Ao n´ıvel dos sistemas de abastecimento de ´agua, `a medida que as taxas de cobertura das in- fraestruturas se v˜ao aproximando dos seus limites poss´ıveis, assiste-se a uma evolu¸c˜ao da fase da constru¸c˜ao dos sistemas para a fase da sua gest˜ao. Come¸ca a ser dada maior importˆancia a quest˜oes de eficiˆencia e efic´acia, numa perspetiva de racionaliza¸c˜ao de investimentos e ava- lia¸c˜ao do seu retorno efetivo [1]. Mesmo ao n´ıvel da constru¸c˜ao de novos sistemas de abas- tecimento de ´agua, n˜ao ter em conta qualquer processo de otimiza¸c˜ao no seu planeamento resulta em sistemas ineficientes, baseados essencialmente na resposta imediata ao aumento da procura de ´agua por parte das popula¸c˜oes e ind´ustria.
Atualmente, os simuladores hidr´aulicos utilizados para a modela¸c˜ao de sistemas de abas- tecimento de ´agua reais n˜ao permitem a determina¸c˜ao das suas condi¸c˜oes ´otimas de funcio- namento ao n´ıvel do design, estruturas/componentes, assim como das condi¸c˜oes em que estes operam [4]. ´E por tudo isto que os processos de otimiza¸c˜ao s˜ao cruciais na gest˜ao e planea- mento deste tipo de sistemas.
Para formular e resolver problemas de otimiza¸c˜ao ´e essencial conhecer o significado de determinados parˆametros:
1. Fun¸c˜ao-objetivo: ´e a fun¸c˜ao que se pretende otimizar, podendo depender de uma ou mais vari´aveis. Geralmente, esta ´e representada por uma express˜ao anal´ıtica que permite o c´alculo de determinadas caracter´ısticas da fun¸c˜ao, tais como as suas derivadas. Podem tamb´em existir problemas perante os quais n˜ao ´e poss´ıvel reproduzir a fun¸c˜ao objetivo por meio de um pequeno conjunto de equa¸c˜oes. Este tipo de problemas, em que o acesso `
as equa¸c˜oes que reproduzem a fun¸c˜ao objetivo est´a limitado ou interdito, ´e vulgarmente designado de black box. O seu nome resulta da necessidade de fornecer vari´aveis a um programa que retorna o valor das fun¸c˜oes. A fun¸c˜ao objetivo pode, ainda, ser cont´ınua e, assim, diferenci´avel ou apresentar descontinuidades. Pode ser linear ou n˜ao-linear, como ´e o caso da maioria das fun¸c˜oes de problemas reais.
2. Vari´aveis de decis˜ao de otimiza¸c˜ao: correspondem aos parˆametros que se alteram du- rante a resolu¸c˜ao do problema, at´e ser encontrado o valor ´otimo pretendido. Conhecer as vari´aveis que levam `a minimiza¸c˜ao ou maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao ´e o objetivo do problema. 3. Restri¸c˜oes: correspondem a fun¸c˜oes de igualdade ou desigualdade, que a fun¸c˜ao objetivo deve respeitar. Podem tamb´em corresponder ao espa¸co de procura das vari´aveis de otimiza¸c˜ao.
4. Valor ´otimo: ´e o valor que se pretende encontrar, atrav´es das vari´aveis e restri¸c˜oes de otimiza¸c˜ao impostas. Corresponde a um ponto extremo, m´aximo ou m´ınimo da fun¸c˜ao objetivo. Estes podem ser extremos locais, ou seja, serem m´aximos ou m´ınimos da fun¸c˜ao num intervalo espec´ıfico pertencente ao dom´ınio da mesma, ou globais, corres- pondentes ao valor mais elevado ou mais baixo de toda a fun¸c˜ao. Assim o representa a Figura 2.8. Os pontos b e f representam m´aximos locais e d representa o m´aximo global no dom´ınio apresentado. Os pontos a e e representam m´ınimos locais e c o m´ınimo global.
Figura 2.8: Representa¸c˜ao dos extremos de uma fun¸c˜ao.
Assim, um problema de otimiza¸c˜ao ´e tipicamente definido pela minimiza¸c˜ao (ou maxi- miza¸c˜ao) de uma fun¸c˜ao, sujeita `a igualdade e/ou desigualdade de restri¸c˜oes. Geralmente, ´e expressa por:
min(ou max) f (x)
sujeito a gm(x) ≤ 0, m = 1, . . . , M,
hm(x) = 0, l = 1, . . . , L
(2.18)
onde x ´e o vetor das vari´aveis de otimiza¸c˜ao, cont´ınuo ou discreto, de dimens˜ao n; M e L s˜ao, respetivamente, o n´umero de restri¸c˜oes de desigualdade e igualdade que s˜ao imperativas no processo de otimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao-objetivo f . Estas restri¸c˜oes est˜ao, geralmente, relacionadas com os requisitos do sistema hidr´aulico, tais como as rela¸c˜oes da conserva¸c˜ao de energia e massa, parˆametros operacionais ou de design da rede e parˆametros dependentes da press˜ao manom´etrica.
Atualmente, n˜ao existe um algoritmo de otimiza¸c˜ao “perfeito” para este tipo de aplica¸c˜ao. A forma de atingir os melhores resultados pode, por vezes, surgir da combina¸c˜ao de diferentes algoritmos [3]. Atrav´es da utiliza¸c˜ao de mais do que um m´etodo de otimiza¸c˜ao, tal como a utiliza¸c˜ao de mais do que um algoritmo em paralelo, ou em cascata (sequencialmente), ou at´e mesmo da mistura de ambos, pode levar a melhores solu¸c˜oes.
Para a resolu¸c˜ao de problemas de otimiza¸c˜ao, podem ser aplicados m´etodos tradicionais de tentativa erro ou m´etodos de otimiza¸c˜ao mais efetivos. No entanto, em sistemas de abas- tecimento de ´agua, o processo de otimiza¸c˜ao por tentativa erro pode apresentar dificuldades dada a complexidade deste tipo de sistemas [4]. De entre os componentes e parˆametros a ter em conta nestes sistemas est˜ao: as bombas, v´alvulas e reservat´orios, as perdas de carga, as varia¸c˜oes de press˜ao e as necessidades de procura de ´agua. Por este motivo, tˆem vindo a ser explorados novos algoritmos de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear para aplica¸c˜ao neste tipo de processos. Os algoritmos de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear podem ser divididos em duas categorias: algorit- mos cl´assicos e algoritmos heur´ısticos.
2.4.1 M´etodos Cl´assicos
Os m´etodos cl´assicos de otimiza¸c˜ao baseiam-se essencialmente na avalia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao objetivo e/ou na avalia¸c˜ao das suas derivadas. Este tipo de m´etodos permite encontrar a posi¸c˜ao exata da solu¸c˜ao ´otima. No entanto, apenas garante que a solu¸c˜ao ´e a ´otima a n´ıvel local o que, por vezes, pode n˜ao coincidir com aquela que ´e a solu¸c˜ao ´otima global [14]. Apresentam a vantagem de requerer baixo custo computacional, no entanto, quando ´e necess´ario recorrer ao c´alculo de derivadas pode complicar o processo de otimiza¸c˜ao.
Assim, os m´etodos cl´assicos podem ser classificados em m´etodos de ordem zero, m´etodos de primeira ordem ou ainda m´etodos de segunda ordem, consoante o tipo de informa¸c˜ao que necessitam durante o processo de c´alculo [4]. Caso n˜ao recorram a qualquer derivada da fun¸c˜ao objetivo, s˜ao considerados de ordem zero. No caso de necessitarem de avaliar derivadas de primeira e/ou segunda ordem da fun¸c˜ao objetivo, s˜ao considerados de primeira e segunda ordem, respetivamente.
Deste grupo, fazem parte algoritmos do tipo programa¸c˜ao linear (LP), programa¸c˜ao n˜ao- linear (NLP), programa¸c˜ao inteira n˜ao-linear e programa¸c˜ao dinˆamica.
2.4.2 M´etodos Heur´ısticos
Os m´etodos de otimiza¸c˜ao heur´ısticos consistem em algoritmos explorat´orios, geralmente ba- seados em fen´omenos da natureza ou mesmo em inteligˆencia artificial, que permitem encontrar as melhores solu¸c˜oes poss´ıveis para problemas [3]. Dada a natureza deste tipo de m´etodos, estas solu¸c˜oes apresentam grande probabilidade de corresponderem a extremos globais.
Deste grupo de algoritmos, aqueles que s˜ao maioritariamente aplicados `a resolu¸c˜ao de problemas de otimiza¸c˜ao de sistemas de abastecimento de ´agua s˜ao os Algoritmos Gen´eticos (GA) e os Algoritmos Evolucion´arios (EA)[4]. No entanto, outras t´ecnicas tˆem vindo a ser desenvolvidas, tais como a otimiza¸c˜ao por enxame de part´ıculas (PSO), tabu search (TS), col´onia de formigas (ACO), recozimento simulado(SA), evolu¸c˜ao complexa baralhada (SCE) e procura de concordˆancia (HS).
Estes m´etodos apresentam a grande vantagem de n˜ao necessitarem do c´alculo de derivadas da fun¸c˜ao objetivo e n˜ao s˜ao dependentes dos valores iniciais das vari´aveis [3]. No entanto, quando comparados com os m´etodos cl´assicos, apresentam tempos de processamento mais elevados e implicam um maior n´umero de avalia¸c˜oes da fun¸c˜ao objetivo.