em cadeias harmônicas com restrição no acoplamento de longo alcance
5.4 Transição de Anderson
molas adicionais no ponto crítico na∝ Nφ, com φ = 1/2. Fizemos essa mesma análise para
diferentes valores do parâmetro de custo λ e verificamos que os expoentes críticos são os mes- mos independentemente do valor de λ . No entanto, vale ressaltar que os problemas com custo e sem custo na distribuição de ligações de longo alcance pertencem a classes de universalidade distintas.
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Figura 5.4: Representação das funções auxiliares g(N,N�, α) versus α obtidas a partir dos dados
mostrados na Figura 5.3. A cadeia de tamanho N�= 8192 foi utilizada para gerar todas as
curvas. O cruzamento das curvas em um único ponto, localizado na transição topológica α∗=
3/2, separa a fase geométrica caracterizada por um número finito de molas adicionais do regime onde o número de molas adicionais é proporcional ao tamanho da cadeia.
5.4
Transição de Anderson
A equação 5.6 fornece o espectro de frequências e os modos normais de vibração correspon- dentes. Na Figura 5.5, mostramos o espectro do número de participação dos modos vibracionais considerando uma rede com N = 8192 sítios, com parâmetro de custo λ = 5 e um conjunto de valores distintos do expoente α. Devido à natureza aleatória das conectividades da rede, calcu- lamos o espectro de 102configurações distintas de desordem e extraímos a média. Obtivemos que inicialmente o número de participação decresce com o expoente α, direcionando para a lo-
5.4 Transição de Anderson 90
calização. No entanto, a participação volta a crescer para valores elevados de α. Para pequenas frequências, a desordem se torna progressivamente ineficiente com ω → 0. Em contrapartida, os modos com frequências elevadas são fortemente localizados em torno dos defeitos e o número de participação se torna muito pequeno.
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Figura 5.5: O espectro do número de participação dentro do limite da frequência de banda para uma cadeia com N=8192, parâmetro de custo λ = 5, e valores distintos do expoente α da distribuição de lei de potência das ligações de longo alcance. Podemos observar que o número inicial da participação decresce com o aumento do expoente α, mas voltar a crescer com α no regime de valores elevados de α. No topo da banda, os modos vibracionais são fortemente localizados em torno dos defeitos.
A partir de agora, analisaremos a extensão espacial dos modos vibracionais localizados na parte central do espectro de frequência. Na Fig. 5.6, mostramos a média do número de participação de todos os modos localizados na metade central do espectro de frequência como função do expoente α. Consideramos um parâmetro de custo λ = 5 e diferentes tamanhos de cadeia. O número de participação é mostrado em escala logarítmica para visualizarmos melhor as tendências relevantes do sistema. Primeiramente, notamos que o número de participação
5.4 Transição de Anderson 91
parece ser proporcional ao tamanho da cadeia para pequenos valores de α. Esta é uma clara assinatura dos estados deslocalizados que abrangem uma fração finita do sistema. No regime oposto, de valores elevados de α, a função participação também cresce com o tamanho da cadeia, embora esse crescimento seja menos acentuado. A dependência não monotônica do número de participação com o expoente α, que é especialmente pronunciada para cadeias de tamanho grande, reflete a presença de dois efeitos competitivos associados com a restrição do custo. Para pequenos valores de α, a probabilidade de termos molas conectando sítios distantes é muito alta, e, como resultado, o número total de sítios que não são primeiros vizinhos conectados é bastante reduzido. Consequentemente, levando o sistema a um nível baixo de desordem. Com o aumento de α, o tamanho médio das molas é reduzido, enquanto o número total de molas aumenta para manter a restrição do tamanho total das ligações adicionais. De modo que o aumento do número de molas adicionais aumenta o grau de desordem e reduz a extensão espacial dos modos vibracionais. No entanto, um aumento substancial de α faz com que as ligações adicionais sejam distribuídas de modo a conectar os vizinhos mais próximos disponíveis. Para o caso particular de λ = 5 e valores muito elevados de α, as molas adicionais serão colocadas entre todos os pares de segundos e terceiros vizinhos. Essa configuração é livre de desordem. Portanto, a desordem efetiva, em última análise, decresce com α. A máxima desordem é alcançada para um valor intermediário de α. Os dados apresentados na Fig. 5.6 indicam que o máximo de desordem efetiva acontece para α = 2 no limite termodinâmico.
Com o intuito de melhor compreender a transição de Anderson relacionada a esse modelo, utilizamos uma análise de escalonamento de tamanho finito do número de participação similar a que foi realizada na seção anterior para caracterizar a transição topológica. Próximo à transição deslocalização-localização, o número de participação escala de acordo com
P(N, α) = Nφpf[N1/νp(α − α
c)], (5.13)
onde φpé o expoente de escalonamento do número de participação no ponto crítico da transição
de Anderson αc, e νp é o seu expoente de comprimento de correlação associado. Seguindo o
procedimento de renormalização numérica, funções auxiliares também podem ser introduzidas como
h(N, N�, α) = lnP(N, α)/P(N
�, α)]
ln(N/N�) . (5.14)
Essas funções auxiliares se cruzam no ponto crítico com h(N,N�, α) = φ
p. Na Fig. 5.7, mostra-
mos o conjunto de funções auxiliares h(N,N�, α) derivadas a partir dos dados mostrados na Fig.
5.4 Transição de Anderson 92
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Figura 5.6: Número de participação média dos modos vibracionais contra o expoente da lei de potência α para o parâmetro de custo λ = 5 e diferentes tamanhos de cadeia. Os dados sugerem uma transição de Anderson dos modos deslocalizados para valores pequenos de α para modos localizados para valores grandes de α. O crescimento de P para valores muito grandes de α sinaliza o último decrescimento do grau de desordem no limite de α → ∞.
pequenos desvios devido às correções do escalonamento. O ponto crítico parece ser αc� 1.25,
que é ligeiramente abaixo do valor crítico de α associado com a transição topológica. Esse fato revela que existe um intervalo finito de valores do expoente α para o qual o número finito de li- gações de longo alcance adicionadas permite localizar a maioria dos modos normais. Tal carac- terística assemelha-se com a, já bem conhecida, diferença entre os pontos críticos das transições de percolação clássica e quântica. O expoente de escalonamento do número de participação na criticalidade parece ser φp� 0.7. Uma análise similar também foi realizada utilizando outros
parâmetros de custo e o ponto crítico dessa transição de Anderson, consistentemente, pareceu ter um valor abaixo do valor crítico da transição topológica. No entanto, sistemas com intera- ções de longo alcance usualmente descrevem correções sutis para o escalonamento e nós não ignoramos a possibilidade de um desvio na transição de Anderson quando fazemos cálculos em cadeias de tamanho muito grande.
As funções auxiliares h(N,N�, α) também mostram um mínimo que converge para α = 2
5.5 Conclusões 93
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Figura 5.7: O conjunto de funções auxiliares h(N,N�, α) obtidas a partir dos dados reportados na
Fig. 5.6 contra o expoente da lei de potência α. Em todas as curvas N’=8192. O ponto comum de cruzamento entre as curvas localiza a transição de Anderson em αc� 1.25 e o expoente de
escalonamento da função participação φ � 0.7. O mínimo de h indica a situação de máxima desordem aproximadamente em α = 2.
da distribuição de probabilidade que gera a máxima desordem efetiva. Depois desse ponto, as curvas começam a coalescer, embora sem apresentar um ponto de cruzamento comum que indicaria uma segunda transição de deslocalização. De acordo com esse comportamento, os autoestados vibracionais voltariam a se tornar deslocalizados somente no limite α → ∞.
5.5
Conclusões
Neste capítulo, estudamos os modos normais de vibração de uma cadeia harmônica de N os- ciladores com acoplamentos de longo alcance inseridos aleatoriamente com restrição de acordo com uma função custo. No nosso modelo, a probabilidade de existir uma ligação adicional co- nectando dois sítios que não são primeiros vizinhos é controlada pela distribuição p(r) = 1/rα,
onde α é o expoente de decaimento. A restrição no custo é inserida fazendo com que o com- primento total das ligações adicionais, Lmax, seja proporcional ao tamanho da cadeia, tal que
5.5 Conclusões 94
longo alcance acarreta uma transição topológica em α∗= 3/2. Para α < α∗, o número de liga-
ções adicionais, na, permanece finito no limite termodinâmico, enquanto que, para α > α∗, na
escala linearmente com o tamanho do sistema. Na transição geométrica, o número de ligações adicionais apresenta um escalonamento de tamanho finito anômalo, na∝ N1/2.
Além de identificar e caracterizar uma transição topológica, analisamos a natureza dos modos normais de vibração. Com base em argumentos de escalonamento de tamanho finito, mostramos que o sistema apresenta uma transição localização-deslocalização de Anderson em αc� 1.25. Para pequenos valores de α, o número de ligações adicionais se torna bastante pe-
queno e essas não são suficientes para localizar a maioria dos modos vibracionais. Acima do ponto crítico, todos os modos com frequência vibracional finita se tornam localizados no limite termodinâmico. No entanto, para valores grandes de α, α > 2.5, as ligações adicionais pas- sam a conectar preferencialmente sítios próximos e, consequentemente, o grau de desordem é reduzido. Isso leva a um pequeno aumento na escala de comprimento típico dos modos vibraci- onais, medido pelo número de participação P. Encontramos que a desordem efetiva máxima é alcançada em α � 2. É importante ressaltar que as diferenças entre os pontos críticos das transi- ções geométrica e de Anderson têm explicação semelhante ao fato de que a percolação clássica e quântica usualmente ocorrem em níveis distintos de desordem. Além disso, a limitação do custo no acoplamento de longo alcance influencia fortemente a transição de localização, que, nesse caso, acontece para um valor de α menor do que o valor reportado na ausência da função custo [7].
95
6
Conclusões e perspectivas
Neste capítulo, faremos um breve resumo sobre os resultados mais relevantes obtidos nesta tese e apresentaremos as nossas perspectivas para trabalhos futuros. No capítulo 1 fizemos um breve relato sobre a influência dos meios desordenados em alguns fenômenos físicos. No ca- pítulo 2 fizemos uma revisão sobre fractais e percolação e apresentamos algumas ferramentas matemáticas para analisar e caracterizar sistemas fractais. No capítulo 3 apresentamos o con- ceito de grafos ou redes, assim como as suas principais propriedades e alguns dos modelos mais importantes de construção de redes. No capítulo 4 introduzimos um modelo computacional para simular o processo de erosão marítima mecânica em linhas costeiras. Nesse modelo, conside- ramos que a intensidade da erosão marítima é constante ao longo do tempo e utilizamos regras locais de enfraquecimento para diferenciar a resistência dos sítios situados na costa daqueles rodeados pelo mar. Naturalmente, quanto mais exposta à ação do mar, maior a probabilidade de uma faixa costeira ser erodida.
Em um primeiro momento, aplicamos o nosso modelo a paisagens artificiais cuja distribui- ção espacial das propriedades geológicas, representadas pelo parâmetro de litologia, é aleatória. Para esse caso, quando o processo de erosão é equilibrado pela dureza das rochas, chamado de regime crítico, a linha costeira assume uma forma fractal, caracterizada pela dimensão fractal D= 1.33. Esse valor de dimensão fractal foi obtido anteriormente por Sapoval et al. [92] e descreve bem o litoral da costa leste do Estados Unidos da América e partes do litoral sul fluminense. Além do regime crítico, o nosso modelo apresenta outros dois regimes: o regime subcrítico, quando a intensidade de erosão do mar não consegue "vencer"a dureza das rochas e o mar fica aprisionado pela costa, e o regime supercrítico, quando a erosão marítima é muito intensa e o processo de erosão é perpétuo, fazendo com que o mar nunca seja aprisionado pela costa. No regime subcrítico, a linha costeira é rugosa, mas não fractal. Já no regime super- crítico, a linha costeira assume a forma de um fractal auto-afim que pertence a mesma classe de universalidade das interfaces descritas pela equação KPZ. Embora a dimensão fractal obtida no regime crítico seja observada em algumas linhas costeiras reais, o nosso modelo aplicado a superfícies com distribuição de litologia aleatória, como inicialmente proposto, não consegue
6 Conclusões e perspectivas 96
explicar a diversidade de contornos costeiros observados na natureza. Motivados por esse fato, introduzimos correlações espaciais de longo alcance, representadas pelo expoente de Hurst, na distribuição do parâmetro de litologia de paisagens artificiais, para verificar o que ocorre com a dimensão fractal da linha costeira no regime crítico. Verificamos que essas correlações mudam a classe de universalidade do problema e reproduzem um espectro de dimensão fractal que varia de 1.33 à 1.00 quando variamos o expoente de Hurst no intervalo 0 < H < 1. Assim, com os resultados apresentados no capítulo 4, mostramos que existe uma relação entre as correlações espaciais de longo alcance na distribuição de litologia de paisagens artificiais e a dimensão frac- tal das linhas costeiras geradas a partir do nosso modelo de erosão. Essa relação é uma possível explicação para a diversidade de dimensões fractais encontrada nas linhas costeiras reais. Como extensão desse trabalho, podemos incluir no nosso modelo o transporte de sedimentos e uma interação local do mar com a costa, além de caracterizar a linha costeira no regime supercrítico para distribuições de litologia espacialmente correlacionadas.
Finalmente, no capítulo 5 estudamos a geometria e os modos normais de vibração de uma cadeia harmônica com ligações de longo alcance distribuídas em forma de lei de potência e restritas por uma função custo que é proporcional ao tamanho da cadeia. Mostramos que o nosso sistema sofre uma transição geométrica, variando de um regime de poucas ligações adi- cionais até um regime cujo número de molas conectando sítios, que não são primeiros vizinhos, é proporcional ao tamanho da cadeia. Essa transição ocorre para o expoente de decaimento da distribuição de molas adicionais α∗= 3/2. Além de identificar e caracterizar essa transi-
ção, estudamos a extensão espacial dos modos normais de vibração. Verificamos que o nosso modelo apresenta uma transição deslocalização-localização de Anderson em αc� 1.25 como
consequência do aumento da desordem gerada pela introdução de ligações de longo alcance. Para valores pequenos de α, o custo disponível para inserir ligações adicionais é utilizado com poucas ligações, acarretando em um grau de desordem pequeno e insuficiente para localizar a maioria dos modos vibracionais. Já para valores de α acima do ponto crítico, o grau de desordem do sistema leva à na localização de todos os modos com frequências vibracionais finitas. Contudo, para valores muito elevados de α (α > 2.5) a probabilidade de se conectar sítios distantes se torna muito pequena e as ligações adicionais conectam preferencialmente os sítios próximos, diminuindo a desordem efetiva e deslocalizando os modos normais de vibra- ção. Comparando esses resultados com os obtidos para o modelo tight binding com ligações de longo alcance, constatamos que a função custo muda a classe de universalidade do problema.
Como extensão desses resultados, pretendemos investigar se as transições topológica e de Andersontambém ocorrem para sistemas bidimensionais. Caso isto se verifique, calcularemos os expoentes críticos e determinaremos se eles são consistentes com os obtidos para sistemas
6 Conclusões e perspectivas 97
unidimensionais. Outra extensão importante, seria introduzir um fator de custo na navegação da rede, além de considerar uma função custo na distribuição de ligações de longo alcance. Além disso, seria interessante estudar outras propriedades do nosso modelo como a condutância e a resistência das redes.
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