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Fatores Lineares

No documento CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (páginas 118-123)

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

III.5 Integração por frações parciais

III.5.1 Fatores Lineares

Suponha queQ(x)só tenha fatores lineares, então, temos dois casos a consi-derar:

Teorema III.1(Caso 1). Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que não há fatores repetidos emQ(x), isto é,

Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2). . .(akx+bk)

e nenhum desses fatores é múltiplo dos outros, então,

P(x)

Q(x)= A1 a1x+b1

+ A2 a2x+b2

+· · ·+ Ak akx+bk

em que as constantesA1, A2, . . . , Akdevem ser determinadas.

Para compreender a aplicação desse resultado, apresentamos um exemplo detalhado.

Exemplo III.20. Calcule a integral

ˆ 6x2x1 x3x dx

Solução:vamos usar o método das frações parciais. Note que o denominador pode ser escrito comox(x21)e, portanto, as suas raízes sãox = 0,x = 1ex = 1. Fatorando, obtemos que

x3x=x(x1)(x+ 1) e, consequentemente,

6x2x1

x3x = 6x2x1 x(x1)(x+ 1) Dessa igualdade e do Teorema III.1, temos que

6x2x1 x3x =A

x + B x1+ C

x+ 1 (III.17)

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

III

102 III Técnicas de integração

em que A,B e C são constantes que devemos determinar. Desenvolvendo o termo da direita, observamos que

6x2x1

x3x = A(x1)(x+ 1) +Bx(x+ 1) +Cx(x1) x(x1)(x+ 1)

Como temos uma igualdade de frações e os denominadores são iguais, devemos ter a igualdade dos numeradores, isto é,

6x2x1 =A(x1)(x+ 1) +Bx(x+ 1) +Cx(x1)

Desenvolvendo a expressão acima, temos

6x2x1 =A(x1)(x+ 1) +Bx(x+ 1) +Cx(x1)

=A(x21) +B(x2+x) +C(x2x)

=Ax2A+Bx2+Bx+Cx2Cx

= (A+B+C)x2+ (BC)xA

Igualando os termos com mesma potência dex, chegamos ao sistema

A+B+C = 6 BC=1

A=1

cuja solução éA= 1,B= 2eC= 3. Substituindo esses valores em(III.17), vem que 6x2x1

x3x = 1 x+ 2

x1+ 3 x+ 1

119

Integração por Frações Parciais

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

III.5 Integração por frações parciais 103 Agora, podemos usar a expressão acima para calcular a integral dada, isto é,

ˆ 6x2x1 x3x dx=

ˆ 1 x+ 2

x1+ 3 x+ 1dx

= ˆ 1

xdx+

ˆ 2

x1dx+

ˆ 3

x+ 1dx

= ln|x|+ 2 ln|x1|+ 3 ln|x+ 1|+C

= lnx(x1)2(x+ 1)3+C

#SAIBA MAIS#

Ser1, r2, . . . , rnsão as raízes de um polinômio de graun,p(x) =anxn+an1xn1+· · ·+ a2x2+a1x+a0, então,p(x)pode ser fatorado como

p(x) =an(xr1)(xr2). . .(xrn).

Em particular, sep(x) =ax2+bx+cfor um polinômio de grau 2 e tem raízesr1er2, então, p(x) =a(xr1)(xr2).

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

Pode ocorrer que tenhamos fatores lineares repetidos na fatoração do deno-minadorQ(x), então, usamos o seguinte resultado:

Teorema III.2(Caso 2). Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que alguns deles se repetem. Se o fator(aix+bi)se repetenvezes, então, a fração parcial para esse fator será

A1

aix+bi+ A2

(aix+bi)2+· · ·+ An

(aix+bi)n em que as constantesA1, A2, . . . , Aidevem ser determinadas.

Vejamos um exemplo:

Exemplo III.21. Calcule

ˆ 3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 dx

III.5 Integração por frações parciais 103

Agora, podemos usar a expressão acima para calcular a integral dada, isto é,

ˆ 6x2x1 x3x dx=

ˆ 1 x+ 2

x1+ 3 x+ 1dx

= ˆ 1

x dx+

ˆ 2

x1dx+

ˆ 3

x+ 1dx

= ln|x|+ 2 ln|x1|+ 3 ln|x+ 1|+C

= lnx(x1)2(x+ 1)3+C

#SAIBA MAIS#

Ser1, r2, . . . , rnsão as raízes de um polinômio de graun,p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+ a2x2+a1x+a0, então,p(x)pode ser fatorado como

p(x) =an(xr1)(xr2). . .(xrn).

Em particular, sep(x) =ax2+bx+cfor um polinômio de grau 2 e tem raízesr1er2, então, p(x) =a(xr1)(xr2).

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

Pode ocorrer que tenhamos fatores lineares repetidos na fatoração do deno-minadorQ(x), então, usamos o seguinte resultado:

Teorema III.2(Caso 2).Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que alguns deles se repetem. Se o fator(aix+bi)se repetenvezes, então, a fração parcial para esse fator será

A1 aix+bi

+ A2

(aix+bi)2+· · ·+ An (aix+bi)n em que as constantesA1, A2, . . . , Aidevem ser determinadas.

Vejamos um exemplo:

Exemplo III.21. Calcule

ˆ 3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 dx

III.5 Integração por frações parciais 103

Agora, podemos usar a expressão acima para calcular a integral dada, isto é,

ˆ 6x2x1 x3x dx=

ˆ 1 x+ 2

x1+ 3 x+ 1dx

= ˆ 1

xdx+

ˆ 2

x1dx+

ˆ 3

x+ 1dx

= ln|x|+ 2 ln|x1|+ 3 ln|x+ 1|+C

= lnx(x1)2(x+ 1)3+C

#SAIBA MAIS#

Se r1, r2, . . . , rnsão as raízes de um polinômio de graun,p(x) =anxn+an−1xn1+· · ·+ a2x2+a1x+a0, então,p(x)pode ser fatorado como

p(x) =an(xr1)(xr2). . .(xrn).

Em particular, sep(x) =ax2+bx+cfor um polinômio de grau 2 e tem raízesr1er2, então, p(x) =a(xr1)(xr2).

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

Pode ocorrer que tenhamos fatores lineares repetidos na fatoração do deno-minadorQ(x), então, usamos o seguinte resultado:

Teorema III.2(Caso 2). Suponha que todos os fatores deQ(x)são lineares e que alguns deles se repetem. Se o fator(aix+bi)se repetenvezes, então, a fração parcial para esse fator será

A1

aix+bi

+ A2

(aix+bi)2+· · ·+ An

(aix+bi)n em que as constantesA1, A2, . . . , Aidevem ser determinadas.

Vejamos um exemplo:

Exemplo III.21. Calcule

ˆ 3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 dx

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

III

104 III Técnicas de integração

Solução:como o denominador já foi dado de forma fatorada, não há necessi-dade de procurar suas raízes (que sãox= 0ex= 1). Vemos que o fator linearxse repete duas vezes e o fator linear(x1), três vezes. Utilizando o Teorema III.2 para fatores line-ares repetidos, a fração do integrando pode ser decomposta como uma soma de frações parciais, conforme segue

3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 = A

x +B x2+ C

x1+ D

(x1)2+ E

(x1)3 (III.18) em que as constantesA,B,C,DeEdevem ser determinadas. Desenvolvendo o termo da direita da igualdade, temos

3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 =A

x + B x2+ C

x1+ D

(x1)2+ E (x1)3

=Ax(x1)3+B(x1)3+Cx2(x1)2+Dx2(x1) +Ex2 x2(x1)3

Como os denominadores são iguais, devemos ter a igualdade entre os numeradores, ou seja,

3x44x3+x210x+ 3 =Ax(x1)3+B(x1)3+Cx2(x1)2+Dx2(x1) +Ex2

Desenvolvendo o termo da direita e agrupando aqueles com a mesma potência dex, vem que

3x44x3+x210x+ 3 =Ax(x1)3+B(x1)3+Cx2(x1)2+Dx2(x1) +Ex2

= (A+C)x4+ (3A+B2C+D)x3

+ (3A3B+CDE)x2+ (A+ 3B)xB

Igualando as potências dex, obtemos o sistema

A+C= 3

3A+B2C+D=4 3A3B+CDE= 1

A+ 3B=10

B= 3

121

Integração por Frações Parciais

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

III.5 Integração por frações parciais 105 Da última equação do sistema, temosB=3. Substituindo esse valor na quarta equação, obtemos queA9 =10, ou seja,A= 1. Com esse valor deAe a primeira equação segue que C = 4. Substituindo os valores deA, B eC na segunda equação, obtemos D = 10. Agora, usando esses valores todos na terceira equação, resulta que E = 5.

Substituindo os valores aqui encontrados na equação(III.18), nota-se que 3x44x3+x210x+ 3

x2(x1)3 =1 x+3

x2 + 4

x1+ 10

(x1)2+ 5 (x1)3 Usando essa identidade, calculamos a integral conforme segue

ˆ 3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 dx

= ˆ 1

x+3 x2 + 4

x1+ 10

(x1)2+ 5 (x1)3dx

= ˆ 1

xdx+ ˆ 3

x2 dx+

ˆ 4

x1dx+ ˆ 10

(x1)2 dx+

ˆ 5

(x1)3dx

= ln|x|+3

x+ 4 ln|x1| − 10

x1 5 (x1)2+C

= lnx(x1)4+7x2x+ 3 x(x1)2 +C

#REFLITA#

O Teorema III.2 diz apenas como tratar com os fatores que se repetem. Aqueles fatores que não se repetem devem ser tratados conforme o Teorema III.1.

Fonte: os autores.

#REFLITA#

Usando a integração por frações parciais, podemos estabelecer uma fórmula para a integral indefinida de 1

u2a2, isto é, mostraremos que

ˆ 1

u2a2 du= 1 2aln

ua u+a

+C (III.19)

De fato, primeiramente, observe que o denominador do integrando tem raízes u=aeu=ae, portanto, podemos fatorá-lo de modo a obter que

u2a2= (ua)(u+a)

III.5 Integração por frações parciais 105

Da última equação do sistema, temosB=3. Substituindo esse valor na quarta equação, obtemos queA9 =10, ou seja,A= 1. Com esse valor deAe a primeira equação segue que C = 4. Substituindo os valores de A, B e C na segunda equação, obtemos D = 10. Agora, usando esses valores todos na terceira equação, resulta queE = 5.

Substituindo os valores aqui encontrados na equação(III.18), nota-se que 3x44x3+x210x+ 3

x2(x1)3 =1 x+3

x2 + 4

x1+ 10

(x1)2+ 5 (x1)3 Usando essa identidade, calculamos a integral conforme segue

ˆ 3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 dx

= ˆ 1

x+3 x2 + 4

x1+ 10

(x1)2+ 5 (x1)3 dx

= ˆ 1

xdx+ ˆ 3

x2 dx+

ˆ 4

x1dx+ ˆ 10

(x1)2 dx+

ˆ 5

(x1)3 dx

= ln|x|+3

x+ 4 ln|x1| − 10

x1 5 (x1)2+C

= lnx(x1)4+7x2x+ 3 x(x1)2 +C

#REFLITA#

O Teorema III.2 diz apenas como tratar com os fatores que se repetem. Aqueles fatores que não se repetem devem ser tratados conforme o Teorema III.1.

Fonte: os autores.

#REFLITA#

Usando a integração por frações parciais, podemos estabelecer uma fórmula para a integral indefinida de 1

u2a2, isto é, mostraremos que

ˆ 1

u2a2 du= 1 2aln

ua u+a

+C (III.19)

De fato, primeiramente, observe que o denominador do integrando tem raízes u=aeu=ae, portanto, podemos fatorá-lo de modo a obter que

u2a2= (ua)(u+a)

III.5 Integração por frações parciais 105

Da última equação do sistema, temosB=3. Substituindo esse valor na quarta equação, obtemos queA9 =10, ou seja,A= 1. Com esse valor deAe a primeira equação segue queC = 4. Substituindo os valores deA,B e C na segunda equação, obtemos D = 10. Agora, usando esses valores todos na terceira equação, resulta que E = 5.

Substituindo os valores aqui encontrados na equação(III.18), nota-se que 3x44x3+x210x+ 3

x2(x1)3 = 1 x+3

x2 + 4

x1+ 10

(x1)2+ 5 (x1)3 Usando essa identidade, calculamos a integral conforme segue

ˆ 3x44x3+x210x+ 3 x2(x1)3 dx

= ˆ 1

x+3 x2 + 4

x1+ 10

(x1)2+ 5 (x1)3dx

= ˆ 1

x dx+ ˆ 3

x2 dx+

ˆ 4

x1dx+ ˆ 10

(x1)2dx+

ˆ 5

(x1)3dx

= ln|x|+3

x+ 4 ln|x1| − 10

x1 5 (x1)2+C

= lnx(x1)4+7x2x+ 3 x(x1)2 +C

#REFLITA#

O Teorema III.2 diz apenas como tratar com os fatores que se repetem. Aqueles fatores que não se repetem devem ser tratados conforme o Teorema III.1.

Fonte: os autores.

#REFLITA#

Usando a integração por frações parciais, podemos estabelecer uma fórmula para a integral indefinida de 1

u2a2, isto é, mostraremos que

ˆ 1

u2a2du= 1 2aln

ua

u+a

+C (III.19)

De fato, primeiramente, observe que o denominador do integrando tem raízes u=aeu=ae, portanto, podemos fatorá-lo de modo a obter que

u2a2= (ua)(u+a)

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

III

106 III Técnicas de integração Assim, usando frações parciais, reescrevemos o integrando como

1

u2a2= A ua+ B

u+a (III.20)

em queAeBsão constantes a determinar. Dessa relação, vem que 1

u2a2= A ua+ B

u+a

=A(u+a) +B(ua) (ua)(u+a)

=(A+B)u+ (AB)a (ua)(u+a) o que nos leva ao sistema

A+B= 0 (AB)a= 1

cuja solução éA= 1

2aeB=1

2a. Substituindo esses valores em (III.20), obtemos

1 u2a2 =

1 2a

ua+ 1 2a u+a= 1

2a 1 ua 1

2a 1 u+a Dessa última identidade segue que

ˆ 1

u2a2 dx= ˆ 1

2a 1 ua 1

2a 1 u+adx

= 1 2a

ˆ 1

uadx 1 2a

ˆ 1

u+adx

= 1

2aln|ua| − 1

2aln|u+a|+C

= 1 2aln

ua u+a +C

o que mostra fórmula (III.19).

No documento CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (páginas 118-123)

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