Filtros de Sensibilidade e Densidade

Diversos métodos de restrição para optimização topológica com variável de densidade têm como objectivos principais, por um lado, reduzir a dependência de malha e os fenómenos checkerbo- ard, e, por outro, permitir um melhor pós-processamento das geometrias obtidas. Este último é particularmente relevante se se atender à integração da optimização topológica em metodologias conjuntas de optimização estrutural (vd. Sec. 2.5.1) e ao objectivo final de optimizar a transição destas soluções para a produção de estruturas reais. De entre destes métodos destacam-se as téc- nicas de filtragem, de densidades ou de sensibilidades. Estes métodos tendem a gerar distribuições definidas de material, muitas vezes com zonas de transição demarcadas, com espessura dependente da dimensão do filtro. Esta transição é muitas vezes conveniente, nomeadamente para a utilização de isovalores de transição para aproximação geométrica. Contudo, em muitos casos, resultados claramente preto e branco (0/1) permitem uma aproximação mais correcta ao problema discreto original e geometrias de melhor interpretação, com elementos discretos aproximados de dimensão mínima controlada pela dimensão dos filtros. De um modo geral, o filtro ideal deveria corresponder aos seguintes requisitos [Sigmund 2007]: obter soluções independentes de malha e sem problemas de checkerboard ; obter soluções discretas (0/1); controlar a exequibilidade da solução (raios míni- mos de ferramentas, dimensões mínimas de vazios, limitações geométricas, etc.); não necessitar de restrições adicionais ao problema de optimização; depender de poucos parâmetros e ser robusto; originar uma convergência rápida e estável; ter aplicabilidade geral; ser de implementação simples; ter um baixo custo computacional.

A regularização da optimização topológica através da utilização de técnicas de filtragem pode ser dividida entre aquela em que os filtros actuam directamente sobre as variáveis do problema

Instabilidades Numéricas em Optimização Topológica

(a)

(b)

(c)

Figura 5.2: Problemas típicos de instabilidade numérica em optimização topológica: (a) checker- boards, (b) dependência de malha e (c) soluções não-únicas [Sigmund e Petersson 1998].

e aquela em que os filtros actuam sobre os gradientes ou sensibilidade da função-objectivo às variáveis. No primeiro caso, as densidades são ponderadas com a vizinhança e alteradas antes de se voltar a calcular a função-objectivo. As suas sensibilidades são depois calculadas tendo em conta esta alteração e então utilizadas na actualização das densidades. No segundo caso, estas são calculadas e depois ponderadas com a vizinhança, usualmente com base em métodos puramente heurísticos [Sigmund 1997, Sigmund 2001, Bendsøe e Sigmund 2003]. A vizinhança de um elemento e define-se aqui pelo conjunto de elementos cujos centros estão a menos de uma dada distância do centro de e, delimitada pelo raio do filtro Rf, correspondente a

Ne=



i : ||xi− xe|| ≤ Rf



, (5.28)

onde xi define a localização do centro do elemento i. Associado a esta vizinhança surge o peso de ponderação, também designado por operador de convolução6 [Sigmund 1997, Sigmund 2001, Bendsøe e Sigmund 2003]

wi= ˆHi = Rf− ||xi− xe|| , (5.29)

para cada elemento i na vizinhança Ne. Note-se que filtros exclusivamente dependentes de dis-

tâncias podem acarretar problemas com regiões que se encontrem dentro da distância definida,

6_{O termo convolução, traduzido do termo inglês convolution, é usado neste âmbito não apenas no sentido da} definição matemática de operador de convolução. É habitual o recurso ao termo, a partir da origem latina convolutus, para traduzir um grau qualitativo da complexidade ou sinuosidade das geometrias obtidas.

Instabilidades Numéricas em Optimização Topológica

mas não tenham ligação física ao elemento em análise, podendo originar a degenerescência das soluções obtidas. Assim, ao longo da maior parte deste trabalho, as vizinhanças são definidas com base em conectividades entre os elementos e as distâncias são contabilizadas apenas para ponde- ração. Na definição das vizinhanças surgem outras complexidades, nomeadamente a gestão das fronteiras da malha de elementos finitos. Idealmente, os filtros deveriam ser expandidos e con- siderarem elementos para além dos limites da malha como elementos vazios. Da mesma forma, fronteiras com condições de simetria deviam contemplar elementos correspondentes a essa simetria, da mesma forma que condições de periodicidade conduziriam à inclusão de elementos cujos graus de liberdade estivessem associados ao elementos em análise. Esta prática é, no entanto, usualmente ignorada [Sigmund 2007].

A filtragem de sensibilidades é largamente utilizada em códigos académicos e comerciais. Estes filtros actuam sobre as sensibilidades, sendo a actualização das variáveis de optimização feita com base nas sensibilidades filtradas. Apesar da sua comprovada robustez para inúmeras aplicações, esta metodologia envolve alguns riscos também. Na realidade, as sensibilidades filtradas podem deixar de representar correctamente os gradientes das variáveis, e criar problemas de convergência ou mesmo paragem prematura dos algoritmos. A versão original do filtro de sensibilidades [Sigmund 1997], para independência de malha, tem origem heurística e pode definir-se como

ˆ ∂f ∂ρe = 1 ρe_i∈NeHˆi  i∈Ne ˆ Hiρi∂f ∂ρi. (5.30)

Em casos onde se permita que o limite inferior da densidade seja igual a zero, nomeadamente nas definições do SIMP descritas nas expressões 5.15 a 5.17, o valor de ρe em denominador deverá ser

substituído por max(ρe, ς). ς é um valor positivo reduzido, para evitar a divisão por zero [Andre-

assen et al. 2010]. Para malhas não-regulares, deve ainda proceder-se à seguinte alteração, ˆ ∂f ∂ρe = 1 ρe v_e  i∈NeHˆi  i∈Ne ˆ Hiρi vi ∂f ∂ρi, (5.31)

contemplando assim os diferentes volumes (ou áreas) dos elementos i na vizinhança Ne de e.

Note-se que, com esta modificação heurística das sensibilidades, deixa-se de minimizar o problema original, mas sim uma versão suavizada do objectivo inicial [Bendsøe e Sigmund 2003].

Os filtros de densidades actuam directamente sobre as variáveis do problema e, consequente- mente, sobre a rigidez. Uma das mais importantes características de um bom filtro em optimização estrutural topológica é a preservação de volume. Este é um problema para muitos filtros, já que existem em alguns casos claras alterações a este constrangimento. Ainda assim, mesmo os fil- tros com melhor comportamento tendem a induzir pequenas alterações, especialmente se forçarem distribuições puramente discretas. O controlo deste problema deve ser feito associando o cons- trangimento de volume à variável modificada, ˆρ, e não à original, ρ. Na realidade, a relação entre estas duas densidades é um ponto importante na utilização de filtros de densidade. As densidades originais deixam de ter significado físico, tornando-se apenas variáveis intermédias. As variáveis utilizadas para o cálculo da função-objectivo passam a ser as modificadas, pelo que também o pós-processamento e a análise de resultados devem ser efectuados com a versão filtrada das densi- dades [Kawamoto et al. 2011]. Note-se ainda que, apesar de não ser prática comum, a verdadeira representação de densidade e, consequentemente, de fracção de rigidez, deveria ser ρp [Bendsøe e Sigmund 2003, Sigmund 2007]. Curiosamente, a filtragem de densidades foi introduzida depois da filtragem de sensibilidades [Sigmund 1997, Bruns e Tortorelli 2001] e pode ser apresentada de diversas formas. A forma mais comum usa o operador de convolução definido em 5.29 como peso de ponderação de decaimento linear. A densidade filtrada pode definir-se como

ˆ ρe=  i∈NeHˆiviρi  i∈NeHˆivi , (5.32)

Instabilidades Numéricas em Optimização Topológica

com v a designar uma medida de volume do elemento. Note-se que num problema bidimensional esta medida corresponde à área do elemento. O operador de convolução definido na expressão 5.29 corresponde a uma superfície cónica de ponderação em torno do elemento e [Sigmund 2007]. Alternativamente, uma função mais suave pode ser obtida utilizando uma função de distribuição gaussiana, tornando-se esta a geratriz da superfície de ponderação. Neste caso, o operador de convolução deve ser substituído por

wi= e− 1 2 _||xi−xe|| σd 2 , (5.33)

onde σdtraduz a variância da curva de dispersão. Este parâmetro é originalmente designado, na sua

aplicação em técnicas de processamento de imagem, por dispersão fotométrica [Tomasi e Manduchi 1998, Elad 2002]. σd é função do raio do filtro Rf utilizado e acarreta a truncagem de parte da

superfície obtida [Wang et al. 2003, Sigmund 2007]. Pode ainda usar-se um peso de ponderação constante wi= 1. O efeito da ponderação de densidades será mais evidente para o peso constante, menor para o caso linear e menor ainda para a versão gaussiana [Sigmund 2007]. Verifica-se também que, a partir do momento em que se filtram as densidades, também as sensibilidades associadas deverão ser actualizadas. Assim, pela regra da derivação em cadeia, passa a ter-se

∂f ∂ρe =  i∈Ne ∂f ∂ ˆρi ∂ ˆρi ∂ρe, (5.34)

onde a sensibilidade da variável filtrada relativamente a variações na variável original é dada por [Sigmund 2007, Andreassen et al. 2010]

∂ ˆρi ∂ρe = weve  j∈Niwjvj . (5.35)

Existem diversos outros tipos de filtros de densidades. Destacam-se os filtros inspirados em ope- radores morfológicos de tratamento de imagem, utilizados para eliminar as zonas cinzentas de transição entre densidades e obter soluções discretas. A sua análise e comparação, assim como de alguns outros, pode ser consultada nos trabalhos de Ole Sigmund [Sigmund 2007, Sigmund 2009]. Apesar de implementados, os filtros de densidade não são usados na parte microestrutural deste trabalho por tenderem a deteriorar a periodicidade das distribuições obtidas.