Sobre o Poliedro P Y

O poliedro PY representa a envolt´oria convexa do conjunto de fra¸c˜oes da demanda

que s˜ao roteadas com sucesso em um problema de fluxo n˜ao-capacitado de v´arios produtos. Por sua vez, ele est´a relacionado ao problema de fluxo capacitado de v´arios produtos.

Defini¸c˜ao 6.5. Seja ¯Y o conjunto de solu¸c˜oes do problema de fluxo capacitado de v´arios produtos, em que ¯yℓ representa capacidade total a ser instalada no arco ℓ ∈ Aℓ.

Dessa forma: ¯ Y ≡ ny ∈ R¯ |Aℓ|_{| ∃x ∈ X tal que} X tp∈P xp_ℓ ≤ ¯yℓ, ∀ℓ ∈ Aℓ o . E associado a ¯Y temos o seguinte poliedro:

P_Y¯ ≡ conv n ¯ y ∈ R|Aℓ|_{| ∃x ∈ X tal que} X tp∈P xp_ℓ ≤ ¯yℓ, ∀ℓ ∈ Aℓ o .

Lema 6.6. Para os poliedros PY, PZ e P_Y¯ pode-se afirmar que:

(a) P_Y¯ ⊆ PY, e

(b) PZ ⊆ P_Y¯.

Demonstra¸c˜ao. Os item (a) e (b) s˜ao consequˆencias da defini¸c˜ao dos poliedros PY e

PZ (Defini¸c˜ao 6.2) e do poliedro P_Y¯ (Defini¸c˜ao 6.5) juntamente com o fato de que

xp_ℓ = ¯fpy_ℓp, ∀tp ∈ P, ℓ ∈ Aℓ.

(a) Seja y ∈ Y, ent˜ao ¯fpy ∈ X . Como x p ℓ = ¯fpy p ℓ, ∀tp ∈ P, ℓ ∈ Aℓ, substituindo-se em P tp∈P x p ℓ ≤ ¯yℓ temos que:

P_Y¯ ≡ conv{¯y ∈ R|Aℓ|| ∃y ∈ Y tal que

X

tp∈P

¯

fpy_ℓp ≤ ¯yℓ, ∀ℓ ∈ Aℓ}.

Da´ı, pode-se concluir, imediatamente, que P_Y¯ ⊆ PY.

(b) Seja ¯y ∈ ¯Y, logo existe y ∈ Y tal que P

tp∈Pf¯py

p

ℓ ≤ ¯yℓ, ∀ℓ ∈ Aℓ. Por outro

lado, uma vez que ¯y ∈ R|Aℓ|e z ∈ Z|Aℓ|, pode-se tomar z

ℓ = ⌈¯yℓ⌉, de modo que

z ∈ Z. Dessa forma, pode-se reescrever PZ como:

PZ ≡ conv{z ∈ Z|Aℓ|| ∃¯y ∈ ¯Y tal que ¯yℓ ≤ zℓ, ∀ℓ ∈ Aℓ}.

Da´ı, conclui-se que PZ ⊆ P_Y¯.

Considere, ainda, a defini¸c˜ao do seguinte poliedro associado a relaxa¸c˜ao linear do conjunto de solu¸c˜oes Z.

Defini¸c˜ao 6.7. Seja o poliedro LPZ o poliedro associado a relaxa¸c˜ao linear do con-

junto de solu¸c˜oes Z, isto ´e,

LPZ ≡ conv©z ∈ R|Aℓ| | ∃ y ∈ Y e (y, z) satisfaz a (6.3d)ª .

Dessa forma, ´e f´acil verificar que P_Y¯ corresponde exatamente a LPZ, ou ainda,

P_Y¯ ≡ LPZ.

O poliedro P_Y¯, em particular, corresponde a envolt´oria convexa das solu¸c˜oes

de um problema de instala¸c˜ao de capacidades em uma rede sujeita ao fluxo de v´arios produtos em que se admite a possibilidade de se instalar nos arcos da rede capacidades arbitr´arias e em quantidades cont´ınuas. Ele pode ser considerado um problema cont´ınuo de projeto de rede capacitada com v´arios produtos, que pode ser resolvido em tempo polinomial atrav´es do m´etodo do elips´oide [90] ou o algoritmo de pontos interiores [86], uma vez que ele pode ser formulado como um problema linear com um n´umero polinomial de vari´aveis e restri¸c˜oes. Al´em disso, uma caracteriza¸c˜ao exata das condi¸c˜oes para que um vetor de capacidades seja suficiente para acomodar um roteamento vi´avel (e cont´ınuo) de produtos ´e dada pelo seguinte teorema.

6.1. SOBRE O POLIEDRO DE SOLU ¸C ˜OES – PS 139

Teorema 6.8 (Iri [80]; Kakusho e Onaga [85]). Um vetor de capacidades ¯y ´e vi´avel para um problema cont´ınuo de projeto de rede capacitada com v´arios produtos se e somente se, para todo vetor µ ≥ 0,

X ℓ∈Aℓ µℓy¯ℓ ≥ X tp∈P πµ pf¯p (6.8) em que o vetor µ ∈ R|Aℓ|

+ corresponde a pesos n˜ao negativos associados a cada arco

ℓ ∈ Aℓ e πµp representa o tamanho do caminho m´ınimo em Gℓ entre sp e dp obtido

utilizando-se µℓ como comprimento do arco ℓ, ∀ℓ ∈ Aℓ.

A necessidade dessas inequa¸c˜oes se origina no fato de que a forma mais barata de ser rotear um fluxo de v´arios produtos, caso n˜ao exista nenhuma restri¸c˜ao de capacidade e apenas os custos µℓsejam dados, ´e rotear cada produto separadamente

atrav´es de seu caminho m´ınimo em rela¸c˜ao ao vetor de custos µ. Dessa forma, um limite inferior para µT _{y ´e a somat´oria dos produtos entre cada valor de trafego ( ¯¯ f}

p)

e o tamanho do caminho m´ınimo (πµ

p) entre os n´os de oferta (sp) e de demanda (dp).

A suficiˆencia de (6.8) ´e uma consequˆencia do teorema da dualidade em programa¸c˜ao linear.

Essa caracteriza¸c˜ao das capacidades vi´aveis foi apresentada pela primeira vez em [80, 85]. As inequa¸c˜oes (6.8) s˜ao denominadas inequa¸c˜oes m´etricas. Esse nome ´e motivado pelo fato de que, para a situa¸c˜ao em que Gℓ ´e um grafo completo e em

que exista tr´afego entre cada um dos pares de n´os, qualquer µ ∈ R|Aℓ| _{– definindo}

uma inequa¸c˜ao n˜ao redundante em (6.8) – induz uma (pseudo-)m´etrica em Gℓ, isto

´e, µ ´e n˜ao negativo, sim´etrico e atende a desigualdade triangular µuv+ µvw ≥ µuw,

para quaisquer n´os u, v, w ∈ Nℓ, assumindo-se que µuu = 0.

Podemos restringir nossa aten¸c˜ao em (6.8) `as inequa¸c˜oes definidas pelos vetores (µ, π) do conjunto de raios extremais do cone {µ ∈ R|Aℓ|_{, π ∈ R}|P | | µ ≥ 0, π

p =

πµ

p, ∀tp ∈ P }. Os raios extremais desse cone foram investigados em [4, 99].

Alguns casos de inequa¸c˜oes m´etricas s˜ao muito importantes. Suponha que o conjunto de n´os Nℓdo grafo Gℓfoi particionado em k conjuntos disjuntos N1, . . . , Nk,

de modo que N1 ∪ . . . ∪ Nk = Nℓ e Ni ∩ Nj = ∅, 1 ≤ i < j ≤ k. Dados dois

subconjuntos N1, N2 ⊆ Nℓ, em que N1 ∩ N2 = ∅, o conjunto δGℓ(N1, N2) = {ℓ ∈

Aℓ | ℓ = (u, v), u ∈ N1, v ∈ N2} cont´em todos os arcos com origem em um n´o de N1

destinados a um no de N2. Considere que a defini¸c˜ao de δGℓpara parti¸c˜ao N1, . . . , Nk

´e dada por

δGℓ(N1, . . . , Nk) = [ 1≤i≤k 1≤j≤k i6=j δGℓ(Ni, Nj)

e que adotou-se os seguintes valores como peso para os arcos ℓ ∈ Aℓ:

µℓ =½ 1 , se ℓ ∈ δGℓ

(N1, . . . , Nk),

0 , caso contr´ario.

Dessa forma, obt´em-se a seguinte inequa¸c˜ao a partir de (6.8): X ℓ∈δ_Gℓ(N1,...,Nk) ¯ yℓ ≥ X tp∈δP(N1,...,Nk) ¯ fp (6.9)

em que δP(N1, . . . , Nk) representa o conjunto de produtos cujos n´os de origem e de

destino pertencem a subconjuntos distintos da parti¸c˜ao N1, N2, . . . , Nk.

Para um k > 2 as inequa¸c˜oes (6.9) s˜ao denominadas inequa¸c˜oes de k-parti¸c˜ao (k-graph-partition inequality), enquanto que para k = 2, elas s˜ao chamadas de ine- qua¸c˜oes de corte (cut inequality). V´arios pesquisadores tˆem investigado sob quais condi¸c˜oes um vetor de capacidades ´e vi´avel se e somente se todas as inequa¸c˜oes de corte (ou as inequa¸c˜oes de k-parti¸c˜ao, k ≤ l, para algum l ∈ N e fixo) s˜ao atendidas. Nesse sentido, dois resultados bem conhecidos s˜ao o Teorema Fluxo M´aximo-Corte M´ınimo e sua extens˜ao para dois produtos.

Teorema 6.9 (Ford e Fulkerson [51]). Para |P| = 1, um vetor de capacidades ¯y ´e vi´avel para o problema cont´ınuo de projeto de rede capacitada se e somente se ¯y satisfaz todas as inequa¸c˜oes de corte (isto ´e, as inequa¸c˜oes (6.9) com k = 2). Teorema 6.10 (Hu [75]). Para |P| = 2, um vetor de capacidades ¯y ´e vi´avel para o problema cont´ınuo de projeto de rede capacitada se e somente se ¯y satisfaz todas as inequa¸c˜oes de corte (isto ´e, as inequa¸c˜oes (6.9) com k = 2).

As inequa¸c˜oes (6.9) s˜ao conhecidas por sua capacidade em promover melhorias nos valores obtidos por relaxa¸c˜oes lineares de problemas de projeto e planejamento de redes [2, 21, 100]. Contudo, o problema de separa¸c˜ao associado a elas ´e N P-dif´ıcil. Tais inequa¸c˜oes j´a foram utilizadas previamente durante o c´alculo de um dos limites inferiores de TGP (ver subse¸c˜ao 5.1.2) em que se particionou o conjunto de n´os em dois subconjuntos: N1 = {i} e N2 = Nℓ \ N1, para cada n´o de add-drop

i ∈ Ne

ℓ, e vice-versa1.