Topológica
O pós-processamento dos resultados obtidos a partir de procedimentos de optimização topológica é um tópico de elevada importância. Para além do pós-processamento típico de problemas resolvi- dos com o MEF, realizado neste trabalho com recurso ao programa GiD para a visualização dos diversos resultados, a optimização topológica pressupõe normalmente uma aproximação por uma geometria não-discretizada. A transição das soluções obtidas para geometrias definidas correspon- dentes a estruturas exequíveis e efectivamente óptimas pode originar algumas complexidades. Uma abordagem comum corresponde à aproximação das imagens raster com definições vectoriais. Este procedimento pode ser efectuado manualmente ou desenvolvendo procedimentos que façam a apro- ximação das distribuições obtidas recorrendo a funções matemáticas passíveis de serem utilizadas em CAD (Computer-Aided Design). Uma das formas mais imediatas de implementar este tipo de abordagem é recorrer a plataformas de cálculo numérico e analítico (e.g. Matlab) que permitam a representação gráfica de distribuições de pontos e de funções, assim como a obtenção automática de curvas de nível ou de isovalores. Na figura 5.4 mostram-se, a título de exemplo, resultados de um pequeno programa implementado em Matlab (TopPlot.m) que aplica este tipo de abordagem em problemas 2-D de optimização topológica, permitindo a exportação vectorial das curvas obtidas para posterior processamento CAD.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.4: Pós-processamento de resultados de um problema bidimensional de optimização topo- lógica: (a) resultados do problema de optimização topológica, (b) curvas de isovalores, (c) curvas suavizadas (CAD) e (d) malha de elementos finitos.
Pós-Processamento de Resultados de Optimização Topológica
a metodologias de engenharia inversa e levantamento de forma [Dieter 2000]. Em áreas como o desenvolvimento de produto, é cada vez mais comum a engenharia inversa passar pelo levanta- mento de forma de geometrias físicas, de modo a se obter modelos virtuais representativos destas geometrias10. Este levantamento de forma, especialmente para geometrias complexas, passa pela
medição das coordenadas de pontos notáveis da mesma. Esta medição é frequentemente realizada por tecnologias ópticas de varrimento (e.g. 3-D laser scanning), resultando numa nuvem de pon- tos cujas coordenadas traduzem uma função discreta que aproxima a geometria do modelo. Esta nuvem de pontos é depois processada em programas CAD de modo a resultar em superfícies que a aproximem correctamente. Estas superfícies podem ser simplificadas, manipuladas e parametri- zadas de modo a definirem a geometria pretendida. No contexto da optimização topológica, este tipo de metodologia permite uma grande flexibilidade em termos de concretização dos resultados obtidos, apesar de potencialmente morosa em termos de afinação. Assim, as coordenadas de nós ou pontos de Gauss podem ser utilizadas de forma idêntica às nuvens de pontos utilizadas nas me- todologias de engenharia inversa referidas, em casos bi- ou tridimensionais. Deste modo, em casos de problemas de optimização discreta (e.g. problemas {0, 1}), mesmo que resultantes de versões relaxadas, os pontos de transição servem de base para a aproximação por curvas ou superfícies NURBS que permitem a modelação da geometria óptima. Nas figuras 5.5 mostram-se exemplos deste procedimento, para casos 2-D e 3-D.
(a) (b)
Figura 5.5: Exemplos (a) 2-D e (b) 3-D de pós-processamento de resultados de um problema de optimização topológica com base em técnicas de levantamento de forma e engenharia inversa a partir de núvens de pontos.
Note-se que após a modelação da geometria que aproxima os resultados da optimização to- pológica, é possível gerar a malha do problema em causa e realizar eventuais simulações sobre a geometria óptima. É ainda possível utilizar a nova definição paramétrica de óptimo para proce- dimentos de optimização de forma e assim refinar os resultados obtidos. Esta estrutura pode ser designada de Optimização Estrutural Integrada [Hassani e Hinton 1998b] e resume-se na figura 5.6.
10O levantamento de forma no contexto do desenvolvimento de produto e engenharia inversa é frequentemente designado de digitalização.
Pós-Processamento de Resultados de Optimização Topológica Domínio Inicial Imagem (greyscale) Definição de Geometria Geometria Final Optimização Topológica Processamento de Imagem Optimização de Forma
Figura 5.6: Representação esquemática de uma estrutura de procedimentos em optimização estru- tural integrada.
Capítulo 6
Homogeneização por Expansão
Assimptótica e Optimização
Multiescala
Resume-se a metodologia de homogeneização por expansão assimptótica e a sua utilização em procedimentos multiescala de optimização. Descrevem-se metodologias e estratégias alternativas de optimização de estrutura e material em cálculo estrutural.
6.1
Introdução
A utilização de metodologias de homogeneização no estudo de materiais celulares e compósitos prende-se usualmente com a necessidade de reduzir o custo computacional dos problemas associ- ados. Nesse sentido, a modelação detalhada das heterogeneidades do material que compõe uma determinada estrutura é substituída por um meio homogéneo equivalente, sustentado por leis de comportamento microestrutural obtidas a partir da análise de informação constitutiva calculada de acordo com o comportamento representativo de unidades heterogéneas de material. Estas unidades representativas são geralmente caracterizadas por apresentarem heterogeneidades cujas dimensões características se revelam bastante inferiores às dimensões características dos componentes estru- turais em que são aplicadas. Se as características heterogéneas destes materiais se distribuem de um modo repetitivo ao longo do material, a sua morfologia pode ser aproximada pela repetição periódica de uma célula unitária representativa dos detalhes microestruturais do material.
Surge assim a metodologia de Homogeneização por Expansão Assimptótica (HEA) como uma técnica expedita de abordagem a problemas de modelação de fenómenos físicos em meios com estrutura periódica, em particular do comportamento termomecânico de componentes estruturais constituídos por materiais compósitos. Em termos numéricos, as principais vantagens desta me- todologia consistem no facto de (i) conduzir a uma redução bastante significativa do número de graus de liberdade associados à modelação do comportamento termomecânico deste tipo de es- truturas e (ii) permitir a caracterização dos campos microestruturais [Pinho-da-Cruz 2007]. Na realidade a obtenção de equações explícitas que possibilitam a determinação dos níveis microestru-
Introdução
turais de fluxo superficial de calor por condução, de tensão e de deformação, num processo inverso classificado usualmente como localização.
Note-se que o conceito da homogeneização de propriedades físicas não é novo, existindo traba- lhos pioneiros que datam século XIX [Poisson 1824, Maxwell 1873, Rayleigh 1892]. Os primeiros desenvolvimentos da teoria matemática da homogeneização, no entanto, surgem apenas final dos anos 60 do século XX [Spagnolo 1968, Sanchez-Palencia 1970, De Giorgi e Spagnolo 1973]. De- pois destes surgiram diversos métodos de homogeneização como, por exemplo, a homogeneização por expansão assimptótica [Bensoussan et al. 1978, Sanchez-Palencia 1980, Lions 1981, Bakhva- lov e Panasenko 1989, Oleinik et al. 1992]. A HEA permite o cálculo de valores homogeneizados das propriedades termomecânicas de materiais com microestrutura periódica. No caso de mate- riais não-periódicos, será necessário recorrer a outras técnicas de homogeneização, tais como, por exemplo, a convergência-G [Spagnolo 1968] — para problemas simétricos e não-periódicos —, a convergência-H [Murat e Tartar 1997] — para problemas não-simétricos e não-periódicos — e a convergência-Γ [Dal Maso 1993] — para problemas que admitem uma caracterização variacional. No entanto, estas técnicas não permitirem o cálculo de propriedades equivalentes, apenas a obten- ção de limites que enquadrem os respectivos valores homogeneizados. Destacam-se as seguintes referências como revisões de metodologias correntes de homogeneização [Kanouté et al. 2009, Pin- dera et al. 2009, B¨ohm 2012].
Por outro lado, a optimização topológica em cálculo estrutural trabalha com distribuições de material para obter a melhor resposta para um dado objectivo. A forma mais comum de optimização topológica estrutural, usada neste trabalho, corresponde a uma variedade de formas de minimizar a flexibilidade (compliance) ou maximizar a rigidez. Na análise de materiais compósitos e celulares, estas estratégias conduzem frequentemente a metodologias multiescala, quer como forma de relaxar o problema inicial (vd. Cap. 5) quer como forma de avaliar tanto a estrutura global como o material que a constitui. Neste sentido, a integração da HEA nos procedimentos de optimização topológica conduz a diversas abordagens distintas: optimização de uma estrutura constituída por um material com uma dada microestrutura; optimização da microestrutura para uma determinada aplicação estrutural; optimização simultânea de ambas as escalas; optimização do material (homogeneização inversa).
Um dos trabalhos pioneiros na relaxação do problema original discreto de optimização topoló- gica, de Bendsøe e Kikuchi [Bendsøe e Kikuchi 1988], introduz a utilização da definição de micro- estruturas de material compósito para a definição da variação contínua de densidade no problema original. Os autores introduzem o método de homogeneização, onde as variáveis de optimização controlam as dimensões e a orientação de células representativas quadradas com furos quadrados numa microestrutura periódica. As propriedades locais dos materiais obtidos são avaliadas recor- rendo a processos de homogeneização. Apesar da introdução do esquema de relaxação actualmente mais comum em optimização topológica estrutural, o SIMP [Bendsøe 1989, Rozvany et al. 1992], diversas aplicações multiescala têm sido utilizadas como forma de obter e justificar a variação contínua de densidade e a existência de valores intermédios. Uma das abordagens mais comuns corresponde a estratégias semelhantes à utilizada por Bendsøe e Kikuchi, com células representati- vas de geometria definida. Nestes casos, as variáveis de optimização são parâmetros característicos de inclusões ou furos definidos numa Célula Representativa Unitária (CRU), usualmente quadran- gular ou circular, assim como a sua orientação [Bendsøe e Kikuchi 1988, Ma et al. 1995, Rodrigues e Fernandes 1995,Nishiwaki et al. 1998,Fernandes et al. 1999]. Note-se que, apesar de serem menos comuns, alguns trabalhos de optimização topológica recorrem a microestruturas triangulares ou he- xagonais [Folgado et al. 1995,Hassani e Hinton 1999]. As propriedades equivalentes são obtidas por métodos de homogeneização. Outra abordagem corresponde ao recurso a laminados sequenciais do tipo rank-N [Thomsen 1992,Olhoff et al. 1993,Jacobsen 1998,Hassani e Hinton 1998a,Allaire e Au- bry 1999]. Estes modelos correspondem a microestruturas definidas pela sobreposição em camadas de diferentes materiais e vazios, segundo N escalas. O material rank-1, por exemplo, é um laminado com camadas alternadas de sólido e vazio. Neste caso, para evitar problemas de singularidade na definição constitutiva do material, considera-se o vazio como um material de rigidez muito redu-
Homogeneização por Expansão Assimptótica
zida [Hassani e Hinton 1999]. Este material é a base para os materiais de rank superior. O rank-2 é construído alternando um material rank-1 e uma camada sólida. As orientações das camadas de diferentes ranks são ortogonais, repetindo-se esta conjugação para mais escalas. Este tipo de material permite a obtenção analítica das suas propriedades constitutivas. Tem, no entanto, o in- conveniente de ser puramente teórico em termos de estrutura, não sendo exequível ao nível prático. Este é, aliás, um problema que afecta muitas vezes outro grupo de microestruturas utilizadas em procedimentos de optimização topológica multiescala, correspondente a materiais artificiais, isto é, sem topologia definida [Sigmund e Torquato 1997, Sigmund 2000, Rodrigues et al. 2002, de Kruijf et al. 2007, Coelho et al. 2008a, Kang et al. 2010]. Menos frequente que os modelos anteriores e potencialmente mais complexa, este tipo de metodologia permite a aplicação de estratégias de dis- tribuição óptima de material ao nível das diferentes escalas. É assim possível obter uma variedade de microestruturas óptimas para as diferentes aplicações, como se verá ao longo deste trabalho. A maior liberdade em termos de topologia pode acarretar limitações em termos de exequibilidade das microestruturas obtidas, assim como a necessidade de procedimentos numéricos de homogeneiza- ção e recursos computacionais onerosos. Este tipo de metodologia permite, no entanto, aplicações segundo diferentes estratégias, com diversos tipos de avaliação multiescala ou com optimização do material exclusivamente ao nível da microescala.
Neste capítulo abordam-se os principais aspectos relativos à aplicação da técnica da homogenei- zação assimptótica ao problema de termoelasticidade quase-estática desacoplada em regime linear (vd. Cap. 4). Mostram-se ainda a sua utilização de forma inversa, em processos de optimização topológica multiescala.