TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
III.4 Substituição Trigonométrica
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Substituição Trigonométrica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
90 III Técnicas de integração
Solução:primeiramente, faremos uma integração por partes escolhendo u= arcsenx, dv=dx
e, portanto,
du= 1
√1−x2dx, v=x Pela fórmula(III.6), temos que
ˆ 1 0
arcsenx dx=xarcsenx10− ˆ 1
0
√ x
1−x2dx
= arcsen 1− ˆ 1
0
√ x
1−x2dx (III.7)
Para resolver a última integral, fazemos a mudança de variávelu = 1−x2 e, portanto, du=−2x dx,u= 1quandox= 0eu= 0sex= 1. Isto é,
ˆ 1 0
√ x
1−x2 dx=−1 2
ˆ 0 1
√duu
=−1 2
ˆ 0 1
u−12 du
=−1 2
u12
1 2
0
1
=−√ u0
1
= 1
Substituindo essa última igualdade em(III.7), obtemos que
ˆ 1 0
arcsenx dx= arcsen 1− ˆ 1
0
√ x
1−x2 dx=π 2−1
III.4 Substituição Trigonométrica 91
em queaé uma constante positiva.
Para eliminar os radicais, usaremos as seguintes identidades trigonométricas:
1− sen2θ= cos2θ, 1 + tg2θ= sec2θ, sec2θ−1 = tg2θ.
Vejamos a substituição adequada para cada caso.
Caso√ a2−x2
Se o integrando possuir termos da forma√
a2−x2, fazemos a mudança de variável
x=asenθ, −π
2≤θ≤π 2 o que nos leva a
√a2−x2=
a2−(asenθ)2=√
a2−a2sen2θ
=
a2(1− sen2θ) =√ a2cos2θ
=acosθ
em que a última passagem segue do fato de quecosθ≥0paraθ∈
−π2,π2
, ou seja,
√a2−x2=acosθ
Observe que tomamos um atalho para fazer essa substituição, uma vez que a maneira usual seria escolherθcomo função dex. Isso é possível devido a inversibilidade da funçãoθ= arcsenxano intervalo considerado.
Caso√ a2+x2
Se o integrando possuir termos da forma√
a2+x2, fazemos a mudança de variável
x=atgθ, −π
2< θ < π 2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
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III
92 III Técnicas de integração
e, portanto, obtemos
√a2+x2=
a2+ (atgθ)2=
a2+a2tg2θ =
a2(1 + tg2θ) =√
a2sec2θ=asecθ
ou seja,
√a2+x2=asecθ
Caso√ x2−a2
Se o integrando possuir termos da forma√
x2−a2, podemos tentar a substi-tuição trigonométrica
x=asecθ,
0≤θ <π2, sex≥a
π
2< θ≤0,sex≤ −a a qual nos remete a
√x2−a2=
(asecθ)2−a2=√
a2sec2θ−a2
=
a2(sec2θ−1) = a2tg2θ
=atg2θ
ou seja, essa mudança de variável nos fornece
√x2−a2=atg2θ
Vejamos alguns exemplos utilizando essas substituições trigonométricas.
Exemplo III.16. Calcule
ˆ √ 4−x2
x dx
Solução:nesse caso, temosa= 2e faremos a substituição x= 2 senθ, dx= 2 cosθ dθ e√
4−x2= 2 cosθ
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Substituição Trigonométrica
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III.4 Substituição Trigonométrica 93
Logo,
ˆ √ 4−x2
x dx=
ˆ 2 cosθ
2 senθ2 cosθ dθ
= 2 ˆ
=1−sen2θ
cos2θ senθ dθ
= 2
ˆ 1− sen2θ senθ dθ
= 2
ˆ 1
senθ− sen2θ senθ dθ
= 2 ˆ
cossecθ−senθ dθ
= 2 ln|cossecθ−cotgθ|+ 2 cosθ+C (III.8)
em que, na última passagem, usamos as fórmulas 8 e 16 da Tabela III.2.1. Observe, no entanto que o resultado está escrito em termos da variável θ. Para voltar à variável x, observamos que mudança de variávelx=asenθimplica que
senθ=x 2
Por outro lado, da trigonometria do triângulo retângulo, temos que
senθ=cateto oposto hipotenusa Com o auxílio da figura III.4.1, a seguir,
Figura III.4.1: Substituiçãox=asenθ Fonte: os autores.
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III
94 III Técnicas de integração e da definição da funções trigonométricas que aparecem em(III.8)vem que
cosθ= cateto adjacente hipotenusa =
√22−x2 2 cossecθ= 1
senθ = 2 x cotgθ= 1
tgθ= cosθ senθ=
√22−x2 2x 2
=
√22−x2 x
Usando essas relações em(III.8), temos que ˆ √
4−x2
x dx= 2 ln|cossecθ− cotgθ|+ 2 cosθ+C = 2 ln 2 x−
√22−x2 x
+ 2
√22−x2
2 +C
ou seja,
ˆ √ 4−x2
x dx= 2 ln 2 x−
√22−x2 x
+ 2
√22−x2
2 +C (III.9)
Exemplo III.17. Calcule
ˆ 1
√4 +x2 dx
Solução:fazendo a mudança de variável
x= 2 tgθ, dx= 2 sec2θ dθ
teremos
√4 +x2=
4 + (2 tgθ)2
=
4(1 + tg2θ)
= 2√ sec2θ
= 2 secθ
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Substituição Trigonométrica
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III.4 Substituição Trigonométrica 95 Substituindo os termos acima na integral dada, obtemos
ˆ 1
√4 +x2 dx=
ˆ 1
2 secθ2 sec2θ dθ
= ˆ
secθ dθ
Usando a fórmula 15 da Tabela III.2.1, observamos que
ˆ 1
√4 +x2 dx= ˆ
secθ dθ
= ln|secθ+ tgθ|+C (III.10) Para voltar a variávelx, observe que a substituição trigonométricax= 2 tgθnos remete a
tgθ=x
2 (III.11)
Por outro lado, da trigonometria do triângulo retângulo temos que
tgθ= cateto oposto cateto adjacente.
Assim, a substituição trigonométrica utilizada é representada pela figura III.4.2,
Figura III.4.2: Substituiçãox= 2 tgθ Fonte: os autores.
e, portanto,
secθ= 1
cosθ = 1
√ 2 22+x2
=
√4 +x2 2
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III
96 III Técnicas de integração Usando essa relação e III.11, podemos reescrever(III.10)em termos dex, obtendo
ˆ 1
√4 +x2dx= ln|secθ+ tgθ|+C
= ln
√4 +x2
2 +x
2 +C
= ln
√4 +x2+x 2
+C
= ln√
4 +x2+x−ln 2 +C
Comoln 2é constante, será incorporado a constante de integraçãoCe, assim, escrevemos somente
ˆ 1
√4 +x2 dx= ln|√
4 +x2+x|+C.
Exemplo III.18. Calcule
ˆ √ x2−4
x dx
Solução:nesse caso, fazemos a mudança de variável
x= 2 secθ, dx= 2 secθtgθ dθ
obtemos
√x2−4 =
(2 secθ)2−4
=
4(sec2θ−1)
=
4 tg2θ
= 2 tgθ
Fazendo essas substituições na integral, temos que ˆ √
x2−4 x dx=
ˆ 2 tgθ
2 secθ2 secθtgθ dθ
= 2 ˆ
tg2θ dθ
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Substituição Trigonométrica
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III.4 Substituição Trigonométrica 97
Como não temos uma fórmula para calcular essa última integral, usamos a identidade tg2θ= sec2θ−1que nos leva a
ˆ √ x2−4
x dx= 2 ˆ
tg2θ dθ
= 2 ˆ
sec2θ−1dθ
= 2 ˆ
sec2θ dθ−2 ˆ
dθ
= 2 tgθ−2θ+C (III.12)
(III.13)
em que, a última passagem, é proveniente da aplicação da fórmula 9 da Tabela III.2.1. Para exibir o resultado em termos da variávelx, observe quex= 2 secθimplica em
secθ=x 2. Por outro lado,
secθ= 1
cosθ = 1
cateto adjacente hipotenusa
= hipotenusa cateto adjacente. Representado no triângulo retângulo, figura III.4.3,
Figura III.4.3: Substituiçãox= 2 secθ Fonte: os autores.
temos
tgθ= cateto oposto cateto adjacente=
√x2−22
2 =
√x2−4 2 e, consequentemente,
θ= arctg tgθ= arctg
√x2−4 2 . TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
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III
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Integração por Frações Parciais
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98 III Técnicas de integração
Substituindo essas duas últimas identidades em(III.12), temos que
ˆ √ x2−4
x dx= 2 tgθ−2θ+C
= 2
√x2−4
2 −2 arctg
√x2−4
2 +C
ou seja,
ˆ √ x2−4
x dx=√
x2−4−2 arctg
√x2−4 2 +C.
Nos casos em que for necessário fazer uma substituição trigonométrica em uma integral definida, basta calcular a integral indefinida, como no exemplos acima, e, de-pois, aplicar a fórmula obtida nos limites de integração, conforme ilustra o exemplo a seguir:
Exemplo III.19. Calcule a integral definida ˆ 3
2
√x2−4 x dx
Solução:nesse caso, calculamos a integral indefinida, como no exemplo an-terior, obtendo
ˆ √ x2−4
x dx=√
x2−4−2 arctg
√x2−4 2 +C.
e, em seguida, aplicamos nos limites de integração, ou seja,
ˆ 3
2
√x2−4 x dx=√
x2−4−2 arctg
√x2−4 2
3
2
=√
5−2 arctg
√5 2 uma vez que arctg 0 = 0.