paisagens correlacionadas
4.4 Litologia correlacionada
O gráfico principal da Figura 4.4 corresponde ao escalonamento de tamanho finito da rugo- sidade. A partir do colapso das curvas, obtivemos os valores α = 0.48 ± 0.04 e z = 1.55 ± 0.11, que são consistentes com os expoentes α = 1/2 e z = 2/3 da classe de universalidade Kardar- Parisi-Zhang (KPZ) [24, 30, 6, 97, 98]. A dependência do expoente de crescimento com o tamanho do sistema é mostrada na Figura 4.5. Nossos resultados indicam que, no limite termo- dinâmico, o expoente de crescimento converge para o valor β = 1/3, condizente com a equação KPZ. Para o caso de erosão forte, no regime f >> fc, onde as regras de enfraquecimento
tornam-se irrelevantes, o regime supercrítico de percolação ordinária é recuperado.
4.4
Litologia correlacionada
Nesta Seção, iremos aplicar o nosso modelo de erosão para o caso de paisagens artificiais desordenadas que possuem correlações espaciais de longo alcance no parâmetro de litologia, l. Como estudado previamente [99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109], podemos obter correlações espaciais de longo alcance utilizando o movimento Browniano fracionário (mBf). Para gerar a distribuição de litologia correlacionada desejada, geramos coeficientes de Fourierno espaço recíproco das frequências, f , de acordo com a densidade espectral em lei de potência S( f1, · · · , fd) = � � � � d
∑
i=1 fi2 −w , (4.4)onde d é a dimensão espacial (d=2 no nosso modelo). Para obter a distribuição de frequências no espaço real, aplicamos a transformada de Fourier inversa. Diversas amostras são geradas e as distribuições são truncadas no intervalo −3σ e 3σ, onde σ é o desvio padrão da distri- buição de frequências. O truncamento é feito de forma que todos os valores fora do intervalo considerado recebam o valor ±3σ, respeitando o sinal original. Finalmente, as distribuições são reescalonadas para o intervalo [0,1]. Cada distribuição é caracterizada por um expoente de Hurst, H, relacionado com o expoente espectral pela expressão w = 2H + d, de modo que, para duas dimensões, as correlações são negativas para 0 < H < 1/2 e positivas para 1/2 < H < 1. No contexto do nosso modelo, uma correlação negativa significa que os vizinhos de um sítio com alto (baixo) valor de litologia tem, em média, um baixo (alto) valor de litologia. Já a correlação positiva significa que os sítios da costa tendem a ter vizinhos com valores de litolo- gia semelhantes aos seus. Para H=2, obtemos uma distribuição de litologia correlacionada de acordo com o movimento Browniano ordinário. A distribuição de litologia não correlacionada é somente obtida para a densidade espectral contante, com w=0 e H=−d/2 (H=−1 em duas
4.4 Litologia correlacionada 78
dimensões).
Figura 4.6: Configurações da distribuição inicial do parâmetro de litologia (a, b e c) e as respec- tivas configurações após a dinâmica de erosão (d, e e f) para o fator de erosão crítico, ( f = fc),
para três diferentes paisagens geradas com correlações espaciais de longo alcance, e valores di- ferentes do expoente de Hurst: (a) e (d) H=0.0; (b) e (e) H=0.2; (c) e (f) H=0.8. O esquema de cores dos sítios da costa representa o valor do parâmetro de litologia, l, e aos sítios mar foram atribuídos o valor l = 0. As configurações foram obtidas para redes quadradas com 5122sítios.
A Figura 4.6 mostra configurações do sistema, para o fator de erosão crítico, f = fc, para
três diferentes valores de expoente de Hurst: H = 0.0, H = 0.2 e H = 0.8. Para os dois primeiros valores de expoente de Hurst, as correlações espaciais são negativas. Enquanto que para H=0.8, o sistema apresenta uma intensa correlação positiva. O incremento do expoente de Hurst faz com que as ilhas se tornem cada vez menos frequentes e a interface principal menos rugosa. No limite de correlações positivas muito intensas (Fig. 4.6), a linha costeira converge para um objeto não fractal de dimensão 1. Na Figura 4.7, mostramos a dimensão fractal da frente da linha costeira, ou seja, os sítios da costa excetuando-se as ilhas, D, como função do expoente de Hurst. Podemos observar que a dimensão fractal decresce continuamente de D = 1.34 ± 0.02, para H = 0.0, até D = 1.04 ± 0.03, para correlações positivas intensas.
4.5 Conclusões 79
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
H
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
D
Figura 4.7: Dimensão fractal D da linha costeira como função do expoente de Hurst H. A dimensão fractal decresce de D = 1.34, para H = 0, até D = 1.04, para H = 1.0. A linha pontilhada indica a dimensão fractal da linha costeira para o caso da litologia não correlacionada (D = 1.33). Cada ponto foi obtido a partir do gráfico do número de sítios ou massa da linha costeira como função do tamanho do sistema L. Os resultados obtidos são médias para os tamanhos L={32, 64, 128, 256, 512, 1024} sobre {3200, 1600, 800, 400, 200, 100} amostras independentes, respectivamente.
4.5
Conclusões
Neste capítulo, introduzimos um modelo para estudar o processo de erosão marítima mecâ- nica em linhas costeiras. O sistema é mapeado em uma rede regular quadrada de dimensão L × L, onde cada sítio pode ser terra ou água. Para os sítios da costa, atribuímos um parâmetro de litologia distribuído no intervalo 0 ≤ li≤ 1, representando as propriedades geológicas do ter-
reno. Além disso, introduzimos uma regra de enfraquecimento local de modo que a resistência dos sítios terra é dada por ri= lini, onde ni é o número de sítios água na vizinhança do sítio
analisado, onde ni pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 ou 4. A adoção dessa regra faz com que
um sítio completamente rodeado por água seja mais frágil do que um sítio similar localizado na costa, tornando o modelo mais realista. Durante todo o processo de invasão, o mar penetra a costa com um “poder de erosão”, representado pelo fator de erosão f, constante. Inicialmente, a linha costeira, definida como a interface terra-água, é uma linha horizontal no topo do sistema. Aplicamos condições de contorno periódicas na horizontal. A cada passo de tempo, os sítios da
4.5 Conclusões 80
costa com resistência menor que o fator de erosão f são erodidos e as configurações dos sítios da costa são atualizadas simultaneamente ao fim de cada iteração. Para ri= li, a resistência
dos sítios terra depende exclusivamente do parâmetro de litologia e a percolação ordinária é recuperada.
De acordo com o fator de erosão do mar, mostramos que o sistema pode se encontrar no regime de erosão forte ou fraca. O regime de erosão fraca é caracterizado pelo aprisionamento do mar pela costa e pelo fato do processo erosivo ser interrompido espontaneamente após pou- cos passos de tempo, enquanto que no regime de erosão forte, a erosão é perpétua e a interface pertence à classe de universalidade Kardar-Parisi-Zhang. A transição entre esse dois regimes ocorre para um valor crítico do fator de erosão, f = fc, sendo caracterizada por uma linha cos-
teira fractal. Para uma distribuição não correlacionada do parâmetro de litologia, encontramos fc� 0.593 e a dimensão fractal associada da interface terra-água, D = 1.33 ± 0.01, que é com-
patível com a dimensão fractal do perímetro acessível do aglomerado de percolação. Já para superfícies com correlações de longo alcance, mostramos que a dimensão fractal muda com o expoente de Hurst, H. Variando H no intervalo 0 ≤ H ≤ 1, a dimensão fractal da linha costeira varia de 1.35 < D < 1.00, indo do regime auto-similar ao auto-afim.
Com esses resultados, mostramos que existe uma relação clara entre correlações espaciais de longo alcance e a dimensão fractal das linhas costeiras geradas a partir do nosso modelo de erosão aplicado em paisagens artificiais. Essa relação é uma possível explicação para a diversidade de dimensões fractais encontrada nas linhas costeiras reais [77, 92]. Como extensão desses resultados, podemos incluir no nosso modelo o transporte de sedimentos e incluir uma interação local do mar com a costa, além de caracterizar a linha costeira no regime de erosão forte para distribuições de litologia espacialmente correlacionadas.
81