TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares
IV.3.1 Mudança de variáveis na integral dupla
Um dos objetivos da mudança de variáveis na integral dupla é facilitar o cálculo da integral
¨
D
f(x, y)dAquando o integrandof ou a regiãoDsão tais que a integral não é simples de ser calculada diretamente.
Recordemos que, na integração de funções de uma variável, usamos o mé-todo da substituição: seu=g(x), temos
ˆ b
a
f(x)dx= ˆ g(b)
g(a)
f(u)du,
em quef é contínua em[a, b]egpossui derivada contínua em[g(a), g(b)].
No caso de funções de duas variáveis, transformaremos a integral dupla dada por
¨
D
f(x, y)dy dxem queDé uma região do planoxyem outra integral dupla
¨
Q
F(u, v)du dv, na qualQé uma região do planouv.
Para tanto, sejamuevfunções definidas por
x=x(u, v) e y=y(u, v).
As notações acima dizem quexeysão funções deuev.Essas equações definem uma aplicaçãogque associa a cada ponto do planouvum ponto(x, y)do planoxy,isto é,
g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)
em que vamos assumir que, na regiãoQdo planouv, tenhamos a funçãogcontínua, injetora eg(Q) =D,com inversa contínua, como mostra a figura a seguir:
136 IV Integrais múltiplas
y
0 x v
0 u
Q
• •
(u, v)
(x, y) g
x=x(u, v) y=y(u, v)
g−1
D
Figura IV.3.12: Aplicaçãogque associa cada ponto do planouva um ponto(x, y)do plano xy
Fonte: os autores.
Se, além disso,x =x(u, v)ey =y(u, v)são contínuas com derivadas contí-nuas em um conjunto abertoU⊃ Qe o chamado determinante jacobiano
∂(x, y)
∂(u, v)=
∂ x
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ u
∂ y
∂ v
(IV.18) é diferente de zero na regiãoQ.
Sef for integrável emg(Q) =D,então, a mudança de variáveis na integral dupla é
¨
D
f(x, y)dx dy=
¨
Q
f(x(u, v), y(u, v)) ∂(x, y)
∂(u, v)
du dv. (IV.19)
Aqui,
∂(x, y)
∂(u, v)
é o módulo do determinante jacobiano dado em (IV.18).
Agora, veremos a integral dupla em coordenadas polares, que é um caso especial da teoria apresentada até o momento.
Considereg:R2→R2dada por
g(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) = (rcosθ, rsenθ) comr >0, a≤r≤beα≤θ≤β.Graficamente, temos:
153
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 137
D Q
α β
0
x y
a b
θ=β
θ=α g
g−1
r=b
r=a
r θ
Figura IV.3.13: Mudança de coordenadas cartesianasxypara coordenadas polaresrθ Fonte: os autores.
Temos que
∂(x, y)
∂(r, θ) =
∂ x
∂ r
∂ x
∂ θ
∂ y
∂ r
∂ y
∂ θ
=
cosθ −rsenθ senθ rcosθ
=r ·(cos2θ+ sen2θ)
=1
=r .
(IV.20)
Assim,
∂(x, y)
∂(r, θ)
=|r|=r,uma vez quer >0.Portanto, substituindo o valor do módulo do determinante jacobiano em (IV.19), resulta que a integral dupla em coordenadas polares é:
¨
D
f(x, y)dy dx= ˆ β
α
ˆ b
a
f(rcosθ, rsenθ)r dr dθ. (IV.21) Note que, quando usamos coordenadas polares na integral dupla, sempre haverá o fatorrnessa integral ao fazer a mudança de variáveis.
#REFLITA#
Sempre que houver a expressãox2+y2 na integral dupla, é plausível usar este tipo de mudança de variável, ou seja, o uso de coordenadas polares.
Fonte: os autores.
#REFLITA#
Exemplo IV.5. Calcule¨
D
ln(x2+y2)dx dy em queD é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferênciasx2+y2= 1ex2+y2= 4.
Solução:inicialmente, façamos um esboço da regiãoD:
IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 137
D Q
α β
0
x y
a b
θ=β
θ=α g
g−1
r=b
r=a
r θ
Figura IV.3.13: Mudança de coordenadas cartesianasxypara coordenadas polaresrθ Fonte: os autores.
Temos que
∂(x, y)
∂(r, θ) =
∂ x
∂ r
∂ x
∂ θ
∂ y
∂ r
∂ y
∂ θ
=
cosθ −rsenθ senθ rcosθ
=r ·(cos2θ+ sen2θ)
=1
=r .
(IV.20)
Assim,
∂(x, y)
∂(r, θ)
=|r|=r,uma vez quer >0.Portanto, substituindo o valor do módulo do determinante jacobiano em (IV.19), resulta que a integral dupla em coordenadas polares é:
¨
D
f(x, y)dy dx= ˆ β
α
ˆ b
a
f(rcosθ, rsenθ)r dr dθ. (IV.21) Note que, quando usamos coordenadas polares na integral dupla, sempre haverá o fatorrnessa integral ao fazer a mudança de variáveis.
#REFLITA#
Sempre que houver a expressãox2+y2na integral dupla, é plausível usar este tipo de mudança de variável, ou seja, o uso de coordenadas polares.
Fonte: os autores.
#REFLITA#
Exemplo IV.5. Calcule
¨
D
ln(x2+y2)dx dy em queD é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferênciasx2+y2= 1ex2+y2= 4.
Solução:inicialmente, façamos um esboço da regiãoD:
IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 137
D Q
α β
0
x y
a b
θ=β
θ=α g
g−1
r=b
r=a
r θ
Figura IV.3.13: Mudança de coordenadas cartesianasxypara coordenadas polaresrθ Fonte: os autores.
Temos que
∂(x, y)
∂(r, θ) =
∂ x
∂ r
∂ x
∂ θ
∂ y
∂ r
∂ y
∂ θ
=
cosθ −rsenθ senθ rcosθ
=r·(cos2θ+ sen2θ)
=1
=r .
(IV.20)
Assim,
∂(x, y)
∂(r, θ)
=|r|=r,uma vez quer >0.Portanto, substituindo o valor do módulo do determinante jacobiano em (IV.19), resulta que a integral dupla em coordenadas polares é:
¨
D
f(x, y)dy dx= ˆ β
α
ˆ b
a
f(rcosθ, rsenθ)r dr dθ. (IV.21) Note que, quando usamos coordenadas polares na integral dupla, sempre haverá o fatorrnessa integral ao fazer a mudança de variáveis.
#REFLITA#
Sempre que houver a expressãox2+y2 na integral dupla, é plausível usar este tipo de mudança de variável, ou seja, o uso de coordenadas polares.
Fonte: os autores.
#REFLITA#
Exemplo IV.5. Calcule
¨
D
ln(x2+y2)dx dy em queDé a região do primeiro quadrante situada entre as circunferênciasx2+y2= 1ex2+y2= 4.
Solução:inicialmente, façamos um esboço da regiãoD: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
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IV
138 IV Integrais múltiplas
0 1 2 1
2 y
x
Figura IV.3.14: RegiãoD Fonte: os autores.
Observe pela figura que1≤r≤2e0≤θ≤ π
2. Assim, usando as coordena-das polares
x=rcosθ, y=rsenθ, (IV.22)
resulta que
ln(x2+y2) = lnr2= 2 lnr.
Desse modo,
¨
D
ln(x2+y2)dx dy= 2 ˆ π2
0
ˆ 2 1
lnr ·r dr dθ. (IV.23)
Para resolver a integral ˆ 2
1
lnr · r dr, recorremos à integração por partes comu= lnre dv=r dr.Isso nos dá quedu=1rdr, v=r2
2, com isso, ˆ 2
1
lnr ·r dr= r2
2 lnr21− ˆ 2
1
r2 2 · 1
rdr
= r2
2 lnr21−1 2
ˆ 2 1
r dr
= r2
2 lnr−r2 4 2
1
= 2 ln 2−1−1 2ln 1
=0
+1 4
= 2 ln 2−3 4.
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Integrais Duplas em Coordenadas Polares
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IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 139 Retornando para integral dupla em(IV.23), face o cálculo auxiliar acima, obtemos:
¨
D
ln(x2+y2)dx dy= 2 ˆ π2
0
ˆ 2
1
lnr ·r dr dθ
= 2 ˆ π2
0
2 ln 2−3 4
dθ
=
4 ln 2−3 2
ˆ π2
0
dθ
=
4 ln 2−3 2
θ
π 2 0
=π
2 ·4 ln 2−3 4π
=π
4(8 ln 2−3).
(IV.24)
Exemplo IV.6.Determine o volume abaixo do conez=
x2+y2e acima do discoDdado porx2+y2≤4.
Solução:como de praxe, é conveniente esboçar a regiãoDiniciamente dada pelo discox2+y2≤4.
0 2
−2 2
−2
x y
D
Figura IV.3.15: DiscoD Fonte: os autores
Note pela figura que0≤r≤2e0≤θ≤2π.
Em seguida, veja figura IV.3.16, desenhamos o sólido abaixo do cone e acima do disco dados em cinza claro.
Perceba que a altura do sólido a ser calculada éz= x2+y2.
Usando coordenadas polares x = rcosθ e y = rsenθ, desde que r > 0, INTEGRAIS MÚLTIPLAS
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IV
140 IV Integrais múltiplas
x
y z
z= x2+y2
Figura IV.3.16: O volume procurado está destacado em cinza claro Fonte: os autores.
temos:
z= x2+y2
=
(rcosθ)2+ (rsenθ)2
=
r2·(cos2θ+ sen2θ)
=1
=√ r2
=|r|=r.
(IV.25)
Logo,
V = ˆ 2π
0
ˆ 2 0
r ·r dr dθ
= ˆ 2π
0
ˆ 2 0
r2dr dθ
= ˆ 2π
0
r3 3 20dθ
= 8 3
ˆ 2π 0
dθ
= 8 3θ
2π0
= 8 3 ·2π
= 16 3 π .
(IV.26)
Exemplo IV.7. Calcule a integral dupla¨
D
e−(x2+y2)dA em queDestá no primeiro qua-drante e é limitada pela circunferênciasx2+y2=a2e pelos coordenados.
Solução: de fato, fazendo um esboço da regiãoD descrita no enunciado, obtemos:
Fazendo uso da mudança de coordenadas polaresx =rcosθey =rsenθ, 157
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
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IV.3 Integrais duplas em coordenadas polares 141
D a a
0
x y
Figura IV.3.17: RegiãoDa ser integrada Fonte: os autores.
temos que
x2+y2=r2. Além disso, veja pela figura que0≤r≤ae0≤θ≤ π
2.Assim,
¨
D
e−(x2+y2)dA= ˆ π
2 0
ˆ a
0
e−r2 ·r dr dθ. (IV.27)
Antes de resolver a integral almejada, para facilitar a compreensão, vamos calcular a integral ˆ a
0
e−r2 ·r drpelo método da substituição. Com efeito, pondou=−r2,entãodu=−2r dr.
E, ainda, parax= 0,temos queu= 0e, sex=a,decorre queu=−a2.Desse modo,
ˆ a
0
e−r2 ·r dr=−1 2
ˆ −a2 0
eudu
=−1 2eu
−a
2
0
=−1 2
e−a2−1
= 1 2−1
2e−a2.
(IV.28)
Combinando(IV.27)e(IV.28), resulta que
¨
D
e−(x2+y2)dA= ˆ π2
0
ˆ a
0
e−r2 ·r dr dθ
= ˆ π2
0
1 2−1
2e−a2
dθ
=1 2−1
2e−a2 ˆ π2
0
dθ
=1 2−1
2e−a2θ
π 2 0
=π 4−π
4e−a2
=π 4
1−e−a2 .
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
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IV
142 IV Integrais múltiplas
#SAIBA MAIS#
A maneira usual de calcular a integral imprópria I = ˆ ∞
0
e−x2dxé primeiro calcular seu quadrado:
I2= ˆ ∞
0
e−x2dx ˆ ∞
0
e−y2dy
= ˆ ∞
0
ˆ ∞
0
e−(x2+y2)dx dy . (IV.29) Recorrendo às coordenadas polares dadas em (IV.22), isto é,
x=rcosθ, y=rsenθ, (IV.30)
então,−(x2+y2) =−r2.Uma vez quex, y ∈ [0,∞),então, os valores dere θem que (IV.30) são positivos ocorrem quandor∈ [0,∞)eθ∈ [0, π/2] (note queré sempre positivo e os valores deθem quexey são simultaneamente positivos se encontram no primeiro quadrante). Logo, temos que
I2= ˆ ∞
0
ˆ ∞
0
e−(x2+y2)dx dy
= ˆ π2
0
ˆ ∞
0
e−r2r dr dθ= ˆ π2
0 blim→∞
ˆ b
0
e−r2r dr dθ .
Empregando o método da substituição, na integral acima comu=−r2,em quedu=−2r dr, resulta que
I2= ˆ ∞
0
ˆ ∞
0
e−(x2+y2)dx dy= ˆ π2
0 blim→∞
ˆ b
0
e−r2r dr dθ
= ˆ π2
0 b→∞lim
e−r2 2
b
0
dθ=1 2
ˆ π2
0
0
b→∞lim e−b2
2 + 1
dθ
=1 2
ˆ π2
0
1dθ=1 2θ
π 2
0
= π 4.
Portanto,
ˆ ∞
0
e−x2dx=
√π 2 . Fonte: os autores.
#SAIBA MAIS#
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