Problema Térmico

De acordo com uma decomposição do domínio Ω numa malha de elementos finitos, o campo global de temperaturas pode ser aproximado por

T (x) = ˜N (x) T em Ω e (4.28)

T (x) = ˜N_Γ(x) T em Γ , (4.29)

onde ˜N e ˜N_Γsão as matrizes globais de funções de forma no domínio Ω e na superfície Γ, respecti- vamente. T é o vector das temperaturas nodais, com componentes prescritas em nós associados a

3_{u é um campo de deslocamentos contínuo e suficientemente regular em Ω, com u = ¯u em Γ} Du.

Discretização Espacial pelo Método dos Elementos Finitos

ΓDT. É possível relacionar o campo de global de temperaturas virtuais com o campo discretizado de temperaturas virtuais δT, correspondente a quantidades nodais, como

δT (x) = ˜N (x) δT em Ω e (4.30)

δT (x) = ˜N_Γ(x) δT em Γ . (4.31)

As suas componentes são nulas em nós de ΓDT. Substituindo as equações 4.28 a 4.31 na equação 4.11 obtém-se, atendendo à arbitrariedade do campo de temperaturas virtuais e utilizando notação matricial, a equação discretizada

KT = Q + q. (4.32)

A matriz K corresponde à rigidez térmica, neste trabalho constituída exclusivamente pelo termo de condutividade térmica4, Kk. Q é o vector dos termos de geração de calor. q é o vector dos

fluxos prescritos. Cada uma destas grandezas definem-se como K = Kk=  Ω ˜ MTk ˜MdΩ , (4.33) Q =  Ω ˜ NTQ dΩ e (4.34) q = qN+ qPN=  ΓNT ˜ NT_Γq dΓ +¯ nq  k=1 _¯ PN  k . (4.35) ˜

M é a matriz global das derivadas parciais das funções de forma, i.e. de interpolação do campo do gradiente de temperaturas. O vector qPN representa o vector de fluxos pontuais (nodais),

constituído por nq fluxos prescritos ¯PN.

4.4.2

Problema Termoelástico

A decomposição do domínio Ω numa malha de elementos finitos conduz à aproximação do campo global de deslocamentos por

u (x) = N (x) U em Ω e (4.36)

u (x) = N_Γ(x) U em Γ , (4.37)

onde N e N_Γsão as matrizes globais de funções de forma (i.e. de interpolação) no domínio Ω e na superfície Γ, respectivamente. U é o vector dos deslocamentos nodais, com componentes de valor prescrito em nós de ΓD_u. O campo de global de deslocamentos virtuais, por sua vez, é aproximado

pelo campo de deslocamentos virtuais discretizado (nodais), δU, como

δu (x) = N (x) δU em Ω e (4.38)

δu (x) = N_Γ(x) δU em Γ , (4.39)

com componentes nulas em nós associados a ΓD_u. Substituindo as equações 4.13, 4.26 e 4.36 a

4.39 na equação 4.27, atendendo à arbitrariedade do campo de deslocamentos virtuais e utilizando notação matricial, obtém-se a equação discretizada de equilíbrio termoelástico,

KuU = F. (4.40)

Kue F são a matriz de rigidez e o vector de forças externas, respectivamente. Estes são definidos

como Ku=  Ω BTD BdΩ e (4.41) F = FT+ Ff+ FN+ RN =  Ω ΔT BTβdΩ +  Ω NTf dΩ +  ΓNu NT_Γ¯t dΓ + nr  k=1 _¯ RN  k. (4.42)

Discretização Espacial pelo Método dos Elementos Finitos

B é a matriz global das derivadas parciais das funções de forma. FT é o vector de forças de

dilatação térmica. F_f e FNsão os vectores de forças distribuídas no volume Ω e na superfície ΓNu, respectivamente. RN representa o vector de forças pontuais (nodais), constituído por nr forças

.

Capítulo 5

Optimização Topológica

Abordam-se conceitos elementares de optimização topológica em cálculo estrutural. Descrevem-se aspectos de parametrização dos problemas, controlo de estabilidade e métodos de resolução.

5.1

Introdução

A designação de optimização topológica é usualmente aplicada a uma área específica da optimização estrutural que lida com a distribuição de material ao longo de um domínio admissível. No entanto, os conceitos da optimização estrutural não são exclusivos da mecânica estrutural, sendo que a natureza variacional do problema em meios contínuos deriva de estudos de problemas de condução (térmica ou eléctrica) [Bendsøe 2001].

A primeira publicação comummente associada à optimização topológica surgiu no início do século XX, onde Michell apresentou critérios de óptimo para a obtenção de estruturas reticuladas de peso mínimo [Michell 1904]. Os seus princípios, com aplicação para fracções volúmicas muito reduzidas [Rozvany 2001], foram mais tarde retomados. A possibilidade de aliar a optimização às ferramentas computacionais então emergentes levou a um crescimento da aplicação computacio- nal da optimização estrutural e a novas aplicações. A utilização de metodologias de programação matemática foi iniciada nos anos 1960, baseada em modelos de estruturas reticuladas e progra- mação linear [Schmit 1960, Dorn et al. 1964]. Nas décadas seguintes, Rozvani e outros autores apresentaram vários trabalhos que apresentam desenvolvimentos dos princípios aplicados e gene- ralização para estruturas contínuas [Rozvany 2009]. Um dos primeiros trabalhos com a utilização de meios contínuos discretizados para a resolução de problemas de optimização topológica incidiu sobre a distribuição óptima da espessura em placas elásticas [Cheng e Olhoff 1981]. Este trabalho introduziu também a relevância da microestrutura dos materiais em optimização topológica, temá- tica que levou ao trabalho basilar de Bendsøe e Kikuchi [Bendsøe e Kikuchi 1988]. Neste trabalho, apresentou-se a optimização topológica como ferramenta computacional com aplicação a estruturas contínuas, utilizando variações na microestrutura do material como forma de relaxar o problema discreto de optimização topológica. Este trabalho foi pioneiro na forma como esta temática é abordada, marcando o início de uma fase de grande crescimento. A título de exemplo, refira-se que a abordagem SIMP (Solid Isotropic Material with Penalisation) foi primeiramente introduzida por Bendsøe [Bendsøe 1989] e mais tarde apresentada por Rozvany et al. [Rozvany et al. 1992],

Definição do Problema

constituindo uma das metodologias mais utilizadas actualmente na optimização topológica. O crescimento das aplicações de optimização topológica ao cálculo estrutural desde então tem sido acentuado. A influência da forma e da topologia na eficiência de uma estrutura leva a que os proce- dimentos de optimização constituam ferramentas cada vez mais necessárias no contexto industrial, assim como académico. Os problemas associados têm uma configuração típica em optimização, com variáveis de optimização e variáveis de estado com elas relacionadas. O número destas variáveis é frequentemente elevado, originando alguns compromissos ou simplificações em termos de restrições ou formulação [Bendsøe e Sigmund 2003]. Atente-se ainda na grande variedade de designações atribuídas a metodologias de optimização topológica, dependendo de autores, tipos de abordagem ou métodos associados. Destacam-se as designações GSO (Generalized Shape Optimisation) como termo genérico de optimização topológica ou LO (Layout Optimisation), usado para estruturas discretas. É comum utilizar neste caso metodologias GSA (Groung Structure Approach), de grelha ou malha completamente preenchida com elementos que são seleccionados e configurados de modo a corresponder à melhor resposta possível. Esta abordagem é característica de estruturas discretas, nomeadamente articuladas [Dorn et al. 1964], mas tem semelhanças com a malha de elementos fi- nitos utilizada como domínio admissível de um problema geral de optimização topológica em meios contínuos, que alguns autores designam de ISE (Isotropic Solid or Empty ground structures). A utilização de métodos evolucionários, por sua vez, enquadra-se normalmente na ESO (Evolutio- nary Structural Optimisation), também designada por SERA (Sequential Element Rejections and Admissions) [Rozvany e Querin 2002].

5.2

Definição do Problema

A optimização topológica estrutural consiste na procura da distribuição óptima que minimize a flexibilidade, i.e. maximize a rigidez. Considere-se um corpo associado a um domínio contínuo Ω, através do qual se define a distribuição inicial de material. Considere-se ainda que existem condições de fronteira que garantam o equilíbrio estático deste corpo, na forma de restrições e carregamentos. Numa forma usual, para o problema de elasticidade linear usa-se como medida da flexibilidade da estrutura a função energia de deformação, S, definida como

S = 1 2



Ω

Dijkl(x)εij(u)εkl(u)dΩ , (5.1)

onde u representa o campo de deslocamentos correspondente ao equilíbrio, εij as componentes do campo de deformações no equilíbrio e Dijkl as componentes do tensor de elasticidade do mate- rial em x∈ Ω. Uma forma alternativa corresponde à utilização do trabalho das forças externas (compliance), definido como

W =  Ω biuidΩ +  ΓNu ¯ tiuidΓ . (5.2)

bi e ¯ti correspondem às forças externas por unidade de volume e de área, respectivamente. Estas

funções podem ser usadas para definir a energia potencial total do sistema como

P = S− W = 1 2



Ω

Dijkl(x)εij(u)εkl(u)dΩ−

 Ω biuidΩ +  ΓNu ¯ tiuidΓ  . (5.3)

De acordo com o princípio da energia potencial total mínima, esta é minimizada pelo campo de deslocamentos u que corresponde ao equilíbrio (a variação de P é nula, i.e. δP = 0).

O problema de optimização topológica pode ser formulado em termos de qualquer uma das grandezas anteriores, recorrendo à formulação mais conveniente para cada aplicação. Uma das formais usuais recorre ao trabalho das forças externas (Eq. 5.2) como medida da flexibilidade da

Definição do Problema

estrutura, resolvendo o problema de optimização min D∈Dadm δP =0  Ω biuidΩ +  ΓNu ¯ tiuidΓ  . (5.4)

A formulação mais comum deste problema corresponde à sua forma discretizada utilizando o Mé- todo dos Elementos Finitos (MEF) e apresentada em notação matricial [Sigmund 2001]. Usa-se, neste caso, uma matriz constitutiva D constante em cada elemento finito e o problema escreve-se como min D∈Dadm Ku=f  Ω b· udΩ +  ΓNu ¯ t· udΓ  (5.5) ou, na sua implementação mais prática,

min D∈Dadm Ku=f  Ω fTudΩ = min D∈Dadm Ku=f  Ω uTKudΩ , (5.6)

onde a matriz de rigidez K é a matriz global que corresponde à assemblagem das matrizes ele- mentares ke, definidas em cada elemento e como função da matriz constitutiva local De. Note-se,

no entanto, que a utilização do trabalho das forças externas ou da energia de deformação como função-objectivo exige alguns cuidados no caso de problemas com imposição de condições de fron- teira essenciais com valores prescritos diferentes de 0. Nestes casos, a estrutura pretendida, de maior rigidez, corresponderá à maximização da energia de deformação (e do trabalho das forças externas) e não à sua minimização [Hassani e Hinton 1998b, Allaire 2002]. Note-se ainda que o mesmo problema se pode formular na sua versão complementar, em função do campo de tensões em vez de deslocamentos. Esta abordagem não é utilizada neste trabalho, mas é usualmente cor- respondente a uma formulação segundo o princípio de energia complementar mínima e pode ser consultado em diversas referências bibliográficas [Allaire 2002, Bendsøe e Sigmund 2003].

As definições apresentadas podem ser adaptadas, em regime quase-estático, ao problema tér- mico. Note-se que os problemas térmico estacionário e o problema mecânico são formalmente idênticos. Ambos são definidos como problemas matemáticos (elípticos) típicos de conservação, com relações constitutivas e de compatibilidade específicas, assim como condições de fronteira [Ci- oranescu e Donato 1999]. Além disso, em ambos os casos os objectivos definem-se em termos da maximização de uma propriedade constitutiva, i.e. rigidez e condutividade térmica. Neste sentido, o problema térmico pode ser expresso, usando uma medida da flexibilidade térmica, maximizando a condutividade térmica da estrutura, e ignorando os termos convectivos e radiativos, como

min kT∈kTadm qi=−kij_dxjdT  ΓNT ¯ qT d Γ . (5.7)

Na sua implementação mais prática, recorrendo à usual discretização com o MEF e à notação matricial, o problema pode definir-se como [de Kruijf et al. 2007]

min kT∈kTadm KTT=q  Ω TTKTTdΩ . (5.8)

Note-se ainda que este problema pode ser resolvido de modo independente ou como parte de uma abordagem multiobjectivo (vd. Sec. 2.4.4). Na abordagem adoptada neste trabalho, os objectivos mecânico e térmico podem simultaneamente ponderados, segundo uma metodologia de soma ponderada, como [de Kruijf et al. 2007, Challis et al. 2008, Chen et al. 2010]

min D∈Dadm kT∈kTadm Ku=f KTT=q  wt ft f_t0+ wm fm f_m0  , (5.9)

Parametrização do Problema

onde ft e fm correspondem aos objectivos térmico e mecânico, respectivamente. Os valores ft0

e f_m0 correspondem a termos de normalização, ou seja, ao valor de cada um dos objectivos na estimativa inicial, e os valores w correspondem aos pesos de cada um dos objectivos. A mani- pulação destes pesos dá origem a análises de Pareto, sendo aqui definidos como wm = 1− wt,

com wt∈ [0, 1] [Frischknecht et al. 2011]. A normalização é essencial neste caso, visto a diferente

natureza de cada um dos problemas poder conduzir a diferentes dimensões relativas de cada um dos objectivos. Uma abordagem semelhante é usualmente utilizada na definição de problemas de multicarregamento. Neste caso, a soma ponderada continua a ser aplicada, mas não é essencial a normalização dos objectivos, dependendo acima de tudo da implementação e das necessidades do programador/utilizador. A título de exemplo, a definição do problema 5.4 como sendo de multicarregamento pode escrever-se como

min D∈Dadm δP =0 L  l=1 wl  Ω bl_iul_idΩ +  ΓNu ¯ tl_iul_idΓ  l , (5.10)

onde L designa o número de carregamentos alternativos e wl o peso do caso l.

5.3

Parametrização do Problema

Os problemas de optimização topológica são essencialmente problemas de optimização inteira e discreta de larga escala, na sua maioria com formulações onde a previsão da topologia se pode processar com optimização diferenciável. O problema de optimização topológica definido neste trabalho corresponde a obter o subdomínio Ω∗ de Ω, com uma dada fracção volúmica fv que

optimiza um determinado objectivo. Este objectivo é usualmente uma qualquer medida de rigidez ou flexibilidade que se deseja maximizar ou minimizar, respectivamente. A topologia ideal terá uma forma associada, com elementos estruturais e vazios (ou materiais constituintes distribuídos em diferentes fases). A definição original deste problema corresponde, assim, a um problema de optimização de variáveis discretas. Define-se comummente a variável ρ como densidade, podendo tomar os valores 1 em Ω∗ ou 0 em Ω\Ω∗. Este problema genérico pode definir-se como

min

ρ(x)∈{0,1},∀x∈Ω_

ΩVΩρ dx≤fv

f (ρ) , (5.11)

onde é implícita a existência de uma função de estado como restrição ou parte integrante da função- -objectivo, como, por exemplo, a equação de equilíbrio (vd. Sec. 5.2). No entanto, o problema genérico definido na expressão 5.11 não tem solução global. Isto deve-se ao facto da introdução de mais vazios sem se alterar a fracção volúmica geral ir em princípio originar um aumento da eficiência do processo de optimização e melhorar o objectivo [Sigmund e Petersson 1998, Bendsøe e Sigmund 2003, Rozvany et al. 2006]. Este fenómeno é normalmente designado como inexistência de soluções. Neste caso, existem duas formas genéricas de obter uma solução de engenharia: (i) modificar o problema de modo a que tenha solução e então proceder à sua discretização ou (ii) discretizar o problema original. Na primeira abordagem existem duas metodologias comuns, nomeadamente baseadas na relaxação ou na restrição do problema. Na segunda abordagem, apesar de se produzirem resultados, diversos autores referem a metodologia como sendo por vezes dúbia, no sentido em que as estruturas produzidas podem não corresponder ao problema contínuo original, sendo este possivelmente indefinido [Haber et al. 1996, Sigmund e Petersson 1998, Petersson 1999, Bendsøe e Sigmund 2003, Sigmund 2007]. A discretização destes problemas pode ser feita com recurso ao método dos elementos finitos, dividindo-se o domínio em n elementos. A variável ρ é tomada como constante em cada elemento finito, podendo a sua distribuição ser representada com recurso ao vectorρ, de dimensão n. A utilização de densidades constantes em cada elemento permite que a integração elementar seja feita da forma habitual, sendo a densidade utilizada

Parametrização do Problema

usualmente como operador escalar da rigidez [Sigmund e Petersson 1998]. Assim, o problema discretizado passa a ter a forma

min

ρi_∈{0,1},i=1,...,n n

i=1ρiviVΩ ≤fv

f (ρ) , (5.12)

sendo ρi e vi as densidades e os volumes de cada elemento finito, respectivamente. Note-se que

no problema 5.12 a inexistência de soluções manifesta-se como uma dependência de malha, onde a solução ideal e a existência de um número crescente de vazios no óptimo dependem directamente do nível de refinamento da malha.

A relaxação de um problema consiste essencialmente em alargar o seu domínio admissível de modo a conduzir à existência de solução. Uma das formas de o conseguir passa pela introdução de detalhe adicional através de processos multiescala, abordados em maior detalhe no capítulo se- guinte deste trabalho. Bendsøe e Kikuchi [Bendsøe e Kikuchi 1988] abriram caminho à optimização topológica na sua forma actual, relaxando o problema com a introdução de detalhe ao nível da mi- croescala usando metodologias de homogeneização. Esta abordagem aparece em diversos trabalhos sob diferentes formas, nomeadamente com definição paramétrica de materiais porosos ou recurso a materiais laminados do tipo Rank-N, introduzindo assim densidades intermédias devido ao de- talhe microestrutural associado a cada valor de ρ [Thomsen 1992, Jacobsen 1998, Hassani e Hinton 1999,Allaire 2002]. Contudo, a abordagem mais comum para obter um problema bem-condicionado e atingir soluções definidas corresponde a permitir que diferentes tensores constitutivos sejam pos- síveis para definir as propriedades do material ao longo do domínio admissível. Transforma-se assim o problema original discreto num problema contínuo em que a energia depende linearmente da densidade ρ [Bendsøe et al. 1994,Sigmund e Petersson 1998], passando esta a variar linearmente entre os valores discretos definidos anteriormente, i.e. entre 0 e 1. Esta dependência linear re- sulta numa forma bastante flexível do problema [Sigmund e Petersson 1998], definindo limites de eficiência mecânica das estruturas e permitindo resolver uma maior variedade de problemas (e.g. espessura variável de chapa, funcionando ρ como parâmetro de controlo da espessura local). Por outro lado, pode também restringir-se o problema. Acrescentando constrangimentos adicionais que limitem a variação de densidade ou a sua distribuição, torna-se o domínio admissível mais pequeno que o original, e ao mesmo tempo suficientemente fechado e com solução definida. Algumas formas de o fazer são apresentadas nas secções seguintes, podendo em alguns casos ser também usadas para eliminar problemas de dependência de malha ou melhorar a distribuição final de acordo com o pretendido.

Outra estratégia também utilizada neste contexto, aliada à relaxação do problema discreto com a definição contínua de ρ, consiste na penalização de densidades intermédias. Esta abordagem é utilizada de modo a permitir a obtenção de soluções discretas [Sigmund e Petersson 1998, Bendsøe e Sigmund 2003], permitindo o pós-processamento de problemas relaxados e evitando a utilização de métodos de optimização discreta, considerados problemas NP-completos quando lidam com va- riáveis binárias [Klein e Young 2010]. A dificuldade de resolver este problema de optimização na forma original, especialmente aquando de grandes dimensões, leva a que, por razões computacio- nais, se relaxe o problema. O facto de se permitir uma variação contínua das variáveis acarreta, no entanto, o problema das densidades intermédias. Enquanto que numa abordagem multies- cala [Bendsøe 1989, Bendsøe 1995, Hassani e Hinton 1999, Allaire 2002] ou em casos de variação contínua de densidade (e.g. problemas de densidade óssea [Andrade-Campos et al. 2009, Coelho et al. 2009]) as densidades intermédias poderão ter significado físico, na maioria dos problemas estruturais estas são indesejadas. Adicionalmente, estas afastam a solução obtida da solução dos problemas iniciais de variáveis discretas. Assim, recorre-se à utilização de variáveis contínuas com penalização das densidades intermédias de modo a que a solução aproxime a solução discreta, i.e. com valores binários. Esta perturbação do problema relaxado tende a aproximar a solução do problema discreto com a intensificação da penalização, especialmente em conjugação com a utilização de filtros ou restrições geométricas [Bendsøe e Sigmund 2003]. Apesar de existirem

Parametrização do Problema

diversas estratégias alternativas para a penalização de densidades intermédias [Sigmund e Peters- son 1998, Petersson 1999, Allaire 2002, Borrvall 2001, Stolpe e Svanberg 2001a, Bendsøe e Sigmund 2003,Sigmund 2007,Hvejsel e Lund 2011], incluindo as restrições de perímetro, a metodologia mais popular é a chamada SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization)1_{, que designa usualmente}

a lei de potência [Rozvany et al. 1992, Bendsøe e Sigmund 1999]

K(ρ) = ρpK₀, (5.13)

onde K₀é uma dada propriedade do material de base (correspondente a densidade 1), isotrópico na abordagem geral do método, e p o factor de penalização que determina a forma como as variáveis são conduzidas aos seus extremos. Como se pode ver na figura 5.1, neste esquema de interpolação não-linear das propriedades, a influência do expoente de penalidade faz com que a densidade efectiva correspondente a valores intermédios da variável ρ seja inferior, originando uma queda acentuada da propriedade que influencia e tornando os extremos mais favoráveis em termos de solução óptima. Isto deve-se ao facto de, ao longo da variação intermédia de ρ, o volume se manter proporcional à variável densidade enquanto a propriedade que afecta passa a ser inferior ao valor proporcional. O problema discretizado pode escrever-se como

min 0<ρmin_≤ρi≤1, i=1,...,n n i=1ρiviVΩ≤fv Ku=f f (ρ) , f(ρ) =  Ω uTKudΩ = n  e=1 ρp_euT_ek₀ue, (5.14)

onde u, f e K denotam vectores de deslocamento e força, e matriz de rigidez, respectivamente. O índice e indica quantidades elementares. Note-se que a rigidez do elemento e é definida como ρp_ek₀, onde k₀corresponde à rigidez elementar de e quando constituído pelo material de base. Esta definição é equivalente a escrever ρp_eD₀, onde D₀corresponde à matriz constitutiva do material de base.

Existem diversas definições alternativas para este problema, assim como para a própria definição do SIMP. Detacam-se duas alternativas [Bendsøe e Sigmund 1999, Sigmund 2007]. Por um lado, a alteração da lei de potência para

K(ρ) = ρpK₁+ (1− ρp)K₂ (5.15)

permite a interpolação das propriedades de dois materiais (1 e 2), sem vazio e com K₁> K₂. Por outro lado, permite também que se defina a propriedade K₂como o valor mínimo para o correcto condicionamento do sistema de equações de definição do problema inicial, de uma fase de material e domínio complementar vazio. Em qualquer dos casos, esta lei de potência pode ser redefinida como

K(ρ) = ρpK₀+ (1− ρp)dmK₀= [ρp+ dm(1− ρp)] K₀, (5.16)

em que2 dm= K_Kmin

0 . Por sua vez, o SIMP modificado,

K(ρ) = Kmin+ ρp(K₀− Kmin) , (5.17)

tem as mesma implicações práticas. Kmincorresponde ao valor mínimo da propriedade K, associ-

ada ao material de menor K ou ao mínimo definido para o vazio, sendo diferente de zero para evitar singularidades e problemas de condicionamento. Estas formas alternativas têm algumas vantagens sobre o SIMP original, nomeadamente o facto de o valor mínimo de K ser independente do factor de penalização. Permite também a consideração de materiais bifásicos e torna-se mais simples de

1_{O acrónimo SIMP é ainda ocasionalmente utilizada para designar Simple ou Simply Isotropic Material with}

Penalization, ou ainda Simple ou Simply Isotropic Microstructure with Penalization [Duysinx 1997, Sigmund e

Petersson 1998, Rozvany 2001, Rozvany 2009].

Parametrização do Problema

generalizar para a utilização de uma maior variedade de técnicas de filtragem [Sigmund 2007]. Em qualquer dos casos, sempre que a restrição de volume é activa, o problema tende a convergir para

No documento Metodologias de optimização topológica em cálculo estrutural (páginas 71-82)