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Mudança de variáveis na integral dupla

No documento CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (páginas 152-160)

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares

IV.3.1 Mudança de variáveis na integral dupla

Um dos objetivos da mudança de variáveis na integral dupla é facilitar o cálculo da integral

¨

D

f(x, y)dAquando o integrandof ou a regiãoDsão tais que a integral não é simples de ser calculada diretamente.

Recordemos que, na integração de funções de uma variável, usamos o mé-todo da substituição: seu=g(x), temos

ˆ b

a

f(x)dx= ˆ g(b)

g(a)

f(u)du,

em quef é contínua em[a, b]egpossui derivada contínua em[g(a), g(b)].

No caso de funções de duas variáveis, transformaremos a integral dupla dada por

¨

D

f(x, y)dy dxem queDé uma região do planoxyem outra integral dupla

¨

Q

F(u, v)du dv, na qualQé uma região do planouv.

Para tanto, sejamuevfunções definidas por

x=x(u, v) e y=y(u, v).

As notações acima dizem quexeysão funções deuev.Essas equações definem uma aplicaçãogque associa a cada ponto do planouvum ponto(x, y)do planoxy,isto é,

g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)

em que vamos assumir que, na regiãoQdo planouv, tenhamos a funçãogcontínua, injetora eg(Q) =D,com inversa contínua, como mostra a figura a seguir:

136 IV Integrais múltiplas

y

0 x v

0 u

Q

(u, v)

(x, y) g

x=x(u, v) y=y(u, v)

g1

D

Figura IV.3.12: Aplicaçãogque associa cada ponto do planouva um ponto(x, y)do plano xy

Fonte: os autores.

Se, além disso,x =x(u, v)ey =y(u, v)são contínuas com derivadas contí-nuas em um conjunto abertoU Qe o chamado determinante jacobiano

∂(x, y)

∂(u, v)=

∂ x

∂ u

∂ x

∂ v

∂ y

∂ u

∂ y

∂ v

(IV.18) é diferente de zero na regiãoQ.

Sef for integrável emg(Q) =D,então, a mudança de variáveis na integral dupla é

¨

D

f(x, y)dx dy=

¨

Q

f(x(u, v), y(u, v)) ∂(x, y)

∂(u, v)

du dv. (IV.19)

Aqui,

∂(x, y)

∂(u, v)

é o módulo do determinante jacobiano dado em (IV.18).

Agora, veremos a integral dupla em coordenadas polares, que é um caso especial da teoria apresentada até o momento.

Considereg:R2R2dada por

g(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) = (rcosθ, rsenθ) comr >0, arbeαθβ.Graficamente, temos:

153

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 137

D Q

α β

0

x y

a b

θ=β

θ=α g

g1

r=b

r=a

r θ

Figura IV.3.13: Mudança de coordenadas cartesianasxypara coordenadas polares Fonte: os autores.

Temos que

∂(x, y)

∂(r, θ) =

∂ x

∂ r

∂ x

∂ θ

∂ y

∂ r

∂ y

∂ θ

=

cosθ rsenθ senθ rcosθ

=r ·(cos2θ+ sen2θ)

=1

=r .

(IV.20)

Assim,

∂(x, y)

∂(r, θ)

=|r|=r,uma vez quer >0.Portanto, substituindo o valor do módulo do determinante jacobiano em (IV.19), resulta que a integral dupla em coordenadas polares é:

¨

D

f(x, y)dy dx= ˆ β

α

ˆ b

a

f(rcosθ, rsenθ)r dr dθ. (IV.21) Note que, quando usamos coordenadas polares na integral dupla, sempre haverá o fatorrnessa integral ao fazer a mudança de variáveis.

#REFLITA#

Sempre que houver a expressãox2+y2 na integral dupla, é plausível usar este tipo de mudança de variável, ou seja, o uso de coordenadas polares.

Fonte: os autores.

#REFLITA#

Exemplo IV.5. Calcule¨

D

ln(x2+y2)dx dy em queD é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferênciasx2+y2= 1ex2+y2= 4.

Solução:inicialmente, façamos um esboço da regiãoD:

IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 137

D Q

α β

0

x y

a b

θ=β

θ=α g

g−1

r=b

r=a

r θ

Figura IV.3.13: Mudança de coordenadas cartesianasxypara coordenadas polares Fonte: os autores.

Temos que

∂(x, y)

∂(r, θ) =

∂ x

∂ r

∂ x

∂ θ

∂ y

∂ r

∂ y

∂ θ

=

cosθ rsenθ senθ rcosθ

=r ·(cos2θ+ sen2θ)

=1

=r .

(IV.20)

Assim,

∂(x, y)

∂(r, θ)

=|r|=r,uma vez quer >0.Portanto, substituindo o valor do módulo do determinante jacobiano em (IV.19), resulta que a integral dupla em coordenadas polares é:

¨

D

f(x, y)dy dx= ˆ β

α

ˆ b

a

f(rcosθ, rsenθ)r dr dθ. (IV.21) Note que, quando usamos coordenadas polares na integral dupla, sempre haverá o fatorrnessa integral ao fazer a mudança de variáveis.

#REFLITA#

Sempre que houver a expressãox2+y2na integral dupla, é plausível usar este tipo de mudança de variável, ou seja, o uso de coordenadas polares.

Fonte: os autores.

#REFLITA#

Exemplo IV.5. Calcule

¨

D

ln(x2+y2)dx dy em queD é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferênciasx2+y2= 1ex2+y2= 4.

Solução:inicialmente, façamos um esboço da regiãoD:

IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 137

D Q

α β

0

x y

a b

θ=β

θ=α g

g1

r=b

r=a

r θ

Figura IV.3.13: Mudança de coordenadas cartesianasxypara coordenadas polares Fonte: os autores.

Temos que

∂(x, y)

∂(r, θ) =

∂ x

∂ r

∂ x

∂ θ

∂ y

∂ r

∂ y

∂ θ

=

cosθ rsenθ senθ rcosθ

=r·(cos2θ+ sen2θ)

=1

=r .

(IV.20)

Assim,

∂(x, y)

∂(r, θ)

=|r|=r,uma vez quer >0.Portanto, substituindo o valor do módulo do determinante jacobiano em (IV.19), resulta que a integral dupla em coordenadas polares é:

¨

D

f(x, y)dy dx= ˆ β

α

ˆ b

a

f(rcosθ, rsenθ)r dr dθ. (IV.21) Note que, quando usamos coordenadas polares na integral dupla, sempre haverá o fatorrnessa integral ao fazer a mudança de variáveis.

#REFLITA#

Sempre que houver a expressãox2+y2 na integral dupla, é plausível usar este tipo de mudança de variável, ou seja, o uso de coordenadas polares.

Fonte: os autores.

#REFLITA#

Exemplo IV.5. Calcule

¨

D

ln(x2+y2)dx dy em queDé a região do primeiro quadrante situada entre as circunferênciasx2+y2= 1ex2+y2= 4.

Solução:inicialmente, façamos um esboço da regiãoD: INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

IV

138 IV Integrais múltiplas

0 1 2 1

2 y

x

Figura IV.3.14: RegiãoD Fonte: os autores.

Observe pela figura que1r2e0θ π

2. Assim, usando as coordena-das polares

x=rcosθ, y=rsenθ, (IV.22)

resulta que

ln(x2+y2) = lnr2= 2 lnr.

Desse modo,

¨

D

ln(x2+y2)dx dy= 2 ˆ π2

0

ˆ 2 1

lnr ·r dr dθ. (IV.23)

Para resolver a integral ˆ 2

1

lnr · r dr, recorremos à integração por partes comu= lnre dv=r dr.Isso nos dá quedu=1rdr, v=r2

2, com isso, ˆ 2

1

lnr ·r dr= r2

2 lnr21 ˆ 2

1

r2 2 · 1

rdr

= r2

2 lnr211 2

ˆ 2 1

r dr

= r2

2 lnrr2 4 2

1

= 2 ln 211 2ln 1

=0

+1 4

= 2 ln 23 4.

155

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IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 139 Retornando para integral dupla em(IV.23), face o cálculo auxiliar acima, obtemos:

¨

D

ln(x2+y2)dx dy= 2 ˆ π2

0

ˆ 2

1

lnr ·r dr dθ

= 2 ˆ π2

0

2 ln 23 4

=

4 ln 23 2

ˆ π2

0

=

4 ln 23 2

θ

π 2 0

=π

2 ·4 ln 23 4π

=π

4(8 ln 23).

(IV.24)

Exemplo IV.6.Determine o volume abaixo do conez=

x2+y2e acima do discoDdado porx2+y24.

Solução:como de praxe, é conveniente esboçar a regiãoDiniciamente dada pelo discox2+y24.

0 2

2 2

2

x y

D

Figura IV.3.15: DiscoD Fonte: os autores

Note pela figura que0r2e0θ2π.

Em seguida, veja figura IV.3.16, desenhamos o sólido abaixo do cone e acima do disco dados em cinza claro.

Perceba que a altura do sólido a ser calculada éz= x2+y2.

Usando coordenadas polares x = rcosθ e y = rsenθ, desde que r > 0, INTEGRAIS MÚLTIPLAS

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IV

140 IV Integrais múltiplas

x

y z

z= x2+y2

Figura IV.3.16: O volume procurado está destacado em cinza claro Fonte: os autores.

temos:

z= x2+y2

=

(rcosθ)2+ (rsenθ)2

=

r2·(cos2θ+ sen2θ)

=1

= r2

=|r|=r.

(IV.25)

Logo,

V = ˆ

0

ˆ 2 0

r ·r dr dθ

= ˆ

0

ˆ 2 0

r2dr dθ

= ˆ

0

r3 3 20

= 8 3

ˆ 0

= 8 3θ

0

= 8 3 ·

= 16 3 π .

(IV.26)

Exemplo IV.7. Calcule a integral dupla¨

D

e(x2+y2)dA em queDestá no primeiro qua-drante e é limitada pela circunferênciasx2+y2=a2e pelos coordenados.

Solução: de fato, fazendo um esboço da regiãoD descrita no enunciado, obtemos:

Fazendo uso da mudança de coordenadas polaresx =rcosθey =rsenθ, 157

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IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 141

D a a

0

x y

Figura IV.3.17: RegiãoDa ser integrada Fonte: os autores.

temos que

x2+y2=r2. Além disso, veja pela figura que0rae0θ π

2.Assim,

¨

D

e−(x2+y2)dA= ˆ π

2 0

ˆ a

0

e−r2 ·r dr dθ. (IV.27)

Antes de resolver a integral almejada, para facilitar a compreensão, vamos calcular a integral ˆ a

0

er2 ·r drpelo método da substituição. Com efeito, pondou=r2,entãodu=2r dr.

E, ainda, parax= 0,temos queu= 0e, sex=a,decorre queu=a2.Desse modo,

ˆ a

0

er2 ·r dr=1 2

ˆ a2 0

eudu

=1 2eu

−a

2

0

=1 2

e−a21

= 1 21

2ea2.

(IV.28)

Combinando(IV.27)e(IV.28), resulta que

¨

D

e(x2+y2)dA= ˆ π2

0

ˆ a

0

er2 ·r dr dθ

= ˆ π2

0

1 21

2ea2

=1 21

2ea2 ˆ π2

0

=1 21

2e−a2θ

π 2 0

=π 4π

4ea2

=π 4

1ea2 .

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IV

142 IV Integrais múltiplas

#SAIBA MAIS#

A maneira usual de calcular a integral imprópria I = ˆ

0

ex2dxé primeiro calcular seu quadrado:

I2= ˆ

0

ex2dx ˆ

0

ey2dy

= ˆ

0

ˆ

0

e(x2+y2)dx dy . (IV.29) Recorrendo às coordenadas polares dadas em (IV.22), isto é,

x=rcosθ, y=rsenθ, (IV.30)

então,(x2+y2) =r2.Uma vez quex, y [0,),então, os valores dere θem que (IV.30) são positivos ocorrem quandor [0,)eθ [0, π/2] (note queré sempre positivo e os valores deθem quexey são simultaneamente positivos se encontram no primeiro quadrante). Logo, temos que

I2= ˆ

0

ˆ

0

e(x2+y2)dx dy

= ˆ π2

0

ˆ

0

er2r dr dθ= ˆ π2

0 blim→∞

ˆ b

0

er2r dr dθ .

Empregando o método da substituição, na integral acima comu=r2,em quedu=2r dr, resulta que

I2= ˆ

0

ˆ

0

e(x2+y2)dx dy= ˆ π2

0 blim→∞

ˆ b

0

er2r dr dθ

= ˆ π2

0 b→∞lim

er2 2

b

0

=1 2

ˆ π2

0

0

b→∞lim eb2

2 + 1

=1 2

ˆ π2

0

1=1 2θ

π 2

0

= π 4.

Portanto,

ˆ

0

ex2dx=

π 2 . Fonte: os autores.

#SAIBA MAIS#

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