CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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CÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Professor Dr. Rodrigo André Schulz Professor Dr. Wellington José Corrêa

GRADUAÇÃO

Unicesumar

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C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância; SCHULZ, Rodrigo André; CORRÊA, Wellington José.

Cálculo Diferencial e Integral. Rodrigo André Schulz;

Wellington José Corrêa.

Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016.

253 p.

“Graduação - EaD”.

1. Cálculo. 2. Diferencial . 3. Integral 4. EaD. I. Título.

CDD - 22 ed. 515.5 CIP - NBR 12899 - AACR/2

Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828

Reitor

Wilson de Matos Silva Vice-Reitor

Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de EAD

Willian Victor Kendrick de Matos Silva Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi

NEAD - Núcleo de Educação a Distância Direção Operacional de Ensino Kátia Coelho

Direção de Planejamento de Ensino Fabrício Lazilha

Direção de Operações Chrystiano Mincoff Direção de Mercado Hilton Pereira

Direção de Polos Próprios James Prestes

Direção de Desenvolvimento Dayane Almeida

Direção de Relacionamento Alessandra Baron

Gerência de Produção de Conteúdo Juliano de Souza

Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais

Nádila de Almeida Toledo Coordenador de conteúdo Marcia Fernanda Pappa Design Educacional

Maria Fernanda Canova Vasconcelos Projeto Gráfico

Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho Editoração Bruna Marconato Revisão Textual Viviane Favaro Notari Yara Martins Dias

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Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderança e so- lução de problemas com eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho.

Cada um de nós tem uma grande responsabilida- de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nossos farão grande diferença no futuro.

Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros.

No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi- tário Cesumar busca a integração do ensino-pesquisa-extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que contribua para o desenvolvimento da consci- ência social e política e, por fim, a democratização do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade.

Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al- meja ser reconhecido como uma instituição uni- versitária de referência regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente;

aquisição de competências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con- solidação da extensão universitária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância;

bem-estar e satisfação da comunidade interna;

qualidade da gestão acadêmica e administrati- va; compromisso social de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivan- do a educação continuada.

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Diretoria Operacional de Ensino

Diretoria de

Planejamento de Ensino

Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um processo de transformação, pois quando investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequente- mente, transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa- zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa- tível com os desafios que surgem no mundo contem- porâneo.

O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”.

Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó- gica e encontram-se integrados à proposta pedagó- gica, contribuindo no processo educacional, comple- mentando sua formação profissional, desenvolvendo competências e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de maneira a inse- ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal objetivo “provocar uma aproxi- mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi- bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional.

Portanto, nossa distância nesse processo de cres- cimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda- gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi- bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en- quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus- sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui- lidade e segurança sua trajetória acadêmica.

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Professor Dr. Rodrigo André Schulz

Possui graduação em Logística pelo Centro Universitário do Sul de Minas (2007). Tem experiência na área de Planejamento de Manutenção, com ênfase em Programação de Grandes paradas de manutenção de fábrica cimenteira.

Professor Dr. Wellington José Corrêa

Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2001), mestrado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2005) e doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2014). Atualmente é professor da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Campo Mourão tem experiência na área de Matemática, com ênfase na existência, estabilização e controlabilidade de Equações Diferenciais Parciais. Sua linha de pesquisa de trabalho é Estabilização e Controle de Sistemas Distribuídos.

A UT ORES

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APRESENTAÇÃO

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Apresentação

Prezado(a) acadêmico(a), é com grande satisfação que apresentamos a você este livro de Cálculo Diferencial e Integral II, o qual complementa o seu curso de Cálculo Di- ferencial e Integral I, em que onde você deve ter aprendido algo substancial sobre derivadas de funções de uma ou mais variáveis.

O objetivo principal desta obra é apresentar uma operação inversa à deriva- ção: a integração, bem como fornecer métodos, técnicas e aplicações desta no contexto das funções de uma, duas ou três variáveis. Muitos dos resultados apresentados aqui podem ser estendidos para funções de várias variáveis.

Você deve se lembrar que a derivada de uma função está relacionada à taxa de variação instantânea, reta tangente ao gráfico. A integral também tem muitas aplicações, por exemplo, permite encontrar áreas entre curvas, áreas de superfícies, comprimento de um arco, volumes de sólidos, força, massas, centróides e muitas outras aplicações na me- cânica, eletromagnetismo e aerodinâmica.

Na unidade I, introduziremos o conceito de integral como a operação inversa da derivada. Apresentaremos o problema do cálculo das áreas que nos motiva a estudar a integral definida. Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo, resolvemos conceitualmente o problema do cálculo das áreas.

Com vista a motivar um pouco mais o estudo de integrais, utilizaremos a unidade II para apresentar diversas aplicações desta na matemática, essencialmente no que se refere a cálculo de áreas entre curvas, volumes de sólidos de revolução, comprimento de arco e área de uma superfície de revolução.

Muito restrito ao calculo de integrais de uma pequena quantidade de funções, apresentaremos, na unidade III, uma série de técnicas e métodos ampliando em muito as possibilidades de se conseguir calcular a integral de uma dada função. Nessa unidade, você verá que a técnica da substituição pode ser potencializada após algumas pequenas manipulações algébricas na função a ser integrada. Também, abordaremos o método da integração por partes, substituição trigonométrica e frações parciais.

O problema do cálculo de integrais é mais complicado do que o cálculo de derivadas, uma vez que nem sempre é possível obter a integral de uma função elementar. Por isso, embora tenhamos sofisticadas técnicas de integração, podemos encontrar dificuldades neste contexto.

ii

(8)

A partir da unidade IV, passaremos a abordar o cálculo de integrais de fun- ções de mais de uma variável. A ideia básica é que integrais de funções de mais de uma variável podem ser reduzidas ao cálculo de algumas integrais de funções de uma variável e assim podemos aplicar todas as técnicas vistas até a unidade III. Abordaremos os conceitos de integrais duplas, integrais iteradas, aplicações da integral dupla no cálculo de áreas e superfícies, bem como o cálculo dessas integrais em coordenadas polares.

Ainda nessa unidade, estudaremos as integrais triplas que estão relacionadas à funções de três variáveis, à mudança de variável na integral tripla por meio de coordenadas cilíndricas e esféricas.

A unidade V é dedicada ao cálculo vetorial, abordando integrais de linha e su- perfície que possuem inúmeras aplicações física, engenharia, mecânica de fluídos. Então, começaremos com o estudo de campos vetoriais, curvas parametrizadas e comprimento de arco. Em seguida, introduziremos o conceito de integral e independência de caminho para o cálculo dessas integrais.

Para fechar o cálculo vetorial, apresentaremos os teoremas de Green, Gauss e Stokes no espaço tridimensional. Como extensão do conceito de integral de linha, você verá também as integrais de superfície.

Recomendamos fortemente que se dedique ao estudo da teoria, como tam- bém faça os exercícios propostos. Faça uma leitura deste material de modo a compreender cada passagem, linha, frase, isso garantirá uma boa fundamentação para a resolução dos exercícios.

Boa leitura!

Os autores Rodrigo André Schulz Wellington José Corrêa

iii

APRESENTAÇÃO

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SUMÁRIO

⁰⁹

UNIDADE I

INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

15 Introdução

16 Primitiva de uma Função e a Integral Indefinida 22 Mudança de Variável para Integração

27 O Problema das Áreas 39 Integral definida

43 Teorema Fundamental do Cálculo 48 Considerações Finais

UNIDADE II

APLICAÇÕES DA INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

59 Introdução 60 Área entre Curvas 63 Volumes de Sólidos 75 Comprimento de Arco

78 Área de Uma Superfície de Revolução

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SUMÁRIO

UNIDADE III

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

93 Introdução

94 Integração por Substituição e Manipulação Algébrica 101 Integração por Partes

107 Substituição Trigonométrica 115 Integração por Frações Parciais 128 Considerações Finais

UNIDADE IV

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

139 Introdução

140 Integrais Duplas Sobre Retângulos 152 Integrais Duplas em Coordenadas Polares 160 Área de uma Superfície

163 Integrais Triplas

167 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 168 Mudança de Variáveis na Integral Tripla

(11)

SUMÁRIO

¹¹

UNIDADE V

INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE

193 Introdução 194 Campos Vetoriais 200 Integrais de Linha

207 Independência do Caminho 212 Teorema de Green

215 Integrais de Superfície 221 Teorema de Gauss 228 Teorema de Stokes 236 Considerações Finais

245 CONCLUSÃO 247 REFERÊNCIAS 249 GABARITO

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UNIDADE

I

Professor Dr. Rodrigo André Schulz Professor Dr. Wellington José Corrêa

INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

Objetivos de Aprendizagem

■ Compreender o conceito de integração como operação inversa de derivação.

■ Estabelecer conexões entre integral definida e áreas sob gráficos de funções.

■ Aprender a calcular integrais definidas via Teorema Fundamental do Cálculo.

Plano de Estudo

A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:

■ Primitiva de uma função e a integral indefinida

■ Mudança de variável para integração

■ O problema das áreas

■ Integral definida

■ Teorema Fundamental do Cálculo

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INTRODUÇÃO

2 I Integrais de funções de uma variável

I.1 Introdução

É difícil dizer qual a origem do Cálculo Diferencial e Integral, mas sabemos que Newton e Leibniz deram grandes contribuições para se chegar a forma como o conhecemos hoje. Eles o desenvolveram de forma simultânea em meados do século XVII, Newton sob um viés mais geométrico e Leibniz sob uma perspectiva mais analítica.

Devido ao seu rigor matemático, a notação utilizada hoje é, na maior parte, aquela introduzida por Leibniz. Já um dos resultados mais importantes, o Teorema fundamental do Cálculo, foi enunciado pela primeira vez por Newton.

O símbolo de Integral “´

” que aparecerá nesta seção surge do fato de que a integral é proveniente de uma soma e, por isso, é usado um “S” alongado para representá- la.

Com relação aos tópicos a serem estudados, nesta unidade, introduziremos o conceito de integração como operação inversa da derivação, isto é, dada uma funçãof, queremos determinar alguma funçãoFde tal forma que, quando derivarmosF, o resultado seráf. A funçãoF será chamada de uma antiderivada, primitiva ou, ainda, integral indefinida def. Para facilitar os trabalhos, é preciso que você tenha em mente as regras de derivação, portanto, relembre-as!

Uma vez compreendido o método de encontrar a primitiva de uma função, passaremos a descrever um método para o cálculo de áreas compreendidas entre gráficos de funções e o eixo x, o qual será a principal motivação para desenvolver o conceito de integral definida.

Em seguida, veremos o Teorema Fundamental do Cálculo, o qual relaciona a integral indefinida e a integral definida de uma função. Esse, como seu nome já revela, será a principal ferramenta para o cálculo de integrais definidas.

Procuramos ilustrar bem esta unidade com figuras que devem aguçar sua in- tuição sobre os assuntos abordados. Uma boa compreensão geométrica desta unidade facilitará a aplicação desses conceitos em unidades posteriores.

Gostaríamos de ressaltar, também, que apenas uma visão geométrica desta unidade é insuficiente para prosseguir. É preciso aprender a, de fato, calcular as integrais.

Para isso, apresentamos uma série de exemplos e atividades. Aproveite ao máximo!

15

Introdução

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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I.2 Primitiva de uma função e a integral indefinida 3

I.2 Primitiva de uma função e a integral indefinida

No curso de Cálculo Diferencial Integral I, você deve ter estudado exaustiva- mente as derivadas de diversas funções. Assim como a soma tem como operação inversa a subtração e a multiplicação a divisão, a operação inversa da derivada é a integração ou antideferenciação.

Nesta unidade, trabalharemos no contexto das funções de uma variável. As- sim, seIé um intervalo de extremosaebeF :I →Ré uma função diferenciável emI, escrevemos a derivada deFcomo

d

dxF(x) =F(x) = lim

Δx→0

F(x+ Δx)−F(x)

Δx .

Uma vez que relembramos a definição de derivada, podemos definir a antiderivada ou primitiva de uma função.

Definição I.1.Uma funçãoFserá umaantiderivadada funçãof :I→Rse

F(x) =f(x),para todox∈I.

Exemplo I.1. SeF(x) = 2x⁶+ 3x²+ 5x+ 7, então

F(x) = 12x⁵+ 6x+ 5.

Considerando função definida porf(x) = 12x⁵+ 6x+ 5, temos que F(x) = f(x)e pela definição I.1 vem queFé uma antiderivada da funçãof.

Além disso, a funçãoG(x) = 2x⁶+ 3x²+ 5x−25também é uma antiderivada def, poisG(x) = 12x⁵+ 6x+ 5 =f(x).

Como a derivada de uma constante é sempre igual a zero, o exemplo acima nos permite observar que, seF é uma antiderivada def, então, para qualquer constante C, a função definida porG(x) :=F(x) +Ctambém é uma primitiva def. Para verificar isso, temos que mostrar queG(x) =f(x). De fato, comoFé antiderivada def, então

F(x) =f(x). (I.1)

INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

I

(17)

Por outro lado, observe que

G(x) = d

dx(F(x) +C)

= d

dxF(x) + d dxC

=F(x)

=f(x)

em que a última igualdade segue da equação (I.1).

Além do exposto, podemos provar que, seF é uma antiderivada def, então qualquer primitiva def deve ser da formaF(x) +Cem queC é uma constante qualquer.

Ou seja, uma vez encontrada uma antiderivadaFdef, para cada escolha da constanteC, determinamos uma nova primitivaG(x) :=F(x) +C paraf. Assim, podemos ter infinitas antiderivadas para uma mesma funçãof.

Notação I.1.A operação de se encontrar uma antiderivada de uma funçãofé chamada de antidiferenciaçãoouintegraçãoe usaremos o símboloˆ

para denotá-la. Ou seja, seF é uma antiderivada def, escreveremos

ˆ

f(x)dx=F(x) +C (I.2)

em queF(x) =f(x).

O símbolo ˆ

é também chamado de símbolo de integral e a primitiva def denotada por´

f(x)dxtambém pode ser lida comointegral indefinidada funçãof. O símbolodxindica que estamos procurando antiderivadas em relação à va- riável x, o que ficará mais claro quando estudarmos as integrais múltiplas. Também é importante ter em mente que, dada uma funçãof, temos

ˆ

f(x)dx= ˆ

f(u)du= ˆ

f(t)dt

isto é, em qualquer dos casos acima, sempre estamos procurando primitivas da funçãof em relação ao seu argumento. Assim, as variáveisx,u e tem cada uma das integrais indefinidas acima são chamadas devariável muda.

Dessa forma, ˆ

f(x)dx representa todas as funções cuja derivada é f(x).

Logo, para encontrar a integral indefinida de uma funçãof, procuramos as funções cujas 17

Primitiva de uma Função e a Integral Indefinida

(18)

I.2 Primitiva de uma função e a integral indefinida 5 derivadas resultam na funçãof. Para isso, podemos usar as regras de derivação para estabelecer algumas regras de integração, conforme pode ser visto na tabela I.2.1.

# Derivada Integral Indefinida

1 d

dx[x] = 1

ˆ

dx=x+C

2 d

dx xⁿ⁺¹

n+ 1

=xⁿ, n=−1

ˆ

xⁿdx= xⁿ⁺¹

n+ 1+C,n=−1

3 d

dx[ senx] = cosx

ˆ

cosx dx= senx+C

4 d

dx[−cosx] = senx

ˆ

senx dx=−cosx+C

5 d

dx[ tgx] = sec²x

ˆ

sec²x dx= tgx+C

6 d

dx[secx] = secxtgx

ˆ

secxtgx dx= secx+C

7 d

dx[−cotg x] = cossec²x

ˆ

cossec²x dx=−cotgx+C

8 d

dx[−cossecx] = cossecxcotgx ˆ

cossecxcotgx dx=−cossecx+C

9 d

dx[e^x] =e^x

ˆ

e^xdx=e^x+C 10 d

dx[ln|x|] =1 x

ˆ 1

xdx= ln|x|+C

Tabela I.2.1: Regras de derivação e integração Fonte: os autores.

Antes de exemplificarmos o uso das regras apresentadas na tabela (I.2.1), vejamos o seguinte teorema:

Teorema I.1.SejamFeGprimitivas das funçõesfegeCuma constante qualquer, então,

i) A constante permuta com o sinal da integral, isto é, ˆ

Cf(x)dx=C ˆ

f(x)dx=CF(x)

ii) a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, ou seja, ˆ

f(x) +g(x)dx= ˆ

f(x)dx+ ˆ

g(x)dx=F(x) +G(x)

iii) a primitiva de uma diferença é a diferença das primitivas, isto é,

ˆ

f(x)−g(x)dx= ˆ

f(x)dx− ˆ

g(x)dx=F(x)−G(x)

INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

I

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Demonstração. As demonstrações dessas propriedades são uma consequência das se- guintes regras de derivação

d

dx[C1F(x)] =C1

d

dx[F(x)] =C1f(x) (I.3)

d

dx[F(x) +G(x)] = d

dx[F(x)] + d

dx[G(x)] =f(x) +g(x) d

dx[F(x)−G(x)] = d

dx[F(x)]− d

dx[G(x)] =f(x)−g(x)

juntamente com a definição de antiderivada. Vejamos o item i). Da relação (I.3) vem que C₁F(x)é uma antiderivada deC₁f(x)e, portanto, usando a notação estabelecida em (I.2), podemos escrever

ˆ

C1f(x)dx=C1

ˆ

f(x)dx=C1F(x) +C

o que prova o item i).

Os demais itens ficam para você resolver como exercício segundo o modelo apresentado aqui.

#SAIBA MAIS#

O quadradinho,, que aparece no final da demonstração acima é apenas um indicativo que a demonstração chegou ao fim. Colocar algo que indique onde se encerra a demonstração é comum nos textos de matemática. Alguns autores utilizam um quadradinho preenchido,

, outros preferem usar notações do tipo:

Q.E.D., significando: “que encerra a demonstração”

ou

C.Q.D., significando: “como queríamos demonstrar”.

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

Agora, usando o teorema I.1, juntamente com as regras apresentadas na tabela I.2.1, podemos escrever nossos primeiros exemplos.

Exemplo I.2. Aplicando a regra 2 da Tabela I.2.1, temos que ˆ

x²dx=x³ 3 +C ˆ 1

x²dx=−1 x+C

d

dx[C1F(x)] =C1

d

dx[F(x)] =C1f(x) (I.3)

d

dx[F(x) +G(x)] = d

dx[F(x)] + d

dx[G(x)] =f(x) +g(x) d

dx[F(x)−G(x)] = d

dx[F(x)]− d

dx[G(x)] =f(x)−g(x)

juntamente com a definição de antiderivada. Vejamos o item i). Da relação (I.3) vem que C1F(x)é uma antiderivada deC1f(x)e, portanto, usando a notação estabelecida em (I.2), podemos escrever

ˆ

C₁f(x)dx=C1

ˆ

f(x)dx=C1F(x) +C

#SAIBA MAIS#

O quadradinho,, que aparece no final da demonstração acima é apenas um indicativo que a demonstração chegou ao fim. Colocar algo que indique onde se encerra a demonstração é comum nos textos de matemática. Alguns autores utilizam um quadradinho preenchido,

ou

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

x²dx=x³ 3 +C ˆ 1

x²dx=−1 x+C

d

dx[C₁F(x)] =C₁d

dx[F(x)] =C₁f(x) (I.3)

d

dx[F(x) +G(x)] = d

dx[F(x)] + d

dx[G(x)] =f(x) +g(x) d

dx[F(x)−G(x)] = d

dx[F(x)]− d

dx[G(x)] =f(x)−g(x)

juntamente com a definição de antiderivada. Vejamos o item i). Da relação (I.3) vem que C₁F(x)é uma antiderivada deC₁f(x)e, portanto, usando a notação estabelecida em (I.2), podemos escrever

ˆ

C₁f(x)dx=C₁ ˆ

f(x)dx=C₁F(x) +C

#SAIBA MAIS#

O quadradinho,, que aparece no final da demonstração acima é apenas um indicativo que a demonstração chegou ao fim. Colocar algo que indique onde se encerra a demonstração é comum nos textos de matemática. Alguns autores utilizam um quadradinho preenchido,

ou

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

x²dx=x³ 3 +C ˆ 1

x²dx=−1 x+C

19

Primitiva de uma Função e a Integral Indefinida

(20)

Agora, usando essas integrais acima, juntamente com o teorema I.1, temos que

ˆ

3x²dx= 3 x³

3 +C₁

=x³+ 3C=x³+C ˆ

21

x²+ 3x²dx= 2 ˆ 1

x²dx+ 3 ˆ

x²dx=−2 1

x+C₁

+ 3 x³

3 +C

=−21

x+x³+C

#SAIBA MAIS#

Observe que, no exemplo anterior, igualamos a constante3C à constanteC. Em seguida, fizemos uma combinação linear das constantes da primeira e da segunda integral e o resultado ainda chamamos pela mesma notaçãoC. Isso será feito sem restrição alguma daqui em diante, uma vez que a combinação linear de constantes continua sendo uma constante.

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

Exemplo I.3. Calcule

ˆ

3x⁴+ 4x³−9x²−3x+ 7dx Solução:

ˆ

3x⁴+ 4x³−9x²−3x+ 7dx= 3 ˆ

x⁴dx+ 4 ˆ

x³dx−9 ˆ

x²dx−3 ˆ

x dx+ 7 ˆ

dx

= 3x⁵ 5 + 4x⁴

4 −9x³ 3 −3x²

2 + 7x+C

=3

5x⁵+x⁴−3x³−3

2x²+ 7x+C Exemplo I.4. Calcule

ˆ 1 x+ 2x

√

x dx Solução:

ˆ 1 x+ 2x

√x dx= ˆ

x⁻¹²+ 2x³² dx

=x¹²

1 2

+ 2x⁵²

5 2

+C

= 2x¹²+4 5x⁵²+C

ˆ

3x²dx= 3 x³

3 +C1

=x³+ 3C=x³+C ˆ

21

x²+ 3x²dx= 2 ˆ 1

x²dx+ 3 ˆ

x²dx=−2 1

x+C1

+ 3

x³ 3 +C

=−21

x+x³+C

#SAIBA MAIS#

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

ˆ

3x⁴+ 4x³−9x²−3x+ 7dx Solução:

ˆ

3x⁴+ 4x³−9x²−3x+ 7dx= 3 ˆ

x⁴dx+ 4 ˆ

x³dx−9 ˆ

x²dx−3 ˆ

x dx+ 7 ˆ

dx

= 3x⁵ 5 + 4x⁴

4 −9x³ 3 −3x²

2 + 7x+C

=3

5x⁵+x⁴−3x³−3

ˆ 1 x+ 2x

√

ˆ 1 x+ 2x

√

x dx= ˆ

x⁻¹²+ 2x³² dx

=x¹²

1 2

+ 2x⁵²

5 2

+C

= 2x¹²+4 5x⁵²+C

ˆ

3x²dx= 3 x³

3 +C₁

=x³+ 3C=x³+C ˆ

21

x²+ 3x²dx= 2 ˆ 1

x²dx+ 3 ˆ

x²dx=−2 1

x+C₁

+ 3 x³

3 +C

=−21

x+x³+C

#SAIBA MAIS#

Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

ˆ

3x⁴+ 4x³−9x²−3x+ 7dx Solução:

ˆ

3x⁴+ 4x³−9x²−3x+ 7dx= 3 ˆ

x⁴dx+ 4 ˆ

x³dx−9 ˆ

x²dx−3 ˆ

x dx+ 7 ˆ

dx

= 3x⁵ 5 + 4x⁴

4 −9x³ 3 −3x²

2 + 7x+C

=3

5x⁵+x⁴−3x³−3

ˆ 1 x+ 2x

√

ˆ 1 x+ 2x

√x dx= ˆ

x⁻¹²+ 2x³² dx

=x¹²

1 2

+ 2x⁵²

5 2

+C

= 2x¹²+4 5x⁵²+C INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL