Folhas. Cálculo Diferencial e Integral I LMAC/MEBiom/MEFT 1 o semestre 2015/16

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C´

alculo Diferencial e Integral I

LMAC/MEBiom/MEFT

1

o

_{semestre 2015/16}

Miguel Abreu Rui Loja Fernandes

Manuel Ricou

Departamento de Matem´atica Instituto Superior T´ecnico

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1 Os N´umeros Reais 1

1.1 Propriedades Alg´ebricas . . . 4

1.2 Desigualdades e Rela¸c˜ao de Ordem . . . 9

1.3 O Axioma do Supremo . . . 14

1.4 N´umeros Naturais e Indu¸c˜ao . . . 21

1.5 Conjuntos Infinitos . . . 34

2 Limites e Continuidade 37 2.1 No¸c˜oes Elementares sobre Fun¸c˜oes . . . 37

2.2 Exemplos de Fun¸c˜oes Reais de Vari´avel Real . . . 45

2.2.1 Fun¸c˜oes Polinomiais e Racionais . . . 45

2.2.2 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas . . . 46

2.2.3 Fun¸c˜oes Exponencial e Logaritmo . . . 55

2.3 Limite de uma fun¸c˜ao num ponto . . . 60

2.4 Propriedades Elementares de Limites . . . 68

2.5 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito . . . 75

2.6 Indetermina¸c˜oes . . . 81

2.7 Continuidade . . . 84

2.8 Fun¸c˜oes Cont´ınuas em Intervalos . . . 88

3 Derivadas 95 3.1 Derivada de Uma Fun¸c˜ao num Ponto . . . 95

3.2 Regras de Deriva¸c˜ao . . . 104

3.3 Derivada de Fun¸c˜oes Compostas . . . 106

3.4 O Teorema de Lagrange . . . 112

3.5 Teorema e Regra de Cauchy . . . 120

3.6 Extremos, Concavidade e Ass´ımptotas . . . 129

3.7 Polin´omios de Taylor . . . 141

4 Integrais 153 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 153

4.2 Os Teoremas Fundamentais do C´alculo (I) . . . 159

4.3 T´ecnicas de Primitiva¸c˜ao . . . 165 i

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4.3.1 Primitiva¸c˜ao e Integra¸c˜ao por Partes . . . 167

4.3.2 Primitiva¸c˜ao por Substitui¸c˜ao . . . 169

4.3.3 Primitiva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais . . . 171

4.3.4 Primitiva¸cão de Fun¸cões Trigonométricas . . . 178

4.4 O Integral de Riemann . . . 181

4.5 Fun¸c˜oes Integr´aveis . . . 190

4.6 Os Teoremas Fundamentais do C´alculo (II) . . . 197

5 Sucessões e Séries 203 5.1 Defini¸cões Básicas . . . 203

5.2 Sucess˜oes . . . 211

5.3 S´eries de Termos N˜ao-Negativos . . . 214

5.3.1 Crit´erio de Compara¸c˜ao . . . 215

5.3.2 Crit´erio Integral . . . 217

5.3.3 Crit´erio do Limite . . . 219

5.3.4 Crit´erios da Ra´ız e da Raz˜ao . . . 220

5.4 Outras S´eries Num´ericas . . . 223

5.5 S´eries de Taylor . . . 226

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Os N´

umeros Reais

A sociedade contemporânea é sustentada por uma complexa infraestrutura tecnológica desenhada e constru´ıda por engenheiros mas que, em última análise, deve a sua existência às grandes teorias cient´ıficas da actualidade. Estas teorias assentam, por sua vez, numa base matemática de enorme sofis-tica¸cão técnica, cuja explora¸cão exaustiva se tornou poss´ıvel pelo explosivo desenvolvimento das tecnologias de informa¸cão e comunica¸cões. Em termos práticos, é hoje imposs´ıvel compreender e aplicar muito do conhecimento cient´ıfico mais relevante sem dominar os conceitos e resultados matemáticos indispensáveis à elabora¸cão e explora¸cão desse conhecimento. Sendo a En-genharia sobretudo a aplica¸cão de conhecimentos cient´ıficos à resolu¸cão de problemas práticos espec´ıficos, os seus profissionais necessitam de forma¸cão académica com uma sólida componente matemática, e este texto foi conce-bido exactamente como um instrumento de trabalho útil a alunos de enge-nharia e áreas afins na fase mais inicial do seu percurso universitário.

Pode ser útil identificar desde já algumas das especificidades que dis-tinguem a Matemática de outros ramos do conhecimento humano. A sua escala temporal é seguramente excepcional. A Matemática tem uma história literalmente milenar, e temas como os de Cálculo Diferencial e Integral que aqui nos ocuparão, que come¸caram a ser intensamente explorados há mais de 300 anos, são em certo sentido “modernos”, pelo menos quando observados nesse contexto. Por oposi¸cão, é evidente que áreas cient´ıficas e tecnológicas ob´ıquas na actualidade, como a electrónica, os sistemas de informa¸cão, a energia atómica, o aeroespacial, as telecomunica¸cões são cria¸cões de um passado muito recente, que se mede no máximo em algumas décadas(1).

A própria produ¸cão da Matemática obedece também a métodos muito próprios, de abstraçcão, reflexão e dedu¸cão lógica, numa actividade que apa-rece normalmente a observadores externos como “irrelevante” e totalmente

1_{Estima-se que estejam hoje vivos cerca de 90% de todos os cientistas que j´}_{a viveram,}

e os alunos que entraram no IST em 2014 nasceram aproximadamente quando a Internet passou a estar comercialmente dispon´ıvel em Portugal.

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desligada da “vida prática”, envolvendo conceitos pouco comuns como os de “axioma” e “teorema”. Curiosamente, esta concep¸cão da natureza da Matemática, no que hoje chamamos exactamente o método axiomático, é ela própria muito antiga, porque foi vislumbrada pelo menos há mais de 25 séculos, no per´ıodo áureo da Grécia Antiga. Nessa altura, alguns dos filósofos e matemáticos mais famosos da História compreenderam, talvez pela primeira vez, que as infinitas propriedades das figuras geométricas usu-ais podem ser deduzidas de um pequeno conjunto de propriedades iniciusu-ais, os chamados axiomas, e n˜ao são por isso independentes entre si. Esta des-coberta teve enorme impacto no desenvolvimento cultural da Humanidade, e marca para muitos a descoberta do método cient´ıfico como o instrumento apropriado ao estudo e compreensão da realidade objectiva.

A t´ıtulo de exemplo, o mais antigo desenvolvimento axiomático da Ge-ometria que chegou aos nossos dias foi escrito por Euclides, em Alexandria, por volta de 300 A.C., e é conhecido como os Elementos (de Euclides)(2). Euclides introduziu como termos indefinidos da da sua teoria no¸c˜oes como as de ponto, linha e plano, que representam por isso conceitos a estudar no con-texto da teoria, mas que essa teoria não define. O texto original de Euclides refere apenas 5 axiomas, exprimindo propriedades destas no¸cões tomadas como básicas, sendo que destes o quinto axioma sempre foi o mais famoso e controverso, por ser menos “óbvio”. Pode ser formulado como o axioma das paralelas: por um ponto exterior a uma recta passa uma e uma só recta paralela à recta dada. Foi apenas no século XIX que alguns matem´aticos (Gauss, Bolyai, Lobachevski) se aventuraram a negar este axioma, desco-brindo desta forma geometrias que hoje chamamos não-euclidianas. Uma das versões modernas mais famosas da Geometria Euclidiana baseia-se em 20 axiomas(3_).

´

E hoje um dado adquirido que qualquer teoria matemática supõe como ponto de partida a existência de determinados objectos abstractos, que são os seus termos indefinidos, a partir dos quais se podem introdu-zir definições de outros objectos abstractos. Supõe além disso que esses objectos gozam de um conjunto de propriedades básicas, e são estas proprie-dades que constituem os axiomas da teoria. De uma forma um pouco mais precisa, deve entender-se que

• Os termos indefinidos são conceitos abstractos básicos que a teoria estuda, mas que não define em termos de outras no¸cões porventura mais elementares, e

2_{A Geometria de Euclides ´e sem d´}_{uvida o mais famoso texto cient´ıfico de sempre, e}

provavelmente o livro mais publicado na Hist´oria a seguir aos grandes textos religiosos como a B´ıblia e o Cor˜ao.

3_{Apresentada pelo grande matem´}_{atico alem˜}_{ao David Hilbert, 1862-1943, em 1899.}

O trabalho de Hilbert sobre Geometria est´a dispon´ıvel na Internet, atrav´es do Projeto Gutenberg.

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• Os axiomas são as propriedades dos termos indefinidos que a teoria supõe verdadeiras sem as deduzir a partir de quaisquer outras. O desenvolvimento da teoria é, simplesmente, a explora¸cão das consequências lógicas das propriedades referidas nos axiomas, e s˜ao essas consequências que constituem os teoremas dessa teoria. Bem entendido, não nos pro-pomos apresentar neste texto o laborioso processo de constru¸cão de todas as entidades matemáticas necessárias ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral a partir duma base axiomática razoavelmente completa. Esse pro-cesso de constru¸cão, que é de interesse sobretudo para um grupo restrito de matemáticos profissionais, não é seguramente apropriado ao que será, em muitos casos, o primeiro contacto com ideias aqui apresentadas e discutidas. Mais concretamente, limitamo-nos a aceitar de uma forma “ingénua”, ou seja, sem qualquer tentativa de formaliza¸cão, as principais no¸cões e resulta-dos da Teoria resulta-dos Conjuntos, que é em ´ultima análise o ponto de partida de toda a Matemática actual. Em particular, o texto pressupõe que o leitor co-nhece e entende essas no¸cões e a nota¸cão em que usualmente se exprimem. Para além disso, e como base para a explora¸cão das ideias espec´ıficas do Cálculo Diferencial e Integral, limitamo-nos a tomar a no¸c˜ao de número real como termo indefinido, e seleccionamos um conjunto apropriado de propri-edades básicas dos números reais como axiomas. Todas essas propriedades dizem respeito às opera¸c˜oes de soma e produto e à rela¸cão de ordem entre reais (“maior do que”, “menor do que”, etc.), devem ser bem conhecidas, e o leitor estará provavelmente habituado a tomá-las como “evidentes”, i.e., a aceitá-las sem qualquer discussão ou análise mais profunda, com a poss´ıvel excep¸c˜ao do chamado Axioma do Supremo. Neste primeiro Cap´ıtulo, foca-mos a nossa aten¸cão neste axioma em particular, e aproveitamos também para formalizar um pouco melhor a no¸c˜ao de número natural, e fundamentar o chamado princ´ıpio de indu¸cão.

Com a excep¸cão já referida de resultados e ideias base da Teoria dos Con-juntos, todas as restantes defini¸cões aqui introduzidas não envolvem outros conceitos, e todas as afirma¸cões aqui inclu´ıdas s˜ao teoremas demonstrados a partir dos axiomas iniciais, usando as leis da Lógica. Naturalmente, é in-dispensável adquirir, em paralelo com o desenvolvimento rigoroso da teoria, um entendimento intuitivo dos resultados obtidos, que ajuda em particular a compreender como as ideias em causa são úteis na constru¸cão de modelos matemáticos da realidade f´ısica. Em particular, a usual interpreta¸cão dos n´umeros reais como pontos de uma recta, dita recta real, é indispens´avel ao seu entendimento intuitivo. A correspondência entre números e pontos depende da escolha de uma unidade de medida, e essa escolha pode ser feita seleccionando dois pontos espec´ıficos para corresponderem aos reais zero e um. Essa escolha determina também um sentido crescente na recta, do ponto 0 para o ponto 1, que materializa outra das propriedades mais funda-mentais dos reais, o seu ordenamento. O primeiro axioma que apresentamos

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limita-se a introduzir as entidades mais básicas que nos propomos estudar: os números reais e as usuais opera¸cões de soma e produto.

Axioma I. Existe um conjunto R, dito dos números reais. Existem duas opera¸cões algébricas em R, a soma (ou adi¸cão) e o produto (ou multi-plica¸cão), designadas por “+” e “_{·”, ou seja, se x, y ∈ R então x + y ∈ R e} x_{· y ∈ R. O conjunto R inclui elementos distintos 0 (zero) e 1 (um).}

1 0

R

Como é usual, muitas vezes omitimos o s´ımbolo “_{·”, i.e., escrevemos} xy em vez de x_{· y. Usamos as habituais conven¸cões sobre parênteses e a} prioridade das opera¸cões sem mais comentários, e.g.,

(x + y)_{· z 6= x + y · z = x + (y · z).}

1.1 Propriedades Alg´

ebricas

O próximo axioma é a lista das propriedades algébricas das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão que tomamos como ponto de partida:

Axioma II. Temos para quaisquer a, b, c_{∈ R que:} 1. Comutatividade: a + b = b + a e a_{· b = b · a.}

2. Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c) e (a_{· b) · c = a · (b · c).} 3. Distributividade: a_{· (b + c) = a · b + a · c.}

4. Elementos Neutros: a + 0 = a· 1 = a.

5. Simétricos: A equa¸cão a + x = 0 tem solu¸cão x∈ R. 6. Inversos: Se a6= 0, a equa¸cão a · y = 1 tem solu¸cão y ∈ R.

Como já referimos, as propriedades indicadas acima são bem conhecidas e é comum tomá-las como “óbvias”. O axioma acima mais não faz do que formalizar essa op¸cão. Mas é interessante notar que estas propriedades não

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s˜ao certamente espec´ıficas dos n´umeros reais, porque s˜ao igualmente satis-feitas, e.g., pelos n´umeros racionais e pelos n´umeros complexos(4_).

Como a soma e o produto são comutativos, muitas das afirma¸cões no axioma II podem tomar múltiplas formas, que usaremos sem comentários adicionais. Por exemplo, é claro que

• a + 0 = 0 + a = a · 1 = 1 · a = a (em 4), • a + x = x + a = 0 (em 5) e

• a · y = y · a = 1 (em 6).

Passamos a mostrar que muitas outras propriedades algébricas elementares dos reais não s˜ao independentes das que indic´amos no axioma II, porque são sua consequência lógica, i.e., s˜ao teoremas da teoria que aqui desenvol-vemos. Por exemplo, o axioma II não faz qualquer referência `a unicidade dos elementos 0 e 1 que são referidos em 4, nem muito menos à unicidade (para cada real a) dos reais x e y referidos em 5 e 6. Na realidade, tal referência seria supérflua, porque a unicidade referida resulta das proprie-dades já indicadas, e é um caso particular do que é usual chamar as “Leis do Corte”:

Teorema 1.1.1. Para quaisquer a, u, v _{∈ R, temos}

a) Lei do corte para a soma: u + a = v + a =_{⇒ u = v.}

b) Lei do corte para o produto: a6= 0 e u · a = v · a =⇒ u = v. Demonstra¸c˜ao. Para provar a), observamos que, dado a_{∈ R,}

(1) _{∃x ∈ R tal que a + x = 0} De acordo com II.5.

=⇒ (u + a) + x = (v + a) + x Pela hip´otese u + a = v + a. =_⇒ u + (a + x) = v + (a + x) A soma ´e associativa: II.2.

=_⇒ u + 0 = v + 0 De acordo com (1).

=⇒ u = v 0 ´e neutro da soma: II.4.

A afirma¸c˜ao b) prova-se de forma inteiramente an´aloga.

As seguintes observa¸c˜oes resultam directamente destas “Leis do Corte”. Teorema 1.1.2 (Unicidade dos neutros, sim´etricos e inversos).

4_{Os n´}_{umeros racionais s˜}_{ao da forma n/m, em que n e m s˜}_{ao inteiros. Os complexos}

são da forma x + iy com x, y ∈ R e i = √−1. Qualquer conjunto não vazio com duas opera¸cões algébricas que satisfa¸ca as propriedades 1 a 6 diz-se um corpo. Temos portanto que Q (formado pelos racionais), R (formado pelos reais) e C (formado pelos complexos) são corpos.

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a) Unicidade do Elemento Neutro da Soma: Se x_{∈ R e existe a ∈ R tal que a + x = a ent˜ao x = 0.} b) Unicidade dos Sim´etricos:

Para cada a_{∈ R existe um ´unico x ∈ R tal que a + x = 0.} c) Unicidade do Elemento Neutro do Produto:

Se y∈ R e existe a 6= 0 tal que a · y = a ent˜ao y = 1. d) Unicidade dos Inversos:

Para cada a_{6= 0 existe um ´unico y ∈ R tal que a · y = 1.} Demonstra¸c˜ao. Para verificar a), observamos que

(1) a + x = a Por hip´otese, (2) a + 0 = a De II.4. =⇒ a + x = a + 0 De (1) e (2).

=_⇒ x = 0 Da Lei do Corte para a soma.

Para provar b), supomos que x, x′ _{∈ R satisfazem a + x = 0 = a + x}′. Como a + x = a + x′_{, segue-se da lei do corte para a soma que x = x}′_.

As afirma¸cões c) e d) provam-se de forma análoga. As seguintes defini¸cões são elementares:

Defini¸cão 1.1.3 (Simétricos e inversos, diferen¸cas e quocientes). Dados a, b_{∈ R, então}

a) A solu¸cão x de a + x = 0 é o simétrico de a, designado_−a. b) Se a_{6= 0, a solu¸cão y de a · y = 1 é o inverso de a, designado a}−1.

c) A diferenc¸a b menos a, designada b− a, ´e dada por b − a = b + (−a). d) Se a 6= 0, o quociente de b por a, designado b/a ou b

a, ´e dado por

b/a = b_{· (a}−1). Em particular, 1/a = 1_{· a}−1= a−1(5). ´

E fácil mostrar que o simétrico de 0 é 0, i.e., 0 = _{−0, e o inverso de} 1 é 1, 1−1 _{= 1 (porquê?). Note-se também que a diferen¸ca e o quociente}

são exemplos simples de opera¸cões algébricas que não são comutativas nem associativas. O próximo teorema lista mais propriedades algébricas elemen-tares dos reais.

Teorema 1.1.4. Se a, b_{∈ R ent˜ao:}

5_{A conven¸c˜}_{ao usual sobre a prioridade das opera¸c˜}_{oes elementares ´e a de que, na ausˆencia}

de parênteses, as opera¸cões são executadas na ordem (1) exponencia¸cão, (2) produto e quociente e (3) soma e diferen¸ca. Podemos portanto escrever b/a = b · a−1 _{sem utilizar}

parênteses. A exponencia¸cão não é associativa, e é necessário distinguir a(bc

) _{6= (a}b₎c ₌

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a) A diferen¸ca x = b_{− a é a única solu¸cão de a + x = b em R.} b) Se a_{6= 0, o quociente y = b/a é a única solu¸cão de a · y = b em R.} c) 0_{· a = a · 0 = 0.}

d) a_{· b = 0 se s s´o se a = 0 ou b = 0.} e) Regras dos Sinais:

(i) _{−(−a) = a e −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b.} (ii) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b) e (−a) · (−b) = a · b. (iii) Se b_{6= 0, ent˜ao −(b}−1_{) = (}_−b)−1_.

Demonstra¸c˜ao. Provamos algumas destas afirma¸c˜oes, a t´ıtulo de exemplo, come¸cando com c). ´E claro que a· 0 = 0 · a, por comutatividade. Para mostrar que a_{· 0 = 0, notamos que:}

a_{· 0 + a · 0 = a · (0 + 0)} Por distributividade: II.3. =⇒ a· 0 + a · 0 = a · 0 Porque 0 + 0 = 0: II.4. =⇒ a· 0 + a · 0 = a · 0 + 0 Por II.4.

=_⇒ a_{· 0 = 0} Pela lei do corte para a soma.

Para provar d), temos apenas que demonstrar que se a_{· b = 0 e b 6= 0} ent˜ao a = 0 (porquˆe?). Procedemos como se segue:

(a· b) · b−1_{= 0}_{· b}−1 _{Por hip´}_otese.

=_⇒ a_{· (b · b}−1) = 0 Por associatividade e c). =_⇒ a_{· 1 = 0} Porque b_{· b}−1_{= 1.}

=⇒ a = 0 Porque a· 1 = a.

As demonstra¸cões das restantes afirma¸cões são sobretudo aplica¸cões da lei do corte apropriada. Por exemplo, para mostrar que _{−(−a) = a,} basta-nos verificar que

(1) (−a) + a = 0 Por defini¸c˜ao.

(2) (_{−a) + (−(−a)) = 0} Tamb´em por defini¸c˜ao. =_⇒ (_{−a) + a = (−a) + (−(−a)) Por (1) e (2).}

=⇒ a =−(−a) Pela lei do corte para a soma.

A demonstra¸c˜ao da identidade _{−(a · b) = (−a) · b ´e ligeiramente mais} complexa:

a· b + (−a) · b = [a + (−a)] · b Por distributividade. =_⇒ a_{· b + (−a) · b = 0 · b} Porque a + (_{−a) = 0.} =_⇒ a_{· b + (−a) · b = 0} Porque 0_{· b = 0, por c).} =⇒ a· b + (−a) · b = a · b + [−(a · b)] Porque a · b + [−(a · b)] = 0. =_⇒ (_{−a) · b = −(a · b)} Pela lei do corte para a soma.

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Apresentamos a seguir as usuais regras para manipular fraçcões e os chamados “casos notáveis” da multiplica¸cão. A sua demonstra¸cão não deve apresentar dificuldades.

Teorema 1.1.5. Sejam a, b, c, d∈ R, com b 6= 0 e d 6= 0. Temos ent˜ao: a) a/b_{6= 0 se e s´o se a 6= 0.}

b) b/b = 1, para qualquer b_{6= 0.}

c) a/b_{± c/d = (a · d ± b · c)/(b · d), (a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d).} d) Se c/d_{6= 0 ent˜ao (a/b)/(c/d) = (a · d)/(b · c).}

e) x2_{− y}2_{= (x}_{− y)(x + y) e (x ± y)}2_{= x}2_{+ y}2_{± 2x · y.}

Os resultados que já indicámos são consequência lógica dos axiomas I e II, mas não nos devem induzir no erro de imaginar que todas as propriedades mais ou menos “elementares” e/ou “óbvias” dos reais resultam desses axio-mas(6_{). A este respeito, é muito ´}_{util reconhecer que o conjunto Z}

2={0, 1}

com as opera¸c˜oes (da aritm´etica bin´aria) dadas pelas tabuadas

+ 0 1 0 0 1 1 1 0 · 0 1 0 0 0 1 0 1

satisfaz I e II(7). ´E por isso evidente que todas as propriedades que podemos demonstrar com base nos axiomas I e II s˜ao igualmente v´alidas para Z2 e

para R. Dito doutra forma, as propriedades de R que n˜ao s˜ao partilhadas por Z2 s˜ao imposs´ıveis de deduzir de I e II. Por exemplo,

• R ´e infinito(8_{) enquanto Z}

2 tem apenas dois elementos. Portanto, o

facto de R ser infinito não é consequência lógica dos axiomas apresen-tados, mas é uma propriedade independente destes.

• Por defini¸cão, -1 é a solu¸cão de 1 + x = 0, que sabemos ser única. As tabuadas acima mostram que, em Z2, temos 1 + 1 = 0, donde

conclu´ımos que a identidade _{−1 = 1 ´e verdadeira em Z}2. No entanto,

em R a equa¸cão x = _{−x só tem a solu¸cão x = 0. Notamos por isso} que a afirma¸cão 16= −1, por evidente que seja em R, também não é uma consequência lógica de I e II.

6_{As propriedades que resultam dos axiomas I e II, em particular as que j´}_{a referimos,}

s˜ao comuns a qualquer corpo, incluindo naturalmente Q, R e C.

7_{Portanto, Z}

2 ´e tamb´em um corpo.

8_{E poss´ıvel formalizar a no¸c˜}_´ _{ao de conjunto “infinito”, como veremos mais adiante, mas}

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Como existem propriedades elementares dos reais que não são consequência lógica dos axiomas que indicámos, é claro que os axiomas I e II n˜ao são uma base completa para o estudo dos reais.

Passamos a complementá-los, mas não ainda a completá-los, na próxima seçcão, com afirma¸cões relativas às propriedades “de ordem” em R.

1.2 Desigualdades e Rela¸c˜

ao de Ordem

De um ponto de vista intuitivo, a origem divide a recta real em duas semi-rectas, formadas respectivamente pelos reais positivos e pelos reais negativos, e designadas R+ e R−. A soma de reais positivos é positiva, como a soma de reais negativos é negativa, e dizemos por isso que R+ e R− s˜ao fechados relativamente à soma. E claro que o produto de elementos de R´ + _est´_a

também em R+, ou seja, R+é também fechado relativamente ao produto, o que não é verdade para R−. Estas ideias podem ser formalizadas no: Axioma III. Existe um conjunto R+⊂ R, dos reais positivos, tal que:

1. Fecho de R+ em relac¸˜ao `a soma e ao produto:

Para quaisquer a, b_{∈ R}+, temos a + b_{∈ R}+, a_{· b ∈ R}+. 2. Tricotomia: Qualquer a _{∈ R verifica uma e uma s´o das seguintes}

trˆes condi¸c˜oes:(9)

a_{∈ R}+ ou a = 0 ou _{− a ∈ R}+. O conjunto dos reais negativos pode ser agora definido por

R−=_{{x ∈ R : −x ∈ R}+_}.

Segue-se de 1. e das “Regras dos Sinais” em 1.1.4 e)(i) que R−é igualmente fechado para a soma, como referimos acima. A propriedade de tricotomia é equivalente a afirmar que os conjuntos R+_{, R}− _e _{{0} são disjuntos e a sua}

união é R, ou seja, que os conjuntos R+, R− e {0} formam uma partição de R.

A desigualdade b > a, que lemos “b é maior do que a”, significa apenas que a solu¸cão da equa¸c˜ao a + x = b é positiva, ou seja,

Defini¸cão 1.2.1. (Rela¸cão de Ordem em R) Se a, b∈ R, dizemos que a é maior que b_{⇐⇒ a > b ⇐⇒ (a − b) ∈ R}+.

9_{Esta condi¸c˜}

ao exige que a 6= −a quando a 6= 0, porque caso contrário seria imposs´ıvel que apenas uma das alternativas apresentadas fosse verdadeira. Em particular, o corpo Z2 com dois elementos não satisfaz um axioma análogo a III. No entanto, o axioma III é

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As rela¸cões ‘_{≥’ (maior ou igual), ‘<’ (menor) e ‘≤’ (menor ou igual) são} facilmente definidas a partir de 1.2.1 e serão usadas sem mais comentários. Temos por exemplo

R+={x ∈ R : a > 0} e R−={x ∈ R : a < 0}. O axioma III usa-se muitas vezes na forma:

Teorema 1.2.2. Se a, b∈ R ent˜ao

a) a > 0 e b > 0 =_{⇒ a + b > 0 e a · b > 0.}

b) Verifica-se exactamente um de trˆes casos poss´ıveis: a > b, b > a ou a = b.

O pr´oximo teorema indica algumas das mais elementares propriedades das desigualdades em R.

Teorema 1.2.3. Para quaisquer a, b, c, d_{∈ R, temos:} a) Transitividade: a < b e b < c =_{⇒ a < c.} b) a < b⇐⇒ −a > −b.

c) Lei do Corte (para a soma): a < b_{⇐⇒ a + c < b + c.} d) a < c e b < d =_{⇒ a + b < c + d.}

Dem. Come¸camos por verificar a):

a < b e b < c Por hip´otese. ⇐⇒ (b− a), (c − b) ∈ R+ _{Pela defini¸c˜}_{ao 1.2.1.}

=_⇒ (b_{− a) + (c − b) ∈ R}+ _{Pela a) do teorema 1.2.2.}

⇐⇒ (c− a) ∈ R+ _{Porque c}_{− a = (b − a) + (c − b).}

=_⇒ a < c Pela defini¸c˜ao 1.2.1. A b) resulta de observar, a partir de 1.1.4 e), que

a < b⇐⇒ b − a ∈ R+⇐⇒ (−a) − (−b) ∈ R+⇐⇒ −b < −a. A c) resulta de (b + c)_{− (a + c) = b − a:}

a < b_{⇐⇒ b − a ∈ R}+_{⇐⇒ (b + c) − (a + c) ∈ R}+_{⇐⇒ a + c < b + c.} Para provar d), notamos que, como c > a e d > b, temos

c_{− a ∈ R}+ e d_{− b ∈ R}+, donde (d_{− b) + (c − a) ∈ R}+de III.1, donde c + d > a + b⇔ (c + d) − (a + b) = (d − b) + (c − a) ∈ R+

(15)

A manipula¸cão de desigualdades que envolvem produtos e divisões é mais delicada, e alguns dos erros mais comuns na sua resolu¸cão resultam da incorrecta utiliza¸cão de regras referidas no próximo resultado. Note-se que, como é usual, escrevemos a2 = a· a.

Teorema 1.2.4. Para quaisquer a, b, c, d _{∈ R, tem-se que:} a) a_{· b > 0 ⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).} b) Lei do Corte (para o produto):

a_{· c < b · c ⇐⇒ (a < b e c > 0) ou (a > b e c < 0).} c) a2 > 0 se e s´o se a6= 0, e em particular 1 > 0.

Dem. Para provar a), analisamos todos os casos poss´ıveis: (i) a > 0 e b > 0 ⇒ a · b > 0 De 1.2.2 a). (ii) a < 0 e b < 0 _{⇒ −a > 0 e − b > 0} De 1.2.3 b).

⇒ a · b = (−a) · (−b) > 0 De 1.1.4 f) e 1.2.2 a). (iii) a < 0 e b > 0 ⇒ −a > 0 e b > 0 De 1.2.3 b).

⇒ (−a) · b = −(a · b) > 0 De 1.1.4 f) e 1.2.2 a).

⇒ a · b < 0 De 1.2.3 b).

(iv) a > 0 e b < 0 _{⇒ a · b < 0} E o caso (iii).´

(v) a = 0 ou b = 0 _{⇒ a · b = 0} De 1.1.4 c).

Resulta claramente que

(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0)_{⇐⇒ a · b > 0.} A Lei do Corte em b) ´e uma aplica¸c˜ao simples de a):

a· c < b · c ⇐⇒ 0 < b · c − a · c ⇐⇒ 0 < (b − a) · c ⇐⇒ (b− a > 0 e c > 0) ou (b − a < 0 e c < 0) ⇐⇒

(b > a e c > 0) ou (b < a e c < 0)

A observa¸c˜ao em c) resulta de tomar a = b em a), e em particular de tomar a = 1, porque 12 _{= 1.}

Observa¸c˜oes 1.2.5.

1. Dado a_{∈ R, a Ra´ız Quadrada de a, se existir, é a única solu¸cão x =}√a da equa¸cão x2 _{= a com x}_{≥ 0. Vimos no teorema anterior que se x 6= 0 então}

x2 > 0, e é portanto evidente que a equa¸cão x2 = a só pode ter solu¸cões quando a_{≥ 0. ´}E interessante notar por isso que o corpo dos complexos C não satisfaz um axioma análogo a III, dado que a equa¸cão x2 ₌ _{−1 tem}

(16)

2. Quando a < b temos também que a < a+b₂ < b e portanto _{{x ∈ R : a <} x < b_{} 6= ∅. Segue-se que na realidade {x ∈ R : a < x < b} é sempre infinito} (porquê?).

A no¸c˜ao de módulo ou valor absoluto de x ∈ R é muito útil no que se segue. De um ponto de vista geométrico é, simplesmente, a distância de x `

a origem e, mais geralmente,_{|x − y| é a distância entre x e y. Define-se por} Defini¸cão 1.2.6. O módulo ou valor absoluto de x_{∈ R é dado por}

|x| =√x2 ₌

(

x , se x_{≥ 0;} −x , se x < 0.

Indicamos a seguir algumas propriedades elementares do valor absoluto(10). Teorema 1.2.7. Para quaisquer a, x, y, ε_{∈ R temos:}

a) −|x| ≤ x ≤ |x| e −|x| ≤ −x ≤ |x|.

b) Se ε_{≥ 0, |x| ≤ ε ⇔ −ε ≤ x ≤ ε e |x − a| ≤ ε ⇔ a − ε ≤ x ≤ a + ε.} c) |x · y| = |x| · |y| e, se y 6= 0, |x/y| = |x|/|y|.

d) x2 _{≤ y}2 _{⇐⇒ |x| ≤ |y|.}

e) Desigualdade Triangular: _{|x + y| ≤ |x| + |y|.} f ) ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Dem. Deixamos a demonstra¸c˜ao de a) como exerc´ıcio. Para as restantes afirma¸c˜oes, procedemos como se segue

b) Consideramos separadamente os casos x≥ 0 e x < 0: x_{≥ 0 e |x| ≤ ε ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ ε.}

x < 0 e_{|x| ≤ ε ⇐⇒ 0 < −x ≤ ε ⇐⇒ −ε ≤ x < 0.}

A equivalência |x − a| ≤ ε ⇔ a − ε ≤ x ≤ a + ε é uma consequência da anterior, obtida substituindo na primeira x por x_{− a.}

|x − a| ≤ ε ⇐⇒ −ε ≤ x − a ≤ ε ⇐⇒ a − ε ≤ x ≤ a + ε.

c) O resultado ´e evidente se x· y = 0 ou se x > 0 e y > 0. Os restantes casos seguem-se de “regras dos sinais” do teorema 1.1.4. Consideramos (a t´ıtulo de exemplo) o caso x > 0 e y < 0, em que x_{· y < 0 e x/y < 0.} |x·y| = −(x·y) = x·(−y) = |x|·|y| e |x/y| = −(x/y) = x/(−y) = |x|/|y|.

10_{O m´}_odulo

de um complexo z ∈ C, dado por |z| = |x + iy| =px2_{+ y}2_{, onde x, y ∈ R,}

tem exactamente a mesma interpreta¸cão geométrica: |z| é a distância do ponto z à origem, e z − w é a distância entre os pontos z e w. As propriedades c), e) e f) do teorema 1.2.7 são aliás igualmente válidas para números complexos.

(17)

d) Notamos que x2 _{− y}2 = _|x|2 _{− |y|}2 = (_{|x| − |y|)(|x| + ||y|). Como} |x| + |y| ≥ 0 e |x| + |y| = 0 se e s´o se x = y = 0, ´e claro que

x2_{− y}2 _{≤ 0 ⇐⇒ |x| − |y| ≤ 0 ⇐⇒ |x| ≤ |y|}

e) Pela al´ınea d), e como |x| + |y| = ||x| + |y||, a desigualdade triangular ´e equivalente a (x + y)2≤ (|x| + |y|)2_{. Dado que}

• (x + y)2 _{= x}2_{+ 2xy + y}2 _e

• (|x| + |y|)2=_|x|2+ 2_{|x||y| + |y|}2 = x2+ 2_{|x||y| + y}2,

a desigualdade triangular resulta de observar que xy≤ |xy| = |x||y|. f) Tal como na al´ınea anterior, notamos que

• (x − y)2 _{= x}2_{+ y}2_{− 2xy e}

• (|x| − |y|)2₌_|x|2₊_|y|2_{− 2|x||y| = x}2_{+ y}2_{− 2|xy|.}

Como_{−|xy| ≤ −xy, segue-se de d) que ||x| − |y|| ≤ |x − y|.}

Os intervalos s˜ao subconjuntos de R muito simples, e correspondem aos usuais segmentos de recta, semi-rectas, ou `a pr´opria recta real:

Defini¸c˜ao 1.2.8. (Intervalos) Se a, b ∈ R definimos os seguintes interva-los com extremos a e b:

• O intervalo aberto ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}. • O intervalo fechado [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

• Os intervalos semi-abertos (e semi-fechados) [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} e ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Definimos tamb´em intervalos com extremos infinitos:

• abertos: ]a, +∞[ = {x ∈ R : x > a} e ]−∞, b[ = {x ∈ R : x < b}. • fechados: [a, +∞[ = {x ∈ R : x ≥ a} e ]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}. • A recta real: ] − ∞, ∞[= R ´e um intervalo.

Note-se a t´ıtulo de ilustra¸c˜ao que

]a, a[ =∅, [a, a] = {a} e ] − a, a[= {x ∈ R : |x| < a}.

Se x é uma aproximação ou valor aproximado de a, então _{|x − a|,} que é a distância entre os pontos x e a, é o erro dessa aproxima¸cão, e

(18)

o conjunto _{{x ∈ R : |x − a| < ε} é formado por todos os reais que são} aproxima¸cões de a com erro inferior a ε. Esta ideia é utilizada por todo o Cálculo Diferencial e Integral, e deve ser por isso muito bem compreendida. Qualquer intervalo aberto I tal que a∈ I diz-se aliás uma vizinhança de a, e a chamada vizinhança-ε de a é dada por(11)

Vε(a) =]a− ε, a + ε[= {x ∈ R : |x − a| < ε}.

As vizinhan¸cas privadas de a, designadas V_ε′(a), s˜ao dadas por V_ε′(a) =_{{x ∈ V}ε(a) : x6= a} = {x ∈ R : 0 < |x − a| < ε}.

Vε(a)

a_{− ε} a a + ε

Figura 1.2.1: Vizinhan¸ca-ε de a ∈ R

1.3 O Axioma do Supremo

As no¸c˜oes de máximo e m´ınimo de um conjunto A _{⊂ R são inteiramente} elementares, e utilizadas com frequência no nosso dia a dia. Correspondem `

as seguintes defini¸c˜oes:

• M é máximo de A, e escrevemos M = max A, se e só se M ∈ A e x_{≤ M, para qualquer x ∈ A.}

• m ´e m´ınimo de A, e escrevemos m = min A, se e s´o se m ∈ A, e m_{≤ x, para qualquer x ∈ A.}

´

E claro que o m´aximo e o m´ınimo de qualquer conjunto, se existirem, s˜ao ´

unicos. É intuitivamente evidente que qualquer conjunto finito tem sempre máximo e m´ınimo, mas deve ser igualmente ´obvio que conjuntos infinitos podem não ter máximo e/ou m´ınimo, e por diversas razões.

Exemplos 1.3.1.

11_{Se a ∈ C e ε > 0, a vizinhan¸ca V}

ε(a) = {z ∈ C : |z − a| < ε} ´e geometricamente um

(19)

1. R não tem máximo, porque não existe qualquer M _{∈ R tal que M ≥ x para} qualquer x∈ R, já que esta desigualdade é falsa, por exemplo, para x = M +1. Analogamente, R não tem m´ınimo.

2. R− _n˜_{ao tem m´aximo, apesar de existirem elementos M}_{∈ R tais que M ≥ x}

para qualquer x_{∈ R}−_{(por exemplo, M = 1 ou M = 0), porque nenhum desses}

elementos pertence ao pr´oprio conjunto R−_.

3. O intervalo ]0, 1[ n˜ao tem m´aximo(12_{) nem m´ınimo, o intervalo ]0, 1] tem}

máximo mas não tem m´ınimo, o intervalo [0, 1[ tem m´ınimo mas não tem máximo, e o intervalo [0, 1] tem máximo e m´ınimo. Em qualquer caso, e se A é um destes intervalos, existem sempre elementos m, M _{∈ R tais que m ≤ x ≤ M} para qualquer x_{∈ A.}

As seguintes no¸cões são úteis para compreender as diferen¸cas que acabámos de observar entre conjuntos infinitos:

Defini¸c˜ao 1.3.2. (Majorante e Minorante de A): Se A _{⊂ R e m, M ∈ R,} dizemos que

a) M é majorante de A se e só se x_{≤ M, para qualquer x ∈ A. Se A} tem majorantes, diz-se que A é um conjunto majorado.

b) m é minorante de A se e só se m _{≤ x, para qualquer x ∈ A. Se A} tem minorantes, diz-se que A é minorado.

c) Se A tem majorantes e minorantes, então dizemos que A é um conjunto limitado. Caso contrário, A diz-se ilimitado.

Exemplos 1.3.3.

1. R não é majorado nem minorado e portanto é ilimitado.

2. R− _n˜_{ao é minorado, mas é majorado, apesar de n˜}_{ao ter máximo. ´}_{E também}

ilimitado. O conjunto dos seus majorantes ´e o intervalo [0, +_∞[.

3. Qualquer um dos intervalos ]0, 1[, ]0, 1], [0, 1[ e [0, 1] ´e majorado e minorado, ou seja, ´e limitado. Os majorantes de qualquer um destes intervalos formam o conjunto [1, +_{∞[, e os respectivos minorantes formam ] − ∞, 0].}

Note-se que M é majorante de A se e só se todos os elementos de A est˜ao à esquerda de M , ou seja, se e s´o se A _{⊆] − ∞, M]. Neste caso, M} é uma estimativa por excesso de todos os elementos de A. Analogamente, m é minorante de A se e só se todos os elementos de A est˜ao à direita de m, ou seja, se e só se A _{⊆ [m, +∞[, e m é uma estimativa por defeito dos} elementos de A. O conjunto A é limitado se e só se existem m, M ∈ R tais

12_{O intervalo I =]0, 1[ n˜}_{ao tem m´}_{aximo x porque, como x ∈ I, temos x < 1, donde}

(20)

que m_{≤ x ≤ M para qualquer x ∈ A, e neste caso A ⊆ [m, M]. Podemos} portanto dizer que A é limitado se e só se A está contido num intervalo limitado. Tomando K = max_{{|m|, |M|}, podemos igualmente dizer que A é} limitado se e só se existe K∈ R tal que |x| ≤ K para qualquer x ∈ A. Observa¸cões 1.3.4. As seguintes afirma¸cões são muito fáceis de verificar:

1. Se A tem máximo M = max A, então M é o menor dos majorantes de A, ou seja, o máximo de A é o m´ınimo do conjunto dos majorantes de A. 2. O menor dos majorantes de um dado conjunto A pode não ser o máximo de A. Por exemplo, se A = R− então os majorantes de A formam o intervalo [0, +∞[, que tem m´ınimo 0. É claro que 0 não é o máximo de A, porque 0_{6∈ A.}

3. O m´ınimo do conjunto A, se existir, é o maior dos seus majorantes, ou seja, é o máximo do conjunto dos seus minorantes. O máximo minorante pode existir, sem que exista o m´ınimo de A, como ilustrado por A = R+_.

4. Sendo M o conjunto dos majorantes de A, então M é vazio ou, em alter-nativa, infinito e não majorado, porque se x_{∈ M e y > x então y ∈ M.} Analogamente, o conjunto dos minorantes de A é vazio ou infinito e não minorado.

5. Se A6= ∅, a é minorante de A e b é majorante de A então a ≤ b, porque existe algum x∈ A e temos necessariamente a ≤ x ≤ b.

O maior minorante e o menor majorante de um dado conjunto A, quando existem, s˜ao designados como se segue.

Defini¸cão 1.3.5. (Ínfimo e Supremo de A) Dado A⊂ R, então

a) Quando o conjunto dos minorantes de A tem m´aximo, esse m´aximo diz-se o ´ınfimo de A, e designa-se inf A.

b) Quando o conjunto dos majorantes de A tem m´ınimo, esse m´ınimo diz-se o supremo de A, e designa-se por sup A.

Exemplos 1.3.6.

(1) Se A = [0, 1] ent˜ao max A = sup A = 1 e min A = inf A = 0.

(2) Se A =]0, 1[ então 1 = sup A e 0 = inf A mas, como observámos acima, A não tem máximo nem m´ınimo.

(3) Se um dado conjunto tem máximo, então esse máximo é igualmente o seu supremo, como acontece em (1). É no entanto poss´ıvel que tenha supremo, sem que tenha máximo, como acontece em (2). Podemos facilmente fazer observa¸cões análogas a propósito das no¸cões de m´ınimo e ´ınfimo.

(21)

´

E por vezes ´util observar que o ´ınfimo de A é a melhor aproxima¸cão por defeito de todos os elementos de A, enquanto que o supremo de A é a melhor aproxima¸c˜ao por excesso de todos elementos de A.

Existem múltiplas maneiras equivalentes de caracterizar o supremo e/ou o ´ınfimo de um dado conjunto A_{⊆ R, e as seguintes proposi¸cões são} utili-zadas com frequência.

Proposi¸cão 1.3.7. Se A_{⊂ R e s é majorante de A então} s = sup A_{⇐⇒ V}ε(s)∩ A 6= ∅ para qualquer ε > 0.

Por outras palavras, s é o supremo de A se e s´o se s é majorante de A e qualquer vizinhan¸ca de s contém pontos de A. Como vimos, é poss´ıvel que s _{6∈ A, mas esta observa¸cão mostra que existem sempre pontos de A} arbitrariamente próximos de s = sup A.

Vε(s)

s_{− ε} x s

ε

Figura 1.3.1: Qualquer vizinhan¸ca-ε de s = sup A cont´em pontos x∈ A

Demonstra¸cão. Supomos primeiro que s = sup A e ε > 0. Como s_{− ε < s} e s é o menor majorante de A, segue-se que s− ε não é majorante de A. Existe portanto pelo menos um elemento x_{∈ A tal que x > s − ε e temos} ainda x _{≤ s, porque s é majorante de A. ´}E claro que x _{∈ V}ε(s), o que

mostra que Vε(s)∩ A 6= ∅.

Supomos agora que s é majorante de A e qualquer vizinhan¸ca-ε de s contém pontos x_{∈ A. Sendo t < s, tomamos ε = s − t, ou seja, t = s − ε.} Por hipótese, existe x ∈ Vε(s)∩ A, e é portanto óbvio que x > t e t não é

majorante de A. Dito doutra forma, qualquer t < s não é majorante de A, donde s é o menor majorante de A, i.e., s = sup A.

´

E fácil adaptar estas ideias ao caso do ´ınfimo, para obter: Proposi¸cão 1.3.8. Se A⊂ R e s é minorante de A então

(22)

Como vimos, é inteiramente evidente que um conjunto majorado A pode não ter máximo, como ocorre, e.g., com A = [0, 1[. Ser´a no entanto verdade que qualquer conjunto majorado n˜ao-vazio tem supremo?

A resposta a esta pergunta envolve uma observa¸cão de natureza geo-métrica, que podemos considerar intuitivamente evidente mas que, como veremos, não resulta dos axiomas já apresentados. Suponha-se para isso a recta real R decomposta em dois conjuntos disjuntos e não-vazios, que de-signaremos E e D, e tais que todos os elementos de E são menores que todos os elementos de D. Por outras palavras, os elementos de E são minorantes de D ou, de forma equivalente, os elementos de D s˜ao majorantes de E. Parece claro que E e D são semi-rectas disjuntas cuja união é a recta real completa, e por isso deve existir um ponto p_{∈ R que separa a recta real nas} duas semi-rectas E e D, ou seja, tal que

x≤ p ≤ y para quaisquer x ∈ E e y ∈ D.

E D

Figura 1.3.2: E e D s˜ao uma decomposi¸c˜ao de R em semi-rectas.

Como já sugerimos, a existência do ponto p é em si um axioma adicional sobre o conjunto R, que pode certamente tomar a forma de:

1.3.9. Se os conjuntos não-vazios E e D são uma parti¸cão de R e temos x < y para quaisquer x_{∈ E e y ∈ D (}13) então existe p_{∈ R tal que}

x≤ p ≤ y para quaisquer x ∈ E e y ∈ D. ´

E no entanto mais usual tomar como axioma a afirma¸c˜ao seguinte, e ´e essa a alternativa que seguimos neste texto:

Axioma IV (Axioma do Supremo). Se A⊂ R ´e majorado e n˜ao-vazio(14₎

ent˜ao A tem supremo.

13_{O par de conjuntos (E, D) ´e essencialmente um corte de Dedekind, assim}

cha-mado em homenagem ao matemático alemão Richard Dedekind, 1831-1916, que utilizou parti¸cões de Q desta forma para definir os números reais a partir dos números racionais. Não estudamos aqui estes trabalhos de Dedekind, por se afastarem demasiado dos prin-cipais objectivos deste texto, mas estão também dispon´ıveis no Projeto Gutemberg, em Essays on the Theory of Numbers.

14_{O conjunto vazio ´e um caso algo especial, porque tem majorantes (qualquer real ´e um}

(23)

´

E interessante verificar que o axioma IV é equivalente à afirma¸cão 1.3.9. Demonstra¸cão. Supomos primeiro que a afirma¸c˜ao 1.3.9 é válida: Dado um conjunto não-vazio e majorado A_{⊂ R, seja D o conjunto dos majorantes de} A e E o complementar de D, ou seja, o conjunto dos reais que não s˜ao ma-jorantes de A. Notamos como evidente que D e E não são vazios e formam uma parti¸cão de R. Temos também que

(1) Se x∈ E e y ∈ D ent˜ao x < y, porque

• x não é majorante de A, ou seja, existe a ∈ A tal que x < a, e • y é majorante de A, donde a ≤ y e portanto x < a ≤ y.

(2) E não tem máximo: Se x _{∈ E então x não é majorante de A, ou} seja, existe a _{∈ A tal que x < a. Existe igualmente x}′ _{∈ R tal que}

x < x′ < a, e como x′ não é majorante de A é óbvio que x′ ∈ E e x não é o máximo de E.

De acordo com 1.3.9, conclu´ımos que existe p _{∈ R tal que x ≤ p ≤ y para} quaisquer x _{∈ E e y ∈ D. ´}E claro que p pertence a um dos conjuntos E ou D, donde se segue facilmente que p = max E ou p = min D. De acordo com (2), a primeira alternativa ´e imposs´ıvel, e p = min D ´e, obviamente, o ´ınfimo de A.

Supomos agora que o axioma IV é válido: Sendo E e D os conjuntos referidos em 1.3.9, é claro que E tem majorantes, porque qualquer elemento de D é majorante de E, e temos por hipótese que E_{6= ∅. Segue-se do axioma} IV que E tem supremo p_{∈ R, e é imediato que}

• x ≤ p, para qualquer x ∈ E, porque p = sup E, e

• p ≤ y, para qualquer y ∈ D, porque y ´e majorante de E e p ´e o menor majorante de E.

Conclu´ımos assim que a afirma¸cão 1.3.9 é consequência lógica do axioma IV.

Como exemplo de uma observa¸c˜ao elementar que resulta do axioma IV, mostramos que a equa¸c˜ao x2 _{= 2 tem solu¸c˜}_{oes em R.(}15₎

Exemplo 1.3.10.

Para aplicar o axioma IV ao conjunto A ={x ∈ R : x2_{< 2}_{}, notamos que}

15_{Esta afirma¸c˜}_{ao n˜}_{ao ´e v´}_{alida para Q porque, como veremos adiante, as solu¸c˜}_{oes de}

x2 _{= 2 s˜}_{ao n´}_{umeros irracionais. Quando estabelecermos este facto, poderemos concluir}

(24)

• A é não-vazio: é evidente que 1 ∈ A.

• 2 é majorante de A, logo A é majorado: se x ≥ 2 então x2

≥ 4 > 2 e portanto x_{6∈ A, donde conclu´ımos que x < 2 para qualquer x ∈ A.} Segue-se do axioma IV que A tem supremo α, e ´e ´obvio que 1 ≤ α ≤ 2, e estabelecemos a seguir um resultado auxiliar muito simples:

(1) Se δ≤ 1 e x ∈ Vδ(α) ent˜ao α2− 5δ < x2< α2+ 5δ. Temos|x − α| < δ ≤ 1, donde 0 < x < 3, x + α < 5 e |x2 − α2 | = |x − α||x + α| ≤ 5δ, ou seja, α2 − 5δ < x2_{< α}2_{+ 5δ.}

Naturalmente, uma das seguintes alternativas ´e v´alida: (a) α2_{< 2 ou (b) α}2_{> 2 ou (c) α}2_{= 2}

Nos casos (a) e (b), tomamos ε =_{|2 − α}2

| 6= 0 e observamos que existe δ < 1 tal que 0 < 5δ < ε.

(a) Se α < x < α + δ segue-se de (1) que x2 _{< α}2_{+ 5δ < α}2_{+ ε = 2 e}

portanto x∈ A. Neste caso não podemos ter α = sup A, porque é óbvio que α não é majorante de A.

(b) Se α_{− δ < x < α segue-se de (1) que x}2 _{> α}2

− 5δ > α2

− ε = 2 e portanto x_{6∈ A. Neste caso n˜ao podemos ter α = sup A, porque qualquer} vizinhan¸ca de sup A cont´em necessariamente elementos de A.

Conclu´ımos por exclusão de hipóteses que a alternativa (c) é válida, ou seja, α é solu¸cão da equa¸cão x2_{= 2.}

O próximo teorema é o an´alogo do Axioma do Supremo para o ´ınfimo. Teorema 1.3.11. Se A_{⊂ R é minorado e não-vazio então A tem ´ınfimo.} Demonstra¸cão. Sendo B o conjunto dos minorantes de A, é evidente que B 6= ∅, por hipótese, e B é majorado, porque qualquer elemento de A é majorante de B. Segue-se do Axioma do Supremo que B tem supremo α.

Como qualquer elemento a _{∈ A é majorante de B e o supremo de B} é o menor dos seus majorantes, é também claro que α ≤ a, ou seja, α é minorante de A e portanto α∈ B. Conclu´ımos que α é o máximo de B, que é por defini¸cão o ´ınfimo de A.

Definimos na seçc˜ao anterior os intervalos em R como conjuntos muito especiais, mas a descri¸cão que utilizámos envolve a considera¸cão de múltiplos tipos diferentes (limitados ou ilimitados, abertos, fechados ou abertos apenas num dos extremos). É por vezes útil caracterizar os intervalos de uma forma um pouco mais abstracta(16_{), independente destes detalhes, e aproveitamos}

o Axioma do Supremo para estabelecer

16_{A condi¸c˜}_{ao referida em 1.3.12 ´e um caso particular da no¸c˜}_{ao de conjunto conexo,}

estudada em Topologia. Nesta terminologia, o teorema referido limita-se a afirmar que os intervalos s˜ao exactamente os subconjuntos de R que s˜ao conexos.

(25)

Teorema 1.3.12. O conjunto I_{⊆ R é um intervalo se e só se:} (1) Para quaisquer x, y_{∈ I e z ∈ R, se x < z < y então z ∈ I.}

Demonstra¸cão. Deve ser evidente que qualquer intervalo, independentemente do seu tipo, satisfaz a condi¸cão (1). Limitamo-nos por isso a provar que qualquer conjunto que satisfa¸ca (1) é necessariamente um intervalo. Consi-deramos os seguintes casos:

a) I =_{∅: nada temos a verificar.}

b) I 6= ∅ não majorado nem minorado: dado qualquer z ∈ R existe y ∈ I tal que y > z, porque z não é majorante de I, e existe x_{∈ I tal que} x < z, porque z não é minorante de I. Segue-se de (1) que z _{∈ I, ou} seja, I = R =]− ∞, +∞[.

c) I _{6= ∅ majorado e não minorado: Neste caso, I tem supremo α e} portanto I ⊆] − ∞, α]. Dado qualquer z < α, existe y ∈ I tal que z < y_{≤ α (porque α = sup I), e existe x ∈ I tal que x < z (porque I não} tem minorantes). Segue-se de (1) que z_{∈ I, i.e., ] − ∞, α[⊆ I. Como} ]− ∞, α[⊆ I ⊆] − ∞, α], conclu´ımos que I =] − ∞, α[ ou I =] − ∞, α]. d) I _{6= ∅ minorado e não majorado: análogo a c).}

d) I _{6= ∅ limitado: I tem ´ınfimo α, supremo β e I ⊆ [α, β]. Se α < z < β} podemos concluir de (1) que z_{∈ I, ou seja, ]α, β[⊆ I ⊆ [α, β]. Temos} ent˜ao I =]α, β[, I =]α, β], I = [α, β[ ou I = [α, β].

1.4 N´

umeros Naturais e Indu¸c˜

ao

De um ponto de vista por enquanto estritamente intuitivo, ´e claro que N={1 , 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 = (1 + 1) + 1 , . . .} .

Ainda de um ponto de vista intuitivo, as seguintes propriedades do conjunto Ns˜ao portanto evidentes:

(i) 1_{∈ N e (ii) n ∈ N =⇒ n + 1 ∈ N}

Note-se que N n˜ao é o único subconjunto de R que satisfaz as propriedades (i) e (ii). Por exemplo, tanto o próprio conjunto R como o conjunto R+ satisfazem essas propriedades, se nela substituirmos a referência a N pela referência ao conjunto em causa. A t´ıtulo de ilustra¸cão, temos para R+:

(i) 1_{∈ R}+ e (ii) n_{∈ R}+=_{⇒ n + 1 ∈ R}+ Os conjuntos que satisfazem (i) e (ii) dizem-se:

(26)

Defini¸cão 1.4.1. (Conjuntos Indutivos) Um subconjunto A _{⊆ R diz-se} indutivo se e só se satisfaz as condi¸cões:

(i) 1_{∈ A e (ii) a ∈ A ⇒ (a + 1) ∈ A}

Um momento de reflexão sugere que os números naturais, não sendo o ´

unico conjunto indutivo, estão contidos em qualquer conjunto indutivo, e formam por isso o menor conjunto indutivo em R. Esta ideia é facil-mente transformada numa defini¸cão formal dos pr´oprios números naturais: Defini¸cão 1.4.2. (Números Naturais, o conjunto N) O conjunto dos natu-rais designa-se por N, e é dado por(17)

N=_{{n ∈ R : n pertence a qualquer subconjunto indutivo de R} .} Os s´ımbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 são suficientes para escrever qualquer n´umero natural no chamado sistema decimal, i.e., na base 10(18). Analisaremos nesta seçcão a representa¸cão decimal dos naturais, e mais adiante estudaremos a questão mais dif´ıcil da representa¸cão decimal dos números racionais e irracionais. Aproveitamos para definir igualmente Defini¸cão 1.4.3. (Números Inteiros, Racionais e Irracionais) O conjunto dos inteiros designa-se por Z e é dado por

Z= Z+_{∪ {0} ∪ Z}−, onde Z+= N e Z−=_{{m ∈ R : −m ∈ N}.} O conjunto dos racionais designa-se por Q e ´e dado por

Q={n/m : n, m ∈ Z, m 6= 0}. Os irracionais s˜ao os elementos do conjunto R_\Q.

17_{Com esta defini¸c˜}_{ao, ´e f´}

acil mostrar que 0 6∈ N, e na verdade escrevemos aqui N0 =

N∪ {0}, mas em muitos textos opta-se por definir os naturais de modo a incluir o 0.

18 _{O sistema decimal, outra das grandes cria¸c˜}_{oes da Humanidade, foi descoberto na}

Índia, entre os anos 100 e 500 da nossa era, e expandiu-se rapidamente para as regiões sob dom´ınio árabe nos séculos que se seguiram à Hégira. O sistema difundiu-se na Europa perto do fim da Idade Média através do contacto com a civiliza¸cão árabe, pelo que ainda hoje o referimos como “numera¸cão árabe”. As palavras “algarismo” e “algoritmo” são aliás deturpa¸cões do nome do autor persa do século IX (Al-Khwarizmi) que escreveu um dos textos mais estudados no Ocidente sobre o sistema de numera¸cão que Al-Khwarizmi sabia ser indiano. O sistema é geralmente usado na actualidade, mas os s´ımbolos que representam os dez algarismos são distintos em algumas culturas. Em particular, os alga-rismos “árabes” que utilizamos no Ocidente são essencialmente os dos pa´ıses do Magrebe (que é, literalmente, o Ocidente do mundo árabe), mas são bastante diferentes dos que se usam nos pa´ıses árabes a partir do Egipto, onde 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 se escrevem

(27)

O chamado “Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matemática” é apenas mais um teorema da teoria aqui desenvolvida, porque é um reflexo imediato da defini¸cão 1.4.2: Teorema 1.4.4. (Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática)

a) N é o menor conjunto indutivo em R, ou seja, (i) Se A_{⊆ R é indutivo então N ⊆ A, e}

(ii) N ´e indutivo.

b) Em particular, se A_{⊆ N ´e indutivo ent˜ao A = N.}

Dem. A afirma¸c˜ao (i) da a) é evidente: Por defini¸cão de N, se n_{∈ N e A é} indutivo então n∈ A, ou seja, N ⊆ A.

Para verificar (ii) de a), ou seja, para provar que N é indutivo, notamos que (I) 1∈ N, porque 1 pertence claramente a qualquer conjunto indutivo. (II) Se n∈ N e A é indutivo, então n ∈ A, porque o natural n pertence

por defini¸c˜ao a qualquer conjunto indutivo. Segue-se que n + 1 _{∈ A,} porque A é indutivo. Como A é um conjunto indutivo arbitrário, conclu´ımos que n + 1 est´a em todo e qualquer conjunto indutivo, pelo que n + 1_{∈ N, mais uma vez por defini¸cão de N.}

Temos assim que N satisfaz as condi¸cões (i) e (ii) da defini¸cão 1.4.1, ou seja, N é um conjunto indutivo.

A afirma¸cão em b) é também imediata. Como A é indutivo, temos N_{⊆ A,} de a). Como por hipótese A⊆ N, é óbvio que A = N.

O Princ´ıpio da Indu¸cão Matemática (teorema 1.4.4) é a base da técnica de demonstra¸c˜ao que conhecemos como o Método de Indu¸cão Matemática. Sendo P (n) uma determinada proposi¸cão ou propriedade que se pretende mostrar verdadeira para todo o n∈ N, este método consiste em

a) Verificar que a afirma¸c˜ao P (1) ´e verdadeira, e

b) Mostrar que, para qualquer n_{∈ N, e se P (n) é verdadeira, então} P (n + 1) é igualmente verdadeira.

Provadas as afirma¸cões, o método de indu¸cão finita permite-nos concluir que P (n) é verdadeira, para qualquer n∈ N.

(28)

Para reconhecer que este método é uma aplica¸cão directa de 1.4.4, basta considerar o conjunto dos naturais n para os quais a afirma¸cão P (n) é ver-dadeira, ou seja, o conjunto

S ={n ∈ N : P (n) ´e verdadeira }.

Provar as afirma¸cões a) e b) é precisamente o mesmo que verificar que S é um conjunto indutivo. Mas se S é indutivo, o teorema 1.4.4 mostra que S = N, o que significa que P (n) é verdadeira para qualquer n_{∈ N.}

Apresentamos a seguir alguns exemplos particularmente simples de apli-ca¸cão do princ´ıpio/método de indu¸cão. Pelo menos em alguns casos, corres-pondem a observa¸cões que estamos habituados a tomar como “evidentes”, mas em qualquer caso ilustram bem esta técnica de demonstra¸cão.

Exemplos 1.4.5. Passamos a provar:

1. O m´ınimo de N é 1: Tomamos P (n) = “n≥ 1”. Temos então • P (1): é obviamente verdadeira.

• P (n) =⇒ P (n + 1): Como 1 > 0, segue-se que n + 1 > n. Portanto, n_{≥ 1 =⇒ n + 1 ≥ 1, i.e., P (n) =⇒ P (n + 1).}

Podemos portanto concluir que n ≥ 1 para qualquer n ∈ N, e como 1 ∈ N segue-se que 1 = min N.

2. Qualquer natural é par ou ´ımpar: P (n) é agora a afirma¸cão “n é par ou ´ımpar”, e recordamos que o natural n é par se existe um natural k tal que

n = 2k, e ´ımpar se existe k_{∈ N tal que n = 2k − 1.} • P (1): Como 1 = 2 · 1 − 1, ´e claro que 1 ´e ´ımpar.

• P (n) =⇒ P (n + 1): Existe k ∈ N tal que n = 2k ou n = 2k − 1, donde n = 2k =_{⇒ n + 1 = 2k + 1 = 2(k + 1) − 1, e n + 1 ´e ´ımpar, ou}

n = 2k− 1 =⇒ n + 1 = 2k − 1 + 1 = 2k, e n + 1 ´e par. Conclu´ımos que P (n) ´e verdadeira para qualquer n_{∈ N.}

3. 2n

≥ n + 1 para qualquer n ∈ N: Temos agora P (n) = “2n

≥ n + 1”. • P (1): Esta ´e a afirma¸c˜ao 21

≥ 1 + 1, que ´e obviamente verdadeira. • P (n) =⇒ P (n + 1): Basta-nos notar que

2n≥ n + 1 =⇒ 2n+1

≥ 2(n + 1) = 2n + 2 = n + n + 2 ≥ n + 2 A afirma¸c˜ao P (n) ´e assim verdadeira para qualquer n∈ N.

Uma sucessão no conjunto X é simplesmente uma fun¸cão definida no conjunto N com valores no conjunto X. Por exemplo, a fun¸cão φ : N→ N

(29)

dada por φ(n) = 2n _{− 1 é a sucessão dos números ´ımpares, e a fun¸cão} ψ : N _{→ N dada por ψ(n) = n}2 _{é a sucessão dos quadrados perfeitos.}

A fun¸c˜ao ϕ : N _{→ Q dada por ϕ(n) = (1 +} 1_n)n _{´e um exemplo cl´}_assico,

porque quando n aumenta os valores ϕ(n) se aproximam progressivamente do número de Euler, e = 2, 71828_{· · · , que é uma das mais importantes} constantes da Matemática. Note-se de passagem que é usual designar os valores de uma sucessão φ por φ1, φ2,· · · , φnem vez de φ(1), φ(2),· · · , φ(n).

´

E também muito frequente recorrermos a fórmulas de recorrência para definir sucessões, uma técnica que está directamente ligada ao Princ´ıpio de Indu¸cão. Não expomos aqui completamente a teoria que sustenta este tipo de defini¸cões, mas ilustramos a sua utiliza¸cão em múltiplos casos, que incluem diversas no¸cões matemáticas básicas.

Exemplo 1.4.6.

A potˆencia de expoente natural n, designada por xn_{, com base x}

∈ R e expo-ente n_{∈ N ´e informalmente descrita como um “produto com n factores, todos} iguais a x”(19_{), mas a sua defini¸c˜}_{ao mais rigorosa deve ser feita como se segue:}

• Se n = 1, ent˜ao xn_{= x}1_{= x, e}

• Se n ≥ 1, ent˜ao xn+1_{= x}n

· x.

As propriedades usuais das potˆencias, em particular as identidades (1) xn

· xm_{= x}n+m_{, (x}n₎m

= xnm _{e x}n

· yn_{= (x}

· y)n

podem ser demonstradas por indu¸cão, e são válidas para quaisquer n, m_{∈ N e} quaisquer x, y_{∈ R. Provamos a t´ıtulo de exemplo que x}n

· xm_{= x}n+m_{. Para}

isso, fixamos n_{∈ N, x ∈ R e tomamos P (m) = (x}n

· xm_{= x}n+m_{). Ent˜}_ao

• P (1) ´e verdadeira, porque (por defini¸c˜ao) xn_{· x}1_{= x}n_{· x = x}n+1_.

• Supondo que P (m) ´e verdadeira, temos

xn_{· x}m+1= xn_{· (x}m_{· x) = (x}n_{· x}m)_{· x = x}n+m_{· x = x}n+m+1 Quando x_{6= 0 definimos igualmente x}n _{quando n}

≤ 0 ´e um inteiro. Para n = 0 tomamos x0_{= 1 e para n < 0 fazemos x}n_{= (x}−1₎−n_{, onde ´e claro que}_{−n ∈ N.}

As propriedades em (1) s˜ao na verdade v´alidas para quaisquer n, m_{∈ Z, desde} que x6= 0 e y 6= 0.

Dada uma sucessão α : N → R, é conveniente dispor de uma nota¸cão sucinta e compacta para designar somas da forma α1 + α2 +· · · + αn, e

escrevemos para isso

n

X

k=1

αk= α1+ α2+· · · + αn,

que lemos como “somat´orio dos αk’s com k de 1 at´e n”. Mais formalmente,

19_N˜_{ao se segue daqui que seja necess´}_{ario calcular n − 1 produtos para determinar x}n_.

(30)

Defini¸c˜ao 1.4.7. Sendo α : N_{→ R, a sucess˜ao designada por σ}n=Pnk=1αk

´e dada por σ1 = α1 se n = 1, e σn+1 = σn + αn+1 se n > 1. Por outras

palavras, n X k=1 αk= α1 se n = 1, e n+1 X k=1 αk= αn+1+ n X k=1 αk ! se n > 1. Exemplos 1.4.8.

1. Para demonstrar a f´ormula 1 + 2 +· · · + n = n(n+1)2 , observamos que

1 + 2 +· · · + n = n X k=1 k Tomamos P (n) = “ n X k=1 k = n(n + 1)

2 ”, e provamos P (n) por indu¸c˜ao: • P (1): temosP1 k=1k = 1 = 1(1+1) 2 • P (n) =⇒ P (n + 1): n+1 X k=1 k = n X k=1 k + (n + 1) = n(n + 1) 2 + (n + 1) = = n(n + 1) 2 + 2(n + 1) 2 = (n + 1)(n + 2) 2

2. Nada impede que os termos do somatório sejam constantes. Por exemplo, se ak = 1 para qualquer k∈ N então é fácil mostrar por indu¸cão que

n X k=1 ak = n X k=1 1 = n, para qualquer n_{∈ N.}

Esta afirma¸c˜ao mostra que os naturais s˜ao as somas finitas com parcelas iguais a 1, ou seja, N= ( _n X k=1 1 : n_{∈ N} )

Mais geralmente, é fácil mostrar que se a∈ R então

n

X

k=1

a = n· a

3. Uma progress˜ao aritm´etica de 1o _{termo a}

∈ R e razão r ∈ R é uma sucessão α : N_{→ R dada por α}1= a e αn+1= αn+ r. Podemos estabelecer por indu¸cão

que αn= a + (n− 1)r e n X k=1 αk= n a +(n− 1)r 2

(31)

Demonstra¸c˜ao. Para mostrar que αn= a + (n− 1)r, notamos que

• Se n = 1, α1= a + (1− 1)r = a.

• Supondo que n ≥ 1 e αn= a + (n− 1)r, temos

αn+1= αn+ r = a + (n− 1)r + r = a + nr.

Para mostrar que

n X k=1 αk= n a +(n− 1)r 2 , observamos que • Se n = 1, 1 X k=1 αk = α1= 1 a +(1− 1)r 2 = a. • Supondo que n ≥ 1 e n X k=1 αk = n a +(n− 1)r 2 , temos n+1 X k=1 αk = αn+1+ n X k=1 αk= a+n·r+n a +(n− 1)r 2 = (n+1) a +(n)r 2 .

4. Uma progress˜ao geom´etica de 1o _{termo a}

∈ R e razão r ∈ R é uma sucessão α : N_{→ R dada por α}1= a e αn+1= αn· r. Temos agora que

αn= a· rn−1 e, se r6= 1, n X k=1 αk = a·1− r n 1_{− r} Limitamo-nos a provar por indu¸c˜ao que

n X k=1 rk−1=1− r n 1_{− r} • Se n = 1, 1 X k=1 rk−1= r0= 1 = 1− r 1_{− r} = 1_{− r}1 1_{− r}. • Supondo que n ≥ 1 e n X k=1 rk−1=1− r n 1_{− r} , temos n+1 X k=1 rk−1= rn+ n X k=1 rk−1= rn+1− r n 1_{− r} = rn_{− r}n+1_{+ 1}_{− r}n 1_{− r} = 1− rn+1 1_{− r}

Note-se que o s´ımbolo utilizado para designar o ´ındice do somatório, que nos exemplos acima é a letra “k”, é efectivamente irrelevante. Por outras palavras, se mudarmos o ´ındice do somatório em todas as suas ocorrências, a soma em questão não se altera. Em particular, uma mesma soma pode

(32)

aparecer na nota¸cão de somatório de formas diferentes. Dizemos por isso que o ´ındice do somat´orio é mudo. Por exemplo:

n X k=1 ak= n X i=1 ai= n X j=1 aj e 5 X k=1 k = 5 X i=1 i = 15.

Teorema 1.4.9 (Propriedades do Somat´orio).

a) Aditividade: n X k=1 (ak+ bk) = n X k=1 ak+ n X k=1 bk b) Homogeneidade: n X k=1 (c_{· a}k) = c n X k=1 ak ! , _{∀ c ∈ R}

c) Propriedade telesc´opica:

n

X

k=1

(ak− ak−1) = an− a0

Dem. (a) e (b) ficam como exerc´ıcio. Provamos (c) por indu¸c˜ao. • Se n = 1, temos evidentemente 1 X k=1 (ak− ak−1) = a1− a0, • Supondo n ≥ 1 e n X k=1 (ak− ak−1) = an− a0, temos n+1 X k=1 (ak− ak−1) = (an+1− an) + n X k=1 (ak− ak−1) = = (an+1− an) + (an− a0) = an+1− a0

Nem o Método de Indu¸cão, nem o S´ımbolo de Somatório, têm necessa-riamente que “come¸car” em n = 1. Ambos admitem generaliza¸cões simples, tendo como ponto de partida um dado m _{∈ Z. O caso m = 0 é ilustrado} no exemplo seguinte, mas na verdade todos os casos se podem reduzir ao originalmente considerado, por simples “substitui¸cões de variáveis”, do tipo:

4 X k=2 2k= 3 X i=1 2i+1= 2 X j=0 2j+2 = 22+ 23+ 24(i = k_{− 1, j = k − 2).}

(33)

Exemplo 1.4.10.

Dado um real r6= 1 e inteiros n ≤ m, para calcular a somaPm

k=nrk a partir

do resultado indicado no exemplo 2.4, basta-nos notar que (1.4.1) m X k=n rk_{= r}n m−n X j=0 rj_{= r}n m−n+1 X j=1 rj−1_{= r}n1− rm−n+1 1− r = rn − rm+1 1− r .

Muitas das propriedades dos naturais que estamos habituados a con-siderar como óbvias podem ser demonstradas pelo método de indu¸cão, e enunciamos aqui algumas, a t´ıtulo de exemplo:

Teorema 1.4.11. Se n, m∈ N ent˜ao:

a) Fecho em relac¸ão à adiç˜ao e produto: n + m, n· m ∈ N. b) Antecessor de um natural: Se n > 1 então n = k + 1 com k _{∈ N.} c) Diferença em N: Se m > n então m_{− n ∈ N.}

d) Distˆancia entre naturais: Se m > n ent˜ao m ≥ n + 1. Em particular, n_{6= m ⇒ |n − m| ≥ 1.}

Demonstra¸cão. Apenas esbo¸camos os argumentos que s˜ao necessários, dei-xando a sua finaliza¸cão como exerc´ıcio.

a) Dado n∈ N fixo, consideramos a afirma¸c˜ao P (m) =“n+m ∈ N”. P (1) ´e verdadeira, porque n + 1_{∈ N, e P (m) =⇒ P (m + 1), porque}

n + m∈ N =⇒ (n + m) + 1 = n + (m + 1) ∈ N. O caso do produto fica como exerc´ıcio.

b) Se P (n) =“n > 1 =⇒ n = k + 1, k ∈ N”, então tanto P (1) como a implica¸cão P (n) =_{⇒ P (n + 1) são inteiramente óbvias.}

c) Tomamos P (n) =“Se m_{∈ N e m > n ent˜ao m − n ∈ N”. Temos:} • P (1): Se m > 1 ent˜ao segue-se de b) que m = k + 1, com k ∈ N,

donde m− 1 = k ∈ N.

• P (n) =⇒ P (n + 1): Se m > n + 1 ent˜ao m > 1 e portanto m = k + 1 com k ∈ N. ´E claro que k > n e segue-se de P (n) que k− n ∈ N. Conclu´ımos que m − (n + 1) = k − n ∈ N, o que estabelece P (n + 1).

d) Se m > n segue-se de c) que m− n ∈ N. Vimos no exemplo 1.4.5 que 1 = min N, donde conclu´ımos que m_{− n ≥ 1, ou seja, m ≥ n + 1. Se} m_{6= n e m > n é óbvio que |m − n| = m − n ≥ 1, e se m < n então} |m − n| = n − m ∈ N, donde mais uma vez |m − n| ≥ 1.

(34)

Estabelecemos a seguir outras propriedades de ordem espec´ıficas de N. Teorema 1.4.12. Seja A⊆ N e A 6= ∅. Ent˜ao,

a) Se A é majorado em N então A tem máximo. b) Princ´ıpio da Boa Ordenac¸˜ao: A tem m´ınimo.

c) Supremo e Máximo: Se A é majorado em R, então A tem máximo. d) N não é majorado em R. Em particular, se ε > 0 então existe n_{∈ N}

tal que 1/n < ε.

Demonstra¸cão. Usamos o método de indu¸c˜ao para estabelecer a) e b). a) Seja P (n) =“Se n é majorante de A então A tem máximo”.

P (1): Neste caso é claro que A =_{{1} e portanto max A = 1.} P (n)_{⇒ P (n + 1): Supomos que n + 1 é majorante de A, e temos} a provar que A tem máximo. Observamos que:

(i) Se n é também majorante de A então segue-se de P (n) que A tem máximo. Caso contrário,

(ii) Temos k_{≤ n + 1 para qualquer k ∈ A, mas existe k}′_{∈ A tal} que k′_{> n. Conclu´ımos que k}′ _{= n + 1 ´e o m´}_{aximo de A.}

b) Seja B o conjunto dos minorantes naturais de A. É claro que B _{6= ∅} porque 1∈ B, e B é majorado por qualquer elemento de A. Segue-se da al´ınea anterior que B tem máximo β, e notamos que

(i) β≤ k, para qualquer k ∈ A, porque β ´e minorante de A, (ii) Existe k′ _{∈ A tal que k}′ _{< β + 1, porque β + 1}_{6∈ B.}

Conclu´ımos que β _{≤ k}′ < β + 1, donde se segue que k′ = β = min A. Recorremos agora ao Axioma do Supremo para estabelecer c) e d).

c) A tem supremo α_{∈ R de acordo com o axioma IV. Como α − 1 n˜ao} ´e majorante de A, existe k′ ∈ A tal que α − 1 < k′ _{≤ α < k}′ _{+ 1.}

Como n˜ao existem naturais no intervalo ]k′, k′ + 1[, conclu´ımos que α = k′ _{= max A.}

d) Se N é majorado em R então tem máximo α, o que é absurdo porque α + 1 > α e α + 1_{∈ N.}

Muitas no¸c˜oes elementares da Teoria dos N´umeros envolvem de forma determinante as propriedades de ordem acima.