Na presente disserta¸c˜ao, a metodologia desenvolvida para calibra¸c˜ao pressup˜oe o ajuste de um modelo hidr´aulico `aquelas que s˜ao as observa¸c˜oes reais, ou seja, medidas na rede de distribui¸c˜ao de ´agua. Desta forma, foi desenvolvida uma metodologia que pretende minimizar a diferen¸ca entre o medido/observado e o calculado atrav´es da determina¸c˜ao dos parˆametros que influenciam esta diferen¸ca. Este ´e um tipo de problema de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear, de m´ınimos quadrados, em que a fun¸c˜ao objetivo apresenta a seguinte forma:
f (x) = 1 2 m X j=1 rj2(x), (3.2)
em que cada rj´e uma fun¸c˜ao de IRnem IR. Neste tipo de problemas, rj´e chamado de res´ıduo
e assume-se sempre m≥n. Para estes problemas, ´e cr´ıtico que o n´umero de res´ıduos seja igual ou superior ao n´umero de vari´aveis de otimiza¸c˜ao.
Para um problema de m´ınimos quadrados, os res´ıduos correspondem `a diferen¸ca entre os valores do modelo e os dados observados e s˜ao cruciais `a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo. Neste tipo de problemas ´e conveniente minimizar a soma dos quadrados (ponderados) dos erros (ou res´ıduos ponderados) entre os dados medidos e a fun¸c˜ao modelo que se pretende ajustar para que o modelo se ajuste `as observa¸c˜oes reais.
Assim, a fun¸c˜ao-objetivo definida para a metodologia proposta ´e composta pelas diferen¸cas entre os valores de press˜ao, n´ıveis de tanques e caudais, medidos e calculados em cada jun¸c˜ao, reservat´orio e link1 da rede, ao longo de um dia completo (24 horas). A mesma, encontra-se representada na seguinte equa¸c˜ao:
MinDesv(x) =X t X j P Ojt− P Cjt(x) P Ojt !2 +X t X i N Oit− N Cit(x) N Oit 2 + X t X k COkt− CCkt(x) COkt 2 (3.3)
onde t corresponde a cada intervalo de tempo pr´e-definido (time step), j a cada n´o da rede, i a cada reservat´orio existente, k a cada link da rede hidr´aulica, P O, N O e CO correspondem respetivamente aos valores de press˜ao, n´ıveis e caudais da rede observados e P C, N C e CC aos valores de press˜ao, n´ıveis e caudais da rede calculados. A equa¸c˜ao 3.3 ´e calculada pela ferramenta desenvolvida no programa Matlab, com base nos valores de press˜ao, n´ıveis de tanques e caudais obtidos em cada simula¸c˜ao hidr´aulica efetuada pelo programa EPANET. Apesar de a rede ser analisada ao longo de um dia, o per´ıodo total de simula¸c˜ao ´e composto por v´arios intervalos de tempo bem definidos, os time steps. Para os problemas em estudo foi definida uma hora para cada time step, pelo que a simula¸c˜ao hidr´aulica devolve valores de press˜ao, n´ıveis e caudais para cada hora do dia.
A fun¸c˜ao MinDesv, como fun¸c˜ao objetivo, ´e a base do problema a otimizar e as vari´aveis de estado, xi, s˜ao as inc´ognitas a determinar:
min f (X) = MinDesvio
sujeito a xmini ≤ xi ≤ xmaxi , i = 1, ..., n.
(3.4)
Como vari´aveis de decis˜ao inerentes `a metodologia desenvolvida foram selecionados os valores de rugosidade (C) e os coeficientes de perda de carga localizada (kv) de cada conduta,
um fator ω associado a cada bomba hidr´aulica, que representa a sua deteriora¸c˜ao ao longo do tempo, e dois fatores α e β associados a fugas de ´agua por vazamento.
A monitoriza¸c˜ao do parˆametro rugosidade encontra-se associada `a influˆencia das perdas de carga hidr´aulica sobre o escoamento da ´agua na rede. Estas resultam do contacto da ´agua com a superf´ıcie dos tubos e podem ser calculadas com base na seguinte equa¸c˜ao [20]:
∆H = 10, 7Q
1,852L
C1,852d4,87 . (3.5)
A equa¸c˜ao, j´a referida em 2.2, corresponde `a F´ormula de Hazen-Williams utilizada para o c´alculo de perdas de carga em sistemas sob press˜ao, onde Q representa o caudal, C a ru- gosidade, L o comprimento e d o diˆametro da tubagem. Foi esta a metodologia selecionada para o c´alculo das perdas de carga dada a sua base emp´ırica e por se aplicar ao fluido ´agua em condi¸c˜oes de escoamento de regime turbulento. Desta forma, o n´umero de vari´aveis de rugosidade associado a cada rede em an´alise ´e igual ao n´umero de condutas nela existentes. As perdas de carga hidr´aulica influenciam, por sua vez, os valores de press˜ao na rede.
Foram tamb´em consideradas as perdas de carga localizadas associadas `a geometria das condutas constituintes da rede de abastecimento de ´agua [20], atrav´es da monitoriza¸c˜ao de cada coeficiente de perda de carga localizada, kv, presente na seguinte equa¸c˜ao
∆H = kvQ2, (3.6)
onde Q representa o caudal de ´agua que passa em cada tubagem e kv o coeficiente de perda
de carga localizada resultante da geometria de cada conduta.
Como forma de contabilizar a deteriora¸c˜ao das bombas hidr´aulicas ao longo do tempo, foi tamb´em considerado um fator ω como vari´avel de estado [20], presente na seguinte equa¸c˜ao,
Hpcal = ωp2Hp, (3.7)
onde Hp corresponde ao valor de altura manom´etrica de cada bomba, presente nas curvas
fornecidas pelo fabricante e, Hpcal representa o valor calibrado de altura manom´etrica da
bomba tendo em conta a diminui¸c˜ao da sua eficiˆencia ao longo do tempo.
Por fim, a metodologia apresentada abrange ainda a dete¸c˜ao de poss´ıveis fugas de ´agua por vazamento na rede contabilizando dois parˆametros β e α, presentes na seguinte equa¸c˜ao, proposta por M. Maskit e A. Ostfeld [22]:
qk−leak= βklkPkαk, (3.8)
onde qk−leak representa a perda de ´agua associada a cada tubagem k, lk o comprimento da
tubagem, P a press˜ao m´edia na respetiva tubagem, tendo em conta a m´edia dos valores de press˜ao do n´o anterior e posterior `a mesma e β e α representam parˆametros que dependem do material e idade de cada conduta.
3.2.1 Algoritmo de Otimiza¸c˜ao Selecionado
Dada a natureza do problema a otimizar ser do tipo m´ınimos quadrados, para que o modelo se ajuste `as observa¸c˜oes reais ´e conveniente minimizar a soma dos quadrados (ponderados) dos erros (ou res´ıduos ponderados) entre os dados medidos, y(tj), e a fun¸c˜ao modelo que se
pretende ajustar, ˆy(tj; x), onde x corresponde a um vetor de n parˆametros, t a uma vari´avel
independente e y ao conjunto de pontos (tj;yj) que definem as m observa¸c˜oes [14]. Esta
medida ´e designada de crit´erio de erro quadr´atico χ2 e corresponde a:
χ2(x) = m X j=1 " y(tj) − ˆy(tj; x) ωj #2 (3.9)
em que wj ´e um peso que tem em conta os erros no processo de medida de y(tj). Se o mo-
delo ˆy se apresentar n˜ao-linear relativamente aos parˆametros x, o processo de minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao χ2 ´e feito iterativamente, pretendendo-se encontrar o incremento h do vetor dos parˆametros x, de forma a reduzir χ2.
Dentro dos m´etodos cl´assicos de otimiza¸c˜ao mais adequados `a resolu¸c˜ao deste tipo de pro- blemas encontram-se o M´etodo do maior declive, o M´etodo de Gauss-Newton e os M´etodos do tipo regi˜ao de confian¸ca. Com estes m´etodos pretende-se minimizar os problemas de con- vergˆencia dos m´etodos de otimiza¸c˜ao anteriores, quando s˜ao executados em regi˜oes fora da validade da aproxima¸c˜ao quadr´atica, utilizando uma limita¸c˜ao no passo. A regi˜ao em volta de xkonde a aproxima¸c˜ao de segunda ordem da s´erie de Taylor ´e v´alida ´e designada de regi˜ao
de confian¸ca. Desta forma, este tipo de m´etodos torna-se mais robusto e eficiente na procura por m´ınimos globais da fun¸c˜ao e foi, por isto, o tipo de m´etodo selecionado para resolu¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao proposto. O algoritmo selecionado ´e designado de Trust-Region- Reflective Least Squares [27] e consta da biblioteca de fun¸c˜oes do programa Matlab.
No algoritmo de otimiza¸c˜ao de regi˜ao de confian¸ca selecionado [28], um passo fundamental ´e a aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao-objetivo n˜ao-linear atrav´es expans˜oes da s´eria de Taylor truncadas, com a seguinte forma quadr´atica
φk(x) ≈ f (xk) + 5f (xk)Tυ +
1 2υ
TH
kυ, (3.10)
numa regi˜ao Ω de confian¸ca, definida por Ωk = {x ∈ <d|
T (x − xk)
≤ ∆k}, (3.11)
onde ∆k ´e o raio da regi˜ao de confian¸ca. Hk ´e a matriz Hessiana local e T ´e uma matriz
diagonal escalonada, que est´a relacionada com o escalonamento do problema de otimiza¸c˜ao. O formato da regi˜ao de confian¸ca ´e um hiper-elipsoide e a regi˜ao 2D el´ıptica ´e centrada em xk. Se os parˆametros forem igualmente escalonados ent˜ao pode ser considerada T = I.
A aproxima¸c˜ao `a fun¸c˜ao-objetivo numa regi˜ao de confian¸ca simplifica a procura por um novo ponto experimental xk+1 a partir do ponto de partida xk. O objetivo ´e encontrar
encontrar um ponto xk+1 que permita uma diminui¸c˜ao significativa da fun¸c˜ao-objetivo. A
aproxima¸c˜ao φk `a fun¸c˜ao-objetivo pode ser medida pelo r´acio γk entre a diminui¸c˜ao pre-
vista/esperada da fun¸c˜ao e a diminui¸c˜ao real obtida γk =
f (xk) − f (xk+1)
φk(xk) − φk(xk+1)
. (3.12)
Se este r´acio se encontrar pr´oximo de um, ent˜ao pode ser considerada uma boa apro- xima¸c˜ao `a fun¸c˜ao-objetivo e a regi˜ao de confian¸ca deve ser movida para o ponto xk+1. Nesta
fase, ´e necess´ario determinar o raio da nova regi˜ao de confian¸ca centrada no ponto xk+1.
Se o movimento para este ponto for bem sucedido e se a diminui¸c˜ao da fun¸c˜ao-objetivo for significativa, ent˜ao ´e conveniente aumentar um pouco a regi˜ao de confian¸ca considerada. A medida standard considerada para avaliar a qualidade da diminui¸c˜ao da fun¸c˜ao-objetivo ´e o parˆametro α1 ≈ 0.01. Se γk> α1, ent˜ao ´e evidente a diminui¸c˜ao conseguida e o movimento
para o novo ponto deve ser aceite (isto ´e xk+1← xk). Quanto ao raio a tomar para a regi˜ao de
vez, maior do que α1. Se γk ≥ α2 ≈ 0.9, para al´em de se considerar a diminui¸c˜ao da fun¸c˜ao-
objetivo significante ´e seguramente aumentado o raio da regi˜ao de confian¸ca. Tipicamente dentro do intervalo ∆k+1 ∈ [∆k, ∞]. A escolha do raio depende de cada tipo de problema,
no entanto ´e comum ∆k+1≈ 2∆k. Se a diminui¸c˜ao for evidente mas n˜ao t˜ao significante, ou
seja, α1 < γk≤ α2, ent˜ao a regi˜ao de confian¸ca deve ser diminu´ıda e ∆k+1∈ [β2∆k, ∆k], ou
β2∆k< ∆k+1< ∆k, (0 < β2 < 1). (3.13)
Por outro lado, se a diminui¸c˜ao for demasiado pequena, γk < α1, o movimento deve ser
abandonado uma vez que a aproxima¸c˜ao n˜ao ´e suficientemente boa na regi˜ao mais abran- gente. Deve ser procurada uma aproxima¸c˜ao melhor numa regi˜ao mais pequena, atrav´es da diminui¸c˜ao do raio da regi˜ao de confian¸ca
∆k+1∈ [β1∆k, β2∆k], (3.14)
onde 0 < β1 ≤ β2 < 1 e ´e tipicamente utilizado β1= β2 = 1/2, que corresponde a metade do
tamanho da regi˜ao de confian¸ca original. Assim, os t´ıpicos valores de cada parˆametro, para este algoritmo de otimiza¸c˜ao s˜ao:
α1= 0.01, α2 = 0.9, β1 = β2 =
1
2. (3.15)
Todo o procedimento descrito pode ser encontrado no Algoritmo 3.1, que lista as v´arias etapas do M´etodo de Regi˜ao de Confian¸ca.
Algoritmo 3.1 M´etodo de Regi˜ao de Confian¸ca Etapa 1 Escolha de x0 como estimativa inicial;
Escolha do raio ∆0 da regi˜ao de confian¸ca Ω0;
Defini¸c˜ao das constantes do algoritmo: 0 < α1 < α2< 1, 0 < β1 < β2 < 1
Etapa 2 Enquanto (crit´erio de paragem)
Constr´oi um modelo aproximado φk(υ) para a fun¸c˜ao-objetivo f (xk) em Ωk
Procura de um ponto experimental xk+1 que minimize o modelo dentro de Ωk.
Calcula o r´acio γk daquilo que foi conseguido face `a diminui¸c˜ao prevista:
γk= φf (xk(xkk)−f (x)−φk(xk+1k+1))
Se γk≥ α1,
Aceita o ponto e atualiza a regi˜ao de confian¸ca: xk← xk+1;
Se γk≥ α2, ∆k+1 ∈ [∆k, ∞]; ent˜ao fim
Se γk∈ [α1, α2], ∆k+1∈ [β2∆k, ∆k]; ent˜ao fim
sen˜ao
Rejeita o ponto e reduz o raio da regi˜ao de confian¸ca ∆k+1;
∆k+1 ∈ [β1∆k, β2∆k].
termina
Atualiza k = k + 1 termina
Para al´em das etapas descritas, o algoritmo de otimiza¸c˜ao selecionado pressup˜oe ainda o c´alculo do Jacobiano da fun¸c˜ao-objetivo em cada itera¸c˜ao do processo de otimiza¸c˜ao. Este permite avaliar em que dire¸c˜ao occorre a diminui¸c˜ao da fun¸c˜ao e ´e calculado atrav´es do M´etodo das Diferen¸cas Finitas.