Modelos Hierárquicos

A combinação simultânea de optimização local de propriedades equivalentes e optimização espacial da sua distribuição é feita com recurso a procedimentos de resolução hierárquicos. As metodolo- gias utilizadas baseiam-se em estratégias documentadas na bibliografia [Bendsøe 1995, Rodrigues et al. 1999, Rodrigues et al. 2002, Bendsøe e Sigmund 2003, Coelho et al. 2008b, Coelho 2009]. Em particular, Coelho [Coelho 2009] divide estas em estratégias do tipo I e do tipo II. As estratégias do tipo I definem-se por ter como variáveis de optimização independentes as variáveis de densi- dade microestrutural, μ, com as densidades macroestruturais, ρ, dependentes destas. Por outro lado, as estratégias do tipo II são caracterizadas por dois conjuntos de variáveis de optimização independentes, as densidades microestruturais – calculadas no problema local – e as variáveis ma- croestruturais – calculadas na resolução do problema global. Estas correspondem explicitamente à divisão do problema em duas escalas distintas definida na formulação hierárquica (e.g. Eqs. 6.47 e 6.48). Com este tipo de estrutura, a utilização de outras restrições locais do problema de optimização, para além da restrição de volume, é também mais simples de processar [Coelho et al. 2008a].

Estas estratégias conduzem a diferentes alternativas de metodologias de optimização. Por um lado, o fluxo de dados entre as duas escalas depende do tipo de estratégia e dos métodos utiliza- dos. Por outro lado, o controlo do processo de optimização depende directamente destes fluxos de dados. Na figura 7.12 resumem-se os algoritmos adoptados em termos de optimização hierárquica e representam-se estes fluxos. Em qualquer dos casos, estes problemas envolvem sempre uma ava- liação local de sensibilidades (vd. Eqs. 6.62, 6.63, 6.64 e 6.74) e dos tensores constitutivos (vd. Eqs. 6.54, 6.55 e 6.71), assim como a avaliação global de campos macroestruturais de deforma- ção, ε, e/ou gradientes térmicos dT/dx. Note-se que estes valores macroestruturais constituem quantidades associadas à macroescala a ser utilizadas no cálculo de sensibilidades da microescala. Estas poderiam ser calculadas ao nível de cada ponto de integração, mas teria como resultado tornar exageradamente oneroso um tipo de cálculo já bastante exigente. Assim, opta-se por cal- cular valores médios em cada elemento utilizado ao nível da microescala correspondente. Outras questões numéricas dependem já da estratégia adoptada. Se o controlo do processo de optimização for efectuado actuando sobre as variáveis de densidade microestrutural, com as densidades ma- croestruturais dependentes destas, pode ou não ser necessário que o cálculo global forneça o valor

Optimização Topológica Multiescala

actual do multiplicador de Lagrange do lagrangiano aumentado, Λ. Tal depende directamente da metodologia de optimização a utilizar, como se verá na secção seguinte. Além disso, as densidades macroestruturais, para cada elemento da macroescala, são obtidas a partir da fracção volúmica lo- cal resultante da resolução do problema local correspondente. Se, alternativamente, a optimização for efectuada actuando sobre as densidades micro- e macroestruturais, será necessário que cada microescala forneça o multiplicador de Lagrange associado à restrição de volume local. Esta restri- ção é imposta tomando como fracção volúmica local o valor da densidade global correspondente. Esta, por sua vez, é calculada com recurso a sensibilidades obtidas a partir do multiplicador local correspondente (vd. Eq. 6.65).

Para além destas estratégias gerais, as metodologias aqui apresentadas dividem-se ainda de acordo com o tipo de problema e algumas questões numéricas. As designações H1 e H3 dizem respeito às metodologias gerais de optimização hierárquica (vd. Secs. 6.4.1 e 6.4.3), sendo H1 res- peitante à aplicação de estratégias do tipo I e H3 a estratégias do tipo II [Coelho et al. 2009]. Estas estratégias resumem-se, em termos gerais, na figura figura 7.13. Assim, os modos H1 controlam o processo de optimização actuando sobre as densidades microestruturais, enquanto os modos H3 actuam em simultâneo sobre as densidades macro- e microestruturais. Adicionalmente, a metodo- logia H1 tem dois modos distintos de funcionamento. Em qualquer um dos casos, a restrição de volume é controlada ao nível global. Utilizando um algoritmo de OC, este controlo é feito recor- rendo ao multiplicador de Lagrange, Λ, do lagrangiano aumentado e os problemas locais podem ser separados por conveniência de implementação. Por sua vez, a utilização de métodos MMA e derivados, leva a que os problemas locais sejam separados ao nível de análise de sensibilidades e avaliação constitutiva mas a actualização de variáveis de densidade microestrutural seja feita em simultâneo com todas as variáveis de todos os problemas locais. Em ambos os casos, a variável de densidade macroestrutural ρ é dependente das variáveis microestruturais e utilizada apenas para efeitos de pós-processamento. No caso da metodologia H3, em contrapartida, esta variável é uma variável independente, efectivamente actualizada para resolver o problema de optimização. Neste caso, a restrição de volume é respeitada por acção sobre as densidades macroestruturais. Por sua vez, estas funcionam como restrições de volume locais para a resolução dos problemas ao nível da microescala. As variáveis microestruturais são actualizadas na resolução isolada de cada um dos problemas locais. Estes fornecem as sensibilidades ao problema macroestrutural na forma de cada um dos multiplicadores de Lagrange, λ, associados às restrições locais de volume.

Por sua vez, as metodologias H4, H5 e H6, esquematizadas na figura 7.14, correspondem a modos multiescala derivados da homogeneização inversa (vd. Sec. 6.5). Os modos H4 e H5 correspondem à optimização da microescala de acordo com a resposta de uma macroescala homogeneizada, com avaliação do campo de deformação macroestrutural em cada iteração do processo de optimização da microescala. O modo H6, por sua vez, constitui um modo de cálculo desacoplado, em que se optimiza em simultâneo, mas de modo independente, as densidades macro- e microestruturais. Neste caso, procura-se na macroescala uma estrutura definida, de material e vazio, e na micro- escala uma microestrutura (única) para um material celular ou compósito que a constitui. As metodologias H4, H5 e H6 distinguem-se da estratégia hierárquica típica pelo facto de adoptarem uma abordagem mais coerente com a utilização de materiais compósitos. A abordagem hierárquica apresenta evidentes limitações práticas em termos de exequibilidade física das estruturas obtidas. Estas estratégias derivadas pretendem, no entanto, obter apenas uma microestrutura material que permita optimizar a resposta global de uma dada estrutura. Assim, ao contrário da metodologia hierárquica geral, apenas um problema local é resolvido em cada iteração. Neste caso, as sensi- bilidades locais são calculadas não a partir da localização de respostas macroestruturais mas sim de valores macroestruturais predefinidos. Estes valores podem ser definidos de diferentes formas, desde valores médios a médias ponderadas com valores equivalentes ou mesmo utilizando os va- lores correspondentes aos pontos mais desfavoráveis. Nos modos H4 e H5 não existe optimização macroestrutural. O problema global destina-se apenas a avaliar o impacto da microestrutura no objectivo global e a fornecer os valores representativos da sua resposta. Neste caso, o material homogeneizado utilizado tem, em cada iteração, as propriedades equivalentes fornecidas pela ho-

Optimização Topológica Multiescala O Actualizaçãor ActualizaçãoL FO C Convergência S N E=1,NE reg H1,H3 H4,...,H8 Hiertype (I.NE.1) H2

e

L

(H1.OC)

r

(H3,H6,H7)

, DT, d /dT

x

_{[ ]}

r

.

(H1)

l

(H3,H7) h P e ; T ; d /d (i-1)D T x Actualizarm (i) dD;db;dk(i-1) HEA < > ; <e D > ;T <d /dT x>(i-1) Actualizarm (i) dD;db;dk(i-1) HEA HEA C Convergência S Actualizarm dD;db;dk(i-1) HEA FO

Figura 7.12: Representação esquemática geral dos modos de funcionamento do programa main- FRAN com optimização hierárquica e homogeneização inversa.

Optimização Topológica Multiescala O Actualizaçãor ActualizaçãoL FO C Convergência S N

E=1,NE E=1,NE E=1,NE

H1.OC H1,MMA H3 Hiertype (I.NE.1) e, DT, d /dT x

L

(H1.OC)

r

(H3)

[ ].

_h

l

(E)

[ ]

r

.

_h(E)

[ ]

r

.

_h(E) P

e ; T ; d /dD T x (i-1) e ; T ; d /dD T x (i-1) e ; T ; d /dD T x (i-1)

Actualizarm (i) Actualizarm (i)

dD;db;dk(i-1) dD;db;dk(i-1) dD;db;dk(i-1)

E=1,NE Actualizarm (i) HEA HEA HEA HEA Actualizarm (i)

Figura 7.13: Representação esquemática dos modos de optimização hierárquica H1 e H3 do pro- grama mainFRAN.

Optimização Topológica Multiescala

mogeneização da microestrutura actual. Os modos H4 e H5 distinguem-se apenas pela estrutura adoptada em termos numéricos e são utilizados alternativamente para efeitos comparativos. Estes correspondem, em termos de estrutura e implementação, aos modos gerais H1 e H3, respectiva- mente. O modo H6, por sua vez, adopta uma estratégia de optimização multiescala desacoplada. Neste caso, o problema local continua a ser único, fornecendo um material ideal para compor o ma- terial homogeneizado da macroescala. Esta última, por sua vez, é optimizada como se se tratasse de um problema de optimização macroestrutural com microescala prescrita. Este problema conduz a uma distribuição de material com um esquema de interpolação SIMP, onde se pretende obter uma distribuição discreta entre material e vazio. As regiões onde existe material são constituídas pelo material compósito ideal obtido, em simultâneo, no problema da microescala. A resolução deste é feita da mesma forma que no modo H5, mas o cálculo de valores macroestruturais médios é ainda ponderado pelas correspondentes densidades macroestruturais penalizadas (vd. Eq. 6.81). Pretende-se, assim, que apenas as regiões onde exista material tenham influência sobre o problema local. Esta metodologia exige algum cuidado em termos controlo da velocidade de convergência do processo de optimização de cada um dos problemas, já que desequilíbrios a este nível tendem a fazer com que um dos problemas se torne dominante.

Estes modos alternativos de optimização multiescala deram ainda origem a dois esquemas de funcionamento adicionais, o H7 e o H8 (vd. Fig. 7.14). Nestes casos, adopta-se uma abordagem por subdomínios da macroescala [Bendsøe 1995, Cherkaev et al. 1998], numa estrutura de opti- mização hierárquica com um número predefinido de problemas locais. Nestes casos, a resolução local utilizando sensibilidades médias, à semelhança dos modos H4 a H6, é feita dentro de cada um dos subdomínios da estrutura global (vd. Fig. 6.4(f)). Assim, em vez de uma microestrutura óptima para toda a macroescala ter-se-á um conjunto de microestruturas óptimas, cada uma cor- respondente a uma região predefinida da macroescala. Estes modos H7 e H8 diferem entre si na resolução do problema global. Enquanto no modo H8 a fracção volúmica global é mantida para toda a estrutura, levando a que não seja necessária a resolução do problema global, no modo H7 o problema global é resolvido em simultâneo. Assim, a densidade macroestrutural é constante e igual à restrição de volume em toda a estrutura quando se trata do modo H8, sendo no caso H7 variável de acordo com cada um dos subdomínios. Neste caso, o funcionamento corresponde essencialmente a um modo H3 com um número de problemas definido não pelo número de elementos finitos da macroescala mas sim pelo número de subdomínios utilizado. Refira-se ainda que estes subdomí- nios são usualmente definidos a priori, no pré-processamento dos problemas, de acordo com regiões avaliadas de acordo com a produção dos componentes em causa. Alternativamente, o programa permite a divisão automática de acordo com o comportamento geral da estrutura (e.g. campo de tensões equivalentes ou de tensões principais). Note-se ainda que estes modos de funcionamento coincidem com os H4/5 se se definir apenas uma região macroestrutural.

A homogeneização inversa (H2) corresponde à resolução isolada do problema local de acordo com um campo médio de deformação e/ou gradiente de temperatura impostos (vd. Eqs. 6.76 e 6.77). Neste caso, os procedimentos abordados anteriormente resumem-se à região de optimização local. O processo iterativo ocorre apenas dentro do ciclo local, como ilustrado na figura 7.12, sendo terminado de acordo com critérios de paragem aplicados exclusivamente à avaliação do problema local.

Note-se ainda que em qualquer uma das estratégias abordadas (H1 a H8) existe apenas uma iteração de cada um dos problemas associados por cada iteração do problema de optimização.

No documento Metodologias de optimização topológica em cálculo estrutural (páginas 144-148)