Como j´a referimos, uma das principais aplica¸c˜oes da no¸c˜ao de derivada ´e o da localiza¸c˜ao e classifica¸c˜ao dos extremos de uma fun¸c˜ao. Come¸camos por estudar um resultado auxiliar que compara f (x) com f (c) numa vizinhan¸ca de c, mas requer apenas a existˆencia de f′ no ponto c.
Teorema 3.6.1. Se f est´a definida num intervalo aberto I, c∈ I, e f′(c)6= 0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca Vδ(c) onde o sinal alg´ebrico de g(x) = f (x)−
f (c) muda precisamente no ponto c.
Demonstra¸c˜ao. Consideramos apenas o caso f′(c) > 0. Temos ent˜ao que:
f′(c) = lim
x→c
f (x)− f(c) x− c > 0. ´
E claro que existe δ > 0 tal que
x6= c e c − δ < x < c + δ =⇒ f (x)− f(c) x− c > 0.
Se x < c temos ent˜ao x− c < 0 e g(x) = f(x) − f(c) < 0 e se x > c temos x− c > 0 e g(x) = f(x) − f(c) > 0.
Aplicamos o teorema anterior com frequˆencia na seguinte forma simplificada: Corol´ario 3.6.2. Se f est´a definida num intervalo aberto I, c∈ I, f(c) = 0 e f′(c) 6= 0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca Vδ(c) onde o sinal alg´ebrico de f
muda apenas em c, sendo f positiva em ]c, c + δ[ se e s´o se f′(c) > 0. Observa¸c˜oes 3.6.3.
1. O teorema 3.6.1 mostra que se f est´a definida numa vizinhan¸ca de c e f′(c)6=
0 ent˜ao certamente que f n˜ao tem um extremo em c. Dito doutra forma, e como j´a t´ınhamos indicado, se f tem um extremo em c e a derivada f′(c) existe ent˜ao f′(c) = 0, ou seja, c ´e um ponto cr´ıtico de f .
2. N˜ao se pode concluir de 3.6.1 que a fun¸c˜ao f ´e mon´otona numa vizinhan¸ca de c, mesmo que seja diferenci´avel nessa vizinhan¸ca, o que podemos esclarecer com uma ligeira modifica¸c˜ao do exemplo 1.3. Consideramos para isso a fun¸c˜ao dada por f (x) = x + g(x), onde g ´e o referido exemplo, ou seja,
f (x) = ( x + x2sen(1/x2) , se x 6= 0; 0 , se x = 0. ´
E claro que f′(x) = 1+g′(x), e portanto f′muda de sinal em qualquer intervalo
da forma ]−δ, δ[, ou seja, f n˜ao ´e mon´otona em nenhuma vizinhan¸ca da origem (recorde a figura 3.3.1, onde esbo¸c´amos o gr´afico de g′).
Se f ´e diferenci´avel numa vizinhan¸ca de c, c ´e um ponto cr´ıtico de f e f′′(c) 6= 0 ent˜ao podemos aplicar o corol´ario 3.6.2 `a derivada f′, o que,
combinado com o corol´ario 3.4.7, nos conduz ao seguinte resultado cl´assico: Teorema 3.6.4. Se f ´e diferenci´avel em Vε(c), c ´e um ponto cr´ıtico de f e
Figura 3.6.1: A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em R e f′(0) = 1.
(a) Se f′′(c) > 0, a fun¸c˜ao f tem um m´ınimo local em c,
(b) Se f′′(c) < 0, a fun¸c˜ao f tem um m´aximo local em c.
Demonstra¸c˜ao. Pelo corol´ario 3.6.2 aplicado `a fun¸c˜ao f′, existe uma vizi- nhan¸ca Vδ(c) tal que f′ muda de sinal em Vδ(c) apenas em c.
(a) Supondo f′′(c) > 0, ent˜ao f′ ´e positiva em ]c, c + δ[ e negativa em ]c− δ, c[. Segue-se do corol´ario 3.4.7 que f ´e crescente em ]c, c + δ[ e decrescente em ]c− δ, c[, ou seja, f tem um m´ınimo local em c. (b) An´alogo a (a).
Exemplos 3.6.5.
(1) Voltamos ao exemplo f (x) = x3
− 3x que j´a consider´amos anteriormente, com f′(x) = 3x2
− 3 = 3(x2
− 1). Os pontos cr´ıticos de f s˜ao x = ±1. Como f′′(x) = 6x, temos que:
f′′(−1) = −6 < 0 e f′′(1) = 6 > 0.
logo f tem um m´aximo (local) em x =−1 e um m´ınimo, tamb´em local, em x = 1. Esta mesma informa¸c˜ao tinha sido obtida anteriormente analisando directamente o sinal da primeira derivada.
(2) Sabendo apenas que f′′(c) = 0 nada podemos concluir sobre a natureza do
ponto cr´ıtico c. Por exemplo, qualquer uma das fun¸c˜oes u(x) = x3, v(x) = x4
e w(x) = −x4 tem um ponto cr´ıtico em x = 0, e u′′(0) = v′′(0) = w′′(0).
Deve ser ´obvio que u n˜ao tem extremo em 0, v tem m´ınimo, e w tem m´aximo. Note-se de passagem que o menor valor de n para o qual u(n)(0)
6= 0 ´e n = 3, e para v(n)(0)
6= 0 e w(n)(0)
6= 0 ´e n = 4. Veremos a seguir como classificar o ponto cr´ıtico a partir do conhecimento de n.
Teorema 3.6.6. Se f ´e n− 1 vezes diferenci´avel em Vε(c), f(k)(c) = 0 para
0 < k < n e f(n)(c)6= 0 existe, ent˜ao
(a) Se n ´e ´ımpar, a fun¸c˜ao f n˜ao tem um extremo em x = c, (b) Se n ´e par, a fun¸c˜ao f tem um extremo em x = c, sendo que
(i) Se f(n)(c) < 0, a fun¸c˜ao f tem um m´aximo local em c, e
(ii) Se f(n)(c) > 0, a fun¸c˜ao f tem um m´ınimo local em c.
Demonstra¸c˜ao. Aplicamos o corol´ario 3.5.12 `a fun¸c˜ao f com o valor n para observar que lim x→c f (x)− f(c) (x− c)n = g(n)(c) n! = α6= 0
Existe uma vizinhan¸ca Vδ′(c) onde o sinal alg´ebrico de (f (x)− f(c))/(x − c)n ´e o sinal alg´ebrico de α, e observamos que
• Se n ´e par, (x − c)n≥ 0 para qualquer x, e portanto o sinal alg´ebrico
de f (x)− f(c) em Vδ′(c) ´e o sinal alg´ebrico de α. Mais precisamente, – Se α > 0 ent˜ao f (x)− f(c) > 0 em V′
δ(c), e f tem m´ınimo em c,
e
– Se α < 0 ent˜ao f (x)− f(c) < 0 em V′
δ(c), e f tem m´aximo em c.
• Se n ´e ´ımpar, (x − c)n muda de sinal em x = c, ou seja, f (x)− f(c)
muda de sinal em x = c, e f n˜ao tem um extremo em x = c.
A concavidade de uma fun¸c˜ao ´e uma propriedade geom´etrica simples que reflecte apenas a posi¸c˜ao das cordas do seu gr´afico, como sugerido na figura 3.6.2. Dizemos que a fun¸c˜ao ´e cˆoncava se o seu gr´afico est´a sobre as cordas, e convexa se as cordas est˜ao sobre o gr´afico.
a
a c b c b
Para formalizar esta ideia, suponha-se que o dom´ınio de defini¸c˜ao de f inclui o intervalo I e a, b∈ I. Sendo t ∈ [0, 1], ´e f´acil ver que
• c = a + t(b − a) = (1 − t)a + tb ´e um ponto interm´edio(4) entre a e b,
ou seja, a≤ a + t(b − a) ≤ b para qualquer t ∈ [0, 1];
• A corda que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) tem equa¸c˜ao y = f (a) +f (b)− f(a)
b− a (x− a),
e portanto y = (1− t)f(a) + tf(b) ´e a ordenada do ponto com abcissa c = (1− t)a + tb;
• A concavidade de f resulta de comparar as ordenadas f((1 − t)a + tb) (no gr´afico) e (1− t)f(a) + tf(b) (na corda).
a (1− t)a + tb b
f ((1− t)a + tb)
(1− t)f(a) + tf(b) f (a)
f (b)
Figura 3.6.3: A fun¸c˜ao ´e cˆoncava no seu dom´ınio.
Defini¸c˜ao 3.6.7 (Fun¸c˜oes convexas e cˆoncavas em I). Seja f uma fun¸c˜ao definida no intervalo I. Dizemos que
(a) f ´e convexa no intervalo I, ou f tem a concavidade voltada para cima em I, se e s´o se temos, para quaisquer a, b∈ I e t ∈ [0, 1], que
(1− t)f(a) + tf(b) ≥ f((1 − t)a + tb).
4Qualquer real da forma c = a + t(b − a) = (1 − t)a + tb com 0 ≤ t ≤ 1 diz-se uma
combina¸c˜ao convexa de a e b. Note-se que c = a e c = b correspondem respectivamente a t = 0 e t = 1, e quando t = 1/2 ent˜ao c ´e a m´edia aritm´etica de a e b.
(b) f ´e cˆoncava no intervalo I, ou f tem a concavidade voltada para baixo em I, se e s´o se temos, para quaisquer a, b∈ I e t ∈ [0, 1], que
(1− t)f(a) + tf(b) ≤ f((1 − t)a + tb).
(c) f tem um ponto de inflex˜ao em c∈ I se existir δ > 0 tal que f ´e convexa num dos intervalos ]c− δ, c] ou [c, c + δ[ e cˆoncava no outro. ´
E ´obvio que f ´e convexa se e s´o se−f ´e cˆoncava, e por isso ´e f´acil trans- formar observa¸c˜oes sobre fun¸c˜oes convexas em observa¸c˜oes sobre fun¸c˜oes cˆoncavas, e vice-versa.
Teorema 3.6.8. Se f ´e diferenci´avel no intervalo I, ent˜ao (a) f ´e convexa em I⇐⇒ f′ ´e crescente em I, i.e.,
(b) f ´e cˆoncava em I ⇐⇒ f′ ´e decrescente em I.
Demonstra¸c˜ao. Come¸camos por mostrar que se f ´e convexa ent˜ao f′´e cres-
cente. Para isso, sejam a, b ∈ I com a < b e c um ponto entre a e b. Designamos por A = (a, f (a)), B = (b, f (b)) e C = (c, f (c)) os correspon- dentes pontos no gr´afico de f . Dados quaisquer pontos P e Q no plano, designamos aqui por m(P, Q) o declive da recta que passa pelos pontos P e Q, supondo que essa recta n˜ao ´e vertical. Notamos que, como a fun¸c˜ao ´e convexa, temos (ver figura 3.6.4)
m(A, C)≤ m(A, B) ≤ m(C, B)
Fazendo c → b− obtemos m(A, B) ≤ f′(b), e fazendo c → a+, obtemos
f′(a) ≤ m(A, B). Conclu´ımos que f′(a) ≤ m(A, B) ≤ f′(b), i.e., f′(a) ≤ f′(b).
Supondo agora que f′ ´e crescente em I, considere-se a corda que passa pelos pontos A e B, e que tem equa¸c˜ao y = g(x) = f (a) + m(A, B)(x− a), e a fun¸c˜ao ∆(x) = f (x)−g(x) = f(x)−f(a)−m(A, B)(x−a). A convexidade de f ´e a condi¸c˜ao ∆(x)≤ 0, para a ≤ x ≤ b, e temos (figura 3.6.4)
• A derivada ∆′(x) = f′(x)−g′(x) = f′(x)−m(A, B) ´e crescente, porque
f′ ´e crescente, e
• Pelo Teorema de Lagrange, existe ξ ∈]a, b[ tal que f′(ξ) = m(A, B), ou seja, tal que ∆′(ξ) = 0.
Como ∆′(x)≤ ∆′(ξ) = 0 para x∈ [a, ξ] e ∆′(x)≥ ∆′(ξ) = 0 para x∈ [ξ, b],
´e claro que ∆ ´e decrescente em [a, ξ] e crescente em [ξ, b] (e tem ali´as m´aximo em x = ξ). Como ∆(a) = ∆(b) = 0, ´e claro que ∆(x)≤ 0 para x ∈ [a, b].
A
B
C
a c ξ b
Figura 3.6.4: m(A, C)≤ m(A, B) ≤ m(C, B).
Corol´ario 3.6.9. Se f ´e 2 vezes diferenci´avel no intervalo I, ent˜ao (a) f ´e convexa em I ⇐⇒ f′′(x)≥ 0 para qualquer x ∈ I, i.e., (b) f ´e cˆoncava em I ⇐⇒ f′′(x)≤ 0 para qualquer x ∈ I.
Note-se agora tamb´em como imediato que
• Se f′′ existe numa vizinhan¸ca de c e muda de sinal em c ent˜ao c ´e um
ponto de inflex˜ao de f e um extremo local de f′.
• Esta situa¸c˜ao ocorre quando f′′(c) = 0 e a primeira derivada a seguir
`
a segunda que n˜ao se anula em c ´e ´ımpar (recorde o teorema 3.6.6). Tamb´em podemos determinar a concavidade do gr´afico de f sabendo a sua posi¸c˜ao relativa `a posi¸c˜ao das suas rectas tangentes. Na realidade, temos Teorema 3.6.10. Se f ´e diferenci´avel no intervalo I, ent˜ao f ´e convexa em I se e s´o se o gr´afico de f est´a sobre as suas tangentes nos pontos de I. Demonstra¸c˜ao. A recta tangente ao gr´afico de f em x = c tem equa¸c˜ao
y = t(x) = f (c) + f′(c)(x− c).
Supomos primeiro que f ´e convexa em I, e consideramos a fun¸c˜ao auxiliar ∆ : I → R, definida por
∆(x) = f (x)− t(x) = f(x) − f(c) − f′(c)(x− c).
Notamos que ∆′(x) = f′(x)− f′(c) ´e crescente, porque f′ ´e crescente, de acordo com 3.6.8. Como ∆′(c) = 0, ´e claro que ∆′(x) ≤ 0 para x < c e
x = c. Dado que ∆(c) = 0, segue-se que ∆(x)≥ 0 para qualquer x ∈ I, ou seja, o gr´afico de f est´a sobre a tangente.
Suponha-se agora que o gr´afico est´a sempre acima das suas tangentes, e sejam a, b∈ I. Seja c ∈ I um ponto tal que a < c < b, e T a recta tangente ao gr´afico no ponto c. Por hip´otese, os pontos A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)) est˜ao acima da recta T . Segue-se que a corda que une os pontos A e B est´a acima da recta T pelo menos para todos os pontos com abcissa a≤ x ≤ b, e em particular a corda est´a acima do ponto C = (c, f (c)).
Passamos a estudar a quest˜ao da determina¸c˜ao de ass´ımptotas.
Defini¸c˜ao 3.6.11 (Ass´ımptotas). Supomos no caso de (a) e de (b) que o dom´ınio de f inclui um intervalo respectivamente da forma ]− ∞, a] ou [a,∞[.
(a) A recta y = m· x + p ´e uma ass´ımptota `a esquerda ao gr´afico de f se e s´o se lim
x→−∞(f (x)− (m · x + p)) = 0
(b) A recta y = m· x + p ´e uma ass´ımptota `a direita ao gr´afico de f se e s´o se lim
x→+∞(f (x)− (m · x + p)) = 0
(c) A recta x = a ´e uma ass´ımptota vertical do gr´afico de f se e s´o se lim
x→a+f (x) =±∞ e/ou limx→a−f (x) =±∞.
No caso particular em que m = 0, diremos que o gr´afico de f tem uma ass´ımptota horizontal `a esquerda (resp. ass´ımptota horizontal `a direita).
O pr´oximo teorema descreve o c´alculo de ass´ımptotas `a esquerda/direita. Teorema 3.6.12. Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo da forma ]−∞, a[ (resp. ]a, +∞[), com a ∈ R. O gr´afico de f tem uma ass´ımptota `a esquerda (resp. direita) se e s´o se existirem e forem finitos os limites:
(a) m = lim
x→−∞
f (x)
x (b) p = limx→−∞(f (x)− m · x)
(resp. (a) m = lim
x→+∞
f (x)
x (b) p = limx→+∞(f (x)− m · x) ) .
Nesse caso, a ass´ımptota `a esquerda (resp. direita) ´e ´unica e tem equa¸c˜ao y = m· x + p .
Demonstra¸c˜ao. Faremos apenas o caso da ass´ımptota `a esquerda, sendo o da ass´ımptota `a direita completamente an´alogo.
(⇒) Suponhamos que a recta de equa¸c˜ao y = mx + p , m, p ∈ R, ´e uma ass´ımptota `a esquerda ao gr´afico de f . Ent˜ao
lim
pelo que a fun¸c˜ao auxiliar ϕ, definida por
ϕ(x) = (f (x)− (m · x + p)) , satisfaz lim
x→−∞ϕ(x) = 0 .
Temos ent˜ao que lim x→−∞ f (x) x = limx→−∞ mx + p + ϕ(x) x = limx→−∞ m + p x+ ϕ(x) x = m∈ R e lim x→−∞(f (x)− m · x) = limx→−∞(p + ϕ(x)) = p∈ R ,
pelo que os dois limites em causa existem e s˜ao finitos.
(⇐) Suponhamos agora que existem e s˜ao finitos os limites referidos em (a) e (b), com valores m, p∈ R. Temos ent˜ao que
lim
x→−∞(f (x)− (m · x + p)) = 0 ,
pelo que a recta de equa¸c˜ao y = mx + p ´e uma ass´ımptota `a esquerda ao gr´afico de f .
A determina¸c˜ao de ass´ımtotas `a esquerda/direita resume-se assim a duas verifica¸c˜oes, para a = +∞ e para a = −∞:
• Verificar se lim
x→a
f (x)
x = m com m∈ R. • Caso afirmativo, verificar se lim
x→a[f (x)− mx] = p com p ∈ R.
Exemplos 3.6.13.
1. Vamos estudar a fun¸c˜ao f : R\ {0} → R dada por f(x) = x · e1/xe esbo¸car o
seu gr´afico (figura 3.6.5). Em geral, o problema do tra¸cado do gr´afico de uma fun¸c˜ao f passa pela determina¸c˜ao de aspectos e caracter´ısticas como:
• O dom´ınio, e pontos de continuidade e de diferenciabilidade, • As ass´ımptotas,
• Os intervalos de monotonia e os extremos, e • A concavidade e inflex˜oes.
(a) Dom´ınio: ´E o conjunto D = R\{0}. A fun¸c˜ao ´e diferenci´avel em todo o seu dom´ınio e, relativamente a x = 0, notamos que
• lim x→0+xe 1/x= lim t→+∞e t/t = + ∞, • lim x→0−xe 1/x= lim t→−∞e t/t = 0.
Registe-se que a fun¸c˜ao n˜ao ´e prolong´avel por continuidade a x = 0, e que a recta x = 0 ´e uma ass´ımptota vertical do seu gr´afico, do lado x > 0.
(b) Ass´ımptotas: A ´unica ass´ımptota vertical ´e x = 0. Para calcular ass´ımptotas `
a esquerda e/ou `a direita, come¸camos por notar que lim x→±∞f (x)/x = limx→±∞e 1/x= 1 lim x→±∞[f (x)−mx] = limx→±∞xe 1/x −x = lim x→±∞x[e 1/x −1] = lim t→0 et − 1 t = 1 Temos portanto que a recta y = mx + p = x + 1 ´e ass´ımptota de f tanto `a direita como `a esquerda e, em particular, f n˜ao tem extremos absolutos, porque
lim
x→+∞f (x) = +∞ e limx→−∞f (x) =−∞.
(c) Intervalos de monotonia: A derivada f′ ´e dada em D por
f′(x) = e1/x 1−1 x = e1/x x − 1 x .
Como a exponencial ´e sempre positiva, o sinal alg´ebrico de f′ ´e o sinal
alg´ebrico de (x− 1)/x, e n˜ao est´a definida (ND) em x = 0. Os intervalos de monotonia de f ficam assim determinados:
x −∞ 0 1 +∞
f′(x)
+
ND-
0+
f (x) ր ND ց e ր
Mais precisamente, f ´e:
• crescente no intervalo ] − ∞, 0[, • decrescente no intervalo ]0, 1], e • crescente no intervalo [1, +∞[.
(d) Extremos: A fun¸c˜ao tem apenas um ponto cr´ıtico, em x = 1, que ´e obviamente um m´ınimo local. A derivada f′ muda de sinal em x = 0,
mas claro que deste facto n˜ao resulta a existˆencia de um extremo em x = 0, que nem sequer pertence ao dom´ınio da fun¸c˜ao!
(e) Concavidade e Inflex˜oes: A derivada f′′existe no dom´ınio de f , e temos
f′′(x) = e
1/x
x3 .
O sinal de f′′ ´e assim o sinal de x3, ou seja, ´e o sinal de x. Podemos
completar o quadro acima como se segue, juntando a informa¸c˜ao sobre a concavidade de f :
x −∞ 0 +∞
f′′(x) − ND +
f (x) ∩ ND ∪
Repare-se que f n˜ao tem pontos de inflex˜ao (x = 0 n˜ao ´e um ponto de inflex˜ao, porque n˜ao pertence ao dom´ınio de f ), e
• f ´e cˆoncava em ]0, +∞[ e • f ´e convexa em ] − ∞, 0[.
1 e
Figura 3.6.5: Esbo¸co do gr´afico do Exemplo 3.6.13.1.
2. Estudamos agora a fun¸c˜ao f dada por (ver figura 3.6.6) f (x) =|x|x
4
− 2 x4+ 1
(a) Dom´ınio: ´E o conjunto R. A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em R,e ali´as claramente par, pelo que a podemos estudar apenas para x > 0. A fun¸c˜ao ´e de classe C∞em R\{0}, e temos para x > 0 que
f′(x) = (−2 + 11x
4+ x8)
(1 + x4)2 ef′′(x) =
12x3(5− 3x4)
(1 + x4)3
As derivadas f′(0) e f′′(0) n˜ao existem. Existem as derivadas laterais de
f em x = 0, que s˜ao dadas por f′
d(0) =−2 e fe′(0) = 2.
(b) Ass´ımptotas: N˜ao existem ass´ımptotas verticais. Para calcular ass´ımp- totas `a esquerda e/ou `a direita, come¸camos por notar que
lim x→+∞f (x)/x = limx→+∞ x4 − 2 x4+ 1 = 1 e lim x→+∞f (x)− x = limx→−∞x x4 − 2 x4+ 1 − x = 0.
Conclu´ımos que a recta y = x ´e ass´ımptota de f `a direita, e como a fun¸c˜ao ´e par, a recta y =−x ´e ass´ımptota `a esquerda.
(c) Intervalos de monotonia: O sinal da derivada f′ ´e, em R+, o sinal de
dada por x4=−11 + √ 129 2 , i.e., x = 4 s −11 +√129 2 = α≈ 0, 65 Como f ´e par, a derivada f′´e ´ımpar e temos, com β = f (α)≈ −1,
x −∞ −α 0 α +∞
f′(x)
-
0+
ND-
0+
f (x) ց β ր 0 ց β ր
Mais precisamente, f ´e:
• decrescente em ] − ∞, −α], • crescente em [−α, 0],
• decrescente no intervalo [0, α], e • crescente em [α, +∞[.
(d) Extremos: A fun¸c˜ao tem dois pontos cr´ıticos, em x =±α, que s˜ao ambos m´ınimos absolutos. A derivada f′ muda de sinal em x = 0, e resulta
deste facto que f tem um extremo em x = 0, que ´e um m´aximo local. (e) Concavidade e Inflex˜oes: A derivada f′′ ´e par e n˜ao est´a definida em
x = 0. O sinal de f′′ para x > 0 ´e o sinal de x3(5− 3x4), que ´e o sinal de
x(5− 3x4). Com γ =p5/3 ≈ 1, 14 e δ = f(γ) ≈ −0, 14, temos agora:4
x −∞ −γ 0 γ +∞
f′′(x)
-
0+
N D+
0-
f (x) ∩ δ ∪ 0 ∪ δ ∩
f tem pontos de inflex˜ao em x =±γ e • f ´e cˆoncava em ]− ∞, −γ], • f ´e convexa em [−γ, 0], • f ´e convexa em [0, γ], e • f ´e cˆoncava em [γ, +∞[. α γ Figura 3.6.6: O Exemplo 3.6.13.2.
Repare-se que a fun¸c˜ao n˜ao ´e convexa em [−γ, γ], apesar de ser convexa separadamente em cada um dos intervalos [−γ, 0] e [0, γ].