2.5 Introdução à percolação
2.5.3 Expoentes críticos e leis de escala
Todo sistema na iminência de sofrer uma transição de fase, de segunda ordem, apresenta comportamentos não triviais expressos por leis de escala e expoentes críticos. Sistemas que apresentam expoentes críticos em comum pertencem à mesma classe de universalidade [22, 24, 32, 3, 33, 34]. Para analisar a transição geométrica de percolação, consideramos uma rede quadrada onde adotamos como parâmetro de ordem a fração de sítios pertencentes ao maior agregado, P(L, p), dada por,
P(L, p) =M(L, p)
L2 , (2.30)
onde L2é o número total de sítios da rede e M é a massa ou número de sítios do maior agregado.
As propriedades do sistema percolante só serão bem definidas no limite termodinâmico [34], L→ ∞, onde a expressão (2.30) se torna,
P(∞, p) = lim
L→∞
M(L, p)
L2 . (2.31)
Sabemos que para p > pc, o agregado percolante ocupa quase toda a rede (Figs. 2.10(d) e
2.11(c)). Portanto, para que a relação (2.31) esteja de acordo com esse resultado, a massa do agregado percolante M(L, p) deve escalar com o número de sítios L2 da rede para p > pc.
Matematicamente, temos,
M(∞, p > pc) ∼ L2. (2.32)
A Fig. 2.12 mostra o comportamento do parâmetro de ordem P(L, p) em função da proba- ∗Limiar de percolação pccalculado de forma exata.
2.5 Introdução à percolação 43
bilidade de ocupação p para os modelos de percolação por sítio e ligação em redes quadradas. Vemos que a curva P(L, p) varia continuamente com o aumento sistemático de p, à medida que aumentamos o tamanho do sistema, se aproximando do comportamento crítico,
P(∞, p) = 0 se p < pc; P(∞, p) > 0 se p > pc. (2.33)
No entanto, a curva P(L, p) sofre de fato uma transição de segunda ordem apenas no limite termodinâmico (L → ∞) [34]. As Figs. 2.12a e 2.12b indicam que a percolação por ligação apresenta uma probabilidade de ocupação crítica menor do que a encontrada para a percolação por sítio. Para o primeiro caso, pc= 0.5, enquanto que para o segundo pc� 0.5927 [3]. Apesar
dessa diferença no limiar de percolação, os problemas de percolação por sítio e ligação em redes regulares pertencem à mesma classe de universalidade e apresentam as mesmas leis de escala e expoentes críticos mostrados a seguir.
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ������� ��������
(a) Percolação por sítio.
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ������� ��������
(b) Percolação por ligação.
Figura 2.12: Gráfico da fração de elementos pertencentes ao agregado percolante P em função da probabilidade de ocupação p para (a) percolação por sítio e (b) percolação por ligação. As curvas são médias obtidas sobre 1000 amostras para redes quadradas de lado L = 128 e L= 1024. As linhas tracejadas indicam os limiares de percolação pc� 0.5927 e pc= 0.5 para
percolação por sítio e ligação, respectivamente.
No entorno da região crítica, p ≈ pc, temos um comportamento em lei de potência da fração de
sítios pertencentes ao agregado percolante, expresso por,
P(∞, p) ∼ (p − pc)β, (2.34)
onde β é um expoente crítico. Para a percolação em duas dimensões, temos β = 5/36 ≈ 0.1389, enquanto, em três dimensões, temos β ≈ 0.4 [2]. A transição de percolação em duas dimensões é análoga à transição ferromagnética, onde para temperaturas abaixo da temperatura de Curie,
2.5 Introdução à percolação 44
T < Tc, o ferromagneto apresenta magnetização espontânea. Nesse caso, a magnetização m,
assumida como parâmetro de ordem, sofre uma transição de segunda ordem como função da temperatura, de modo que,
m(T ) = 0 se T > Tc ; m(T ) > 0 se T < Tc . (2.35)
Comparando as relações (2.33) e (2.35) vemos que elas são análogas. No entorno da região crítica, T ≈ Tc, temos,
m∼ (Tc− T )β, (2.36)
que é equivalente à Eq. 2.34.
Outra grandeza importante no estudo de percolação é a massa ou quantidade de sítios do maior agregado M(L, p). No limite termodinâmico, L → ∞, para p < pc, a massa do maior
agregado cresce logaritmicamente com o tamanho da rede L, enquanto que para p > pc, temos
M(L, p) ∼ L2, expressando matematicamente que o maior aglomerado ocupa uma fração de toda a rede. Na região crítica, p ≈ pc, a massa do maior agregado escala como uma lei de
potência do tamanho do sistema L, tendo a dimensão fractal do maior aglomerado D como expoente. Na Fig. 2.13, estimamos a dimensão fractal do aglomerado percolante D ≈ 1.89 em duas dimensões calculando a inclinação da curva da sua massa como função do tamanho do sistema. Este resultado é compatível com os resultados da literatura [2, 3]. Esse método é chamado de escalonamento da massa e é similar ao método box-counting mostrado na seção 2.2.3. Em três dimensões, temos D ≈ 2.5 [3]. Agrupando esses resultados, obtemos,
M(L, p) ∼ ln L se p < pc; LD se p ≈ pc; L2 se p > pc. (2.37)
No entorno da região crítica, p ≈ pc, o sistema apresenta uma distribuição de agregados sem
tamanho característico, como mostrado na Fig. 2.15. Esse comportamento é descrito pela distribuição em lei de potência,
ns∼ sτ, (2.38)
onde nsé o número médio por sítio de agregados contendo s sítios e τ é o expoente de Fisher [3].
2.5 Introdução à percolação 45
acumulada N(s) [35], dada por,
Ns= s
∑
s�=1 ns�∼ s−(τ−1). (2.39) ��� ��� ��� ��� ����
��� ��� ��� ��� ��� ��� ����
����
Figura 2.13: Gráfico da massa M do agregado percolante no ponto crítico pc como função
do tamanho L do sistema. Cada ponto da curva foi obtido a partir de uma média sobre 1000 realizações independentes. O valor obtido da dimensão fractal do agreado percolante foi D = 1.89. Este resultado é compatível com os resultados da literatura [2, 3]
O gráfico Ns como função de s em escala logarítmica é mostrado na Fig. 2.14, cuja incli-
nação somada de uma unidade fornece o expoente de Fisher τ = 2.05 [3]. Outra grandeza que diverge como lei de potência na criticalidade é o comprimento de correlação ξ , definido como a distância média entre dois sítios pertencentes ao mesmo agregado. Para p ≈ pc, temos,
ξ = |p − pc|−ν, (2.40)
com ν = 4/3 para duas dimensões e ν ≈ 0.88 em três dimensões [31, 3]. A probabilidade de um sítio pertencer ao maior agregado escala como,
P(∞, p) ∼ (p − pc)β ∼ ξD−E. (2.41)
A partir da expressão (2.41), relacionamos os expoentes críticos β e ν de acordo com,
2.5 Introdução à percolação 46 ��� ��� ��� ��� ���
�
��� ��� ��� ��� ��� ����
�
����
Figura 2.14: Gráfico da distribuição acumulada Ns como função do tamanho s dos agregados
no ponto crítico. Utilizamos uma rede quadrada de lado L = 8192. Os resultados são médias obtidas sobre 100 amostras. A partir da inclinação da curva, obtivemos 1 −τ = −1.05. Logo, o expoente de Fisher é τ = 2.05. Este resultado é compatível com o resultado da literatura [3]. onde d é a dimensão topológica do sistema. Outra propriedade importante em sistemas perco- lantes é a distância mínima ou química � entre dois sítios separados por uma distância Euclidi- ana r, que escala segundo
� ∼ rDmin, (2.43)
onde Dmin é a dimensão fractal associada à distância mínima.