Heur´ıstica Lagrangeana - Considera¸c˜oes Finais

3.5 Considera¸c˜oes Finais

4.1.4 Heur´ıstica Lagrangeana

Um dos primeiros resultados deste trabalho foi a implementa¸cão e teste de uma heu- r´ıstica lagrangeana, em que o TGP foi relaxado (via relaxa¸cão lagrangeana) para o cálculo de limites inferiores e tais limites foram atualizados através de um método de resolu¸cão do problema lagrangeano dual (através do método de subgradiente). Além disso, solu¸cões viáveis foram obtidas através de uma heur´ıstica em que informa¸cões sobre os limites inferiores são utilizadas (conforme descrito anteriormente).

Tal heur´ıstica lagrangeana pode ser vista como uma restri¸cão da implementa¸cão de um algoritmo de branch-and-bound, em que apenas o nó inicial (correspondendo ao problema original) é explorado. Apesar de tal abordagem não garantir a obten- ¸cão de uma solu¸cão ótima, os resultados dos testes com essa heur´ıstica são muito promissores e são apresentados em detalhe mais adiante. De todo modo, para os casos em que essa heur´ıstica falhar (isto é, quando uma solu¸cão ótima não for encontrada), torna-se necessário a ado¸cão de um esquema completo de busca no espa¸co de solu¸cões.

4.1.5 Algoritmo de Busca

Por fim, o objetivo maior desta primeira abordagem foi o desenvolvimento e teste de um algoritmo de branch-and-bound baseado no uso da relaxa¸c˜ao lagrangeana para resolu¸c˜ao do TGP.

4.2. ALGORITMO DE BRANCH-AND-CUT 69 Contudo, experimentos iniciais demonstraram que sua eficiência podia ser com- prometida. Isto se devia em parte à ausência de critérios bem estabelecidos para o caminhamento na árvore de subproblemas. Além disso, mecanismos de redu¸cão do espa¸co de solu¸cões também pareciam ser necessários para uma melhoria de desempenho do processo de busca.

Sendo assim, tornou-se imprescind´ıvel o estudo e desenvolvimento de mecanismos de redu¸cão do espa¸co de busca (como, por exemplo, a “fixa¸cão” de variáveis), bem como o estabelecimento de estratégias eficazes para o caminhamento na árvore de subproblemas, para a obten¸cão de um procedimento de busca eficiente.

4.2 Algoritmo de

Branch-and-Cut

A segunda abordagem desenvolvida neste trabalho, um algoritmo de branch-and- cut, como mencionado anteriormente, apresenta similaridades em rela¸cão à primeira pelo fato de ambas se utilizarem de um procedimento de busca sistemática no espa¸co de solu¸cões. Contudo, nesta abordagem o cálculo de limites inferiores é realizado através de sucessivas aproxima¸cões do fecho inteiro do poliedro associado ao conjunto de solu¸cões viáveis. Antes de se descrever o desenvolvimento e implementa¸cão de um algoritmo de branch-and-cut para o TGP, apresentar-se-á um breve histórico da aplica¸cão de tais técnicas na resolu¸cão de problemas de otimiza¸cão combinatória. Primeiramente, é preciso ressaltar a possibilidade de transforma¸cão de certos problemas de otimiza¸cão combinatória em problemas de programa¸cão linear sobre um poliedro inteiro (mesmo que definido implicitamente). De modo a se solucionar tais problemas de programa¸cão linear torna-se necessário obter uma descri¸cão do poliedro associado ao conjunto de solu¸cões viáveis. Sabe-se, ainda, que uma descri¸cão não-redundante de um poliedro é dada por um sistema de inequa¸cões que definem facetas do mesmo. Porém, para problemas N P-dif´ıceis é pouco provável que se consiga obter uma descri¸cão completa deste tipo [87, 118], uma vez que a obten¸cão de uma descri¸cão completa de um politopo associado a um problema N P- dif´ıcil juntamente com um algoritmo polinomial para resolu¸cão de seu problema de separa¸cão implicaria em P = N P.

Deve-se dizer que tal estratégia de se associar um politopo a um problema, e mais especificamente, encontrar um sistema de inequa¸cões que descreva tal poliedro (definido implicitamente pelo seus vértices) constitui um tópico central da pesquisa em combinatória poliédrica [48]. Ainda segundo [48], o desenvolvimento desta área de investiga¸cão pode ser dividido em 3 per´ıodos.

O primeiro uso expl´ıcito de métodos de combinatória poliédrica teria ocorrido em 1943 em um artigo de Rado [127], em que o Lema de Farkas era utilizado de forma indireta [48]. Contudo, o primeiro per´ıodo de desenvolvimento da combinatória poliédrica teve seu in´ıcio na década de 50, após o desenvolvimento do método simplex para programa¸cão linear. É neste per´ıodo que surgem as primeiras evidências de que muitos problemas de otimiza¸cão combinatória (em especial, vários problemas de fluxos em redes) podem ser formulados como problemas de programa¸cão linear inteira. Mais ainda, devido a total-unimodularidade de suas matrizes de restri¸cões, tais problemas podiam ser tratados simplesmente como problemas de programa¸cão linear. Essas observa¸cões constitu´ıram um marco e passaram a direcionar muitas

das pesquisas realizadas nessa ´epoca.

Já o segundo per´ıodo tem seu in´ıcio em meados da década de 60, quando Ed- monds [46] obtém uma descri¸cão linear completa (contudo de tamanho exponencial) para o problema de emparelhamento em um grafo. Uma constata¸cão feita neste per´ıodo foi a de que mesmo descri¸cões de tamanho exponencial eram úteis no desenvolvimento de algoritmos eficientes para resolu¸cão de problemas de otimiza¸cão combinatória. Este per´ıodo foi marcado por inúmeros esfor¸cos sem sucesso de se obter descri¸cões lineares completas de problemas que mais tarde foram provados ser N P-dif´ıceis.

Por fim, o terceiro per´ıodo teve seu in´ıcio em 1979, com o desenvolvimento do método do elipsóide para programa¸cão linear [90]. O resultado fundamental para a combinatória poliédrica não se encontra ligado somente à constata¸cão de que problemas de programa¸cão linear podem ser resolvidos em tempo polinomial, mas sim de que é poss´ıvel resolver eficientemente um problema de programa¸cão linear desde que se saiba resolver eficientemente um problema de separa¸cão e vice-versa. Essa “equi- valência entre otimiza¸cão e separa¸cão” foi uma descoberta que se tornou um marco no tocante ao desenvolvimento de algoritmos na área da combinatória poliédrica. Tornou-se evidente a partir da´ı que associar poliedros a problemas de otimiza¸cão combinatória e resolver o problema de separa¸cão correspondente poderia ser uma estratégia para se conseguir algoritmos polinomiais para certos problemas [48]. No caso de problemas N P-dif´ıceis, tal abordagem demonstrou ser interessante, princi- palmente para problemas de grande porte.

Vale lembrar aqui a evolu¸cão algor´ıtmica da abordagem poliédrica na resolu¸cão de instâncias reais de problemas N P-dif´ıceis. O artigo de Dantzig, Fulkerson e John- son [40] de 1954 é o primeiro a utilizar uma abordagem poliédrica na resolu¸cão de um problema N P-dif´ıcil. Tal artigo relata a resolu¸cão de uma instância do problema do caixeiro viajante de 49 cidades e ilustra o uso de tal abordagem através de uma série de exemplos, em que muitos dos passos (para se encontrar planos-de-corte) são realizados manualmente, de forma interativa e ad-hoc. Essa abordagem não foi mais explorada até que em 1977 Grötschel em sua tese de doutoramento [61] realizou um estudo aprofundado da estrutura facial dos politopos associados ao problema do caixeiro viajante simétrico e assimétrico (conseguindo resolver uma instância do problema simétrico com 120 cidades). Contudo, este trabalho implementou uma abordagem poliédrica de forma sistemática e totalmente automática (sem nenhuma interven¸cão manual para se encontrar planos-de-corte).

Na década de 80, vários trabalhos passaram a explorar a abordagem poliédrica na resolu¸cão de problemas N P-dif´ıceis e muitos deles enfocavam, ainda, o problema do caixeiro viajante [64, 116, 117]. Tal problema continua a representar um desafio aos pesquisadores e tem sido fonte de inspira¸cão para o desenvolvimento de várias técnicas que têm se mostrado úteis na resolu¸cão de outros problemas de otimiza¸cão combinatória [48]. Como mencionado, outros problemas N P-dif´ıceis também foram explorados através dessa abordagem, tais como: problema do subgrafo ac´ıclico [82], problema da ordem linear [62, 63], problema do corte máximo [12], problema da parti¸cão em cliques [66, 67] e problema das mochilas múltiplas [47], entre outros. Uma lista mais recente (contendo inclusive artigos da primeira metade da década de 90) pode ser encontrada em [83].

4.2. ALGORITMO DE BRANCH-AND-CUT 71 Para todos esses problemas apenas uma descri¸cão parcial de seus politopos é conhecida e em muitos casos o problema de separa¸cão só foi resolvido para classes especiais de facetas. Contudo, isso não impediu o desenvolvimento de algoritmos eficientes para resolu¸cão de tais problemas e, para casos especiais dos mesmos, até a obten¸cão de solu¸cões polinomiais.

Nas subse¸cões seguintes são discutidos os detalhes relativos a proposta de implementa¸cão de um algoritmo de branch-and-cut para resolu¸cão do TGP.

4.2.1 Planos-de-Corte

Os métodos poliédricos, quando aplicados a problemas de programa¸cão inteira, se ca- racterizam por iniciar o processo de resolu¸cão através de uma aproxima¸cão inicial do fecho inteiro do poliedro associado ao conjunto de solu¸cões viáveis. Tal aproxima¸cão representa, na realidade, uma relaxa¸cão do problema original (como, por exemplo, a relaxa¸cão linear) e sua solu¸cão não representa necessariamente uma solu¸cão viável do problema original (e, na maioria dos casos, ela sequer é inteira).

De modo a prosseguir com o processo de busca, torna-se necessário melhorar a qualidade da aproxima¸cão do fecho inteiro do poliedro. Para tanto, inequa¸cões válidas serão utilizadas de forma a excluir a atual solu¸cão (que não é ótima para o problema original) do conjunto de solu¸cões viáveis. Tais inequa¸cões válidas são, geralmente, denominadas planos-de-corte ou simplesmente cortes, uma vez que se- param a solu¸cão atual das demais solu¸cões do problema (isto é, “cortam” o espa¸co de solu¸cão do problema eliminando a solu¸cão indesejada). Portanto, para se implemen- tar um método poliédrico para resolu¸cão de um problema, torna-se imprescind´ıvel a capacidade de se gerar novos planos-de-corte caso a solu¸cão atual não seja uma solu¸cão viável do problema original. Para tanto, pode-se lan¸car mão de diversas classes de planos-de-corte de aplica¸cão geral (general purpose cutting planes).

Os primeiros algoritmos de planos-de-corte para problemas de programa¸cão inteira e inteira mista foram desenvolvidos por Gomory [58, 59, 60], que também demonstrou que tais algoritmos encontravam uma solu¸cão ótima após um número finito de itera¸cões. Infelizmente, na prática a utiliza¸cão dos planos-de-corte de Gomory conduz a um tempo de execu¸cão muito grande, além de provocar uma instabilidade numérica no sistema de equa¸cões (a convergência só é garantida usando-se de preci- são infinita) [48]. Em [38], inequa¸cões de cobertura m´ınima (minimal cover inequalities) e inequa¸cões de (1, k)-configura¸cões ((1, k)-configuration inequalities) foram utilizadas para resolu¸cão de problemas de otimiza¸cão linear 0-1. Estas inequa¸cões foram derivadas de facetas dos politopos associados aos problemas de mochila defi- nidos por cada restri¸cão da formula¸cão de programa¸cão matemática do problema de otimiza¸cão 0-1. Tal abordagem foi refinada e generalizada em [72, 153]. Já em [5], planos-de-corte para problemas de otimiza¸cão linear 0-1 mista foram gerados através de um método de lift-and-project. Os resultados obtidos foram muito promissores e se demonstrou sua superioridade em rela¸cão aos cortes de Gomory. Por fim, os cortes de Fenchel para problemas de otimiza¸cão inteira foram introduzidos em [24]. Entretanto, tais cortes genéricos (general purpose cutting planes) se mostram insuficientes para a resolu¸cão de problemas de otimiza¸cão combinatória sendo neces- sário, para obten¸cão de um estratégia de sucesso, o desenvolvimento de cortes para

cada problema em particular [83]. Um método de relativo sucesso para obten¸cão de planos-de-corte para um problema espec´ıfico é o estudo da estrutura facial do fecho inteiro do poliedro associado ao problema. Cada faceta de tal politopo implica em uma inequa¸cão válida para a correspondente formula¸cão de programa¸cão inteira. Inequa¸cões que induzem facetas do politopo não são dominadas por nenhuma outra inequa¸cão válida e, portanto, representam os melhores candidatos a planos-de-corte. Contudo, a tarefa de se determinar quais inequa¸cões induzem facetas, em geral, não é simples (ver [65, 114, 126]). Além disso deve-se ter em mente que, para sua utiliza¸cão em algoritmos, inequa¸cões válidas (definindo ou não facetas) só são úteis caso seus problemas de separa¸cão possam ser resolvidos de forma exata ou aproximados através de heur´ısticas.

Métodos poliédricos (como, por exemplo, o método de planos-de-corte) utili- zando de cortes desenvolvidos especificamente para um problema normalmente são interrompidos sem encontrar uma solu¸cão ótima. Isto se deve a duas razões distintas. Primeiramente, não se conhece para nenhum problema N P-dif´ıcil uma descri¸cão linear completa de seu politopo. Por outro lado, mesmo que se conhe¸ca uma grande classe de facetas para um problema, é muito frequente não se dispor de um algoritmo eficiente para resolu¸cão do problema de separa¸cão para essa classe de facetas. Independentemente disso, grandes instâncias de problemas de otimiza¸cão combina- tória N P-dif´ıceis podem e têm sido resolvidas através da utiliza¸cão conjunta de planos-de-corte (preferencialmente, facetas) e esquemas de enumera¸cão sofisticados via algoritmo de branch-and-cut.

Neste trabalho, as inequa¸cões válidas (e, eventualmente, facetas) foram desenvol- vidas a partir de um estudo da estrutura facial do fecho inteiro do poliedro associado às solu¸cões viáveis do TGP. Mais ainda, o relacionamento entre tal poliedro e outros já investigados na literatura foi explorado nesse estudo de forma semelhante ao que foi realizado em [144, 157] para o problema de projeto de rede com tolerância a falhas. Dessa forma, a identifica¸cão de inequa¸cões válidas (e, eventualmente, facetas) pôde ser simplificada, além de se facilitar a implementa¸cão do algoritmo de branch-and-cut, na medida que os respectivos problemas de separa¸cão já tinham sido explorados anteriormente. Cabe destacar que essa abordagem poliédrica através da investiga¸cão de subestruturas (associadas a poliedros de subproblemas) do poliedro associado ao problema original vem obtendo um relativo sucesso e, mais recente- mente, tem sido explorada em diversos trabalhos (ver, por exemplo, [2, 3, 152]).

4.2.2 M´etodo de Planos-de-Corte

Uma vez que se obteve um conjunto de inequa¸cões válidas (e, eventualmente, facetas) para o TGP conforme descrito acima, passou-se a utilizá-lo na implementa¸cão de um método de planos-de-corte. Em vista do que foi exposto anteriormente, não se deve esperar que tal procedimento seja capaz de encontrar uma solu¸cão ótima para o TGP.

De fato, os resultados de experimentos preliminares com cortes genéricos não apresentaram um desempenho satisfatório. Contudo, um método de planos-de-corte pode ser visto como o passo inicial de um algoritmo de branch-and-cut. Sendo assim, a qualidade da descri¸cão linear obtida pelo estudo da estrutura facial do fecho inteiro

4.3. CONSIDERA ¸C ÕES FINAIS 73 do poliedro de solu¸cões (juntamente com os algoritmos de separa¸cão exatos ou não) poderia ser avaliada antes mesmo da implementa¸cão completa do procedimento de busca.

Portanto, o desenvolvimento de um método de planos-de-corte para o TGP foi utilizado para se validar e, eventualmente, rever o conjunto de inequa¸cões válidas obtidas para o problema.

4.2.3 Algoritmo de Cut-and-Branch

Os algoritmos de branch-and-cut podem ser vistos como esquemas de enumera¸cão sofisticados em que estratégias meticulosas de “fixa¸cão” de variáveis e ramifica¸cão (branching) são combinadas para obten¸cão de um processo de busca eficiente. Além disso, durante o processo de busca devem ser obtidos e utilizados “novos” cortes para cada subproblema a ser resolvido.

Tal processo se caracteriza por necessitar de estruturas “especiais” para o arma- zenamento e processamento do conjunto de inequa¸cões ativas em um dado momento da busca. Sendo assim, talvez seja conveniente se avaliar o real ganho de tal procedimento através da implementa¸cão de uma busca “simplificada”.

Nesta abordagem (denominada de algoritmo de cut-and-branch), após a aplica¸cão de um método de planos-de-corte, um algoritmo de branch-and-bound padrão (sem a inclusão de novos cortes) foi utilizado para se obter uma solu¸cão ótima do problema.

4.2.4 Algoritmo de Busca

Finalmente, o objetivo principal desta segunda abordagem foi o desenvolvimento e teste de um algoritmo de branch-and-cut para o TGP.

Conforme foi mencionado, a implementa¸cão de tal algoritmo envolve vários detalhes (sendo que muitos deles fogem ao escopo deste trabalho). Sendo assim, para viabilizar a sua realiza¸cão foi utilizado um framework padrão como, por exemplo, o COIN-CBC [78], o ABACUS [150] ou o SYMPHONY [129]. O framework utilizado neste trabalho foi o COIN-CBC, uma vez que, além de ser multiplataforma e supor- tar diversos LP-solvers, ele faz parte do esfor¸co da INFORMS em fornecer software (incluindo os fontes) gratuito e de boa qualidade para uso no desenvolvimento e pesquisa em otimiza¸cão.

4.3 Considera¸c˜oes Finais

Neste cap´ıtulo, procurou-se apresentar os principais aspectos das abordagens selecio- nadas para resolu¸cão do TGP. Além disso, uma descri¸cão geral de tais abordagens foi realizada com intuito de esclarecer os principais pontos enfocados neste trabalho. Entretanto, diversos detalhes pertinentes as duas abordagens foram omitidos para facilitar a leitura e o entendimento deste documento.

Cap´ıtulo 5

Abordagem Lagrangeana do TGP

N

ESTE cap´ıtulo é apresentada uma abordagem para resolu¸cão do TGP através da relaxa¸cão lagrangeana. Na próxima se¸cão são apresentados limites inferiores obtidos a partir da relaxa¸cão de diferentes conjuntos de restri¸cões da formula¸cão do problema T GPC apresentada na subse¸cão 3.1.4. Na se¸cão 5.2 a heur´ıstica utili-

zada para gera¸cão de limites superiores para o TGP é apresentada. Em seguida, as se¸cões 5.3, 5.4 e 5.5 discutem aspectos relevantes da implementa¸cão do método de subgradiente (utilizado na resolu¸cão do problema lagrangeano dual), do algoritmo de branch-and-bound e da heur´ıstica lagrangeana, respectivamente. Já a se¸cão 5.6 apresenta os resultados numéricos obtidos (e apresentados parcialmente em [119, 120]); enquanto que uma compara¸cão com outras abordagens encontradas na literatura é apresentada na se¸cão 5.7, seguida por algumas considera¸cões finais na se¸cão 5.8.

5.1 Limites Inferiores para TGP

Nesta se¸cão a relaxa¸cão lagrangeana é utilizada para obten¸cão de quatro limites inferiores para a formula¸cão do problema T GPC apresentada na subse¸cão 3.1.4.

Tais limites são utilizados mais adiante (ver se¸cões 5.3 e 5.4) na implementa¸cão de um procedimento de busca – branch-and-bound – para a resolu¸cão do problema.

De modo a se realizar a relaxa¸cão lagrangeana da formula¸cão proposta, um vetor de multiplicadores de Lagrange π, tal que π_ip ∈ R, ∀tp ∈ P, ∀i ∈ Nℓ, é associado às

restri¸cões de conserva¸cão de fluxo dos nós – restri¸cões (3.10b). Já as restri¸cões (3.10c) são associadas a um vetor de multiplicadores φ, tal que φi ∈ R, ∀i ∈ Nℓo. E,

finalmente, as restri¸cões que limitam a capacidade dos arcos – restri¸cões (3.10d), são associadas a um vetor de multiplicadores de Lagrange λ, tal que λℓ ∈ R+, ∀ℓ ∈ Aℓ.

Posto isto, são apresentados a seguir as formula¸cões e procedimentos de cálculo de quatro limites inferiores obtidos através do uso da relaxa¸cão lagrangeana. No primeiro deles, todas as restri¸cões mencionadas acima são relaxadas; enquanto que no segundo limite inferior, são relaxadas apenas as restri¸cões (3.10d) responsáveis por estabelecer uma liga¸cão entre as variáveis de fluxo (f_ℓp) e as variáveis de decisão (wℓ) e estabelecer capacidades para os arcos. Já no terceiro limite inferior são

(3.10b). E, finalmente, no quarto limite inferior as restri¸cões (3.10d) são relaxadas juntamente com as restri¸cões de conserva¸cão de containers virtuais (3.10c).

No documento Planejamento de topologia virtual com combinação de tráfegos em redes óticas multiplexadas por divisão de comprimento de onda (páginas 101-109)