3.1 Traffic Grooming Problem
3.1.2 Formula¸c˜ao Matem´atica do TGP
Deve-se considerar a seguinte nota¸c˜ao a ser utilizada na formula¸c˜ao de programa¸c˜ao matem´atica associada ao TGP cuja representa¸c˜ao estendida seja G = (N, A):
N representa o conjunto de n´os, que pode ser particionado em dois sub- conjuntos disjuntos, N = Ne∪ No, em que Ne representa o conjunto
de n´os de add-drop e No representa o conjunto de n´os ´oticos;
A representa o conjunto de arcos, que pode ser particionado em dois sub- conjuntos disjuntos, A = Ae∪ Ao, em que Ae representa o conjunto de
arcos entre n´os de add-drop e os n´os ´oticos, enquanto que Ao representa
o conjunto de arcos entre n´os ´oticos;
C representa o conjunto de containers virtuais (ou comprimentos de onda), tal que C = {1, 2, . . . , W }, em que W representa o n´umero total de containers virtuais (ou comprimentos de onda) dispon´ıveis; P representa o conjunto de produtos a serem transportados, tal que P =
{tp = (sp, dp, fp, mp) | sp ∈ Ne, dp ∈ Ne, fp ∈ Z+, mp ∈ Z+, 1 ≤ p ≤
np}, em que np ´e o n´umero total de produtos;
sp representa o n´o de origem do produto tp ∈ P ;
dp representa o n´o de destino do produto tp ∈ P ;
fp representa a quantidade (em n´umero de canais) do produto tp ∈ P que
deve ser transportada de sp a dp;
mp representa a quantidade m´axima (em n´umero de canais) do produto tp ∈
P que pode ser transportada em um container virtual (ou comprimento de onda);
cijk representa o custo de utiliza¸c˜ao do container virtual (ou comprimento
de onda) k ∈ C no arco (i, j) ∈ A.
Al´em disso, as seguintes vari´aveis s˜ao utilizadas na formula¸c˜ao do TGP: fijkp representa a quantidade (em canais) do produto tp ∈ P que trafega
atrav´es do arco (i, j) ∈ A utilizando o container virtual k ∈ C;
wijk indica o uso do container virtual k ∈ C no arco (i, j) ∈ A no transporte
de algum produto.
Por fim, a capacidade de um container virtual (ou comprimento de onda) ´e dada por:
∆ = mmc2{ m
p | ∀tp = (sp, dp, fp, mp) ∈ P }. (3.1)
Ao passo que a contribui¸c˜ao (ou melhor, a ocupa¸c˜ao) correspondente a uma unidade de fluxo de um produto transportado em um container virtual ´e representada por:
δp = ∆/mp, ∀tp ∈ P . (3.2)
Sendo assim, a formula¸c˜ao de programa¸c˜ao matem´atica, T GP , associada ao pro- blema ´e dada por:
(T GP ) minX
k∈C
X
(i,j)∈A
cijkwijk (3.3a)
sujeito a: X k∈C X (i,j)∈Ae fijkp −X k∈C X (j,i)∈Ae fjikp = fp, i = sp −fp, i = dp 0 , i 6= sp6= dp , ∀tp∈ P, ∀i ∈ Ne (3.3b) X (i,j)∈A fijkp − X (j,i)∈A fjikp = 0 , ∀tp∈ P, ∀i ∈ No, ∀k ∈ C (3.3c) X tp∈P
δpfijkp ≤ ∆ wijk , ∀(i, j) ∈ A, ∀k ∈ C (3.3d)
X
(i,j)∈A
wijk−
X
(j,i)∈A
wjik = 0 , ∀i ∈ No, ∀k ∈ C (3.3e)
fijkp ≥ 0 , ∀tp∈ P, ∀(i, j) ∈ A, ∀k ∈ C (3.3f)
wijk ∈ {0, 1} , ∀(i, j) ∈ A, ∀k ∈ C (3.3g)
fijkp inteiro , ∀tp∈ P, ∀(i, j) ∈ A, ∀k ∈ C (3.3h)
A fun¸c˜ao objetivo dada por (3.3a) procura minimizar o custo total de utiliza- ¸c˜ao/aloca¸c˜ao dos “containers virtuais”. As restri¸c˜oes (3.3b) e (3.3c) garantem a conserva¸c˜ao de fluxo dos produtos para os n´os de add-drop e para os n´os ´oticos. Vale ressaltar que nas restri¸c˜oes (3.3b) todo o fluxo que entra ou sai de um n´o de add-drop (independentemente do comprimento de onda utilizado para transport´a- lo) ´e considerado nos somat´orios, permitindo assim que o fluxo de um produto, que entre em um n´o de add-drop utilizando um dado comprimento de onda, venha a deixar o mesmo n´o atrav´es de um outro comprimento de onda. J´a o mesmo n˜ao se aplica aos n´os ´oticos, uma vez que as restri¸c˜oes (3.3c) s˜ao escritas separadamente para cada comprimento de onda k ∈ C.
As restri¸c˜oes (3.3d) imp˜oem um limite sobre o volume total de produtos trans- portados atrav´es de um container virtual no arco (i, j) ∈ A, isto ´e, um limite sobre a capacidade dos containers virtuais, al´em de estabelecer uma liga¸c˜ao entre as vari´aveis de fluxo (fijkp ) e de decis˜ao (wijk). J´a as restri¸c˜oes (3.3e) garantem a continuidade de
comprimento de onda dos lightpaths, al´em de serem respons´aveis, juntamente com a estrutura do grafo, pela n˜ao bifurca¸c˜ao dos lightpaths. Finalmente, as restri¸c˜oes
3.1. TRAFFIC GROOMING PROBLEM 45 (3.3f), (3.3g) e (3.3h) definem as vari´aveis de fluxo (fijkp ) como vari´aveis inteiras e n˜ao negativas, enquanto que as vari´aveis de decis˜ao (wijk) s˜ao definidas como bin´arias.
Deve-se mencionar que essa formula¸c˜ao (T GP ) possui aW (np + 1) vari´aveis re-
lacionadas atrav´es de npne + aW + noW (np + 1) restri¸c˜oes, em que ne = |Ne| e
no = |No| e n˜ao computando as restri¸c˜oes (3.3f)–(3.3h) que definem as vari´aveis.
Detalhamento da Fun¸c˜ao Objetivo
A fun¸c˜ao objetivo apresentada anteriormente (3.3a) permite associar um custo dife- renciado cijk para utiliza¸c˜ao (aloca¸c˜ao) de cada container virtual (ou comprimento
de onda) k ∈ C em cada um dos arcos (i, j) ∈ A.
Como descrito anteriormente, neste trabalho utiliza-se a fun¸c˜ao que minimiza o n´umero total de lightpaths, representado por NL. Sendo assim, basta associar aos
arcos incidentes aos n´os de add-drop um custo igual a 1/2; enquanto que os demais custos ser˜ao iguais a zero, isto ´e:
cijk =
( 1
2, se i ∈ N
e ou j ∈ Ne;
0, caso contr´ario; ∀k ∈ C, ∀(i, j) ∈ A. (3.4)
Como cada lightpath cont´em apenas dois arcos incidentes a n´os de add-drop (um na sua origem e outro em seu destino), pode-se concluir, para uma dada solu¸c˜ao ( ¯w, ¯f ) de T GP , que: NL= X k∈C X (i,j)∈A cijkw¯ijk. (3.5)
Al´em disso, testes preliminares indicaram que se podia adotar um outro padr˜ao para os custos cijk, em que os custos de arcos incidentes a n´os de add-drop sejam
cerca de 2 ou 3 ordens de grandeza maiores que aqueles associados aos demais arcos. Dessa maneira, pode-se direcionar o processo de busca de solu¸c˜oes para se obter uma solu¸c˜ao n˜ao apenas com o n´umero m´ınimo de lightpaths mas tamb´em cujos lightpaths possuam o menor comprimento poss´ıvel (em rela¸c˜ao aos custos adotados). Poder-se-ia, por exemplo, assumir que:
cijk = ˜ c, se (i, j) ∈ Ae; c1lij + c2, se (i, j) ∈ ¯Ao; 0, caso contr´ario; ∀k ∈ C, ∀(i, j) ∈ A, (3.6)
em que ¯Aorepresenta o conjunto de arcos entre n´os ´oticos de diferentes elementos da
rede, lij representa o comprimento “real” do enlace f´ısico utilizado na liga¸c˜ao entre os
elementos da rede, c1 e c2 representam as parcelas vari´avel e fixa, respectivamente,
associadas ao estabelecimento de enlace f´ısico (por exemplo, custo por quilˆometro da fibra e dos equipamentos/placas necess´arios em suas extremidades) e ˜c = 100 × max© cLT E, max(i,j)∈ ¯Ao{c1lij + c2}ª, em que cLT E representa o custo associado a
instala¸c˜ao de um LTE.
Por fim, pode-se, ainda, adotar uma vers˜ao mais simples em que: cijk =
( 1000 + k, se (i, j) ∈ Ae;
Nesta ´ultima vers˜ao, al´em de se direcionar (de forma simplificada) o processo de resolu¸c˜ao para obten¸c˜ao de solu¸c˜oes cujos lightpaths possuam o menor comprimento poss´ıvel, a inclus˜ao de k faz com que os containers virtuais (ou comprimentos de onda) de menor n´umero sejam utilizados preferencialmente. Seu efeito final ´e reduzir o n´umero de solu¸c˜oes alternativas, o que eventualmente pode auxiliar o algoritmo de resolu¸c˜ao.