TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
III.5 Integração por frações parciais
III.5.1 Fatores Lineares
Suponha queQ(x)só tenha fatores lineares, então, temos dois casos a consi-derar:
Teorema III.1(Caso 1). Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que não há fatores repetidos emQ(x), isto é,
Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2). . .(akx+bk)
e nenhum desses fatores é múltiplo dos outros, então,
P(x)
Q(x)= A1 a1x+b1
+ A2 a2x+b2
+· · ·+ Ak akx+bk
em que as constantesA1, A2, . . . , Akdevem ser determinadas.
Para compreender a aplicação desse resultado, apresentamos um exemplo detalhado.
Exemplo III.20. Calcule a integral
ˆ 6x2−x−1 x3−x dx
Solução:vamos usar o método das frações parciais. Note que o denominador pode ser escrito comox(x2−1)e, portanto, as suas raízes sãox = 0,x = 1ex = −1. Fatorando, obtemos que
x3−x=x(x−1)(x+ 1) e, consequentemente,
6x2−x−1
x3−x = 6x2−x−1 x(x−1)(x+ 1) Dessa igualdade e do Teorema III.1, temos que
6x2−x−1 x3−x =A
x + B x−1+ C
x+ 1 (III.17)
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III
102 III Técnicas de integração
em que A,B e C são constantes que devemos determinar. Desenvolvendo o termo da direita, observamos que
6x2−x−1
x3−x = A(x−1)(x+ 1) +Bx(x+ 1) +Cx(x−1) x(x−1)(x+ 1)
Como temos uma igualdade de frações e os denominadores são iguais, devemos ter a igualdade dos numeradores, isto é,
6x2−x−1 =A(x−1)(x+ 1) +Bx(x+ 1) +Cx(x−1)
Desenvolvendo a expressão acima, temos
6x2−x−1 =A(x−1)(x+ 1) +Bx(x+ 1) +Cx(x−1)
=A(x2−1) +B(x2+x) +C(x2−x)
=Ax2−A+Bx2+Bx+Cx2−Cx
= (A+B+C)x2+ (B−C)x−A
Igualando os termos com mesma potência dex, chegamos ao sistema
A+B+C = 6 B−C=−1
−A=−1
cuja solução éA= 1,B= 2eC= 3. Substituindo esses valores em(III.17), vem que 6x2−x−1
x3−x = 1 x+ 2
x−1+ 3 x+ 1
119
Integração por Frações Parciais
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III.5 Integração por frações parciais 103 Agora, podemos usar a expressão acima para calcular a integral dada, isto é,
ˆ 6x2−x−1 x3−x dx=
ˆ 1 x+ 2
x−1+ 3 x+ 1dx
= ˆ 1
xdx+
ˆ 2
x−1dx+
ˆ 3
x+ 1dx
= ln|x|+ 2 ln|x−1|+ 3 ln|x+ 1|+C
= lnx(x−1)2(x+ 1)3+C
#SAIBA MAIS#
Ser1, r2, . . . , rnsão as raízes de um polinômio de graun,p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+ a2x2+a1x+a0, então,p(x)pode ser fatorado como
p(x) =an(x−r1)(x−r2). . .(x−rn).
Em particular, sep(x) =ax2+bx+cfor um polinômio de grau 2 e tem raízesr1er2, então, p(x) =a(x−r1)(x−r2).
Fonte: os autores.
#SAIBA MAIS#
Pode ocorrer que tenhamos fatores lineares repetidos na fatoração do deno-minadorQ(x), então, usamos o seguinte resultado:
Teorema III.2(Caso 2). Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que alguns deles se repetem. Se o fator(aix+bi)se repetenvezes, então, a fração parcial para esse fator será
A1
aix+bi+ A2
(aix+bi)2+· · ·+ An
(aix+bi)n em que as constantesA1, A2, . . . , Aidevem ser determinadas.
Vejamos um exemplo:
Exemplo III.21. Calcule
ˆ 3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 dx
III.5 Integração por frações parciais 103
Agora, podemos usar a expressão acima para calcular a integral dada, isto é,
ˆ 6x2−x−1 x3−x dx=
ˆ 1 x+ 2
x−1+ 3 x+ 1dx
= ˆ 1
x dx+
ˆ 2
x−1dx+
ˆ 3
x+ 1dx
= ln|x|+ 2 ln|x−1|+ 3 ln|x+ 1|+C
= lnx(x−1)2(x+ 1)3+C
#SAIBA MAIS#
Ser1, r2, . . . , rnsão as raízes de um polinômio de graun,p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+ a2x2+a1x+a0, então,p(x)pode ser fatorado como
p(x) =an(x−r1)(x−r2). . .(x−rn).
Em particular, sep(x) =ax2+bx+cfor um polinômio de grau 2 e tem raízesr1er2, então, p(x) =a(x−r1)(x−r2).
Fonte: os autores.
#SAIBA MAIS#
Pode ocorrer que tenhamos fatores lineares repetidos na fatoração do deno-minadorQ(x), então, usamos o seguinte resultado:
Teorema III.2(Caso 2).Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que alguns deles se repetem. Se o fator(aix+bi)se repetenvezes, então, a fração parcial para esse fator será
A1 aix+bi
+ A2
(aix+bi)2+· · ·+ An (aix+bi)n em que as constantesA1, A2, . . . , Aidevem ser determinadas.
Vejamos um exemplo:
Exemplo III.21. Calcule
ˆ 3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 dx
III.5 Integração por frações parciais 103
Agora, podemos usar a expressão acima para calcular a integral dada, isto é,
ˆ 6x2−x−1 x3−x dx=
ˆ 1 x+ 2
x−1+ 3 x+ 1dx
= ˆ 1
xdx+
ˆ 2
x−1dx+
ˆ 3
x+ 1dx
= ln|x|+ 2 ln|x−1|+ 3 ln|x+ 1|+C
= lnx(x−1)2(x+ 1)3+C
#SAIBA MAIS#
Se r1, r2, . . . , rnsão as raízes de um polinômio de graun,p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+ a2x2+a1x+a0, então,p(x)pode ser fatorado como
p(x) =an(x−r1)(x−r2). . .(x−rn).
Em particular, sep(x) =ax2+bx+cfor um polinômio de grau 2 e tem raízesr1er2, então, p(x) =a(x−r1)(x−r2).
Fonte: os autores.
#SAIBA MAIS#
Pode ocorrer que tenhamos fatores lineares repetidos na fatoração do deno-minadorQ(x), então, usamos o seguinte resultado:
Teorema III.2(Caso 2). Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que alguns deles se repetem. Se o fator(aix+bi)se repetenvezes, então, a fração parcial para esse fator será
A1
aix+bi
+ A2
(aix+bi)2+· · ·+ An
(aix+bi)n em que as constantesA1, A2, . . . , Aidevem ser determinadas.
Vejamos um exemplo:
Exemplo III.21. Calcule
ˆ 3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 dx
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III
104 III Técnicas de integração
Solução:como o denominador já foi dado de forma fatorada, não há necessi-dade de procurar suas raízes (que sãox= 0ex= 1). Vemos que o fator linearxse repete duas vezes e o fator linear(x−1), três vezes. Utilizando o Teorema III.2 para fatores line-ares repetidos, a fração do integrando pode ser decomposta como uma soma de frações parciais, conforme segue
3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 = A
x +B x2+ C
x−1+ D
(x−1)2+ E
(x−1)3 (III.18) em que as constantesA,B,C,DeEdevem ser determinadas. Desenvolvendo o termo da direita da igualdade, temos
3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 =A
x + B x2+ C
x−1+ D
(x−1)2+ E (x−1)3
=Ax(x−1)3+B(x−1)3+Cx2(x−1)2+Dx2(x−1) +Ex2 x2(x−1)3
Como os denominadores são iguais, devemos ter a igualdade entre os numeradores, ou seja,
3x4−4x3+x2−10x+ 3 =Ax(x−1)3+B(x−1)3+Cx2(x−1)2+Dx2(x−1) +Ex2
Desenvolvendo o termo da direita e agrupando aqueles com a mesma potência dex, vem que
3x4−4x3+x2−10x+ 3 =Ax(x−1)3+B(x−1)3+Cx2(x−1)2+Dx2(x−1) +Ex2
= (A+C)x4+ (−3A+B−2C+D)x3
+ (3A−3B+C−D−E)x2+ (−A+ 3B)x−B
Igualando as potências dex, obtemos o sistema
A+C= 3
−3A+B−2C+D=−4 3A−3B+C−D−E= 1
−A+ 3B=−10
−B= 3
121
Integração por Frações Parciais
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III.5 Integração por frações parciais 105 Da última equação do sistema, temosB=−3. Substituindo esse valor na quarta equação, obtemos que−A−9 =−10, ou seja,A= 1. Com esse valor deAe a primeira equação segue que C = 4. Substituindo os valores deA, B eC na segunda equação, obtemos D = 10. Agora, usando esses valores todos na terceira equação, resulta que E = 5.
Substituindo os valores aqui encontrados na equação(III.18), nota-se que 3x4−4x3+x2−10x+ 3
x2(x−1)3 =1 x+−3
x2 + 4
x−1+ 10
(x−1)2+ 5 (x−1)3 Usando essa identidade, calculamos a integral conforme segue
ˆ 3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 dx
= ˆ 1
x+−3 x2 + 4
x−1+ 10
(x−1)2+ 5 (x−1)3dx
= ˆ 1
xdx+ ˆ −3
x2 dx+
ˆ 4
x−1dx+ ˆ 10
(x−1)2 dx+
ˆ 5
(x−1)3dx
= ln|x|+3
x+ 4 ln|x−1| − 10
x−1− 5 (x−1)2+C
= lnx(x−1)4+−7x2−x+ 3 x(x−1)2 +C
#REFLITA#
O Teorema III.2 diz apenas como tratar com os fatores que se repetem. Aqueles fatores que não se repetem devem ser tratados conforme o Teorema III.1.
Fonte: os autores.
#REFLITA#
Usando a integração por frações parciais, podemos estabelecer uma fórmula para a integral indefinida de 1
u2−a2, isto é, mostraremos que
ˆ 1
u2−a2 du= 1 2aln
u−a u+a
+C (III.19)
De fato, primeiramente, observe que o denominador do integrando tem raízes u=aeu=−ae, portanto, podemos fatorá-lo de modo a obter que
u2−a2= (u−a)(u+a)
III.5 Integração por frações parciais 105
Da última equação do sistema, temosB=−3. Substituindo esse valor na quarta equação, obtemos que−A−9 =−10, ou seja,A= 1. Com esse valor deAe a primeira equação segue que C = 4. Substituindo os valores de A, B e C na segunda equação, obtemos D = 10. Agora, usando esses valores todos na terceira equação, resulta queE = 5.
Substituindo os valores aqui encontrados na equação(III.18), nota-se que 3x4−4x3+x2−10x+ 3
x2(x−1)3 =1 x+−3
x2 + 4
x−1+ 10
(x−1)2+ 5 (x−1)3 Usando essa identidade, calculamos a integral conforme segue
ˆ 3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 dx
= ˆ 1
x+−3 x2 + 4
x−1+ 10
(x−1)2+ 5 (x−1)3 dx
= ˆ 1
xdx+ ˆ −3
x2 dx+
ˆ 4
x−1dx+ ˆ 10
(x−1)2 dx+
ˆ 5
(x−1)3 dx
= ln|x|+3
x+ 4 ln|x−1| − 10
x−1− 5 (x−1)2+C
= lnx(x−1)4+−7x2−x+ 3 x(x−1)2 +C
#REFLITA#
O Teorema III.2 diz apenas como tratar com os fatores que se repetem. Aqueles fatores que não se repetem devem ser tratados conforme o Teorema III.1.
Fonte: os autores.
#REFLITA#
Usando a integração por frações parciais, podemos estabelecer uma fórmula para a integral indefinida de 1
u2−a2, isto é, mostraremos que
ˆ 1
u2−a2 du= 1 2aln
u−a u+a
+C (III.19)
De fato, primeiramente, observe que o denominador do integrando tem raízes u=aeu=−ae, portanto, podemos fatorá-lo de modo a obter que
u2−a2= (u−a)(u+a)
III.5 Integração por frações parciais 105
Da última equação do sistema, temosB=−3. Substituindo esse valor na quarta equação, obtemos que−A−9 =−10, ou seja,A= 1. Com esse valor deAe a primeira equação segue queC = 4. Substituindo os valores deA,B e C na segunda equação, obtemos D = 10. Agora, usando esses valores todos na terceira equação, resulta que E = 5.
Substituindo os valores aqui encontrados na equação(III.18), nota-se que 3x4−4x3+x2−10x+ 3
x2(x−1)3 = 1 x+−3
x2 + 4
x−1+ 10
(x−1)2+ 5 (x−1)3 Usando essa identidade, calculamos a integral conforme segue
ˆ 3x4−4x3+x2−10x+ 3 x2(x−1)3 dx
= ˆ 1
x+−3 x2 + 4
x−1+ 10
(x−1)2+ 5 (x−1)3dx
= ˆ 1
x dx+ ˆ −3
x2 dx+
ˆ 4
x−1dx+ ˆ 10
(x−1)2dx+
ˆ 5
(x−1)3dx
= ln|x|+3
x+ 4 ln|x−1| − 10
x−1− 5 (x−1)2+C
= lnx(x−1)4+−7x2−x+ 3 x(x−1)2 +C
#REFLITA#
O Teorema III.2 diz apenas como tratar com os fatores que se repetem. Aqueles fatores que não se repetem devem ser tratados conforme o Teorema III.1.
Fonte: os autores.
#REFLITA#
Usando a integração por frações parciais, podemos estabelecer uma fórmula para a integral indefinida de 1
u2−a2, isto é, mostraremos que
ˆ 1
u2−a2du= 1 2aln
u−a
u+a
+C (III.19)
De fato, primeiramente, observe que o denominador do integrando tem raízes u=aeu=−ae, portanto, podemos fatorá-lo de modo a obter que
u2−a2= (u−a)(u+a)
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III
106 III Técnicas de integração Assim, usando frações parciais, reescrevemos o integrando como
1
u2−a2= A u−a+ B
u+a (III.20)
em queAeBsão constantes a determinar. Dessa relação, vem que 1
u2−a2= A u−a+ B
u+a
=A(u+a) +B(u−a) (u−a)(u+a)
=(A+B)u+ (A−B)a (u−a)(u+a) o que nos leva ao sistema
A+B= 0 (A−B)a= 1
cuja solução éA= 1
2aeB=−1
2a. Substituindo esses valores em (III.20), obtemos
1 u2−a2 =
1 2a
u−a+ −1 2a u+a= 1
2a 1 u−a− 1
2a 1 u+a Dessa última identidade segue que
ˆ 1
u2−a2 dx= ˆ 1
2a 1 u−a− 1
2a 1 u+adx
= 1 2a
ˆ 1
u−adx− 1 2a
ˆ 1
u+adx
= 1
2aln|u−a| − 1
2aln|u+a|+C
= 1 2aln
u−a u+a +C
o que mostra fórmula (III.19).