theoretical value ⎣n/4⎦, that is always sufficient and sometimes necessary to guard an n-vertex orthogonal polygon.

Random polygons with two rectangular holes were generated using the samples mentioned earlier. For these random samples, we verified that the minimum number of guards was (n+h)/6. In this case, the existing conjecture was that ⎣(n+h)/4⎦ guards are always sufficient and occasionally necessary to guard an n-vertex orthogonal polygon with h holes.

For reflex vertices, we have not imposed any condition on the number of guards per vertex, although it is usually required that this number does not exceed one. The experimental results indicate that for π-reflectors and π/2-reflectors on orthogonal polygons the minimum number of guards is interpolated by fπ(n) = (11n-30)/50 and fπ/2(n) = (23n-60)/100.

For polygons with two rectangular holes, these corresponding functions are

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Conte´

udo

Introdu¸c˜ao 1

Contributos . . . 2

Organiza¸c˜ao do Texto . . . 3

1 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 5 1.1 Defini¸c˜ao . . . 5

1.2 Pol´ıgonos, Visibilidade e Guardas . . . 7

1.2.1 Pol´ıgonos . . . 7

1.2.2 No¸c˜oes de visibilidade . . . 8

1.2.3 Guardas de amplitude de vis˜ao limitada . . . 10

1.3 Variantes para 2π-Guardas . . . . 11

1.3.1 Pol´ıgonos com buracos . . . 12

1.4 Variantes para π-Reflectores . . . . 14

1.5 Variantes para Reflectores Ortogonais . . . 15

2 Optimiza¸cão por Aproxima¸cões Sucessivas 17 2.1 Visibilidade Total, Parcial e por Seçcões . . . 19

2.2 Dominˆancia . . . 21

2.2.1 ¤-Dominˆancia e ¤-Equivalˆencia . . . 21 i

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ii CONTE ´UDO

2.2.2 Determina¸cão da rela¸cão de dominância . . . 24

2.3 Aproxima¸c˜ao de OP T (P ) . . . . 24

2.3.1 Escolha da pe¸ca a partir . . . 26

2.3.2 Refinamento da parti¸c˜ao . . . 27

2.4 Representa¸c˜ao da ¤-Dominˆancia . . . 27

2.5 Modela¸c˜ao do Problema . . . 28

2.5.1 Problemas resultantes da ¤-dominância não preservar espa¸co de solu¸cões 30 2.6 Dominância Conjunta . . . 30

3 Parti¸cão de Pol´ıgonos Ortogonais 33 3.1 Representa¸cão de Parti¸cões . . . 34

3.1.1 Caracter´ısticas da estrutura . . . 35

3.2 Determina¸c˜ao da Parti¸c˜ao por Varrimento . . . 37

3.2.1 Eventos e estado da linha de varrimento . . . 37

3.2.2 Opera¸c˜oes poss´ıveis em cada evento . . . 38

3.2.3 Localiza¸c˜ao dos segmentos a alterar num evento . . . 41

3.2.4 An´alise detalhada de eventos . . . 44

3.3 Representa¸c˜ao por Listas de Arestas Duplamente Ligadas . . . 49

3.3.1 Estrutura de dados . . . 49

3.4 Algoritmo em Pseudo-C´odigo . . . 51

4 Determina¸c˜ao da Visibilidade 57 4.1 Ideias Fundamentais . . . 58

4.1.1 Propaga¸c˜ao da visibilidade pe¸ca a pe¸ca . . . 58

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CONTE ´UDO iii

4.1.3 Cortes que caracterizam sec¸c˜oes . . . 63

4.2 Descri¸c˜ao do Algoritmo . . . 64

4.3 Uso e Actualiza¸c˜ao da Informa¸c˜ao . . . 68

4.3.1 Determina¸c˜ao de Γ inicial . . . 69

4.3.2 Refinamento duma pe¸ca da parti¸c˜ao . . . 71

4.3.3 Constru¸c˜ao de Zp . . . 71

4.3.4 Exemplo . . . 73

5 Implementa¸c˜ao 75 5.1 Estrutura de Classes da Implementa¸c˜ao . . . 75

5.2 Interface Gr´afica . . . 81

6 Avalia¸c˜ao Experimental 83 6.1 Resultados para pol´ıgonos aleat´orios . . . 86

6.1.1 Impacto de BoxDominanciaConjunta . . . 86

6.1.2 Varia¸cão do número de itera¸cões por escolha de Γ0 . . . 87

6.1.3 Resultados para 2π-guardas em pol´ıgonos aleat´orios . . . . 90

6.1.4 Resultados para π-guardas em pol´ıgonos aleat´orios . . . . 92

6.1.5 Resultados para π 2-guardas em pol´ıgonos aleat´orios . . . 93

6.1.6 N´umero de guardas e de itera¸c˜oes para diferentes guardas . . . 95

6.2 Resultados para Pol´ıgonos com Buracos . . . 96

6.2.1 Resultados para 2π-guardas em pol´ıgonos com buracos . . . . 97

6.2.2 Resultados para π-guardas em pol´ıgonos com buracos . . . 100

6.2.3 Resultados para π 2-guardas em pol´ıgonos com buracos . . . 100

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iv CONTE ´UDO

6.2.5 Condi¸c˜ao de cardinalidade . . . 102

6.3 Resultados para grid n-ogons da Classe Fat . . . 103

6.3.1 Resultados para 2π-guardas em grid n-ogons Fat . . . 103

6.3.2 Resultados para π-guardas em grid n-ogons Fat . . . 106

6.3.3 Resultados para π 2-guardas em grid n-ogons Fat . . . 109

6.4 Resultados para grid n-ogons da Classe MinArea . . . 112

6.4.1 Resultados para 2π-guardas em grid n-ogons MinArea . . . 113

6.4.2 Resultados para π-guardas em grid n-ogons MinArea . . . 115

6.4.3 Resultados para π 2-guardas em grid n-ogons MinArea . . . 116

6.4.4 Condi¸c˜ao de cardinalidade . . . 119

6.5 Resumo das fun¸c˜oes interpoladoras . . . 121

(12)

Lista de Figuras

1 Exemplo dum pol´ıgono que pode ser vigiado por apenas um guarda com amplitude de visão 2π. . . . 1 1.1 (a) Triangula¸cão do pol´ıgono. (b) 3-colora¸cão do grafo da triangula¸cão. . . 6 1.2 Exemplo dum pol´ıgono que requer bn

3c guardas. . . . 7

1.3 Pol´ıgono de 50 vértices, com 3 buracos. . . 8 1.4 (a) Os ponto y e z são vis´ıveis de x. O ponto x não vê o ponto w. (b) Região

de visibilidade de w. . . . 9 1.5 π-guardas em posi¸c˜oes restringidas: (a) ajustado a uma aresta; (b)

direccio-nado para o interior; (c) direcciodireccio-nado para o exterior; . . . 10 1.6 Ambos os pol´ıgonos ortogonais tˆem 16 v´ertices. Segundo o Teorema 1.2, o

limite superior para o número de guardas necessários para vigiar cada um dos pol´ıgonos é 4. Bastam 2 guardas para vigiar o pol´ıgono representado em (a) e são precisos 4 guardas para vigiar o pol´ıgono representado em (b). . . 11 1.7 Exemplo dum pol´ıgono ortogonal com buracos que necessita de bn+h

4 c

guardas-em-vértices e uma poss´ıvel solu¸cão. O pol´ıgono tem 44 vértices, 4 buracos e necessita de 12 guardas-em-vértices. . . 13 1.8 Exemplo dum pol´ıgono ortogonal com buracos que necessita de b2n

7 c

guardas-em-vértices e poss´ıvel solu¸cão. . . 13 1.9 (a) Pol´ıgono ortogonal com 12 vértices que necessita de b3n−4

8 c reflectores

ortogonais e poss´ıvel solu¸cão. (b) Pol´ıgono ortogonal com 32 vértices e um buraco que necessita de b3n+4(h−1)₈ c reflectores ortogonais e poss´ıvel solu¸cão. 16

(13)

vi LISTA DE FIGURAS 2.1 Dois guardas bastam para guardar o pol´ıgono. . . 17 2.2 A pe¸ca p4 ´e totalmente vis´ıvel de v8; a pe¸ca p1 ´e parcialmente vis´ıvel de v8;

a pe¸ca p6 é não vis´ıvel de v8. A região sombreada é a região de visibilidade

de v8. . . 20

2.3 As pe¸cas p1, p2, p7 e p8 são trivialmente não vis´ıveis por seçcões. . . 21

2.4 Nenhuma dos vértices de P vê totalmente a pe¸ca p, considerando que os guardas a colocar são π

2-reflectores. . . 25

2.5 Exemplo dum diagrama de Hasse. . . 28 2.6 As classes [p1] = {p1}, [p2] = {p2}, [p7] = {p7} e [p8] = {p8} s˜ao trivialmente

não vis´ıveis por seçcões. . . 31 3.1 Exemplos de parti¸cões. . . 33 3.2 (a) Parti¸cão ΠH; (b) Parti¸cão ΠV; (c) Parti¸cão Πr−cut. . . 34

3.3 (a) Representa¸cão da parti¸cão Πr−cut. (b) Representa¸cão da parti¸cão ΠH. . 34

3.4 O exterior do pol´ıgono est´a a cinzento. A meia aresta e delimita o exterior do pol´ıgono. . . 35 3.5 As meias arestas assinaladas a tra¸co grosso e negro s˜ao as meias arestas que

determinam a forma (orienta¸cão) como a fronteira do pol´ıgono é percorrida. 36 3.6 As pe¸cas p0 e p1 são vizinhas. As pe¸cas p1 e p2 não são vizinhas. . . 36

3.7 (a) O ELV (a cinzento) é constitu´ıdo por várias meias arestas consecutivas. (b) No caso dum segundo varrimento, é poss´ıvel existirem eventos determi-nados por conjuntos de meias arestas consecutivas. . . 38 3.8 O estado da linha de varrimento ainda não foi iniciado, portanto ELV = ∅. 39 3.9 (a) Os p-segmentos do evento estão assinalados a tra¸co grosso e negro. (b)

ELV ´e iniciado com os p-segmentos do evento. ELV est´a assinalado a tra¸co

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LISTA DE FIGURAS vii 3.10 (a) Paragem de l. O primeiro p-segmento do evento abre uma nova pe¸ca.

(b) e (c) O p-segmento (em análise) do evento irá originar duas novas meias arestas. (d) ELV é actualizado com as novas meias arestas e com as meias arestas dos p-segmentos dos eventos que lhes deram origem. ELV está assinalado a tra¸co grosso e cinzento claro. . . 40 3.11 ELV está assinalado a tra¸co grosso e cinzento claro. (a) Paragem de l.

(b) O p-segmento do evento irá originar dois pares de duas novas meias arestas, fechando duas pe¸cas. (c) Paragem de l. (d) O p-segmento do evento irá fechar a única pe¸ca aberta, não sendo abertas novas pe¸cas. Portanto, terminou o varrimento. . . 41 3.12 A e B são os valores de menor e maior abcissa do p-segmento E,

respecti-vamente. . . 42 3.13 Em (a) não há sobreposi¸cão entre e e E. Em (b) e (c) há sobreposi¸cão entre e

e E. . . . 42 3.14 (a) “Extens˜ao”do p-segmento e. (b) Resultado obtido. . . . 43 3.15 (a) O evento a analisar ´e constitu´ıdo pelo p-segmento e. O p-segmento E do

estado da linha de varrimento ´e composto por duas meias arestas. (b) S˜ao criadas as duas novas pe¸cas p4 e p5. . . 43

3.16 (a) Caso a > Bf. (b) ELV no final da an´alise do p-segmento e. . . . 44

3.17 (a) Caso b < A. (b) ELV no final da análise do p-segmento e. . . . 45 3.18 (a) Caso a = A e b = B. (b) ELV no final da análise do p-segmento e. . . 45 3.19 (a) Caso a = A e b < B e não existe sucessor de e. (b) ELV no final da

an´alise do p-segmento e. . . . 45 3.20 (a) Caso a = A e b < B e o sucessor de e ´e tal que a0 _{> B. (b) ELV no}

final da an´alise do p-segmento e. . . . 46 3.21 (a) Caso a = A e b < B e o sucessor de e ´e tal que a0 _{≤ B. (b) ELV no}

final da análise do p-segmento e. . . . 46 3.22 (a) Caso a < A e não existe sucessor de e. (b) ELV no final da análise do

(15)

viii LISTA DE FIGURAS 3.23 (a) Caso a < A e o sucessor de e ´e tal que a0 _{> B. (b) ELV no final da}

an´alise do p-segmento e. . . . 47 3.24 (a) Caso a < A e o sucessor de e ´e tal que a0 _{≤ B. (b) ELV no final da}

an´alise do p-segmento e. . . . 48 3.25 (a) Caso A < a. (b) Neste momento, apenas conhecemos parte do novo

ELV . A análise do p-segmento e ainda não está conclu´ıda. . . . 48 3.26 (a) b = B (b) a = B e b < A0 _{(c) a = B e b = A}0 _{. . . .} ₄₉

3.27 Parti¸c˜ao dum pol´ıgono ortogonal com a identifica¸c˜ao dos diferentes compo-nentes da estrutura. . . 50 3.28 Os p-segmentos assinalados a tra¸co grosso e cinzento claro constituem o

estado da linha de varrimento. (a) Temos b < A e E é o primeiro p-segmento do estado da linha de varrimento tal que a ≤ B. (b) Ao analisar e verifica-se que há sobreposi¸cão entre e e E. . . . 54 3.29 Caso a > Bf. Os p-segmentos assinalados a tra¸co grosso e cinzento claro

constituem o estado da linha de varrimento. . . 55 4.1 Cone de visibilidade fixado por v e por e. . . . 58 4.2 Faces adjacentes ao v´ertice reflexo v e ao v´ertice convexo v0 _{(a) no caso da}

parti¸c˜ao Πr−cut. (b) no caso da parti¸c˜ao ΠV. . . 59

4.3 As pe¸cas p1, p2 e p3 est˜ao respectivamente a (S,W), (N,W) e (N,E) de v. . 59

4.4 No v´ertice v est´a colocado um (a) 2π-guarda; (b) π-reflector; (c) π

2-reflector. 60

4.5 A pe¸ca q foi já analisada. Estamos a analisar a pe¸ca p. Como o segmento s da meia aresta e é vis´ıvel do vértice v, então o segmento s0 _{da meia aresta}

gémea de e é também vis´ıvel de v. . . . 61 4.6 (a) Cone originado por apenas um segmento. (b) Cone originado por dois

segmentos. (c) Devido `a existˆencia de buracos, existem quatro segmentos vis´ıveis disjuntos para a pe¸ca p, e portanto, quatro cones de visibilidade independentes. . . 61

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LISTA DE FIGURAS ix 4.7 An´alise duma pe¸ca p com v´arios cones de visibilidade independentes. Os

segmentos assinalados a tra¸co grosso e negro são os segmentos que originam os cones de visibilidade. Os segmentos assinalados a tra¸co grosso e cinzento claro constituem a parte da fronteira da pe¸ca vizinha de p que é vis´ıvel de v. 62 4.8 (a) A pe¸ca p2 é não vis´ıvel de v já que o segmento assinalado (vis´ıvel em p2

e transmitido por p1) define com v um cone degenerado. (b) A pe¸ca p3 est´a

totalmente contida no cone de visibilidade, sendo totalmente vis´ıvel de v. (c) Apenas parte do interior da pe¸ca p4 est´a dentro do cone de visibilidade.

Portanto p4 ´e parcialmente vis´ıvel de v. . . . 62

4.9 A pe¸ca p tem duas seçcões vis´ıveis de v. . . . 63 4.10 Os segmentos s1, s2 e s3 separam a região vis´ıvel da região não vis´ıvel de p

em rela¸cão a v. . . . 63 4.11 Existem duas seçcões de visibilidade em p. Uma é definida pelo corte ~s1 e a

outra pelos cortes ~s2 e ~s3. . . 64

4.12 Pol´ıgono e respectiva parti¸c˜ao Πr−cut. . . 64

4.13 Ajustamento de π

2-reflectores a arestas. . . 65

4.14 A parti¸c˜ao considerada ´e ΠH. Apesar de ser parcialmente vis´ıvel por mais

do que um vértice, a pe¸ca p4 é trivialmente não vis´ıvel por seçcões. . . 69

4.15 Apesar de um dos cortes não entrar pelo mesmo lado que os outros dois cortes, a pe¸ca p é trivialmente não vis´ıvel por seçcões. . . . 70 4.16 (a) Como todos os cortes estão no mesmo quadrante, a pe¸ca p é trivialmente

não vis´ıvel por seçcões. (b) Os cortes ~s4 e ~s5 definem uma seçcão vis´ıvel.

Como ~s5 está no mesmo quadrante dos outros cortes, a pe¸ca é não vis´ıvel

por seçcões. . . 70 4.17 A ordem pela qual são visitadas as pe¸cas do arranjo é determinada pela

orienta¸cão do corte. . . 72 4.18 (a) A pe¸ca p é parcialmente vis´ıvel dos vértices v1 e v14. (b) Resultado

da introdu¸cão do corte que define a seçcão vis´ıvel de v1 e actualiza¸cão da

visibilidade. (c) Adi¸cão dos cortes originados pela seçcão vis´ıvel de v14 e

actualiza¸cão da visibilidade. Uma face do arranjo não fica vis´ıvel de nenhum vértice. . . 73

(17)

x LISTA DE FIGURAS

4.19 A pe¸ca p ´e parcialmente vis´ıvel dos v´ertices v1, v6 e v14. . . 74

4.20 Actualiza¸cão do arranjo e da visibilidade por (a) introdu¸cão do corte pro-vocado pelo vértice v1; (b) adi¸cão do corte originado pelo vértice v6; (c) inser¸cão do corte relativo ao vértice v16. . . 74

5.1 Diagrama das classes que constituem as estruturas de dados. . . 76

5.2 Atributos das classes Structure, LoL e Vertex. . . 76

5.3 Atributos das classes GridNode, HalfEdge e Face. . . 77

5.4 Atributos das classes Cut e MPElement. . . 77

5.5 Classes Segment, EdgeVisibility e VisibilityWindow e seus atributos. . 78

5.6 Classes HasseNode e VertexHN e respectivos atributos. . . 79

5.7 Classes que implementam as diferentes fases do m´etodo. . . 79

5.8 Informa¸c˜ao recolhida na resolu¸c˜ao de MVG para um pol´ıgono. . . 80

5.9 Interface gr´afica da aplica¸c˜ao. . . 81

5.10 Interface gráfica da aplica¸cão: pol´ıgono de visibilidade dum vértice. . . 82

6.1 Exemplos de grid n-ogons: (a) grid 12-ogon; (b) grid 14-ogon; (c) grid 16-ogon; (d) grid 18-ogon. . . 83

6.2 Pol´ıgono de 48 v´ertices e 2 buracos. . . 84

6.3 Varia¸cão do tempo de execu¸cão por altera¸cão da parti¸cão inicial, para amos-tras aleatórias (sem buracos) e 2π-guardas. . . . 86

6.4 Nenhum dos vértices de P vê totalmente a pe¸ca p, considerando que os guardas a colocar são π 2-reflectores. . . 88

6.5 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo de execu¸cão obtido para 2π-guardas com parti¸cão inicial ΠH e o polinómio interpolador, em pol´ıgonos aleatórios. 91

6.6 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo de execu¸cão obtido para 2π-guardas com parti¸cão inicial Πr−cute o polinómio interpolador, em pol´ıgonos aleatórios. 91

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LISTA DE FIGURAS xi 6.7 Compara¸cão entre o número de 2π-guardas obtido para pol´ıgonos aleatórios

e as fun¸c˜oes f (n) = bn

4c e g(n) = n6. . . 92

6.8 Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o n´umero de π-guardas determinado experi-mentalmente e f (n) = 11n−30

50 , nas amostras aleat´orias. . . 93

6.9 Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o n´umero de π

2-guardas obtido

experimen-talmente e g(n) = 23n−60

100 , nas amostras aleat´orias. . . 94

6.10 Compara¸cão entre o número de guardas obtido para pol´ıgonos aleatórios, considerando diferentes tipos de guardas. . . 95 6.11 Compara¸cão entre o número de itera¸cões obtido para pol´ıgonos aleatórios,

considerando diferentes tipos de guardas e parti¸c˜ao inicial ΠH. . . 96

6.12 Compara¸cão entre o número de itera¸cões obtido para pol´ıgonos aleatórios, considerando diferentes tipos de guardas e parti¸cão inicial Πr−cut. . . 96

6.13 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo de execu¸cão obtido para 2π-guardas com parti¸cão inicial ΠH e o polinómio interpolador, em pol´ıgonos com buracos. 98

6.14 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo de execu¸cão obtido para 2π-guardas com parti¸cão inicial Πr−cut e o polinómio interpolador, em pol´ıgonos com

buracos. . . 98 6.15 Compara¸cão entre o número de 2π-guardas obtido para pol´ıgonos aleatórios

com dois buracos rectangulares e as fun¸c˜oes f (n) = bn+h

4 c e k(n) = b2n7 c. . 99

6.16 Compara¸cão entre o número de 2π-guardas obtido para pol´ıgonos aleatórios com dois buracos rectangulares e as fun¸cões g(n) = n+h

6 e h(n) = bn+2h4 c. . 99

6.17 Ajuste (por interpola¸cão) entre o número de π-guardas obtido experimen-talmente e a fun¸cão f (n) = 9n−52

40 , nas amostras aleat´orias com dois buracos

rectangulares. . . 101 6.18 Ajuste (por interpola¸c˜ao) entre o n´umero de π

2-guardas obtido e a fun¸c˜ao

f (n) = 17n+4

80 , em pol´ıgonos aleat´orios com dois buracos rectangulares. . . . 102

6.19 Pol´ıgonos da classe Fat para n = 4, 6, 8, 10, 12. . . 103 6.20 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio p(n)

(19)

xii LISTA DE FIGURAS 6.21 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio p(n)

de grau 4 para 2π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos Fat. . . 104

6.22 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio p(n) de grau 2 para π-guardas e parti¸cão ΠH, para pol´ıgonos Fat. . . 107

6.23 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e a fun¸cão ex-ponencial p(n) = 5, 8 exp(0, 2n) para π-guardas e parti¸cão Πr−cut, para

pol´ıgonos Fat. . . 108 6.24 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e a fun¸cão

ex-ponencial p(n) = 2, 4 exp(0, 2n) para π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para

pol´ıgonos Fat. . . 110 6.25 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio p(n)

de grau 2 para π

2-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos Fat. . . 111

6.26 Pol´ıgonos da classe MinArea para n = 4, 6, 8, 10, 12. . . 112 6.27 Compara¸c˜ao entre o tempo de determina¸c˜ao da visibilidade e o tempo

to-tal de execu¸c˜ao para 2π-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos da classe

MinArea. . . 113 6.28 Compara¸c˜ao entre o tempo de determina¸c˜ao da visibilidade e o tempo total

de execu¸c˜ao para 2π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos da classe

MinArea. . . 113 6.29 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio

interpolador de grau 4 para 2π-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos da

classe MinArea. . . 114 6.30 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio

interpolador de grau 4 para 2π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos da

classe MinArea. . . 114 6.31 Compara¸c˜ao entre o tempo de determina¸c˜ao da visibilidade e o tempo total

de execu¸c˜ao para π-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos da classe MinArea.115

6.32 Compara¸cão entre o tempo de determina¸cão da visibilidade e o tempo to-tal de execu¸cão para π-guardas e parti¸cão Πr−cut, para pol´ıgonos da classe

(20)

LISTA DE FIGURAS xiii 6.33 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio

interpolador de grau 4 para π-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos da

interpolador de grau 4 para π-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos da

classe MinArea. . . 117 6.35 Compara¸c˜ao entre o tempo de determina¸c˜ao da visibilidade e o tempo total

de execu¸c˜ao para π

2-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos da classe MinArea.117

6.36 Compara¸cão entre o tempo de determina¸cão da visibilidade e o tempo to-tal de execu¸cão para π

2-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos da classe

MinArea. . . 118 6.37 Ajuste (por interpola¸cão) entre o tempo total de execu¸cão e o polinómio

interpolador de grau 4 para π

2-guardas e parti¸c˜ao ΠH, para pol´ıgonos da

interpolador de grau 4 para π

2-guardas e parti¸c˜ao Πr−cut, para pol´ıgonos da

classe MinArea. . . 119 6.39 (a) Coloca¸c˜ao de b18

4c = 4 reflectores (π-guardas ou π2-guardas) num pol´ıgono

MinArea de 18 v´ertices. (b) Coloca¸c˜ao de b20

4c = 5 reflectores (π-guardas

ou π

2-guardas) num pol´ıgono MinArea de 20 v´ertices. . . 119

6.40 Compara¸cão entre o número de π-guardas obtido para pol´ıgonos aleatórios e a fun¸cão f (n) = bn

4c. . . 120

6.41 Compara¸c˜ao entre o n´umero de π

2-guardas obtido para pol´ıgonos aleat´orios

e a fun¸c˜ao f (n) = bn

(21)

(22)

Lista de Tabelas

1.1 Limites inferiores e superiores para o número de 2π-guardas necessários para vigiar um pol´ıgono. As conjecturas estão assinaladas com o sinal (?). . . . 14 1.2 Limites inferiores e superiores para o número de α-reflectores necessários

para vigiar um pol´ıgono, com α = π, π/2. . . . 16 3.1 Tabela referente aos pontos da parti¸cão da Figura 3.27. . . 50 3.2 Tabela referente às pe¸cas da parti¸cão da Figura 3.27. . . 51 3.3 Tabela referente às meias arestas da parti¸cão da Figura 3.27. . . 51 6.1 Redu¸cão do tempo de execu¸cão quando se aplica

boxDominanciaCon-junta (BDC): tempo de execu¸c˜ao para 2π-guardas partindo de ΠH sem e

com BDC. . . 86 6.2 Redu¸c˜ao do tempo de execu¸c˜ao quando se aplica

boxDominanciaCon-junta (BDC): tempo de execu¸c˜ao para 2π-guardas partindo de Πr−cut sem

e com BDC. . . 87 6.3 Número de itera¸cões para as parti¸cões ΠH e Πr−cut considerando 2π-guardas

e Γ0 constitu´ıdo pelas pe¸cas que s˜ao parcialmente vis´ıveis de, no m´aximo,

um vértice. . . 87 6.4 Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão para as parti¸cões ΠH e Πr−cut

con-siderando 2π-guardas e Γ0segundo o conceito alargado de pe¸cas trivialmente

não vis´ıveis por seçcões. . . 88 xv

(23)

xvi LISTA DE TABELAS 6.5 Número guardas, número de itera¸cões e valor de m0 para as parti¸cões ΠH

e Πr−cut considerando 2π-guardas e Γ0 (antigo) constitu´ıdo apenas pelas

pe¸cas parcialmente vis´ıveis de, no m´aximo, um v´ertice, e Γ0(actual) segundo

o conceito alargado de pe¸cas trivialmente não vis´ıveis por seçcões (cf., critério exposto na Seçcão 4.3.1). . . 89 6.6 Número guardas, número de itera¸cões e valor de m0 para as parti¸cões ΠH

e Πr−cut considerando π-guardas e Γ0 (antigo) constitu´ıdo apenas pelas pe¸cas

parcialmente vis´ıveis de, no m´aximo, um v´ertice, e Γ0 (actual) segundo o

conceito alargado de pe¸cas trivialmente não vis´ıveis por seçcões (cf., critério exposto na Seçcão 4.3.1). . . 90 6.7 Número guardas, número de itera¸cões e valor de m0 para as parti¸cões ΠH

e Πr−cut considerandoπ₂-guardas e Γ0(antigo) constitu´ıdo apenas pelas pe¸cas

parcialmente vis´ıveis de, no m´aximo, um v´ertice, e Γ0 (actual) segundo o

conceito alargado de pe¸cas trivialmente não vis´ıveis por seçcões (cf., critério exposto na Seçcão 4.3.1). . . 90 6.8 Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão para as parti¸cões ΠH e Πr−cut

considerando π-guardas em pol´ıgonos aleatórios. . . . 92 6.9 Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão para as parti¸cões ΠH e Πr−cut

considerando π

2-guardas em pol´ıgonos aleat´orios. . . 94

6.10 N´umero m´edio de π-guardas e π

2-guardas necess´arios para vigiar pol´ıgonos

ortogonais aleatórios. . . 95 6.11 Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão para as parti¸cões ΠH e Πr−cut

con-siderando 2π-guardas em pol´ıgonos aleat´orios com dois buracos rectangulares. 97 6.12 Limites inferiores e superiores para o n´umero de 2π-guardas, colocados em

vértices, necessários para vigiar um pol´ıgono ortogonal com n vértices e h buracos. As conjecturas estão assinaladas com o sinal (?). . . 99 6.13 Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão para as parti¸cões ΠH e Πr−cut

con-siderando π-guardas em pol´ıgonos aleatórios com dois buracos rectangulares. 100 6.14 Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão para as parti¸cões ΠH e Πr−cut

con-siderando π

(24)

LISTA DE TABELAS xvii 6.15 Tempo de execu¸c˜ao para as parti¸c˜oes ΠH e Πr−cut considerando 2π-guardas

em pol´ıgonos da classe Fat. . . 103 6.16 Número de pe¸cas para as parti¸cões ΠH e Πr−cut em fun¸cão do número de

vértices em pol´ıgonos da classe Fat. . . 105 6.17 Tempo para a determina¸cão da visibilidade, da dominância e do tempo total

de execu¸cão para ΠH em fun¸cão do número de vértices em pol´ıgonos da classe

Fat, considerando 2π-guardas. . . 105 6.18 Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da dominˆancia e do tempo total

de execu¸cão para Πr−cut em fun¸cão do número de vértices em pol´ıgonos da

classe Fat considerando 2π-guardas. . . 106 6.19 Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da dominˆancia e do tempo total

de execu¸cão para ΠH em fun¸cão do número de vértices em pol´ıgonos da classe

Fat considerando π-guardas. . . 107 6.20 Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da resolu¸c˜ao dos sub-problemas

de cobertura m´ınima e do tempo total de execu¸c˜ao para Πr−cut em fun¸c˜ao

do número de vértices em pol´ıgonos da classe Fat considerando π-guardas. 108 6.21 Compara¸cão entre a dimensão dos problemas de cobertura m´ınima

resol-vidos para alguns pol´ıgonos da classe Fat para as parti¸c˜oes ΠH e Πr−cut

considerando π-guardas. . . 109 6.22 Tempo para a determina¸c˜ao da visibilidade, da dominˆancia e do tempo total

de execu¸cão para Πr−cut em fun¸cão do número de vértices em pol´ıgonos da

classe Fat considerando π

2-guardas. . . 110

6.23 Tempo para a determina¸cão da visibilidade, da visibilidade e dominância e do tempo total de execu¸cão para ΠH em fun¸cão do número de vértices em

pol´ıgonos da classe Fat considerando π

2-guardas. . . 111

6.24 N´umero de itera¸c˜oes para 2π-guardas, π-guardas e π

2-guardas para as

parti-¸c˜oes ΠH e Πr−cut em pol´ıgonos MinArea. . . 112

6.25 Redu¸cão do número de itera¸cões para os pol´ıgonos da classe MinArea par-tindo de ΠH e de Πr−cut. . . 115

(25)

(26)

Introdu¸c˜

ao

Nesta disserta¸cão tratamos o problema da coloca¸cão de guardas em vértices dum pol´ıgono simples de forma que o vigiem completamente e o seu número seja m´ınimo. Será abrevia-damente designado por MVG (Minimum Vertex Guard, em Inglês).

Admitindo que os guardas têm amplitude de visão 2π, podemos verificar que o pol´ıgono representado na Figura 1 fica completamente vigiado se se colocarem guardas nos vértices vi

e vj, mas basta um guarda se for colocado no v´ertice vk.

vi

vj

vk

Figura 1: Exemplo dum pol´ıgono que pode ser vigiado por apenas um guarda com ampli-tude de vis˜ao 2π.

Atendendo às carater´ısticas estruturais dalguns pol´ıgonos, é poss´ıvel em certos casos co-nhecer imediatamente a solu¸cão do problema. Por exemplo, se os pol´ıgonos forem con-vexos basta um guarda, o qual poderá ficar colocado em qualquer vértice. É também conhecido que são suficientes bn

3c guardas com amplitude de vis˜ao 2π para vigiar

qual-quer pol´ıgono simples de n v´ertices [Chv´atal 1975], e que bastam bn

4c se o pol´ıgono for

ortogonal [Edelsbrunner et al. 1984]. Nestes casos, a determina¸c˜ao dos v´ertices em que os guardas ficariam colocados pode ser feita em tempo O(n log n) [Avis & Toussaint 1981, Edelsbrunner et al. 1984].

Quando o objectivo é a minimiza¸cão do número de guardas o problema torna-se NP-dif´ıcil (NP-hard, em Inglês). Este resultado come¸cou por ser demonstrado para pol´ıgonos com buracos por O’Rourke e Supowit [O’Rourke & Supowit 1983], e posteriormente foi

(27)

2 Introdução demonstrado para pol´ıgonos sem buracos por Lee e Lin [Lee & Lin 1986]. Em 1995, Shu-chardt e Hecker provaram que MVG é NP-dif´ıcil também para pol´ıgonos ortogonais e que a minimiza¸cão do número de guardas continua a ser NP-dif´ıcil mesmo quando se considera que os guardas podem ser colocados em qualquer posi¸cão e não apenas em vértices [Shuchardt & Hecker 1995].

Esta disserta¸cão focará um método para resolver MVG por aproxima¸cões sucessivas e segue a abordagem proposta por Tomás, Bajuelos e Marques [Tomás et al. 2003]. Cada aproxi-ma¸cão é obtida por resolu¸cão dum problema de cobertura m´ınima de conjuntos (Minimum

Set Cover, em Inglês) associado a uma parti¸cão do pol´ıgono. O processo é iterativo. Para

melhorar a aproxima¸cão, a parti¸cão inicialmente considerada vai sendo refinada. Em cada itera¸cão o valor óptimo está encaixado num intervalo, que se vai sucessivamente reduzindo.

Contributos

O trabalho realizado dá continuidade ao descrito em [Tomás et al. 2003, Marques 2004, Tomás 2004, Tomás et al. 2006]. Um dos objectivos do trabalho foi melhorar aspectos da implementa¸cão desenvolvida por Marques [Marques 2004] para avalia¸cão experimental do método usando pol´ıgonos ortogonais. Outro objectivo foi versatilizar a implementa¸cão de modo a tratar diferentes problemas de vigilância. Assim, foi considerado o problema de minimiza¸cão de guardas em vértices para guardas com amplitude de visão inferior a 2π, no-meadamente, para guardas com amplitude de visão π e π

2. Al´em de se considerar diferentes

tipos de guardas, considerou-se tamb´em pol´ıgonos ortogonais com buracos.

Nesse sentido, foi realizado um estudo dos resultados existentes sobre majorantes e mino-rantes para o número de guardas nas diferentes formula¸cões de MVG. A nova aplica¸cão foi também desenvolvida com aplica¸cão a pol´ıgonos ortogonais. Nesta implementa¸cão melhoraram-se alguns dos algoritmos bem como as estruturas de dados que os suportam, tendo como fim a resolu¸cão dos diferentes problemas de vigilância referidos. Assim, esta implementa¸cão pode ser usada para resolver MVG em pol´ıgonos com e sem buracos, para guardas colocados em vértices com amplitudes de visão 2π, π e π

2. Permite tamb´em

fle-xibilizar o tipo de parti¸c˜ao inicial. Estes aspectos ser˜ao apresentados detalhamente nos cap´ıtulos seguintes.

(28)

Introduc¸˜ao 3

Organiza¸c˜

ao do Texto

Além desta introdu¸cão, a disserta¸cão é constitu´ıda por 7 cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1 apre-sentamos o Problema da Galeria de Arte e algumas das suas variantes. No Cap´ıtulo 2 descrevemos o método proposto em [Tomás et al. 2003] assim como as modifica¸cões intro-duzidas. Os Cap´ıtulos 3 e 4 debru¸cam-se sobre os algoritmos necessários à implementa¸cão. No Cap´ıtulo 3 descrevemos o método de constru¸cão da parti¸cão assim como a estrutura escolhida para representar quer o pol´ıgono como a parti¸cão. No Cap´ıtulo 4 abordamos o problema da determina¸cão da visibilidade, apresentando o método desenvolvido. Neste cap´ıtulo explicamos ainda como decompor uma pe¸ca da parti¸cão segundo as suas seçcões vis´ıveis. No Cap´ıtulo 5 é descrita a implementa¸cão do método exposto no Cap´ıtulo 2. Finalmente, no Cap´ıtulo 6 apresentamos a análise dos resultados obtidos na avalia¸cão ex-perimental desse mesmo método. Terminamos com algumas propostas para continua¸cão deste trabalho.

(29)

(30)

Cap´ıtulo 1

O Problema da Galeria de Arte e

Algumas Variantes

O Problema da Galeria de Arte e suas variantes tem sido activamente estudado desde os anos 70. Neste cap´ıtulo apresentamos algumas das variantes, e respectivos resultados, mais relevantes para o trabalho desenvolvido. Come¸camos por expor, na Seçcão 1.1, o resultado fundamental, conhecido como Teorema da Galeria de Arte. Na Seçcão 1.2 introduzimos alguns conceitos. Nas Seçcões 1.3 e 1.4 apresentamos os resultados conhecidos para algumas variantes do Problema da Galeria de Arte, nomeadamente, para guardas de amplitude de visão 2π e inferior a 2π. Estes resultados servem de controlo aos resultados obtidos pela aplica¸cão implementada para avaliar o método, uma vez que a avalia¸cão foi realizada considerando guardas com amplitude de visão 2π, π e π

2.

1.1 Defini¸c˜

ao

De acordo com a bibliografia relevante da área, o interesse pelo problema da caracteriza¸cão do número necessário de guardas para vigiar uma região poligonal surge, tal como relata Honsberger [Honsbeger 1976], na sequência duma questão colocada por Klee em 1973. Klee colocou o problema de determinar o número m´ınimo de guardas estacionários suficientes para vigiar uma sala duma galeria da arte cujo chão possa ser representado por um pol´ıgono de n vértices.

(31)

6 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes Um guarda estacionário (que neste contexto teria amplitude de visão 2π) é um guarda localizado num ponto fixo que pode ver em todas as direçcões e com alcance ilimitado, se não existirem obstru¸cões. Dizemos que um conjunto de guardas vigia completamente (ou cobre) uma região poligonal se todo o ponto dessa mesma sala é vis´ıvel dalgum guarda. No âmbito deste trabalho identificar-se-á o problema da vigilância com o problema da ilumina¸cão. Assim, podemos dizer que um conjunto de guardas vigia uma sala ou que um conjunto de focos ilumina uma sala.

Em resposta à questão colocada por Klee, em 1975, Chvátal provou o seguinte.

Teorema 1.1 [Chv´atal 1975] Para vigiar qualquer pol´ıgono de n v´ertices, bn

3c guardas

s˜ao sempre suficientes e por vezes necess´arios.

Este resultado ficou conhecido como o Teorema da Galeria de Arte de Chvátal. A prova proposta por Chvátal é indutiva e baseia-se numa decomposi¸cão adequada do pol´ıgono. Em 1978, Fisk [Fisk 1978] apresentou uma prova mais simples baseada na colora¸cão de grafos. Tal como na de Chvátal, a prova come¸ca pela triangula¸cão do pol´ıgono. A Fi-gura 1.1 (a) apresenta o grafo resultante da triangula¸cão dum pol´ıgono simples. Uma

k-colora¸cão dum grafo é uma atribui¸cão de k cores aos nós do grafo de tal modo que nós

adjacentes não tenham a mesma cor. Fisk baseia-se num resultado de teoria de grafos que estabelece que o grafo resultante da triangula¸cão dum pol´ıgono simples admite uma 3-colora¸cão. Os guardas colocados sobre vértices com a mesma cor, conseguem vigiar todo o pol´ıgono. Como existirá pelo menos uma cor que é usada, no máximo, bn

3c vezes,

conclui-se que bastam bn

3c guardas. No final, os guardas s˜ao colocados sobre os v´ertices com a cor

menos frequente. No caso da Figura 1.1 (b) os guardas seriam colocados sobre os v´ertices com a cor 1, bastando trˆes guardas para vigiar o pol´ıgono.

(a) (b) 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3

(32)

O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 7 Para provar que poder˜ao ser necess´arios bn

3c guardas basta considerar, por exemplo, o

pol´ıgono da Figura 1.2.

Figura 1.2: Exemplo dum pol´ıgono que requer bn

3c guardas.

1.2 Pol´ıgonos, Visibilidade e Guardas

Nesta seçcão são introduzidas algumas no¸cões, nomeadamente de pol´ıgono, visibilidade e guarda com amplitude de visão limitada mas de alcance ilimitado. Estas serão necessárias ao longo da disserta¸cão.

1.2.1 Pol´ıgonos

Defini¸c˜ao 1.1 Um conjunto ordenado de n pontos distintos do plano (v1, . . . , vn) define

uma cadeia poligonal, que ´e a uni˜ao dos segmentos de recta e1 = v1v2, . . . , en−1 = vn−1vn.

A cadeia poligonal ´e fechada se existir tamb´em o segmento en = vnv1. A cadeia

poligo-nal é simples se segmentos de recta não consecutivos não se intersectam e quaisquer dois segmentos consecutivos vi−1vi e vivi+1 intersectam-se apenas no ponto vi.

Segundo o Teorema da Curva de Jordan, qualquer cadeia poligonal fechada simples divide o plano em duas componentes conexas: uma limitada designada por interior e outra ilimitada designada por exterior. A cadeia é a fronteira de ambas. Neste trabalho definimos pol´ıgono como sendo a região fechada limitada por uma cadeia poligonal simples fechada, sendo considerada degenerada a situa¸cão em que existem três vértices colineares consecutivos. Os pontos vi, com i = 1, . . . , n, são os vértices do pol´ıgono P . Denotamos o conjunto

de v´ertices de P por VP. Os segmentos ei, com i = 1, . . . , n, s˜ao as arestas, constituindo

fronteira de P . O interior, exterior e fronteira de P s˜ao designados por int(P ), ext(P ) e f r(P ), respectivamente. Ent˜ao P = int(P ) ∪ f r(P ).

(33)

8 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes Defini¸c˜ao 1.2 Um vértice vi é convexo se o ângulo interno ∠vi−1vivi+1 é menor ou igual

a π, e reflexo caso contr´ario.

O ângulo interno é o ângulo medido no interior do pol´ıgono.

Defini¸c˜ao 1.3 Um pol´ıgono é ortogonal se os seus ângulos internos têm amplitude π

2 ou 3π2 .

Um pol´ıgono ortogonal tamb´em pode ser definido como um pol´ıgono cujas arestas s˜ao todas paralelas a um par de eixos ortogonais no plano.

O’Rourke mostrou que n = 2r + 4 para todo o pol´ıgono ortogonal com n vértices sendo r o número dos vértices reflexos do pol´ıgono [O’Rourke 1983].

Defini¸c˜ao 1.4 Um pol´ıgono P ´e um pol´ıgono com buracos, se o seu interior cont´em

sub-pol´ıgonos (buracos), que não se intersectam entre si, nem intersectam a fronteira de P . Um pol´ıgono ortogonal com buracos é um pol´ıgono ortogonal em que os buracos são sub-pol´ıgonos ortogonais.

Tal como a Figura 1.3 ilustra, o conjunto de v´ertices dum pol´ıgono com buracos inclui os v´ertices dos buracos.

Figura 1.3: Pol´ıgono de 50 v´ertices, com 3 buracos.

1.2.2 No¸c˜

oes de visibilidade

Defini¸c˜ao 1.5 Sejam x, y ∈ P . O ponto x vˆe o ponto y (ou y ´e vis´ıvel de x) se o

seg-mento xy n˜ao intersecta o exterior do pol´ıgono P . Isto ´e, se xy ∩ P = xy.

Defini¸c˜ao 1.6 Seja x ∈ P . O conjunto de pontos V(x) = {y | y ∈ P ∧ xy ∩ P = xy}

designa-se por regi˜ao de visibilidade de x. ´E o conjunto de todos os pontos do pol´ıgono P vis´ıveis dum ponto x.

(34)

O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 9 A Figura 1.4 ilustra os dois conceitos que acab´amos de definir.

x y z w (a) w (b) V(w)

Figura 1.4: (a) Os ponto y e z são vis´ıveis de x. O ponto x não vê o ponto w. (b) Região de visibilidade de w.

A defini¸cão de visibilidade apresentada acima permite que o segmento xy intersecte a fronteira do pol´ıgono. É de notar que esta no¸cão de visibilidade nem sempre é a adoptada na bibliografia. Em aplica¸cões como robótica, por exemplo, pode não ser permitido que o segmento xy intersecte a fronteira do pol´ıgono pois, isso poderia resultar numa colisão do robô com um obstáculo. Para modelar essas situa¸cões seria útil considerar que o ponto x vê o ponto y se e só se xy ∩ int(P ) = xy.

Para o problema que será focado no trabalho – determina¸cão do número m´ınimo de guardas colocados em vértices necessários para vigiar um dado pol´ıgono – não é relevante fazer esta distin¸cão entre as duas no¸cões de visibilidade. Assim, utilizaremos a no¸cão de visibilidade introduzida na Defini¸cão 1.5.

Um conjunto de guardas consegue vigiar um pol´ıgono se e só se a reunião das suas regiões de visibilidade for o pol´ıgono P . Quando se pretender refor¸car que os guardas são colocados necessariamente em vértices do pol´ıgono, usar-se-á a designa¸cão de guardas-em-vértices. Em 1983, Lee apresentou um algoritmo com complexidade temporal linear para deter-minar a região de visibilidade a partir dum ponto dado [Lee 1983]. Mais tarde, Joe e Simpson mostraram que o algoritmo de Lee falhava para certas classes de pol´ıgonos, no-meadamente para a classe de pol´ıgonos em espiral e propuseram uma versão nova corri-gida [Joe & Sympson 1987]. Para pol´ıgonos com buracos, Suri e O’Rourke, e Asano et al. apresentaram algoritmos O(n log n) para determinar a região de visibilidade dum ponto qualquer do pol´ıgono [Suri & O’Rourke 1986, Asano et al. 1986]. Cerca duma década de-pois, Hefferman e Mitchell apresentaram um algoritmo O(n + h log h) para o mesmo pro-blema, sendo h o número de buracos do pol´ıgono [Heffernan & Mitchell 1995].

Conhecidas as regiões de visibilidade de cada vértice, as quais são pol´ıgonos, podemos verificar se um conjunto de guardas consegue vigiar o pol´ıgono, determinando a união

(35)

10 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes das suas regiões e verificando se é igual ao pol´ıgono dado. A união, interseçcão e dife-ren¸ca de dois pol´ıgonos pode ser realizada em tempo O(n log n + k log n), em que n é o número total de vértices em ambos os pol´ıgonos e k é o número de vértices do pol´ıgono resultante [Bentley & Ottmann 1979].

Se estas opera¸cões forem realizadas muitas vezes, pode ser vantajoso seguir outra abor-dagem. Uma possibilidade é come¸car por escolher uma parti¸cão conveniente do pol´ıgono, caracterizar o modo como cada vértice vê cada pe¸ca dessa parti¸cão e assim reduzir MVG ao problema de cobertura de todas as pe¸cas com um número m´ınimo de guardas. O método que será focado nesta disserta¸cão enquadra-se nesta última linha.

1.2.3 Guardas de amplitude de vis˜

ao limitada

Em alguns casos é interessante e útil considerar o problema de ilumina¸cão (vigilância) em que os focos emitem luz dentro duma zona angular de amplitude α inferior a 2π, designando-se por α-reflectores. Isto corresponde a dizer que os guardas têm uma amplitude de visão α inferior a 2π.

Para este trabalho iremos considerar tamb´em problemas de vigilˆancia em pol´ıgonos orto-gonais com π

2-reflectores e π-reflectores (tamb´em designados π2-guardas e π-guardas,

res-pectivamente). Note-se que estamos a limitar a amplitude mas n˜ao o alcance de vis˜ao dos guardas.

Na Figura 1.5 estão ilustradas três formas de colocar um π-guarda num vértice reflexo v. Quando não é indicada qualquer restri¸cão considera-se que o π-guarda está em posi¸cão geral.

(a) (b) (c)

Figura 1.5: π-guardas em posi¸c˜oes restringidas: (a) ajustado a uma aresta; (b) direccionado para o interior; (c) direccionado para o exterior;

Na próxima seçcão são apresentados alguns resultados relacionados com as variantes do Problema da Galeria de Arte abordadas neste trabalho, alguns dos quais definem limites

(36)

O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 11 inferiores e superiores para o número de guardas necessários. Esses valores podem ser usados na procura da solu¸cão óptima de MVG.

1.3 Variantes para 2π-Guardas

Recordemos que para pol´ıgonos simples, Chvátal [Chvátal 1975] provou que para vigiar qualquer pol´ıgono de n vértices, bn

3c guardas s˜ao sempre suficientes e por vezes necess´arios.

A prova de Fisk deste mesmo resultado conduziu Avis e Toussaint à constru¸cão dum algoritmo O(n log n) para a coloca¸cão dos bn

3c guardas [Avis & Toussaint 1981].

O Teorema 1.2, análogo ao Teorema da Galeria de Arte de Chvátal, mas agora para pol´ıgonos ortogonais, afirma que bastam e são por vezes necessários bn

4c guardas.

Teorema 1.2 [Kahn et al. 1983] Para vigiar qualquer pol´ıgono ortogonal de n v´ertices

s˜ao sempre suficientes e por vezes necess´arios bn

4c guardas, ou seja, br2c + 1, sendo r o

n´umero de v´ertices reflexos.

Este resultado é válido também quando se restringe a coloca¸cão dos guardas aos vértices do pol´ıgono. A prova pode ser encontrada, por exemplo, em [O’Rourke 1987].

A Figura 1.6 (a) ilustra um pol´ıgono em que bn

4c guardas s˜ao suficientes e a Figura 1.6 (b)

mostra um pol´ıgono em que bn

4c guardas s˜ao necess´arios.

(a) (b)

Figura 1.6: Ambos os pol´ıgonos ortogonais têm 16 vértices. Segundo o Teorema 1.2, o limite superior para o número de guardas necessários para vigiar cada um dos pol´ıgonos é 4. Bastam 2 guardas para vigiar o pol´ıgono representado em (a) e são precisos 4 guardas para vigiar o pol´ıgono representado em (b).

Edelsburnner, O’Rourke e Welzl desenvolveram um algoritmo com complexidade temporal

O(n log n) [Edelsbrunner et al. 1984] para a coloca¸c˜ao de bn

4c guardas num pol´ıgono

(37)

12 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes de L. Mais tarde, Sack e Toussaint mostraram que, para pol´ıgonos ortogonais monótonos, tal coloca¸cão pode ser efectuada em tempo O(n log log n) [Sack & Toussaint 1988]. Um pol´ıgono é monótono se pode ser decomposto em duas cadeias monótonas em rela¸cão à mesma linha. Uma cadeia é monótona em rela¸cão a uma linha se os pontos que a constituem mantiverem a mesma ordem quando projectados sobre essa linha.

1.3.1 Pol´ıgonos com buracos

O livro de O’Rourke [O’Rourke 1987] refere alguns resultados e conjecturas existentes para o n´umero de guardas necess´arios para vigiar um pol´ıgono com buracos.

Em particular, em 1982 O’Rourke mostrou que bn+2h

3 c guardas s˜ao suficientes para vigiar

um pol´ıgono de n vértices e h buracos, e Shermer provou que são por vezes necessários bn+h 3 c

guardas. Hoffmann et al. mostraram que bn+h

3 c guardas s˜ao sempre suficientes,

melho-rando o resultado de O’Rourke [Hoffmann et al. 1991]. Estes valores são válidos quando não se introduz qualquer restri¸cão ao posicionamento dos guardas. No entanto, para guar-das em vértices, o problema está em aberto, existindo a seguinte conjectura de Shermer (cf., [Urrutia 2000]).

Conjectura 1.1 [Shermer] Para vigiar qualquer pol´ıgono de n v´ertices e h buracos s˜ao

suficientes bn+h

3 c guardas-em-v´ertices.

Para o caso em que o número de buracos é 1, Shermer provou que o resultado era válido. Contudo, para h > 1, mantém-se em aberto.

Para pol´ıgonos ortogonais são também conhecidos alguns resultados idênticos. Em parti-cular, Hoffmann provou que, para vigiar um pol´ıgono ortogonal com n vértices e h buracos, são sempre suficientes bn

4c guardas [Hoffmann 1990]. Para o caso de guardas-em-v´ertices,

Shermer conjectura o seguinte.

Conjectura 1.2 [Shermer] Para vigiar qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h

buracos, s˜ao sempre suficientes bn+h

`

A semelhan¸ca da Conjectura 1.1, também esta é válida para pol´ıgonos com 1 buraco, mas para h > 1, a conjectura mantém-se em aberto [Aggarwal 1984].

(38)

O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 13 O exemplo dado na Figura 1.7 mostra que bn+h

4 c guardas-em-v´ertices s˜ao ocasionalmente

necess´arios.

Figura 1.7: Exemplo dum pol´ıgono ortogonal com buracos que necessita de bn+h

4 c

guardas-em-vértices e uma poss´ıvel solu¸cão. O pol´ıgono tem 44 vértices, 4 buracos e necessita de 12 guardas-em-vértices.

Por outro lado, Hoffmann encontrou uma fam´ılia de pol´ıgonos ortogonais com buracos que necessita de exactamente b2n

7 c guardas-em-v´ertices. A Figura 1.8 mostra um pol´ıgono dessa

fam´ılia. Este resultado constitui um contra-exemplo a uma conjectura de Aggarwal que

Figura 1.8: Exemplo dum pol´ıgono ortogonal com buracos que necessita de b2n

7 c

guardas-em-v´ertices e poss´ıvel solu¸c˜ao. afirmava b3n

11c guardas-em-vértices eram sempre suficientes. A não dependência do número

de buracos ´e interessante, tendo Hoffmann elaborado a seguinte conjectura.

Conjectura 1.3 [Hoffmann] Para vigiar qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h

buracos s˜ao sempre suficientes b2n

Os pol´ıgonos de Hoffmann tˆem 14k v´ertices e 2k buracos, e como b2n

7 c = bn+h4 c, este limite

nada acrescenta `a conjectura de Shermer.

Os Teoremas 1.3 e 1.4 enunciam os dois melhores resultados para pol´ıgonos ortogonais com um número arbitrário de buracos e guardas colocados em vértices.

Teorema 1.3 [O’Rourke 1987] Qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices e h buracos

pode ser sempre vigiado por bn+2h

(39)

14 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes Teorema 1.4 [Hoffmann & Kriegel 1993] Qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices

e h buracos pode ser sempre vigiado por bn

3c guardas-em-v´ertices.

N˜ao ´e dif´ıcil verificar que para h > n

6 tem-se b n+2h

4 c > b n

3c e portanto, nesse caso, o segundo

resultado ´e melhor do que o primeiro.

A Tabela 6.10 apresenta um resumo dos resultados referidos para 2π-guardas.

Tipo de pol´ıgono Coloca¸c˜ao de guardas Limite inferior Limite superior

Simples sem restri¸c˜oes bn

3c bn3c

Ortogonal sem restri¸c˜oes bn

4c bn4c

Simples com h sem restri¸c˜oes bn+h

3 c bn+h3 c

buracos em v´ertices bn+h₃ c (?)

Ortogonal com sem restri¸c˜oes bn₄c

h buracos em v´ertices bn+h₄ c bn+h₄ c (?) b2n 7 c (?) bn+2h₄ c bn 3c, h > n6

Tabela 1.1: Limites inferiores e superiores para o número de 2π-guardas necessários para vigiar um pol´ıgono. As conjecturas estão assinaladas com o sinal (?).

Nas duas próximas seçcões apresentamos os melhores resultados conhecidos para α-reflec-tores colocados em vértices, com α = π e α = π

2.

1.4 Variantes para π-Reflectores

Os resultados existentes para o número de α-reflectores suficientes e necessários dependem das restri¸cões impostas ao posicionamento dos reflectores nos vértices reflexos. Por exem-plo, se se encontram ajustados a arestas, direccionados para o interior ou exterior ou, simplesmente, em posi¸cão geral.

Para π-reflectores em posi¸c˜ao geral

Speackmann e Tóth provaram que para iluminar qualquer pol´ıgono com n vértices são suficientes bn

(40)

O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes 15 que para iluminar qualquer pol´ıgono de n vértices, são necessários bn

2c π-reflectores, para n

´ımpar, e bn

2c + 1 π-reflectores, para n par [Speackmann & T´oth 2005].

Para π-reflectores ajustados a uma aresta

Em 2001, Urrutia apresentou uma fam´ılia particular de pol´ıgonos que necessita de b5(n+1)₈ c π-reflectores, em que n é o número de vértices do pol´ıgono, estabelencendo o melhor limite

inferior conhecido para π-reflectores ajustados a uma aresta.

Posteriormente, Speackmann e Tóth mostraram que o número de π-reflectores suficientes para iluminar qualquer pol´ıgono de n vértices é b2n

3 c − 1. Para pol´ıgonos com mais de

três vértices convexos, provaram ainda um resultado mais forte: para iluminar qualquer pol´ıgono de n vértices são suficientes b2n−k

3 c π-reflectores, em que k é o número de vértices

convexos [Speackmann & T´oth 2005].

Para π-reflectores direccionados para o interior

O ´unico limite superior conhecido para π-reflectores direccionados para o interior ´e n − 2

π-reflectores. Ou seja, para iluminar qualquer pol´ıgono com n v´ertices n − 2 π-reflectores

s˜ao suficientes [Urrutia 2000].

Quanto ao limite inferior, o melhor resultado conhecido para π-reflectores direccionados para o interior resulta duma fam´ılia apresentada por Speackmann e T´oth que necessita de

9n

14 − O(1), sendo n o número de vértices do pol´ıgono [Speackmann & Tóth 2005].

1.5 Variantes para Reflectores Ortogonais

Na bibliografia, os π

2-reflectores s˜ao usualmente designados por reflectores ortogonais. Os

dois teoremas seguintes consideram reflectores ajustados a uma aresta, com a restri¸cão de existir no máximo um reflector por vértice.

Teorema 1.5 [Estivill-Castro & Urrutia 1994] Para iluminar qualquer pol´ıgono

orto-gonal com n vértices são suficientes e por vezes necessários b3n−4

(41)

16 O Problema da Galeria de Arte e Algumas Variantes Teorema 1.6 [Abello et al.] Para iluminar qualquer pol´ıgono ortogonal com n v´ertices

e h buracos s˜ao suficientes e por vezes necess´arios b3n+4(h−1)₈ c reflectores ortogonais.

As provas dos teoremas 1.5 e 1.6 podem ser encontradas, por exemplo, em [Urrutia 1995]. A Figura 1.9 exemplifica a necessidade de b3n−4

8 c e b

3n+4(h−1)

8 c reflectores ortogonais para

pol´ıgonos ortogonais sem e com buracos, respectivamente.

(a) (b)

Figura 1.9: (a) Pol´ıgono ortogonal com 12 v´ertices que necessita de b3n−4

8 c reflectores

ortogonais e poss´ıvel solu¸cão. (b) Pol´ıgono ortogonal com 32 vértices e um buraco que necessita de b3n+4(h−1)₈ c reflectores ortogonais e poss´ıvel solu¸cão.

A Tabela 1.2 apresenta um resumo dos resultados referidos para α-reflectores com α = π e

α = π 2.

Tipo de pol´ıgono Tipo de guardas Limite inferior Limite superior

Simples π-reflectores em posi¸c˜ao bn₂c, n ´ımpar bn₂c

geral bn₂c + 1, n par

Simples (k v´ertices π-reflectores ajustados b5(n+1)₈ c b2n₃ c − 1

convexos) a uma aresta b2n−k

3 c, k > 3

Simples π-reflectores direccionados

para o interior

9n

14 − O(1) n − 2

Ortogonal π₂-reflectores ajustados a uma

aresta

b3n−4₈ c b3n−4₈ c

Ortogonal com h

-buracos

π

2-reflectores ajustados a uma

aresta

b3n+4(h−1)₈ c b3n+4(h−1)₈ c

Tabela 1.2: Limites inferiores e superiores para o n´umero de α-reflectores necess´arios para vigiar um pol´ıgono, com α = π, π/2.

(42)

Cap´ıtulo 2

Optimiza¸c˜

ao por Aproxima¸c˜

oes

Sucessivas

Mencionámos que a disserta¸cão foca um método para resolver MVG por aproxima¸cões sucessivas seguindo a abordagem proposta em [Tomás et al. 2003]. No presente cap´ıtulo apresentamos essa mesma abordagem assim como as adapta¸cões realizadas.

Observemos o exemplo da Figura 2.1. Por an´alise das regi˜oes de visibilidade dos dois

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v1 0 v11 v1 2 p2 p5 p8 v1 v1 2

Figura 2.1: Dois guardas bastam para guardar o pol´ıgono.

vértices assinalados pode-se concluir que bastam dois guardas para vigiar o pol´ıgono. Não é dif´ıcil verificar, por uma análise de casos, que um guarda não seria suficiente.

Para a parti¸cão do pol´ıgono representada (adiante designada Πr−cut), vemos que não é

poss´ıvel a pe¸ca rectangular p2 ficar vigiada a n˜ao ser que se coloque algum guarda num

v´ertice que a veja totalmente. Isto quer dizer que o guarda teria de ficar colocado nalgum dos v´ertices da pe¸ca p2 ou em v1. O mesmo se pode dizer de p8 e de v12. Assim, para vigiar

(43)

18 Optimização por Aproximações Sucessivas o pol´ıgono são necessários pelo menos dois guardas, atendendo a que p2 e p8 não partilham

v´ertices.

Se os guardas forem colocados em v1 e v12, o pol´ıgono fica completamente vigiado, caso se

admita que os guardas podem colaborar para conjuntamente vigiarem pe¸cas que nenhum dos dois consegue por si s´o vigiar. De facto, a pe¸ca rectangular p5 n˜ao ficaria vigiada se v1

e v12 não pudessem colaborar, o que obrigaria à coloca¸cão de mais um guarda.

Daqui se conclui que OP T¤({p2, p8}) ≤ OP T (P ) ≤ OP T¤(Πr−cut) = 3, em que OP T¤

designa o valor m´ınimo quando se impõe a restri¸cão de não colabora¸cão e OP T (P ) o valor m´ınimo para P sem essa restri¸cão. A ideia que se acabou de ilustrar é a subjacente ao método proposto em [Tomás et al. 2003] para determinar intervalos de encaixe do óptimo. Considera-se uma parti¸cão Π. Estima-se um majorante para o número de guardas ne-cessários resolvendo um problema de cobertura com a restri¸cão de que os guardas não poderão colaborar para conjuntamente vigiarem pe¸cas que não vêem totalmente. Esta restri¸cão será designada por não colaboração.

Para obter um minorante para OP T (P ), tenta-se identificar um conjunto Γ de pe¸cas de Π que n˜ao possam ser cobertas colaborativamente (pelo que, cada uma delas ter´a de ficar necessariamente totalmente vis´ıvel dalgum guarda).

O algoritmo proposto em [Tom´as et al. 2003] resume-se ao seguinte. aproximacao OPT(P )

Π ← decompor(P )

caracterizar visibilidade para cada p de Π

Γ ← {pe¸cas de Π trivialmente não vis´ıveis por seçcões} Enquanto OP T¤(Γ) < OP T¤(Π)

Γ, Π ← refinar(Π)

Este m´etodo de aproxima¸c˜ao baseia-se no facto de OP T¤(Γ) ≤ OP T (P ) ≤ OP T¤(Π), em

cada itera¸cão, se Π for tal que cada uma das suas pe¸cas é sempre totalmente vis´ıvel de pelo menos um vértice. Mais adiante descreveremos com maior detalhe cada um dos passos do algoritmo, nomeadamente a determina¸cão do conjunto Γ inicial.

O objectivo do refinamento é melhorar a aproxima¸cão. No entanto, o refinamento implica um aumento de complexidade dos sub-problemas de optimiza¸cão que se vão resolvendo. Para poder verificar se uma pe¸ca pode ser vigiada colaborativamente por um conjunto de guardas que a vêem parcialmente pode-se determinar a união das seçcões que os guardas

(44)

Optimização por Aproximações Sucessivas 19 vêem, e verificar se essa união é a pe¸ca. Em alternativa, o que se faz é determinar a decomposi¸cão da pe¸ca induzida pelas seçcões que os guardas vêem e verificar se cada uma das subpe¸cas obtidas é vis´ıvel totalmente dalgum dos guardas. Neste sentido o que se faz é um refinamento da parti¸cão por decomposi¸cão da pe¸ca. Cada subpe¸ca só fica vigiada se for vigiada totalmente por algum guarda, pelo que tais pe¸cas ingressariam no novo conjunto Γ. Em cada itera¸cão só se partirá uma pe¸ca. Caso se conclua que a pe¸ca não pode ser vigiada colaborativamente, essa pe¸ca será inclu´ıda no novo Γ e Π mantém-se inalterado. No exemplo dado na Figura 2.1 se se partisse a pe¸ca p5 concluir-se-ia que OP T¤(Π) = 2,

para a parti¸c˜ao resultante, o que demonstraria que OP T (P ) = 2.

Em [Tomás et al. 2003], Tomás, Bajuelos e Marques propõem que o refinamento seja efec-tuado criteriosamente, de forma a tentar localizar pe¸cas que possam mais rapidamente conduzir a uma redu¸cão significativa do intervalo de encaixe.

De facto, MVG é assim reduzido a uma sucessão de problemas de cobertura m´ınima de conjuntos. Estes problemas são também NP-dif´ıceis, sendo fundamental reduzir a dimensão de cada um dos problemas a resolver para obter um resultado em tempo aceitável. Tal como não é irrelevante a ordem pela qual as pe¸cas vão sendo decompostas, verifica-se também que certas pe¸cas e vértices são mais relevantes para a resolu¸cão do problema do que outros. Esta relevância pode ser formalmente traduzida por uma rela¸cão de dominância que será explorada na resolu¸cão do problema para reduzir a sua dimensão. Informalmente, as pe¸cas dominantes são aquelas que são vis´ıveis do menor número de vértices e, em princ´ıpio, as mais dif´ıceis de vigiar. Os vértices dominantes são aqueles que vêem mais pe¸cas e, em princ´ıpio, os melhores candidatos para colocar os guardas.

Tendo apresentado a ideia geral do método, iremos descrevê-lo mais formalmente na Sec-¸cão 2.3. Para isso come¸caremos por introduzir formalmente nas Seçcões 2.1 e 2.2 alguns dos conceitos já referidos.

2.1 Visibilidade Total, Parcial e por Sec¸c˜

oes

Uma parti¸cão Π dum pol´ıgono consiste na sua decomposi¸cão em pol´ıgonos menores, de tal forma que estes não se sobreponham. Estes pol´ıgonos menores são designados pe¸cas (ou faces) da parti¸cão.