Formula¸c˜ao Matem´atica Condensada do TGP

A ado¸c˜ao da representa¸c˜ao em camadas permite reformular o problema de forma mais simples e compacta. Isso se deve principalmente `a “elimina¸c˜ao”, melhor seria, substitui¸c˜ao de um dos parˆametros utilizados na defini¸c˜ao original do problema.

Em verdade, os modelos apresentados na subse¸c˜ao 3.1.2, juntamente com a ava- lia¸c˜ao de suas dimens˜oes feita ao final da mesma subse¸c˜ao, deixam claro a rela¸c˜ao existente entre a complexidade da formula¸c˜ao do problema e a quantidade de n´os, arcos, produtos e containers virtuais (ou comprimentos de onda) que s˜ao utilizados na representa¸c˜ao do TGP. O uso da representa¸c˜ao em camadas elimina da formu- la¸c˜ao do problema toda e qualquer referˆencia expl´ıcita ao conjunto de containers virtuais. Para tanto, cumpre ressaltar a necessidade de um aumento das quantida- des de n´os e arcos que passam a ser utilizados na formula¸c˜ao em substitui¸c˜ao aos containers virtuais.

Essa representa¸c˜ao impl´ıcita dos containers virtuais n˜ao conduz diretamente — pelo menos em um primeiro momento — a uma redu¸c˜ao da complexidade do pro- blema nem de suas dimens˜oes (n˜ao se tratando, por exemplo, de uma opera¸c˜ao de proje¸c˜ao de um conjunto de vari´aveis em outro). Contudo, ela propicia uma simplifi- ca¸c˜ao real da nota¸c˜ao e, consequentemente, um melhor entendimento da formula¸c˜ao, bem como do pr´oprio problema.

Deve-se considerar a seguinte nota¸c˜ao a ser utilizada na formula¸c˜ao matem´ati- ca condensada para o TGP cuja representa¸c˜ao em camadas, conforme descrito na subse¸c˜ao 3.1.3, seja dada pelo grafo Gℓ= (Nℓ, Aℓ):

Nℓ representa o conjunto de n´os da representa¸c˜ao em camadas, que pode

ser particionado em dois subconjuntos disjuntos, N = Ne

ℓ ∪ Nℓo, em

que Ne

ℓ representa o conjunto de n´os de add-drop e Nℓo representa o

conjunto de n´os ´oticos independentemente das camadas; Aℓ representa o conjunto de arcos da representa¸c˜ao em camadas;

cℓ representa o custo de utiliza¸c˜ao do arco ℓ ∈ Aℓ.

As tuplas do conjunto de produtos devem ser ajustadas de modo que os n´os de origem e destino de produtos correspondam aos n´os pertencentes a Ne

ℓ.

Al´em disso, as seguintes vari´aveis s˜ao utilizadas na formula¸c˜ao condensada do TGP:

f_ℓp representa a quantidade (em canais) do produto tp ∈ P que trafega

atrav´es do arco ℓ ∈ Aℓ;

wℓ indica o uso do arco ℓ ∈ Aℓ no transporte de algum produto.

Mais ainda, a capacidade m´axima de qualquer um dos arcos ´e dada por ∆ (a mesma capacidade m´axima atribu´ıda antes a um container virtual ) e cada unidade de fluxo de um produto continua a consumir δpunidades de capacidade de transporte.

3.1. TRAFFIC GROOMING PROBLEM 49 Por fim, A+

ℓ (i) ´e utilizado para representar o conjunto de todos arcos que saem

de um n´o i ∈ Nℓ, enquanto que A−ℓ(i) representa o conjunto de todos os arcos que

chegam em um n´o i ∈ Nℓ, isto ´e:

A+_ℓ (i) = {ℓ ∈ Aℓ | ℓ = (i, j), j ∈ Nℓ}, ∀i ∈ Nℓ; (3.8)

A−_ℓ(i) = {ℓ ∈ Aℓ | ℓ = (j, i), j ∈ Nℓ}, ∀i ∈ Nℓ. (3.9)

Dessa forma, uma formula¸c˜ao condensada, T GPC, associada ao problema ´e dada

por: (T GPC) min X ℓ∈Aℓ cℓwℓ (3.10a) sujeito a: X ℓ∈A+_ℓ(i) f_ℓp− X ℓ∈A− ℓ(i) f_ℓp = bp_i , ∀tp ∈ P, ∀i ∈ Nℓ (3.10b) X ℓ∈A+_ℓ(i) wℓ− X ℓ∈A− ℓ(i) wℓ = 0 , ∀i ∈ Nℓo (3.10c) X tp∈P δpf_ℓp ≤ ∆ wℓ , ∀ℓ ∈ Aℓ (3.10d) f_ℓp ≥ 0 , ∀tp ∈ P, ∀ℓ ∈ Aℓ (3.10e) wℓ ∈ {0, 1} , ∀ℓ ∈ Aℓ (3.10f) f_ℓp inteiro , ∀tp ∈ P, ∀ℓ ∈ Aℓ (3.10g)

em que bpi ´e dado por:

bp_i =    fp , se i = sp −fp , se i = dp 0 , se i 6= sp6= dp ∀tp ∈ P, ∀i ∈ Nℓ. (3.11)

Cumpre reafirmar que a formula¸c˜ao T GPCdada por (3.10a)–(3.10g) ´e totalmente

equivalente `aquela apresentada anteriormente, T GP , atrav´es das equa¸c˜oes (3.3a)– (3.3h). A fun¸c˜ao objetivo dada por (3.10a) procura minimizar o custo total de utiliza¸c˜ao/aloca¸c˜ao dos arcos da representa¸c˜ao em camadas. As restri¸c˜oes (3.10b) garantem a conserva¸c˜ao de fluxo dos produtos para todos os n´os da representa¸c˜ao em camadas. J´a as restri¸c˜oes (3.10c) garantem que a quantidade de arcos alocados que saem de um n´o ´otico ´e igual a quantidade de arcos alocados que chegam no mesmo n´o (sendo, assim, semelhantes `as restri¸c˜oes (3.3e), respons´aveis pela continuidade dos lightpaths). As restri¸c˜oes (3.10d), por sua vez, imp˜oem um limite sobre o volume total de produtos transportados atrav´es de um arco ℓ ∈ Aℓ, al´em de estabelecer uma

liga¸c˜ao entre as vari´aveis de fluxo (f_ℓp) e de decis˜ao (wℓ). Finalmente, as restri¸c˜oes

(3.10e), (3.10f) e (3.10g) definem as vari´aveis de fluxo (fℓp) como vari´aveis inteiras e

Quanto ao n´umero de vari´aveis, ´e f´acil constatar que a formula¸c˜ao condensada (T GPC) possui aℓ(np + 1) vari´aveis, em que aℓ = |Aℓ|. Contudo, de acordo com

o procedimento descrito para a constru¸c˜ao da representa¸c˜ao em camadas, sabe- se que aℓ = aW e, consequentemente, T GPC possui aW (np + 1) vari´aveis. J´a

em rela¸c˜ao `as restri¸c˜oes, essa formula¸c˜ao possui npnℓ + noℓ + aℓ restri¸c˜oes, em que

nℓ = |Nℓ| e noℓ = |Nℓo|. Pela descri¸c˜ao do processo de constru¸c˜ao da representa¸c˜ao

em camadas ´e f´acil notar que nl = ne + noℓ e noℓ = noW . Logo o n´umero de

restri¸c˜oes de T GPC pode ser reescrito como np(ne+ noW ) + noW + aW , ou ainda,

npne+ aW + noW (np+ 1). Ao se comparar tais valores com aqueles apresentados

anteriormente para a formula¸c˜ao original (no final da subse¸c˜ao 3.1.2) comprova-se que, na realidade, ambas as formula¸c˜oes possuem o mesmo n´umero de vari´aveis e restri¸c˜oes.

Al´em dessa nova formula¸c˜ao, T GPC, implicar em uma ´obvia simplifica¸c˜ao do

conjunto de restri¸c˜oes, ela possibilita identificar mais facilmente a rela¸c˜ao existente entre o TGP e outros problemas de projeto/planejamento de redes capacitadas en- contrados na literatura [11, 20, 102]. Tais problemas tˆem recebido uma consider´avel aten¸c˜ao nesta ´ultima d´ecada em virtude, principalmente, da amplia¸c˜ao do uso de redes ´oticas como tecnologia de transporte de alta capacidade.

Sob esse enfoque o TGP poderia ser descrito como o problema de se instalar facilidades de transporte (capacidade) nos arcos de uma rede, de modo a possibi- litar o roteamento de todo o tr´afego de produtos existentes a um custo total (de instala¸c˜ao) m´ınimo. A essa descri¸c˜ao deve-se acrescentar dois fatos que tornam o TGP distinto dos demais problemas de projeto/planejamento de redes capacitadas encontrados at´e este momento na literatura.

Em primeiro lugar, a formula¸c˜ao do TGP deve incorporar as limita¸c˜oes funcio- nais da tecnologia existente. Isso corresponde, na realidade, `a inclus˜ao de restri¸c˜oes adicionais, quer seja sobre o roteamento, quer seja sobre a instala¸c˜ao de facilidades. No caso espec´ıfico do TGP, tais restri¸c˜oes s˜ao de car´ater estrutural na medida em que devem limitar a estrutura (topologia) criada pela instala¸c˜ao de facilidades. Na formula¸c˜ao condensada (T GPC) as restri¸c˜oes (3.10c) cumprem esse papel ao garan-

tir que, para cada facilidade instalada em um arco que chega em um n´o ´otico, deva existir uma facilidade correspondente instalada em um arco que sai do mesmo n´o. Tais restri¸c˜oes, juntamente com o fato de, por constru¸c˜ao, um n´o ´otico possuir grau de entrada (ou de sa´ıda) sempre igual a 1, s˜ao respons´aveis pela continuidade de uso da mesma facilidade em tal n´o da rede. Em outras palavras, um conjunto de produ- tos transportado at´e um n´o ´otico utilizando determinada facilidade deve continuar a ser transportado atrav´es do uso da mesma facilidade s´o sendo permitida sua subs- titui¸c˜ao por outra quando esse conjunto de produtos alcan¸car um n´o de add-drop com capacidade para a realiza¸c˜ao de grooming. Mais ainda, a facilidade utilizada no transporte de produtos n˜ao pode ser “subdividida” em um n´o ´otico, evitando-se assim a “bifurca¸c˜ao” do lightpath. Em redes ´oticas WDM esse tipo de limita¸c˜ao ´e muito comum, sendo conhecida como restri¸c˜ao de continuidade de comprimento de onda (wavelength continuity constraint) [43].

Al´em da inclus˜ao de tais restri¸c˜oes estruturais, a formula¸c˜ao do TGP tamb´em se diferencia das demais pela forma de se contabilizar a ocupa¸c˜ao da capacidade insta- lada pelos produtos. Tradicionalmente, uma unidade de fluxo de qualquer produto

3.2. TRAFFIC GROOMING ESPARSO 51