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Substituição Trigonométrica

No documento CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (páginas 107-115)

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

III.4 Substituição Trigonométrica

107

Substituição Trigonométrica

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

90 III Técnicas de integração

Solução:primeiramente, faremos uma integração por partes escolhendo u= arcsenx, dv=dx

e, portanto,

du= 1

1x2dx, v=x Pela fórmula(III.6), temos que

ˆ 1 0

arcsenx dx=xarcsenx10 ˆ 1

0

x

1x2dx

= arcsen 1 ˆ 1

0

x

1x2dx (III.7)

Para resolver a última integral, fazemos a mudança de variávelu = 1x2 e, portanto, du=2x dx,u= 1quandox= 0eu= 0sex= 1. Isto é,

ˆ 1 0

x

1x2 dx=1 2

ˆ 0 1

duu

=1 2

ˆ 0 1

u12 du

=1 2

u12

1 2

0

1

= u0

1

= 1

Substituindo essa última igualdade em(III.7), obtemos que

ˆ 1 0

arcsenx dx= arcsen 1 ˆ 1

0

x

1x2 dx=π 21

III.4 Substituição Trigonométrica 91

em queaé uma constante positiva.

Para eliminar os radicais, usaremos as seguintes identidades trigonométricas:

1 sen2θ= cos2θ, 1 + tg2θ= sec2θ, sec2θ1 = tg2θ.

Vejamos a substituição adequada para cada caso.

Caso a2x2

Se o integrando possuir termos da forma

a2x2, fazemos a mudança de variável

x=asenθ, π

2θπ 2 o que nos leva a

a2x2=

a2(asenθ)2=

a2a2sen2θ

=

a2(1 sen2θ) = a2cos2θ

=acosθ

em que a última passagem segue do fato de quecosθ0paraθ

π2,π2

, ou seja,

a2x2=acosθ

Observe que tomamos um atalho para fazer essa substituição, uma vez que a maneira usual seria escolherθcomo função dex. Isso é possível devido a inversibilidade da funçãoθ= arcsenxano intervalo considerado.

Caso a2+x2

Se o integrando possuir termos da forma

a2+x2, fazemos a mudança de variável

x=atgθ, π

2< θ < π 2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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III

92 III Técnicas de integração

e, portanto, obtemos

a2+x2=

a2+ (atgθ)2=

a2+a2tg2θ =

a2(1 + tg2θ) =

a2sec2θ=asecθ

ou seja,

a2+x2=asecθ

Caso x2a2

Se o integrando possuir termos da forma

x2a2, podemos tentar a substi-tuição trigonométrica

x=asecθ,

0θ <π2, sexa

π

2< θ0,sex≤ −a a qual nos remete a

x2a2=

(asecθ)2a2=

a2sec2θa2

=

a2(sec2θ1) = a2tg2θ

=atg2θ

ou seja, essa mudança de variável nos fornece

x2a2=atg2θ

Vejamos alguns exemplos utilizando essas substituições trigonométricas.

Exemplo III.16. Calcule

ˆ 4x2

x dx

Solução:nesse caso, temosa= 2e faremos a substituição x= 2 senθ, dx= 2 cosθ dθ e

4x2= 2 cosθ

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Substituição Trigonométrica

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III.4 Substituição Trigonométrica 93

Logo,

ˆ 4x2

x dx=

ˆ 2 cosθ

2 senθ2 cosθ dθ

= 2 ˆ

=1sen2θ

cos2θ senθ

= 2

ˆ 1 sen2θ senθ

= 2

ˆ 1

senθ sen2θ senθ

= 2 ˆ

cossecθsenθ dθ

= 2 ln|cossecθcotgθ|+ 2 cosθ+C (III.8)

em que, na última passagem, usamos as fórmulas 8 e 16 da Tabela III.2.1. Observe, no entanto que o resultado está escrito em termos da variável θ. Para voltar à variável x, observamos que mudança de variávelx=asenθimplica que

senθ=x 2

Por outro lado, da trigonometria do triângulo retângulo, temos que

senθ=cateto oposto hipotenusa Com o auxílio da figura III.4.1, a seguir,

Figura III.4.1: Substituiçãox=asenθ Fonte: os autores.

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III

94 III Técnicas de integração e da definição da funções trigonométricas que aparecem em(III.8)vem que

cosθ= cateto adjacente hipotenusa =

22x2 2 cossecθ= 1

senθ = 2 x cotgθ= 1

tgθ= cosθ senθ=

22x2 2x 2

=

22x2 x

Usando essas relações em(III.8), temos que ˆ

4x2

x dx= 2 ln|cossecθ cotgθ|+ 2 cosθ+C = 2 ln 2 x

22x2 x

+ 2

22x2

2 +C

ou seja,

ˆ 4x2

x dx= 2 ln 2 x

22x2 x

+ 2

22x2

2 +C (III.9)

Exemplo III.17. Calcule

ˆ 1

4 +x2 dx

Solução:fazendo a mudança de variável

x= 2 tgθ, dx= 2 sec2θ dθ

teremos

4 +x2=

4 + (2 tgθ)2

=

4(1 + tg2θ)

= 2 sec2θ

= 2 secθ

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Substituição Trigonométrica

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III.4 Substituição Trigonométrica 95 Substituindo os termos acima na integral dada, obtemos

ˆ 1

4 +x2 dx=

ˆ 1

2 secθ2 sec2θ dθ

= ˆ

secθ dθ

Usando a fórmula 15 da Tabela III.2.1, observamos que

ˆ 1

4 +x2 dx= ˆ

secθ dθ

= ln|secθ+ tgθ|+C (III.10) Para voltar a variávelx, observe que a substituição trigonométricax= 2 tgθnos remete a

tgθ=x

2 (III.11)

Por outro lado, da trigonometria do triângulo retângulo temos que

tgθ= cateto oposto cateto adjacente.

Assim, a substituição trigonométrica utilizada é representada pela figura III.4.2,

Figura III.4.2: Substituiçãox= 2 tgθ Fonte: os autores.

e, portanto,

secθ= 1

cosθ = 1

2 22+x2

=

4 +x2 2

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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III

96 III Técnicas de integração Usando essa relação e III.11, podemos reescrever(III.10)em termos dex, obtendo

ˆ 1

4 +x2dx= ln|secθ+ tgθ|+C

= ln

4 +x2

2 +x

2 +C

= ln

4 +x2+x 2

+C

= ln

4 +x2+xln 2 +C

Comoln 2é constante, será incorporado a constante de integraçãoCe, assim, escrevemos somente

ˆ 1

4 +x2 dx= ln|

4 +x2+x|+C.

Exemplo III.18. Calcule

ˆ x24

x dx

Solução:nesse caso, fazemos a mudança de variável

x= 2 secθ, dx= 2 secθtgθ dθ

obtemos

x24 =

(2 secθ)24

=

4(sec2θ1)

=

4 tg2θ

= 2 tgθ

Fazendo essas substituições na integral, temos que ˆ

x24 x dx=

ˆ 2 tgθ

2 secθ2 secθtgθ dθ

= 2 ˆ

tg2θ dθ

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Substituição Trigonométrica

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III.4 Substituição Trigonométrica 97

Como não temos uma fórmula para calcular essa última integral, usamos a identidade tg2θ= sec2θ1que nos leva a

ˆ x24

x dx= 2 ˆ

tg2θ dθ

= 2 ˆ

sec2θ1

= 2 ˆ

sec2θ dθ2 ˆ

= 2 tgθ+C (III.12)

(III.13)

em que, a última passagem, é proveniente da aplicação da fórmula 9 da Tabela III.2.1. Para exibir o resultado em termos da variávelx, observe quex= 2 secθimplica em

secθ=x 2. Por outro lado,

secθ= 1

cosθ = 1

cateto adjacente hipotenusa

= hipotenusa cateto adjacente. Representado no triângulo retângulo, figura III.4.3,

Figura III.4.3: Substituiçãox= 2 secθ Fonte: os autores.

temos

tgθ= cateto oposto cateto adjacente=

x222

2 =

x24 2 e, consequentemente,

θ= arctg tgθ= arctg

x24 2 . TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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III

115

Integração por Frações Parciais

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98 III Técnicas de integração

Substituindo essas duas últimas identidades em(III.12), temos que

ˆ x24

x dx= 2 tgθ+C

= 2

x24

2 2 arctg

x24

2 +C

ou seja,

ˆ x24

x dx=

x242 arctg

x24 2 +C.

Nos casos em que for necessário fazer uma substituição trigonométrica em uma integral definida, basta calcular a integral indefinida, como no exemplos acima, e, de-pois, aplicar a fórmula obtida nos limites de integração, conforme ilustra o exemplo a seguir:

Exemplo III.19. Calcule a integral definida ˆ 3

2

x24 x dx

Solução:nesse caso, calculamos a integral indefinida, como no exemplo an-terior, obtendo

ˆ x24

x dx=

x242 arctg

x24 2 +C.

e, em seguida, aplicamos nos limites de integração, ou seja,

ˆ 3

2

x24 x dx=

x242 arctg

x24 2

3

2

=

52 arctg

5 2 uma vez que arctg 0 = 0.

No documento CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (páginas 107-115)

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