Análise numérica e metodologias de calibração de sistemas de abastecimento de água

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Joana Sousa

Martins Soares

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erica e Metodologias de Calibra¸

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ao de

Sistemas de Abastecimento de ´

Agua

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Joana Sousa

Martins Soares

An´

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erica e Metodologias de Calibra¸

c˜

ao de

Sistemas de Abastecimento de ´

Agua

Numerical Analysis and Calibration Methods for

Water Supply Systems

Disserta¸cão apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos re-quisitos necessários à obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob a orienta¸cão cient´ıfica do Doutor António Gil D’Orey de An-drade Campos, Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro.

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presidente Professor Doutor Jo˜ao Alexandre Dias de Oliveira Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro

Professor Doutor Jos´e de Jesus Figueiredo da Silva Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro

Professor Doutor Ant´onio Gil D’Orey de Andrade Campos Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro

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orientou neste trabalho e pela constante motiva¸c˜ao, apoio e dedica¸c˜ao. `

A Bernardete, por todo o suporte, orienta¸cão e dedica¸cão que me facultou ao longo da realiza¸cão deste trabalho.

Aos meus colegas e amigos, Lu´ıs e Marcelo, por toda a for¸ca, ˆanimo e constante encorajamento.

Aos meus pais, pelo apoio incondicional.

Ao João, pela presen¸ca quer nas boas quer nas más fases de realiza¸cão desta disserta¸cão, pelo apoio e compreensão.

Por fim, agrade¸co a todos os meus amigos e colegas pelas palavras de apoio e as sugest˜oes de melhoria que foram dadas.

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funcionamento destes sistemas, quando se pretende evitar os processos tra-dicionais de inspe¸cão direta da rede. A simula¸cão, também se torna muito ´

util na fase de projeto dos sistemas, ou mesmo, numa perspetiva de imple-menta¸c˜ao de medidas de melhoria das redes j´a existentes.

Nesta disserta¸cão desenvolve-se uma metodologia automática de calibra¸cão de modelos numéricos de sistemas de abastecimento de água tendo em conta dados medidos da rede em funcionamento, sendo estes valores de pressão, n´ıveis de reservatórios e caudais de água. Desta forma, são obtidos modelos fiáveis que reproduzem o funcionamento do sistema, permitindo estudar novas solu¸cões a implementar nestes sistemas.

A metodologia apresentada consiste na minimiza¸cão de uma fun¸cão-objetivo através de técnicas de otimiza¸cão. Esta, por sua vez, para uma rede de abastecimento de água, contabiliza a diferen¸ca entre pressões, n´ıveis e cau-dais medidos e calculados pelo programa de simula¸cão EPANET 2.0. A minimiza¸cão da fun¸cão é obtida através da varia¸cão de parâmetros selecio-nados, caracter´ısticos do sistema de abastecimento, que exercem influência nos resultados obtidos por simula¸cão hidráulica no programa EPANET. Os parâmetros selecionados são, assim, coeficientes relativos à rugosidade das condutas, um coeficiente relativo a perdas de carga localizada, um coefici-ente relativo à eficiência das bombas hidráulicas e dois coeficientes relativos a perdas de água por vazamento. Relativamente ao processo de otimiza¸cão, o algoritmo selecionado para integrar a metodologia automática de cali-bra¸cão foi o método Trust Region Reflective. Este é um método clássico de otimiza¸cão com restri¸cões, baseado no gradiente, do tipo m´ınimos quadra-dos.

Nesta disserta¸cão, utilizaram-se dois exemplos distintos de sistemas de abas-tecimento de água para valida¸cão. Em ambos os casos utilizaram-se valores “reais”obtidos virtualmente, conhecendo-se a priori os parâmetros finais desejados. Nestes exemplos, a metodologia automática de calibra¸cão apre-sentada neste trabalho permitiu obter valores de pressão, n´ıveis de tanques e caudais nas condutas da rede semelhantes aos valores reais, demonstrando a sua eficácia. No entanto, nem todos os parâmetros de calibra¸cão finais correspondem aos parâmetros desejados, mostrando que a fun¸cão-objetivo contém múltiplos m´ınimos locais.

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the cases that is intended to avoid the traditional processes of direct inspec-tion of the network. The simulainspec-tion is also very useful in the design stage of those systems, or even for testing the implementation of some improvement measures in the existing networks.

In this thesis, a methodology for the automatic calibration of the models that simulate the water supply networks, based on real data measured in the networks such as pressures, reservoir’s levels and flows, is developed. Thus, more reliable models for reproducing the real behaviour of the networks are achieved, allowing to study the implementation of new solutions.

The presented methodology uses optimization techniques to minimize a spe-cific objective function. Such function accounts for the difference between measured and calculated pressures, reservoirs’ levels and flows of a water supply system. The calculated data is obtained from the simulation of the network using EPANET 2.0. The minimization of the function is obtai-ned by variation of selected parameters characteristic of the supply system, which influence the results computed by the EPANET. Such parameters are pipe roughness coefficients, minor head loss coefficients, an hydraulic pump speed factor for each pump and pipe leakage coeficients. The selec-ted optimization method is the Trust Region Reflective method, a classic gradient-based algorithm for nonlinear constrained optimization problems. In this thesis, two different examples of water supply systems are used in order to validate the presented methodology. In both cases, virtual data are considered by knowing in advance the desired final parameters. The calibration results showed that the pressure, the flow rate and the reservoir levels obtained are significantly similar to the real values of the network. However, the results for some of the parameters were not the expected ones, demonstrating the existence of multiple local minimums in the considered objective function.

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Conte´udo i

Lista de Figuras iii

1 Introdu¸cão 1 1.1 Enquadramento . . . 1 1.2 Objetivos . . . 2 1.3 Guia de Leitura . . . 2 2 Revisão da Literatura 5 2.1 Introdu¸cão . . . 5 2.1.1 A Água no Mundo . . . 6

2.1.2 Consumo de ´Agua em Portugal . . . 6

2.2 Sistemas de Abastecimento de ´Agua P´ublicos . . . 10

2.3 Simula¸c˜ao Hidr´aulica . . . 13

2.3.1 Simuladores Hidr´aulicos . . . 14

2.3.2 Modela¸c˜ao Matem´atica com EPANET . . . 15

2.4 Otimiza¸c˜ao . . . 18

2.4.1 M´etodos Cl´assicos . . . 19

2.4.2 M´etodos Heur´ısticos . . . 20

2.5 Calibra¸cão de Sistemas de Distribui¸cão de Água . . . 20

2.5.1 Estado-da-arte . . . 21

3 Metodologia e Implementa¸c˜ao 24 3.1 Abordagem de Calibra¸c˜ao . . . 24

3.2 Formula¸c˜ao do Problema de Otimiza¸c˜ao . . . 25

3.2.1 Algoritmo de Otimiza¸c˜ao Selecionado . . . 27

3.3 Implementa¸c˜ao da Abordagem Proposta . . . 30

3.3.1 Calibra¸c˜ao das Perdas de Carga Hidr´aulica e Localizada . . . 30

3.3.2 Calibra¸c˜ao das Bombas Hidr´aulicas . . . 30

3.3.3 Calibra¸c˜ao das Fugas de ´Agua por Vazamento . . . 31

3.3.4 Processo de Otimiza¸c˜ao . . . 33

4 Valida¸c˜ao e Resultados 36 4.1 Sistema de Abastecimento Geral Simplificado . . . 36

4.1.1 Modela¸c˜ao da Rede . . . 36

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4.2 Sistema de Abastecimento Malhado . . . 46

4.2.1 Modela¸c˜ao da Rede . . . 46

4.2.2 Obten¸c˜ao de Dados Reais/Medidos da Rede . . . 49

4.2.3 Vari´aveis de Decis˜ao do Projeto . . . 49

4.2.4 Resultados da Calibra¸c˜ao . . . 49

5 Considera¸c˜oes Finais 57 5.1 Conclus˜ao . . . 57

Bibliografia 59 Apendices 63 A 63 A.1 C´alculo dos Coeficientes das F´ormulas de Perda de Carga . . . 63

A.2 Resultados do Processo de Calibra¸c˜ao da Rede Malhada . . . 64

A.3 Excertos de C´odigo Desenvolvido . . . 66

A.3.1 Programa Principal . . . 66

A.3.2 Excerto do Código Desenvolvido para o Cálculo de Perdas de Água por Vazamento . . . 67

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2.1 Quantidade global de ´agua utilizada anualmente pelos diferentes setores

con-sumidores, para as diferentes regi˜oes do mundo [3]apud [5]. . . 6

2.2 Evolu¸c˜ao do servi¸co de abastecimento de ´agua em Portugal [6]. . . 7

2.3 Varia¸c˜ao da procura anual de ´agua entre os anos de 2000 e 2009 [9]. . . 7

2.4 Volume distribu´ıdo nas redes, por setor de utiliza¸c˜ao final da ´agua [9]. . . 8

2.5 Varia¸cão da ineficiência nacional no uso da água entre os anos de 2000 e 2009 [9]. 9 2.6 Tipos de configura¸cão de uma rede de abastecimento de água. . . 11

2.7 Exemplo de um modelo de um SAA obtido pelo simulador EPANET 2.0. . . 15

2.8 Representa¸c˜ao dos extremos de uma fun¸c˜ao. . . 19

3.1 Esquema representativo da metodologia desenvolvida para calibra¸c˜ao. . . 25

3.2 Exemplo (a) da constru¸c˜ao da matriz de conectividades para 5 links de uma rede e (b) respetivo tra¸cado da rede. . . 31

3.3 Interface gráfica do programa EPANET para a fixa¸cão de padrões de consumo. 32 3.4 Método utilizado para a cria¸cão de novos padrões de consumo associados a perdas de água por vazamento na rede. . . 33

3.5 Diagrama representativo de todos os ficheiros executados e sua respetiva ordem. 35 4.1 Tra¸cado da rede do sistema de abastecimento simplificado. . . 36

4.2 Curva caracter´ıstica da bomba hidr´aulica. . . 38

4.3 Evolu¸cão da fun¸cão objetivo ao longo do processo de otimiza¸cão. . . 41

4.4 Evolu¸cão da fun¸cão objetivo a cada avalia¸cão da mesma. . . 41

4.5 Procura pelo valor ótimo de cada variável de decisão, efetuada pelo algoritmo de otimiza¸cão. . . 42

4.6 Valores iniciais, reais e calibrados obtidos para a varia¸cão da pressão do nó J 3, ao longo de 24h. . . 43

4.7 Valores iniciais, reais e calibrados obtidos para a varia¸cão dos n´ıveis de água do reservatório tank, ao longo de 24h. . . 43

4.8 Valores iniciais, reais e calibrados obtidos para a varia¸c˜ao do caudal de ´agua na conduta P1, ao longo de 24h. . . 44

4.9 Valores reais e calculados das perdas de ´agua associadas ao sistema de abaste-cimento prim´ario. . . 45

4.10 Tra¸cado da rede de distribui¸c˜ao de ´agua do sistema malhado. . . 46

4.11 Evolu¸cão da fun¸cão objetivo ao longo do processo de otimiza¸cão. . . 50

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iterativo. . . 51 4.14 Valores iniciais, reais e calibrados obtidos para a varia¸cão da pressão do nó J8,

ao longo de 24h. . . 51 4.15 Valores iniciais, reais e calibrados obtidos para a varia¸c˜ao dos n´ıveis de ´agua

do reservatório tank, ao longo de 24h. . . 52 4.16 Valores iniciais, reais e calibrados obtidos para a varia¸cão do caudal de água

na conduta P7, ao longo de 24h. . . 52 4.17 Evolu¸cão dos parâmetros de rugosidade, C, durante o processo de calibra¸cão. 53 4.18 Evolu¸cão dos coeficientes de perda de carga localizada, kv, durante o processo

de calibra¸cão. . . 53 4.19 Evolu¸cão dos coeficientes de eficiência das bombas hidráulicas, ω, durante o

processo de calibra¸cão. . . 54 4.20 Evolu¸cão dos parâmetros associados a perdas de água por vazamento, β e α,

durante o processo de calibra¸cão, para metade das condutas do sistema. . . . 55 4.21 Evolu¸cão dos parâmetros associados a perdas de água por vazamento, β e α,

durante o processo de calibra¸cão. . . 55 4.22 Perda de água média, contabilizada ao longo de 24 horas, para cada conduta

da rede de abastecimento. . . 56 A.1 Diagrama de Moody - Factor de friçcão de Darcy-Weisbach em fun¸cão do

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Introdu¸

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ao

Neste cap´ıtulo é feito um enquadramento das principais motiva¸cões que levaram ao surgimento do tema da presente disserta¸cão. São apresentadas as principais metas a alcan¸car e a sua importância. O cap´ıtulo termina com um breve resumo do conteúdo apresentado.

1.1 Enquadramento

A água, como recurso essencial à vida, tem um enorme valor económico, social e ambiental. Se, no passado, os povos ancestrais necessitavam de se fixar perto de fontes de água naturais de forma a terem acesso a este recurso, atualmente, as popula¸cões fazem chegar água até si através de sistemas de abastecimento preparados para suprir todas as suas necessidades.

Nos sistemas de abastecimento de água é necessário despender energia de forma regular para a acumular sob a forma de energia potencial e utilizá-la quando necessário. O exemplo mais imediato é o uso das torres de pressão para cria¸cão de pressão na rede ou dos reser-vatórios para abastecimento de popula¸cões. Neste último exemplo, a água é enviada para um ponto de cota mais elevada por meio de bombas e, quando necessário, a água, através da energia potencial grav´ıtica, toma o rumo para o qual é guardada nas torres ou tanques de abastecimento.

Nos sistemas atuais é tomado como imperativo a garantia de existência de uma reserva m´ınima de água para qualquer eventualidade. Assim, a água é bombeada para as torres ou tanques de abastecimento quando o n´ıvel atinge o valor m´ınimo. Contudo, esta a¸cão não tem em conta o custo energético que é dependente de um ciclo horário, o que permite minimizar substancialmente os gastos com o consumo de energia. Do ponto de vista económico torna-se muito aliciante definir um padrão de funcionamento das bombas que tenha em conta a varia¸cão do custo de energia ao longo do dia, assim como dos padrões de consumo das popula¸cões.

Quando o sistema de abastecimento de água contém apenas um depósito de água, esta tarefa é de baixa dificuldade pois o sistema comporta-se quase como linear e o número de variáveis a controlar/monitorizar é de número reduzido. No entanto, quando os sistemas apresentam ramifica¸cões e vários equipamentos de bombagem e reservatórios, a minimiza¸cão

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dos recursos energéticos apresenta-se como uma tarefa de elevada complexidade, dado o grande número de variáveis a controlar e o poss´ıvel comportamento não-linear do sistema.

A tarefa de encontrar a solu¸cão de controlo mais eficiente para um sistema de abasteci-mento de água (SAA) pode tornar-se muito complexa e desmedida caso se utilize o próprio sistema real de abastecimento de água. Adicionalmente, uma análise experimental utilizando o SAA poderá por em causa o sistema, que, geralmente, é cr´ıtico para as popula¸cões. Deste modo, a utiliza¸cão de modelos numéricos é uma alternativa eficiente e capaz desde que estes consigam reproduzir os fenómenos existentes nos SAAs reais. Contudo, estes modelos, que são constru´ıdos baseados na teoria hidráulica, para reproduzirem os sistemas reais, têm de ser calibrados.

O sucesso da aplica¸cão de modelos numéricos à análise de sistemas de abastecimento de ´

agua reside na precisão e qualidade da informa¸cão de entrada de todo o modelo. Se alguns parâmetros são pass´ıveis de ser determinados com precisão, outros são de natureza desco-nhecida, que só o processo de calibra¸cão permite obter. O processo de calibra¸cão apresenta, ainda, a vantagem de poder detetar inconformidades no decorrer do abastecimento de água, tais como perdas de água por vazamento.

A calibra¸cão de modelos numéricos é um problema usual em engenharia. Porém, no caso de modelos numéricos de sistemas hidráulicos, não existem metodologias totalmente estabelecidas. Atualmente, a calibra¸cão é feita geralmente para cada caso e de forma emp´ırica.

1.2 Objetivos

Neste trabalho efetua-se um levantamento dos parâmetros inerentes à calibra¸cão de modelos de sistemas de abastecimento de água e de que forma estes exercem a sua influência sobre os modelos numéricos teóricos existentes.

Assim, propõe-se a análise e o desenvolvimento de uma metodologia automática de cali-bra¸cão de modelos numéricos, utilizando dados medidos do funcionamento do sistema. Desta forma, um modelo calibrado permitirá obter melhores resultados no que respeita à simula¸cão do comportamento real do escoamento da água nas respetivas condutas.

Tendo sempre em vista a motiva¸cão de poupar recursos energéticos e diminuir os cus-tos financeiros inerentes ao funcionamento das redes de abastecimento de água, pretende-se desenvolver um programa que permita uma aplica¸cão rápida e acess´ıvel dos diferentes tipos de metodologia de otimiza¸cão a qualquer tipo de rede, fornecendo os valores dos diversos parâmetros necessários à análise de bombeamento da água calibrados.

Ao encontro deste objetivo, propõe-se também o desenvolvimento de uma ferramenta numérica que valide a metodologia desenvolvida. Esta ferramenta irá utilizar o simulador hidráulico EPANET.

1.3 Guia de Leitura

O presente documento é constitu´ıdo por cinco cap´ıtulos. O primeiro cap´ıtulo, que se divide em três seçcões, inicia-se com uma introdu¸cão ao tema a abordar, explicitando a sua importância e atualidade através do enquadramento do mesmo. De seguida, são referidos os principais objetivos e ambi¸cões a atingir e, por fim, surge esta seçcão que pretende elucidar o leitor da forma como se encontra organizado o presente documento, com breves descri¸cões do conteúdo de cada cap´ıtulo que permitam uma melhor orienta¸cão de leitura.

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O segundo cap´ıtulo, que se encontra dividido em cinco seçcões, é dedicado à carate-riza¸cão detalhada do tema a abordar, assim como à defini¸cão dos principais conceitos ineren-tes ao âmbito do tema desenvolvido. Apresenta uma primeira seçcão referente aos consumos energéticos relacionados com o abastecimento de água em Portugal e no mundo, assim como diversas questões relacionadas com a ineficiência dos sistemas a operar atualmente. Na se-gunda seçcão, são caracterizados os sistemas de abastecimento de água no seu todo, desde os componentes que o constituem, às equa¸cões hidráulicas que os caracterizam. A terceira seçcão é dedicada ao conceito de simula¸cão hidráulica e aos simuladores que a permitem efe-tuar. Segue-se a seçcão que caracteriza o conceito de otimiza¸cão e que clarifica a utilidade do mesmo no trabalho desenvolvido. A última seçcão é dedicada ao processo de calibra¸cão, em particular, onde consta uma revisão da literatura, que fornece um ponto da situa¸cão em que se encontra o estado-da-arte.

O terceiro cap´ıtulo apresenta a metodologia de calibra¸cão desenvolvida, assim como todos os conceitos em que esta assenta. Está divido em três seçcões, que permitem diferenciar uma abordagem geral do processo de calibra¸cão, de uma formula¸cão detalhada do problema, assim como da sua implementa¸cão.

O quarto cap´ıtulo contém a valida¸cão da metodologia proposta. Assim, este apresenta e discute os resultados obtidos e encontra-se dividido em duas seçcões. Estas dizem respeito aos dois sistemas de abastecimento de água que são testados para a valida¸cão da metodologia desenvolvida.

O quinto e último cap´ıtulo da presente disserta¸cão encerra com as considera¸cões finais, onde constam as principais conclusões do trabalho desenvolvido e onde são expostas as pers-petivas para trabalhos futuros.

No final do documento encontram-se, ainda, anexados alguns apˆendices de suporte ao trabalho aqui exposto.

(20)

(21)

Revis˜

ao da Literatura

Neste cap´ıtulo encontram-se definidos e caracterizados os principais conceitos, a compreender, que est˜ao na base da metodologia proposta.

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Tendo em conta o carácter único e insubstitu´ıvel da água para o ser humano, é essencial o uso eficiente da mesma. Não só pela sua disponibilidade, mas também pela conexão indissociável que existe entre água e energia. As necessidades de água e energia estão, de certa forma, interligadas. A água é um bem essencial ao quotidiano de qualquer popula¸cão e a energia é indispensável ao transporte e distribui¸cão da água para consumo humano e utiliza¸cão nos setores produtivos. A capta¸cão, o processamento, a distribui¸cão e até mesmo a utiliza¸cão final de água requer o consumo de eletricidade pelo que os custos energéticos relacionados com o abastecimento de água representam elevados recursos or¸camentais que poderiam ser aproveitados noutros sectores municipais [1].

No ano de 2005, a procura de água em Portugal para o sector urbano fora estimada em cerca de 570 milhões de metros cúbicos por ano, o que corresponde a um custo para a sociedade de 875 milhões de euros, representando 0,77% do Produto Interno Bruto português desse mesmo ano [2].

O aumento da popula¸cão, o crescimento económico, a crise energética e os impactes das altera¸cões climáticas que se têm vindo a sentir ao longo dos últimos anos, tornam mais complexa a interdependência entre energia e água. Estimativas demonstram que o consumo de água a n´ıvel global praticamente quadruplicou nos últimos 50 anos [3].

Por sua vez, de forma a suprir as necessidades de procura de água, os sistemas de abas-tecimento acabaram por sofrer uma expansão demasiado rápida e desordenada, crescendo em quantidade em detrimento de qualidade. Existem hoje em dia, por isto, uma série de sistemas a operar de forma ineficiente. Este é um fator preponderante no aumento dos custos associados à distribui¸cão de água. A n´ıvel mundial, os sistemas de distribui¸cão de água são responsáveis por 7% do consumo total de energia [4].

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2.1.1 A ´Agua no Mundo

A n´ıvel global, verifica-se que o setor respons´avel pela maior percentagem de utiliza¸c˜ao de ´

agua é o agr´ıcola (70%). Seguem-se os setores industrial e doméstico, com as respetivas cotas de 22% e 8%, tal como se pode verificar pela Figura 2.1 (a). No entanto, é importante analisar estes dados para as diferentes regiões, isto porque, esta diferen¸ca entre sectores não é tão notável, por exemplo, nas regiões da Europa ou América do Norte e Central, onde o setor agr´ıcola perde relevo para o industrial e doméstico, tipicamente fortes em pa´ıses mais desenvolvidos (Figura 2.1 (b)).

(a) (b)

Figura 2.1: Quantidade global de ´agua utilizada anualmente pelos diferentes setores consu-midores, para as diferentes regi˜oes do mundo [3]apud [5].

2.1.2 Consumo de ´Agua em Portugal

Em Portugal, o abastecimento público de água evoluiu significativamente nos últimos anos. A entrada para a Comunidade Económica Europeia, em 1986, representou uma altera¸cão profunda no contexto de atua¸cão do Estado português e dos restantes intervenientes no setor, tendo dotado o Estado de meios financeiros para efetivar investimento no setor e também implicado mais responsabilidades relativas ao cumprimento das obriga¸cões decorrentes das disposi¸cões do direito comunitário em matéria de ambiente [6].

Os servi¸cos de abastecimento público de água que, durante muitos anos, foram geridos exclusivamente pela Administra¸cão Local (estando vedados a empresas privadas), passaram a poder ser geridos diretamente pelo Estado ou a sua gestão ser atribu´ıda, em regime de concessão, a uma entidade pública de natureza empresarial ou a uma empresa resultante da associa¸cão de empresas públicas em posi¸cão obrigatoriamente maioritária no capital social com outras entidades, com a entrada em vigor do Decreto-lei no 372/93 de 29 de Outubro de 1993 [7]. Esta norma veio dar origem ao sistema organizacional que o pa´ıs apresenta hoje no setor, suportada pelo Decreto-lei no 23/95 de 23 de Agosto de 1995 que estabelece o regulamento destes sistemas [8]. Atualmente existem entidades gestoras que asseguram, individualmente ou em conjunto, o abastecimento de água de cada região e uma entidade reguladora dos servi¸cos de águas e res´ıduos, a ERSAR, criada no ano de 2006 pela Lei Orgânica do Ministério do Ambiente, Ordenamento do Território e Desenvolvimento Regional, através do Decreto-Lei n.o 207/2006, de 27 de outubro e operacionalizada pelo Decreto-Lei n.o 277/2009, de 2 de outubro [6].

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Fruto da evolu¸cão do setor da água, verificou-se um aumento significativo da cobertura do servi¸co de abastecimento, resultado de um importante investimento apoiado por fundos comunitários. Em termos de evolu¸cão verifica-se que no in´ıcio da década de 90 a cobertura do servi¸co de abastecimento de água era cerca de 80%, tendo esta percentagem vindo a aumentar cont´ınua e significativamente e atingido os 95% em 2011 (ver Figura 2.2).

Figura 2.2: Evolu¸c˜ao do servi¸co de abastecimento de ´agua em Portugal [6].

Dados referentes aos anos de 2002 e 2009 mostram que a totalidade da procura de água anual para os três sectores consumidores (urbano, agr´ıcola e industrial) rondava os 7500 a 4199 milhões de metros cúbicos, respetivamente. Em Portugal, o setor urbano representa apenas cerca de 12% do total da procura, sendo que o agr´ıcola é o responsável pelo maior consumo de água. Relativamente ao setor industrial, é aquele que apresenta a menor parcela, apesar de se verificar um ligeiro aumento ao longo dos anos em questão.

Pela análise da Figura 2.3 é ainda poss´ıvel verificar que entre os anos de 2002 e 2009 a procura de água estimada referente ao território continental vinha a ser reduzida. O mesmo fora resultado da aplica¸cão de algumas medidas nos vários setores que proporcionaram uma melhoria da eficiência do uso da água [9].

Figura 2.3: Varia¸cão da procura anual de água entre os anos de 2000 e 2009 [9]. Em termos de custos de abastecimento, o setor urbano é também o mais representativo, dado que a água transportada por sistemas de abastecimento é maioritariamente destinada

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a consumo doméstico. No ano de 2000, os custos efetivos da utiliza¸cão da água rondavam 1.880 000 000 de Euros anuais (ver Figura 2.4). Hoje em dia, tendo em conta o aumento da popula¸cão servida por sistemas de abastecimento público de água, os mesmos serão mais elevados.

Figura 2.4: Volume distribu´ıdo nas redes, por setor de utiliza¸c˜ao final da ´agua [9].

Estado Atual dos Sistemas de Abastecimento de ´Agua Nacionais

Nem toda a água captada é realmente aproveitada, uma vez que existe uma parcela importante de desperd´ıcio associada, por um lado, a perdas no sistema de armazenamento, transporte e distribui¸cão e, por outro, ao uso ineficiente da água para os fins previstos.

As perdas de água correspondem a água que não é faturada nem utilizada para outros usos autorizados, mas que é captada, tratada, transportada em infra-estruturas de elevado valor patrimonial e com custos de opera¸cão e manuten¸cão significativos. A dimensão econ´ omico-financeira das perdas de água é assim de grande relevância e constitui em geral a principal motiva¸cão das entidades gestoras que levam a cabo iniciativas no dom´ınio do controlo ativo de perdas.

De entre as perdas contabilizadas num sistema público de abastecimento, podem ser dis-tinguidos dois tipos de perdas: as reais e/ou as aparentes [2]. Os fatores que influenciam as perdas reais são o comprimento total de condutas, o estado das condutas e componentes, o seu material, a frequência de fugas e de roturas, a densidade e comprimento médio de ramais, a pressão de servi¸co média, a localiza¸cão do medidor domiciliário do ramal, o tipo de solo e as condi¸cões do terreno, relevantes sobretudo no modo como se torna aparente ou não a ocorrência de roturas e fugas. Os fatores que influenciam as perdas aparentes são em geral as liga¸cões il´ıcitas, o uso fraudulento de bocas-de-incêndio e os erros associados à medi¸cão.

A ineficiência associada às perdas no sistema de adu¸cão e distribui¸cão é a mais facilmente contabilizada. Entre os anos de 2000 e 2009, esta sofreu uma redu¸cão, tendo sido o setor urbano aquele que apresentou a melhoria mais significativa (Figura 2.5). O mesmo resultou de um esfor¸co considerável, por parte das diversas entidades gestoras de distribui¸cão de água de abastecimento, para reduzir as perdas no sistema.

Dados mais recentes, compilados e publicados pelo jornal Público [10] como forma de assinalar o Dia Mundial da Água, demonstram que, em média, cerca de 19% de toda a água que é injetada nas canaliza¸cões em todo o pa´ıs é desperdi¸cada em roturas e fugas nas redes municipais em Portugal. Ou seja, aproximadamente um em cada cinco litros de água captada, tratada e pronta a ser consumida perde-se durante o seu percurso de transporte e não chega `

as torneiras [10]. Ainda a mesma fonte adianta que a m´edia nacional para a qual os dados apontam esconde grandes disparidades pois, na verdade, dois ter¸cos dos concelhos de

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Portu-Figura 2.5: Varia¸cão da ineficiência nacional no uso da água entre os anos de 2000 e 2009 [9].

gal continental apresentam perdas superiores. Em cerca de uma centena de concelhos, são desperdi¸cados mais de 30% da água. Em 45, a taxa ultrapassa os 40% e há cinco munic´ıpios onde as perdas atingem valores superiores a 50% [10].

A dimensão económica das perdas de água em Portugal pode ser analisada a partir da Tabela 2.1 que, para dados do ano de 2004, apresenta um valor aproximado de 70 milhões de Euros anuais [2] correspondente a uma redu¸cão para metade dos atuais n´ıveis de perdas.

Tabela 2.1: Valor anual aproximado do mercado das perdas de água [2]. Popula¸cão residente (hab) 10 356 000 Capita¸cão total de água (l/hab/dia) 207

Perdas totais m´edias (%) 0,35

Parcela de perdas reais (%) 0,6

Custos correntes m´edios (e/m3) 0,5 Custos de venda m´edios (e/m3) 0,53

Percentagem recuper´avel (%) 50 %

Perdas totais (m3/ano) 273 856 653

Perdas reais (m3/ano) 164 313 992

Perdas aparentes (m3/ano) 109 542 661 Valor do produto recuperável (e/ano) 82 156 996 Valor de vendas recuperável (e/ano) 58 057 610 Valor efetivo do produto recuperável (e/ano) 41 078 498 Valor efetivo de vendas recuperável (e/ano) 29 028 805 Dimensão do mercado (e/ano) 70 107 303

Apesar do aumento verificado na eficiência da utiliza¸cão da água ao longo dos últimos anos, continuam a existir percentagens elevadas de desperd´ıcio com impactes ambientais, sociais e económicos, em todos os sectores. As entidades gestoras devem procurar adotar con-tinuamente medidas conducentes à minimiza¸cão do consumo dos recursos naturais (água e energia), financeiros, técnicos e humanos. Devem ser analisadas solu¸cões mais eficientes para os sistemas por construir, que representem alternativas de menor impacto tanto financeiro como ambiental. Mas também, solu¸cões para os sistemas já existentes, que obriguem a repen-sar a utiliza¸cão da água de forma integrada com outros setores e com a eficiência energética com vista a uma redu¸cão dos custos de explora¸cão. Assim, o uso eficiente da água tem menor

(26)

impacto sobre o ambiente e liberta as utiliza¸cões de custos desnecessários, que poderão ser reinvestidos nos próprios sistemas, beneficiando-os subsequentemente.

2.2 Sistemas de Abastecimento de ´

Agua P´

ublicos

Um sistema de abastecimento de água caracteriza-se pelo conjunto de infraestruturas que permitem o transporte de água desde a fonte até aos diversos sectores consumidores, sejam eles o doméstico, público, industrial ou agr´ıcola. Para cumprir com este requisito, o sistema conta com um conjunto de equipamentos e instala¸cões responsáveis pela capta¸cão, tratamento, transporte, armazenamento e distribui¸cão. Dele fazem parte [7] [8]:

• Capta¸cão - instala¸cão onde a água é retirada da sua origem natural.

• Posto de Cloragem (PC) e/ou Esta¸cão de Tratamento de Água (ETA) - instala¸cões onde a água é tratada de modo a ser potável.

• Esta¸cão Elevatória (EE) - instala¸cão onde a água é bombeada (ou elevada) para zonas situadas a altitudes superiores.

• Conduta adutora - tubagem que transporta a água desde a capta¸cão até à rede de abastecimento, ligando os vários equipamentos e instala¸cões.

• Rede de distribui¸cão - condutas, regra geral instaladas sob a via pública, que transpor-tam a água até aos ramais de liga¸cão, os quais asseguram o abastecimento de água às habita¸cões.

• Ramais de liga¸cão - os ramais de liga¸cão asseguram o abastecimento predial de água, desde a rede pública até ao limite da propriedade a servir, em boas condi¸cões de caudal e pressão.

Independentemente do tamanho e complexidade de cada sistema de distribui¸cão, todos os sistemas devem ser capazes de responder à procura de água em qualquer local, a qualquer hora do dia e a pressão adequada. Para o correto dimensionamento das redes que compõem o sistema de abastecimento de água é necessário ter em conta alguns fatores, tais como a localiza¸cão, a constitui¸cão e configura¸cão da rede, as for¸cas exercidas (pela pressão da água e for¸cas externas) e ainda a parte económica envolvida nesse dimensionamento [3].

Assim, quanto `a configura¸c˜ao, uma rede pode ser malhada, ramificada ou mista. Uma rede ramificada caracteriza-se por possibilitar apenas um sentido para o escoamento do caudal de ´

agua. No caso das redes malhadas, as tubagens encontram-se interligadas entre si formando malhas e permitindo assim a mudan¸ca do sentido tomado pelo caudal de acordo com a procura em cada nó da rede. A vantagem destas últimas é garantir o abastecimento de água quando há a necessidade de fechar algum ponto da rede (por exemplo para manuten¸cão), tal como se pode observar pela Figura 2.6. As redes mistas resultam de uma combina¸cão dos dois últimos tipos de rede referidos anteriormente.

Relativamente aos elementos constituintes da rede, segundo a perspetiva do programa EPANET, os principais componentes a exercerem a sua influˆencia s˜ao:

(27)

Figura 2.6: Tipos de configura¸c˜ao de uma rede de abastecimento de ´agua.

1. Reservat´orios

(a) De n´ıvel fixo. Representam geralmente reservatórios naturais, tais como lagos, rios e aqu´ıferos que não sofrem grandes varia¸cões do n´ıvel de água ou ainda esta¸cões de tratamento de água (ETA).

(b) De n´ıvel variável. Correspondem aos locais de armazenamento da água. Nestes reservatórios o volume de água varia com o tempo, dependendo dos caudais de entrada e sa´ıda. É também levado em conta o diâmetro ou forma do reservatório (normalmente cil´ındrica), o n´ıvel inicial da água, bem como os n´ıveis m´ınimo e máximo nos quais o reservatório pode operar. O cálculo da mudan¸ca no n´ıvel da ´

agua (∆y) pode ser feito por:

∆y = Q

A∆t, (2.1)

em que Q representa o caudal que entra ou sai do reservatório num intervalo de tempo ∆t e A a área da seçcão do mesmo.

2. Bombas. Utilizadas para aumentar a carga hidráulica. É comum atribuir-se a cada bomba a sua curva caracter´ıstica, que descreve a carga aplicada ao fluido em fun¸cão do caudal que atravessa a bomba. A mesma é caracterizada pela equa¸cão

H = a − bQn, (2.2)

em que H representa a altura manométrica à qual a bomba permite elevar determinado caudal de água. Q, a, b e n são coeficientes caracter´ısticos de cada tipo de bomba. As bombas podem funcionar a velocidade constante ou variável e devem operar nos limites de carga e caudal impostos pelas suas curvas caracter´ısticas.

3. Válvulas. São essencialmente utilizadas para regular o caudal ou a pressão. Estas podem abrir/fechar tubagens, aumentar/reduzir pressões e/ou controlar o caudal. 4. Jun¸cões. Pontos de jun¸cão das tubagens, de descarga, bocas de rega ou hidrantes.

(28)

5. Condutas e Ramais. Responsáveis pela condu¸cão da água. O contacto da água com a superf´ıcie dos tubos resulta em perdas de carga por atrito ao longo da rede, traduzidas pela equa¸cão

HL= aQb, (2.3)

em que HL representa as perdas de carga hidr´aulica, Q o caudal, a o coeficiente de

resistência (também denominado termo de perda de carga) e b o expoente de caudal. Para o cálculo dos dois últimos parâmetros existem três metodologias poss´ıveis, a saber:

(a) Fórmula de Hazen-Williams: para cálculo de perdas de carga em sistemas sob pressão. Apesar de ser a fórmula mais utilizada, esta é válida apenas para a água e foi desenvolvida especialmente para escoamento turbulento.

(b) F´ormula de Darcy-Weisbach: teoricamente ´e a mais correta e adapta-se a todo o tipo de l´ıquidos e escoamento.

(c) F´ormula de Ch´ezy-Manning: utiliza-se em problemas de caudal com conduta aberta.

A Tabela 2.2 inclui uma s´ıntese das três metodologias e respetivas expressões de cálculo das perdas de carga hidráulica em condutas, assim como dos parâmetros a e b.

Tabela 2.2: Fórmulas para o cálculo das perdas de carga hidráulica em condutas [11]. Fórmula Perdas de Carga Hidráulica

Hazen-Williams HL= 10, 7C−1.852d−4,87LQ1,852

Darcy-Weisbach HL= 0, 083f (, d, Q)d−5LQ2

Ch´ezy-Manning HL= 10, 3n2d−5,33LQ2

C, Coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams. , Coeficiente de rugosidade de Darcy-Weisbach. f , Fator de atrito dependente de , d e Q. n, Coeficiente de rugosidade de Manning. d, Diˆametro do tubo [m].

Q, Caudal [m3_/s]

Os diferentes coeficientes das fórmulas de perda de carga (C, e n) variam consoante o material da tubagem e podem sofrer altera¸cões com a idade da mesma. Os intervalos de varia¸cão destes coeficientes para diferentes materiais, bem como o método de cálculo do fator de Darcy-Weisbach (f ) encontram-se descritos no anexo A.1. Poderão também ter-se em conta perdas de carga singulares (ou localizadas), associadas à turbulência em curvas, estreitamentos e/ou alongamentos. Estas revelam-se particularmente importan-tes em condutas de menor dimensão (p.ex. ramais). A expressão que traduz este tipo de perda é dada por:

HL = k

v2

2g, (2.4)

em que v representa a velocidade do escoamento, g a acelera¸cão grav´ıtica e k o coeficiente de perda de carga localizada. Este último depende da geometria da singularidade, do número de Reynolds e, em alguns casos, de determinadas condi¸cões de escoamento.

(29)

2.3 Simula¸

c˜

ao Hidr´

aulica

O termo simula¸cão refere-se, geralmente, ao processo de tentar reproduzir o comportamento de um sistema, através das fun¸cões de outro. É precisamente esta a fun¸cão de um simulador hidráulico, que permite representar o funcionamento de sistemas reais de transporte e distri-bui¸cão de água, através de modelos matemáticos[1]. Estes são ferramentas que permitem, com uma margem de erro estimável, analisar e prever o comportamento hidráulico, a partir das caracter´ısticas dos seus componentes, da sua forma de opera¸cão e dos consumos solicitados.

As redes de distribui¸cão de água são infraestruturas cujos componentes se encontram maioritariamente instalados no subsolo sendo, por isso, dificilmente inspecionáveis. Por outro lado, a sua complexidade, variabilidade e número de pontos de consumo só permite a mo-nitoriza¸cão do estado dos sistemas através de medi¸cões de pressão e caudal. Deste modo, o processo de inspe¸cão direta do sistema revela-se bastante oneroso. Muitas vezes, problemas só são detetados através de sintomas exteriores tais como a falta de pressão, a falta de água, elevados volumes de perdas ou mesmo surgimento de água à superf´ıcie do solo. Por tudo isto, torna-se imprescind´ıvel recorrer a modelos que permitam efetuar análises de sensibilidade, assim como simular os cenários mais variados, evitando interferir com o sistema em causa ou, mesmo, submetê-lo a paragens dada a necessidade de fazer chegar, continuamente, água às popula¸cões [1]. Para além disso, dado o elevado custo das infraestruturas e a variabilidade das condi¸cões a prever em sistemas por construir, torna-se imprescind´ıvel fazer uso destes mode-los de forma a verificar a viabilidade das solu¸cões propostas pelo projetista. Desta forma, os problemas podem ser antecipados, assim como as solu¸cões avaliadas antes de os investimentos serem feitos.

Uma simula¸cão pode ter carácter estático ou ser efetuada para um per´ıodo alargado de tempo [1]. A simula¸cão toma a designa¸cão de estática no caso de ser efetuada para um deter-minado momento no tempo e equivale a uma única “fotografia” do sistema no tempo. Se a simula¸cão for referente a um intervalo de tempo pré-definido, toma a designa¸cão de simula¸cão em per´ıodo alargado, ou SPA, e equivale a uma sucessão de “fotografias”, de simula¸cões estáticas, onde as condi¸cões de fronteira são representadas pelos n´ıveis nos reservatórios (pelos volumes de armazenamento que lhes correspondem e pelos padrões de consumo) e ajustadas na transi¸cão entre cada dois momentos sucessivos. Enquanto o primeiro tipo de simula¸cão pode ser útil na análise a curto prazo dos efeitos de testes em bocas-de-incêndio, o último é mais utilizado para avaliar o desempenho do sistema ao longo do tempo. Permite mo-delar o enchimento e a drenagem de tanques, a abertura e o fecho de válvulas reguladoras e a varia¸cão da pressão e do escoamento em fun¸cão de diferentes condi¸cões de procura de água.

O modelo de simula¸cão hidráulica de um SAA é composto por [1]:

(a) Um conjunto de dados descritivos das caracter´ısticas f´ısicas do sistema, das suas soli-cita¸c˜oes (consumos) e das suas condi¸c˜oes operacionais;

(b) Um conjunto de equa¸cões matemáticas (na sua maioria não-lineares) que reproduzem o comportamento hidráulico dos componentes individuais e do sistema como um todo, expressas em termos das principais variáveis de estado (p. ex., o caudal nas condutas ou a pressão nos pontos notáveis) e instanciadas pelos dados mencionados em (a); (c) Os algoritmos numéricos necessários para a resolu¸cão desse conjunto de equa¸cões

(30)

2.3.1 Simuladores Hidr´aulicos

Ao longo dos últimos anos, tem-se verificado uma crescente evolu¸cão no desenvolvimento de software aplicado à análise de sistemas de abastecimento de água. Não só em número se tem verificado tal evolu¸cão, mas também ao n´ıvel das suas funcionalidades, aspeto gráfico e ferramentas auxiliares. Para além da capacidade de simula¸cão referente à análise hidráulica de escoamento da água, novas ferramentas têm surgido, baseadas em sistemas de informa¸cão geográfica (GIS) e de monitoriza¸cão e controle de dados (SCADA). Atualmente, este tipo de ferramentas já se encontram incorporadas numa série de programas de simula¸cão hidráulica, muitos deles dispon´ıveis em versões gratuitas. Para além disso, a maioria não apresenta limita¸cão no tamanho das redes a modelar [4].

Dos programas comerciais que já apresentam ferramentas GIS e SCADA incorporadas são exemplo os programas Aquadapt, MISER, Eraclito e Pipe2012. Por outro lado, os programas AquaNet e Cross são exemplos de programas que, apesar de não serem dotados deste tipo de ferramentas, permitem também a modela¸cão e simula¸cão de sistemas de tubagens.

Existem, ainda, uma série de outros programas de modela¸cão e simula¸cão comerciais que têm por base o mesmo programa de modela¸cão hidráulica, o EPANET, e diferentes módulos de otimiza¸cão em separado. Destes fazem parte programas como o AQUIS, Mike Net, H2ONET/H2OMAP, SynerGEE Water, igualmente dotados de ferramentas GIS e SCADA.

O EPANET 2.0 é um programa com o código open source, gratuito, desenvolvido pela EPA (U. S. Environmental Protection Agency) que permite a execu¸cão de simula¸cões estáticas e dinâmicas do comportamento hidráulico e de qualidade da água de sistemas de distribui¸cão de água, onde esta circula sob pressão. Este simulador permite obter os valores de caudal em cada tubagem, da pressão em cada nó, da altura da água em cada reservatório, do custo energético do bombeamento e ainda de parâmetros de qualidade da água durante o per´ıodo de simula¸cão. Oferece ao utilizador a possibilidade de optar pelo tipo de interface, assim como pelo sistema de unidades (métrico ou US units).

A n´ıvel de modela¸cão hidráulica, o EPANET permite a análise de redes de dimensão ilimi-tada, calcula perdas de carga utilizando as fórmulas de Hazen-Williams, Darcy-Weisbach ou Chezy-Manning e ainda permite a modela¸cão de diversos tipos de bombas, válvulas e reser-vatórios. Permite ainda atribuir múltiplas categorias de consumo aos nós, cada uma com um padrão espec´ıfico ao longo do tempo e possibilita o comando do sistema através de controlo simples e/ou controlo com condi¸cões múltiplas.

Para se proceder `a simula¸c˜ao devem-se seguir os seguintes passos [3]: 1. Desenhar um esquema da rede pretendida;

2. Editar as propriedades dos objetos (n´os, tubagens, bombas, etc.);

3. Descrever as condi¸cões de operacionalidade do sistema (curvas, padrões, controlos, etc.); 4. Selecionar as condi¸cões de simula¸cão pretendidas (op¸cões de hidráulica, de energia, de

tempo, etc.);

5. Executar a simula¸cão hidráulica e visualizar os resultados dessa simula¸cão - Figura 2.7. Pelo facto de terem vindo a ser desenvolvidas uma série de aplica¸cões de dom´ınio público para o simulador EPANET 2.0, este tornou-se o programa mais utilizado em simula¸cão, a

(31)

n´ıvel académico. Foi também, por isto, este o escolhido para simula¸cão no presente trabalho.

Figura 2.7: Exemplo de um modelo de um SAA obtido pelo simulador EPANET 2.0.

2.3.2 Modela¸c˜ao Matem´atica com EPANET

Nesta subseçcão pretende-se analisar as equa¸cões matemáticas que compõem os modelos de simula¸cão hidráulica e que permitem ao simulador reproduzir o comportamento dos compo-nentes individuais e do sistema como um todo, tal como referido em 2.3.

As condi¸cões de equil´ıbrio hidráulico de uma rede, num dado instante, são resolvidas pelo chamado Método Nó-Malha, também designado por Método do Gradiente [12]. As condi¸cões de equil´ıbrio hidráulico da rede são dadas pelas equa¸cões de continuidade e de conserva¸cão da energia e ainda pela rela¸cão entre o caudal e a perda de carga [12]. As mesmas são apre-sentadas em seguida.

Rela¸c˜ao entre Caudal e Perda de Carga

Seja H a cota piezométrica de um dado nó, h a perda de carga total e Q o caudal, é poss´ıvel obter a seguinte rela¸cão entre dois nós i e j:

Hi− Hj = hij = rQnij + mQ2ij, (2.5)

em que n ´e o expoente do caudal, m o coeficiente de perda de carga localizada e r o termo de perda de carga.

O valor do termo de perda de carga depende da f´ormula de resistˆencia adotada. Para bombas, pode ser representada por:

hij = −ω2(h0− r(Qij/ω)n), (2.6)

em que h0 representa a altura de eleva¸c˜ao para o ponto de funcionamento em vazio (caudal

nulo), ω a regula¸cão de velocidade, r e n os coeficientes da curva da bomba. O sinal negativo da expressão representa a altura de eleva¸cão.

(32)

Conserva¸c˜ao dos Caudais nos N´os

O segundo conjunto de equa¸cões que devem ser satisfeitas refere-se à conserva¸cão dos caudais nos nós1

nlinks

X

j

Qij− Di = 0 para i=1,...N , (2.7)

em que Di representa o consumo no nó i e N o número de nós. Por conven¸cão, o caudal que

chega ao nó é positivo. nlinks corresponde ao conjunto de condutas que derivam do nó i.

Continuidade dos Caudais nos N´os

No Método do Gradiente a determina¸cão, em cada itera¸cão, das novas cotas piezométricas implica a resolu¸cão do sistema de equa¸cões não lineares

AH = F, (2.8)

em que A representa a matriz Jacobiana (N × N ) da perda de carga, H o vetor (N × 1) das incógnitas de cota piezométrica e F o vetor (N × 1) dos termos do lado direito da equa¸cão. Os elementos da diagonal de A são dados por

Aii=

X

j

pij (2.9)

e os elementos n˜ao nulos fora da diagonal por

Aij = −pij, (2.10)

sendo pij o inverso da derivada da perda de carga total entre os n´os i e j em rela¸c˜ao ao caudal.

O mesmo pode ser calculado, para tubagens, atrav´es da express˜ao pij =

1

nr|Qij|n−1+ 2m|Qij|

, (2.11)

enquanto que, para bombas,

pij =

1 nω2_rQij

ω

n−1. (2.12)

Cada termo do lado direito da matriz é composto por uma parcela respeitante ao balan¸co de caudal no nó, à qual é adicionado um fator de corre¸cão de caudal:

Fij =   X j Qij − Di  + X j yij+ X f pifHf, (2.13)

sendo o último termo aplicável a qualquer tro¸co que ligue um nó i a um nó f de cota pi-ezométrica fixa. O fator de corre¸cão de caudal, yij, é dado pela seguinte expressão para

tubagens: yij = pij r|Qij|n+ m|Qij|2 sgn(Qij). (2.14)

(33)

Para bombas, ´e considerada a seguinte express˜ao: yij = −pijω2 h0− r Qij ω n! , com Qij > 0. (2.15)

O termo sgn(Qij) vale 1 quando Qij ´e positivo e -1 quando Qij ´e negativo. Para bombas

Qij ´e sempre positivo. Este termo ´e definido positivo de acordo com o sentido do tra¸cado da

conduta.

Após terem sido calculadas as cotas piezométricas na primeira itera¸cão, podem ser obtidos novos caudais, de acordo com a equa¸cão seguinte:

Qij = Qij− (yij− pij(Hi− Hj)). (2.16)

As equa¸cões 2.8 e 2.16 só serão novamente resolvidas caso a soma de todas as varia¸cões de caudal (em valor absoluto), relativamente ao caudal total em todos os tro¸cos, for superior à tolerância especificada.

De forma a implementar as equa¸cões apresentadas na análise de sistemas hidráulicos, o programa EPANET segue alguns passos cruciais [13]:

1. Resolu¸cão da equa¸cão 2.8 através de um método de matriz esparsa baseado na reor-dena¸cão dos nós.

2. Considera-se, na primeira itera¸cão, que a velocidade numa tubagem é de 1 ft/s (30,48 cm/s) e que o caudal que passa numa bomba é o mesmo considerado no seu dimensio-namento.

3. O termo de perda de carga para uma tubagem, a, é calculado a partir das fórmulas já referidas na seçcão 2.2.

4. O coeficiente de perda de carga localizada, k, definido em fun¸cão da altura cinética, é convertido para um coeficiente m definido em fun¸cão do caudal, através da expressão seguinte:

m = 0.02517k

d4 . (2.17)

5. A verifica¸cão do estado das bombas, tubagens, válvulas de reten¸cão e reguladoras de caudal efetua-se após cada itera¸cão até à décima. Após este número, apenas se verifica o estado quando se atinge a convergência. No caso das válvulas de controlo de pressão, a verifica¸cão é feita em cada itera¸cão.

As bombas são fechadas se a altura de eleva¸cão for superior à altura do ponto de funcio-namento em vazio; as válvulas de reten¸cão são fechadas se a perda de carga for negativa; os tro¸cos ligados a reservatórios de n´ıvel variável também são fechados quando a dife-ren¸ca de cotas piezométricas leva à sa´ıda de caudal num reservatório vazio ou à entrada de caudal num reservatório cheio.

(34)

2.4 Otimiza¸

c˜

ao

Ao n´ıvel dos sistemas de abastecimento de água, à medida que as taxas de cobertura das in-fraestruturas se vão aproximando dos seus limites poss´ıveis, assiste-se a uma evolu¸cão da fase da constru¸cão dos sistemas para a fase da sua gestão. Come¸ca a ser dada maior importância a questões de eficiência e eficácia, numa perspetiva de racionaliza¸cão de investimentos e ava-lia¸cão do seu retorno efetivo [1]. Mesmo ao n´ıvel da constru¸cão de novos sistemas de abas-tecimento de água, não ter em conta qualquer processo de otimiza¸cão no seu planeamento resulta em sistemas ineficientes, baseados essencialmente na resposta imediata ao aumento da procura de água por parte das popula¸cões e indústria.

Atualmente, os simuladores hidráulicos utilizados para a modela¸cão de sistemas de abas-tecimento de água reais não permitem a determina¸cão das suas condi¸cões ótimas de funcio-namento ao n´ıvel do design, estruturas/componentes, assim como das condi¸cões em que estes operam [4]. É por tudo isto que os processos de otimiza¸cão são cruciais na gestão e planea-mento deste tipo de sistemas.

Para formular e resolver problemas de otimiza¸cão é essencial conhecer o significado de determinados parâmetros:

1. Fun¸cão-objetivo: é a fun¸cão que se pretende otimizar, podendo depender de uma ou mais variáveis. Geralmente, esta é representada por uma expressão anal´ıtica que permite o cálculo de determinadas caracter´ısticas da fun¸cão, tais como as suas derivadas. Podem também existir problemas perante os quais não é poss´ıvel reproduzir a fun¸cão objetivo por meio de um pequeno conjunto de equa¸cões. Este tipo de problemas, em que o acesso `

as equa¸cões que reproduzem a fun¸cão objetivo está limitado ou interdito, é vulgarmente designado de black box. O seu nome resulta da necessidade de fornecer variáveis a um programa que retorna o valor das fun¸cões. A fun¸cão objetivo pode, ainda, ser cont´ınua e, assim, diferenciável ou apresentar descontinuidades. Pode ser linear ou não-linear, como é o caso da maioria das fun¸cões de problemas reais.

2. Variáveis de decisão de otimiza¸cão: correspondem aos parâmetros que se alteram du-rante a resolu¸cão do problema, até ser encontrado o valor ótimo pretendido. Conhecer as variáveis que levam à minimiza¸cão ou maximiza¸cão da fun¸cão é o objetivo do problema. 3. Restri¸cões: correspondem a fun¸cões de igualdade ou desigualdade, que a fun¸cão objetivo deve respeitar. Podem também corresponder ao espa¸co de procura das variáveis de otimiza¸cão.

4. Valor ótimo: é o valor que se pretende encontrar, através das variáveis e restri¸cões de otimiza¸cão impostas. Corresponde a um ponto extremo, máximo ou m´ınimo da fun¸cão objetivo. Estes podem ser extremos locais, ou seja, serem máximos ou m´ınimos da fun¸cão num intervalo espec´ıfico pertencente ao dom´ınio da mesma, ou globais, corres-pondentes ao valor mais elevado ou mais baixo de toda a fun¸cão. Assim o representa a Figura 2.8. Os pontos b e f representam máximos locais e d representa o máximo global no dom´ınio apresentado. Os pontos a e e representam m´ınimos locais e c o m´ınimo global.

(35)

Figura 2.8: Representa¸c˜ao dos extremos de uma fun¸c˜ao.

Assim, um problema de otimiza¸cão é tipicamente definido pela minimiza¸cão (ou maxi-miza¸cão) de uma fun¸cão, sujeita à igualdade e/ou desigualdade de restri¸cões. Geralmente, é expressa por:

min(ou max) f (x)

sujeito a gm(x) ≤ 0, m = 1, . . . , M,

hm(x) = 0, l = 1, . . . , L

(2.18)

onde x é o vetor das variáveis de otimiza¸cão, cont´ınuo ou discreto, de dimensão n; M e L são, respetivamente, o número de restri¸cões de desigualdade e igualdade que são imperativas no processo de otimiza¸cão da fun¸cão-objetivo f . Estas restri¸cões estão, geralmente, relacionadas com os requisitos do sistema hidráulico, tais como as rela¸cões da conserva¸cão de energia e massa, parâmetros operacionais ou de design da rede e parâmetros dependentes da pressão manométrica.

Atualmente, não existe um algoritmo de otimiza¸cão “perfeito” para este tipo de aplica¸cão. A forma de atingir os melhores resultados pode, por vezes, surgir da combina¸cão de diferentes algoritmos [3]. Através da utiliza¸cão de mais do que um método de otimiza¸cão, tal como a utiliza¸cão de mais do que um algoritmo em paralelo, ou em cascata (sequencialmente), ou até mesmo da mistura de ambos, pode levar a melhores solu¸cões.

Para a resolu¸cão de problemas de otimiza¸cão, podem ser aplicados métodos tradicionais de tentativa erro ou métodos de otimiza¸cão mais efetivos. No entanto, em sistemas de abas-tecimento de água, o processo de otimiza¸cão por tentativa erro pode apresentar dificuldades dada a complexidade deste tipo de sistemas [4]. De entre os componentes e parâmetros a ter em conta nestes sistemas estão: as bombas, válvulas e reservatórios, as perdas de carga, as varia¸cões de pressão e as necessidades de procura de água. Por este motivo, têm vindo a ser explorados novos algoritmos de otimiza¸cão não-linear para aplica¸cão neste tipo de processos. Os algoritmos de otimiza¸cão não-linear podem ser divididos em duas categorias: algorit-mos clássicos e algoritmos heur´ısticos.

2.4.1 M´etodos Cl´assicos

Os métodos clássicos de otimiza¸cão baseiam-se essencialmente na avalia¸cão de uma fun¸cão objetivo e/ou na avalia¸cão das suas derivadas. Este tipo de métodos permite encontrar a posi¸cão exata da solu¸cão ótima. No entanto, apenas garante que a solu¸cão é a ótima a n´ıvel local o que, por vezes, pode não coincidir com aquela que é a solu¸cão ótima global [14]. Apresentam a vantagem de requerer baixo custo computacional, no entanto, quando é necessário recorrer ao cálculo de derivadas pode complicar o processo de otimiza¸cão.

(36)

Assim, os métodos clássicos podem ser classificados em métodos de ordem zero, métodos de primeira ordem ou ainda métodos de segunda ordem, consoante o tipo de informa¸cão que necessitam durante o processo de cálculo [4]. Caso não recorram a qualquer derivada da fun¸cão objetivo, são considerados de ordem zero. No caso de necessitarem de avaliar derivadas de primeira e/ou segunda ordem da fun¸cão objetivo, são considerados de primeira e segunda ordem, respetivamente.

Deste grupo, fazem parte algoritmos do tipo programa¸cão linear (LP), programa¸cão n˜ ao-linear (NLP), programa¸cão inteira não-linear e programa¸cão dinâmica.

2.4.2 M´etodos Heur´ısticos

Os métodos de otimiza¸cão heur´ısticos consistem em algoritmos exploratórios, geralmente ba-seados em fenómenos da natureza ou mesmo em inteligência artificial, que permitem encontrar as melhores solu¸cões poss´ıveis para problemas [3]. Dada a natureza deste tipo de métodos, estas solu¸cões apresentam grande probabilidade de corresponderem a extremos globais.

Deste grupo de algoritmos, aqueles que são maioritariamente aplicados à resolu¸cão de problemas de otimiza¸cão de sistemas de abastecimento de água são os Algoritmos Genéticos (GA) e os Algoritmos Evolucionários (EA)[4]. No entanto, outras técnicas têm vindo a ser desenvolvidas, tais como a otimiza¸cão por enxame de part´ıculas (PSO), tabu search (TS), colónia de formigas (ACO), recozimento simulado(SA), evolu¸cão complexa baralhada (SCE) e procura de concordância (HS).

Estes métodos apresentam a grande vantagem de não necessitarem do cálculo de derivadas da fun¸cão objetivo e não são dependentes dos valores iniciais das variáveis [3]. No entanto, quando comparados com os métodos clássicos, apresentam tempos de processamento mais elevados e implicam um maior número de avalia¸cões da fun¸cão objetivo.

2.5 Calibra¸

c˜

ao de Sistemas de Distribui¸

c˜

ao de ´

Agua

A constru¸cão de modelos numéricos de sistemas de abastecimento de água pressupõe uma série de aproxima¸cões àquelas que são as reais condi¸cões de funcionamento de uma rede. Os componentes de um sistema, tais como bombas e tubagens, são representados em mapas ou desenhos das instala¸cões. Por sua vez, estes últimos são convertidos em modelos, repletos de liga¸cões e nós, cujo comportamento é descrito através de diversas rela¸cões matemáticas [11]. Por isto, o sucesso da implementa¸cão de um modelo decorre essencialmente da qualidade destas aproxima¸cões que só pode ser conseguida à custa do processo de calibra¸cão. Este permite determinar com corre¸cão os dados de entrada a fornecer ao modelo hidráulico, através do ajuste de diversos parâmetros f´ısicos e operacionais, tais como:

• Rugosidade das tubagens;

• Necessidades de procura de ´agua (espacial/temporal);

• Coeficientes de válvulas reguladoras de pressão e bombas hidráulicas; • Pressão manométrica nos nós;

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Só assim é poss´ıvel aproximar os valores de pressão e caudal calculados aos valores me-didos numa rede de abastecimento de água. Calibrar um modelo é, por isto, uma tarefa bastante complexa cujo sucesso depende da disponibilidade, precisão e detalhe dos dados pass´ıveis de serem medidos, da transmissão e interpreta¸cão matemática dos mesmos e ainda dos mais diversos tipos de erros (sistemáticos ou aleatórios) que possam afetar a qualidade das informa¸cões recolhidas [2]. É um passo indispensável no processo de construir modelos ´

uteis e fiáveis de sistemas de distribui¸cão de água reais que permitam a procura por op¸cões de projeto mais eficientes ou melhorias no funcionamento de sistemas já existentes [11]. A ava-lia¸cão de perdas de água é um exemplo de uma forma privilegiada de identificar as situa¸cões mais graves de degrada¸cão precoce de infraestruturas, a carecer de interven¸cão.

Diversas metodologias de calibra¸cão de sistemas de abastecimento de água têm vindo a ser exploradas ao longo dos últimos anos por uma série de autores, tais como Walski [15] e Ormsbee [16], que são apresentados de seguida.

2.5.1 Estado-da-arte

Walski foi um dos precursores no desenvolvimento de metodologias de calibra¸cão de modelos hidráulicos. Apresentou, no ano de 1983, um conjunto de equa¸cões que permitem auxiliar a corre¸cão dos valores de rugosidade das condutas e as procuras de água a introduzir nos modelos hidráulicos [15]. Para se fazer uso destas fórmulas, o autor pressupõe a necessidade de observar os valores de pressão do sistema durante, pelo menos, duas taxas de utiliza¸cão diferentes. Adicionalmente, Walski considera a medi¸cão de dados feita em testes de escoamento em bocas-de-incêndio. Este é um dos primeiros trabalhos que surge sobre calibra¸cão de modelos de redes de abastecimento de água e, talvez por isso, considera um reduzido número de variáveis a corrigir. Apresenta uma metodologia bastante complexa e ainda muito centrada na vertente experimental.

Já em 1989, surge um outro trabalho, desenvolvido por Ormsbee, que apresenta um modelo matemático baseado no método da deriva¸cão impl´ıcita. A metodologia usa um algoritmo de otimiza¸cão não-linear, juntamente com um solver. Este último permite ajustar parâmetros do modelo selecionados para condi¸cões de funcionamento em estado dinâmico ou estacionário. De entre os parâmetros constavam a rugosidade das tubagens, a pressão manométrica e o caudal de água nos nós. Do trabalho consta um exemplo de calibra¸cão para cada tipo de estado de funcionamento (dinâmico e estacionário). No entanto, o modelo não é aplicado a uma rede real de abastecimento de água, mas sim a um exemplo de rede simplificado [16].

Em ambos os trabalhos apresentados por Walski e Ormsbee os métodos de otimiza¸cão escolhidos e aplicados na resolu¸cão das formula¸cões de calibra¸cão, eram métodos de natureza clássica.

No ano de 2002, surge um novo trabalho publicado por Ormsbee e seu colaborador, Lin-gireddy. Desta vez é apresentado um método de calibra¸cão baseado na otimiza¸cão de um algoritmo genético, que já se inclui na categoria dos métodos modernos [17]. São ainda apresentadas evolu¸cões ao n´ıvel dos parâmetros a calibrar pois, para além da corre¸cão dos coeficientes de rugosidade das condutas, a metodologia permite o ajuste da procura temporal e espacial de água. Consta ainda do trabalho a aplica¸cão do modelo a dois sistemas de distri-bui¸cão de água benchmark2. Num dos sistemas, o modelo é aplicado com vista a determinar

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os coeficientes de rugosidade dos tubos e a varia¸cão espacial da procura de água. No outro, é aplicado com vista a determinar a distribui¸cão temporal da procura de água, através de dados de telemetria do tanque. A metodologia acaba por se revelar incompleta por não incluir a determina¸cão de todos os parâmetros de um só sistema de distribui¸cão de água.

Em 2003 surge uma extens˜ao do programa ArcView GIS, a GISRed, totalmente orien-R

tada para a modela¸cão de redes de distribui¸cão de água. Desenvolvida por Mart´ınez e Bartolin [18], este programa surge da integra¸cão dos mecanismos de análise do simulador EPANET na tecnologia GIS3. Esta permite simular, analisar e devolver o estado atual de uma rede, sujeita a determinadas condi¸cões de funcionamento. Uma vez que tem por base a tecnologia GIS, as simula¸cões podem ter em conta caracter´ısticas geográficas, tais como a eleva¸cão do terreno, a varia¸cão da popula¸cão ou as poss´ıveis áreas de expansão. Para além disto, a aplica¸cão permite ao utilizador calibrar o modelo do sistema de abastecimento de água através de um módulo de otimiza¸cão que funciona de forma integrada com a extensão. Assim, é poss´ıvel obter um modelo calibrado, proveniente da base de dados GIS.

No ano de 2010, Takahashi apresenta uma metodologia de calibra¸cão com vista à dete¸cão de fugas de água por vazamento, assim como de eventuais liga¸cões à rede de abastecimento de ´

agua não previstas (ilegais) [19]. A metodologia visa a calibra¸cão dos parâmetros diâmetro e rugosidade das condutas, perdas de carga localizadas, procura de água nodal e perdas de água por vazamento. É implementado um algoritmo genético como algoritmo de otimiza¸cão que faz uso direto dos critérios hidráulicos para avan¸car no espa¸co das solu¸cões. A metodologia é testada num sistema real, na Colômbia, com resultados satisfatórios.

Em 2011, Laucelli et al. publicam mais um trabalho que caracteriza o processo de cali-bra¸cão como um problema a ser formulado e resolvido pela minimiza¸cão de diferentes tipos de erros relativos e absolutos de uma fun¸cão de otimiza¸cão multiobjectivo [20]. Os autores des-tacam como parâmetros a calibrar os coeficientes de rugosidade das tubagens, os coeficientes de duas válvulas por cada DMA (do inglês District Metered Area) e um fator de velocidade de uma bomba hidráulica. Neste trabalho é destacada uma análise topológica da rede que per-mite a decomposi¸cão e simplifica¸cão espacial da mesma, sem comprometer a fiel reprodu¸cão das reais condi¸cões de funcionamento. Para além disso, é empregue um algoritmo genético multi-objectivo (MOGA, do inglês Multi-Objective Genetic Alorithm) para a resolu¸cão da formula¸cão proposta. Este trabalho consegue avan¸car no número de parâmetros a calibrar simultaneamente e apresenta um método inovador no que toca à simplifica¸cão topológica da rede.

No ano de 2013, é publicado por Sanz e Pérez [21] um estudo que visa a calibra¸cão de sistemas de abastecimento de água através da análise dos padrões de consumo de água. Este tipo de dados é um dos parâmetros mais dif´ıceis de estimar dado o baixo número de sensores dispon´ıveis na maioria das redes reais. Assim, Sanz e Pérez apresentam uma metodologia que permite determinar os padrões de procura de água com base em dados históricos, fazendo uso de um método de decomposi¸cão em valores singulares (SVD, do inglês Single Value Decom-position). A metodologia é validada pela sua aplica¸cão a uma rede simplificada (benchmark ) e a uma rede real, da qual constam dados medidos.

No ano de 2014, Mastik and Oslfeld propõem um método de calibra¸cão baseado na corre¸cão de parâmetros referentes a perdas por vazamento em condutas de sistemas de abastecimento de água. Estas apresentam um forte impacto sobre o sistema, uma vez que podem representar

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GIS, do inglês Geographic Information System, é um sistema desenvolvido para capturar, armazenar, manipular, analisar e apresentar todos os tipos de informa¸cão espacial ou geográfica.

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entre 5% a 55% da totalidade da água transportada na rede. Por sua vez, relacionam-se com a pressão do sistema pela fórmula

qk−leak = βklkP_kαk, (2.19)

onde P é a pressão média e l o comprimento de cada conduta da rede e, α e β, os parâmetros a calibrar [22]. Este trabalho incide no estudo da rela¸cão destes parâmetros com a idade e a rigidez das condutas de transporte de água e utilizam o software EPANET, assim como um al-goritmo genético de otimiza¸cão para conseguir calibrar os modelos de uma rede de acordo com os dados medidos da mesma. Esta metodologia mostra-se bastante inovadora relativamente aos trabalhos apresentados anteriormente. No entanto, devido à sua especificidade, toma o seu valor como complemento de outras metodologias de calibra¸cão (restringe o processo de calibra¸cão a perdas por vazamento).

No mesmo ano, Morosini e seus colaboradores [23] vão um pouco mais além ao apresentar um método, denominado Bayesiano, para a dete¸cão de fugas por vazamento, através do processo de calibra¸cão. A metodologia utiliza um ´ındice µ que tem em conta a rugosidade das tubagens de modelos calibrados com e sem fugas. São ainda apresentados alguns exemplos de casos de estudo, onde esta metodologia é aplicada a redes simplificadas (benchmark ) na dete¸cão de fugas. No entanto, estes exemplos vêm refor¸car a dependência da quantidade e qualidade dos dados de entrada dos modelos na obten¸cão de bons resultados.

Para além dos trabalhos publicados, é poss´ıvel encontrar a aplica¸cão de algoritmos genéticos em calibra¸cão de sistemas de abastecimento de água no conjunto de programas comerciais Darwin Calibrator para WaterCAD [24]. Este programa utiliza os parâmetros rugosidade das condutas, procura de água e, mais recentemente, perdas por vazamento como variáveis a serem calibradas.

Surge ainda em 2014 um novo método para a calibra¸cão simultânea dos padrões de procura de água e coeficientes de Hazen-Williams [25]. Este faz uso de algoritmos de otimiza¸cão do tipo Colónia de Formigas (ACO) em conjunto com o simulador hidráulico EPANET2, através de um código MATLAB. Para além dos parâmetros a calibrar, o método faz uso de dados medidos do caudal e da pressão, ao n´ıvel dos nós das instala¸cões. O método é testado num exemplo de rede de duas malhas e numa rede de distribui¸cão de água real.

Alves e seus colabores [26] basearam-se num processo de tentativa erro de forma a tentar ajustar um modelo de uma pequena por¸cão de rede de distribui¸cão de água, situada na cidade de Castelo Branco, que revelava problemas de pressão. Deste trabalho resultou um modelo calibrado que possibilitou ditar medidas a tomar, com vista a resolver os problemas de pressão verificados na rede. No entanto, a metodologia de calibra¸cão utilizada passou por um processo de tentativa erro e, de uma forma geral, o trabalho desenvolvido lida com poucos dados, dada a por¸cão de rede analisada. Assim, verifica-se que a metodologia desenvolvida e apresentada neste trabalho ainda se encontra muito afastada de um processo geral de calibra¸cão.