espectro de potência
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO E FERRAMENTAS 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1
Time [s] ×108 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 Amplitude Signal
Confidence interval limit
Figura 2.19: Aplicação do ‘noiseremoval’ sobre os quarters concatenados Q1-Q18 para a KIC 5307747. Os limites utilizados para retirar algumas dezenas de picos espúrios são marcados em vermelho. A área de validade para todo os demais trabalhos do programa é representado em cinza.
feita pelo usuário ao escolher o método de normalização, seja por divisão ou seja por diferenciação na entrada do código como pode ser visto na figura 2.19. Os desvios, por fim, são corrigidos pela escolha de valores de amostragem elevados da variável ‘oversample’ presente na segunda tarefa do LAURA, como veremos a seguir.
Um processo semelhante para a concatenação e retirada de dados ruins das curvas de luz pode ser visto em García et al. (2011). Talvez o mais referenciado e usado para esse caso. Nosso método apenas leva em consideração um simples intevalo de confiança para que dados de dois quarters adjacentes sejam tratados todos ao mesmo tempo ao contrário que no referido método levam se enconsideração vários erros fenomenológicos aplicando correções em séries menores de um mês de observação. Tais dados podem ser acessados no Kepler Asteroseismic Science Operations Center, KASOC15, em que o grupo dispõe de dados brutos ou mesmo das séries temporais já preparadas. Na figura 2.20 é possível verificar os resultados obtidos pelo LAURA e pelo método de García et al. (2011). Tomamos o cuidado de reduzir em algumas unidades a amplitude do LAURA, a fim de que os sinais não ficassem um sobre o outro.
Na etapa posterior à junção das curvas de luz sob os quarters, há duas sub-etapas opcionais: a primeira diz respeito a determinação do período de rotação e a segunda das propriedades globais sísmicas do alvo. Não se trata de algo obrigatório, sendo a primeira
etapa totalmente arquivada em disco caso o usuário necessite deste parâmetro. A curva de luz, agora em um espectro de potência, não será modificada.
10−2 10−1 100 101 102 Frequency[µHz] 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102 104 106 PSD[ppm 2/ µ Hz] KASOC LAURA
Figura 2.20: Espectro de potência da KIC 5000307 (Silva Aguirre et al., 2014) extraída do KASOC e a obtida pelo nosso método, aplicado um offset na vertical para melhor visualização. Nosso código suaviza os efeitos instrumetais nas regiões próximas a 0,1µHZ mantendo a mesma granulação e as propriedades asterossísmicas globais. A frequência máxima de oscilação é a mesma para ambas as curvas.
O periodograma e os valores de período de rotação
O arquivo anteriormente superamostrado, numa taxa de oversample escolhida, é agora solicitado a ser tratado por uma transformada de Lomb-Scargle. Todo o tratamento dos valores das efetivas faixas de determinação periódica segue os trabalhos de Zechmeister & Kürster (2009), Lomb (1976) e Scargle(1982).
Inicialmente, esta parte do código e seus cálculos foram efetivados apenas como uma curiosidade no tratado evolutivo do lítio com a rotação, o que, ao ser determinado, era relacionado com essa abundância. Com o passar da construção do LAURA preferimos não excluir, mas deixar ao usuário essa opção. Na figura 2.17, essa parte é vista no ramo superior direito em verde. O período de rotação oriudo da curva concatenada, ora já explicitada no nosso método, é rearranjada na filtragem de binaridade, retirando os valores espúrios e buscando uma periodicidade de sinal. Essa técnica já foi amplamente explorada nos trabalhos citados em tela. Suprimimos as ilustrações desta parte deixando para comentá-las nos referidos artigos e trabalhos.
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO E FERRAMENTAS
Obtenção dos parâmetros globais
Na seção 2.5.1 mostramos uma técnica amplamente usada no trato de uma das principais informações globais da estrela. A grande separação ∆ν. Uma outra abordagem e usada neste trabalho é usando lei de potência que este parâmetro tem com a frequência de máxima potência do perfil gaussiano na região de altas, isto é, o νmax. Esse método de procura por assinaturas da primeira pode ser realizado pelo fato de que osciladores do tipo solar seguem a seguinte relação de potência:
∆ν ∝ νmaxβ (2.39)
A vantagem deste método em detrimento ao anteriormente citado é o fato de restringir os valores esperados de ∆ν, dentro de um grupo de valores ora pré-estabelecidos. Assim, de acordo com valores já confirmados na literatura, usando as relações de escala, o escopo dessas duas variáveis sísmicas é dado por, conforme Stello et al. (2009) e Mathur et al.
(2010): h∆νi ' 134.9 νmax νmax, 0.8 (2.40)
Nesta parte do código, a série temporal será tratada pelo algoritmo de Levenberg- Marquardt (LMA)16, o qual é amplamente usado em estatística computacional pela robustez de otimização de curvas e extração de dados das mais variadas distribuições das quais não trataremos aqui. Mais detalhes em Madsen et al. (1999).
Basicamente, o usuário selecionará uma região no espectro de potência e o código executará uma minimização em χ2:
χ2 = N X i [ymeas i − yimodel]2 2 i (2.41) Em que ymeas
i , ymodeli e i são os dados medidos, os dados de um modelo mais estimado e as incertezas medidas, respectivamente.
A curva de tendência de um espectro de potência, ou seja, o modelo a ser usado na minimização, é geralmente formada por uma ou duas funções do tipo lorentziana e outra gaussiana, sendo esta representada na região de altas frequências, como vimos na figura 2.8. Este tipo de modelo é denominado Modelo de Harvey. Mais detalhes emHarvey et al. (1985), Harvey et al. (1992) e Kallinger et al. (2014).
A primeira análise busca numa distribuição de probabilidades desde o sinal devido 16https://lmfit.github.io/lmfit-py/intro.html
a atividade, se for o caso, até os princípios de granulação espectral a olho nu. A automatização do programa é restrita a esses cálculos e ainda não propomos uma automatização do tipo machine-learning17, o que deverá ser feito após a consolidação do uso do LAURA.
Vejamos a saída dos valores da análise da região de alta frequências com modelo gaussiano na figura 2.21. 1 [[ Fit S t a t i s t i c s ]] 2 # f i t t i n g m e t h o d = l e a s t s q 3 # f u n c t i o n e v a l s = 102 4 # d a t a p o i n t s = 7 6 2 3 5 # v a r i a b l e s = 3 6 chi - s q u a r e = 8 5 3 0 5 1 . 4 3 6 7 r e d u c e d chi - s q u a r e = 1 1 1 . 9 4 9 0 0 7 8 A k a i k e i n f o c r i t = 3 5 9 6 8 . 6 4 4 8 9 B a y e s i a n i n f o c r i t = 3 5 9 8 9 . 4 6 1 6 10 [[ V a r i a b l e s ]] 11 s i g m a : 1 9 . 9 1 4 8 9 3 5 +/ - 0 . 8 5 9 7 2 9 1 0 ( 4 . 3 2 % ) ( i n i t = 1 2 . 5 3 8 5 7 ) 12 c e n t e r : 8 7 . 5 0 0 0 0 0 9 +/ - 3 . 6 1 4 6 7 8 4 4 ( 4 . 1 3 % ) ( i n i t = 90) 13 a m p l i t u d e : 3 8 1 . 7 8 9 3 4 6 +/ - 1 2 . 6 8 7 2 3 3 9 ( 3 . 3 2 % ) ( i n i t = 6 8 5 1 . 3 2 2 ) 14 f w h m : 4 6 . 8 9 5 9 8 9 5 +/ - 2 . 0 2 4 5 0 7 2 8 ( 4 . 3 2 % ) == ’ 2 . 3 5 4 8 2 0 0 * s i g m a ’ 15 h e i g h t : 7 . 6 4 8 1 4 1 3 2 +/ - 0 . 2 0 9 1 3 6 0 1 ( 2 . 7 3 % ) == ’ 0 . 3 9 8 9 4 2 3 * a m p l i t u d e / max (1. e -15 , s i g m a ) ’ 16 [[ C o r r e l a t i o n s ]] ( u n r e p o r t e d c o r r e l a t i o n s are < 0 . 2 5 0 ) 17 C ( sigma , a m p l i t u d e ) = 0 . 7 7 4 18 19 20 1 0 0 . 0 0 % _ B E S T _ 6 8 . 2 7 % 9 5 . 4 5 % 9 9 . 7 3 % 1 0 0 . 0 0 % 21 c e n t e r : 8 7 . 5 0 0 0 7 + 0 . 0 2 1 4 4 + 0 . 0 8 4 3 7 + 0 . 1 8 8 9 7 + 0 . 5 2 2 6 8 22 a m p l i t u d e : 3 8 1 . 7 8 9 3 + 8 . 0 3 4 0 2 + 1 6 . 0 7 0 0 8 + 2 8 . 8 5 0 8 3 + 5 0 . 7 5 5 4 23 D e l t a N u : 6 . 9 8 8 9 0 3 7 7 9 5 8 5 4 0 8 24 N u m a x : 8 7 . 5 0 0 0 7 25 - - - - 26 51 27 [ 5 9 . 6 1 5 2 9 2 3 2 6 2 . 8 1 8 8 0 7 5 6 3 . 3 8 5 5 2 2 7 1 6 6 . 3 5 2 9 0 6 5 5 6 7 . 2 8 9 5 6 0 8 7 6 7 . 3 0 5 3 0 2 9 6 28 6 8 . 4 1 5 1 2 0 2 6 6 8 . 5 0 9 5 7 2 7 9 6 9 . 1 0 7 7 7 2 1 9 6 9 . 8 0 8 2 9 5 1 6 7 2 . 3 1 9 1 5 8 4 1 7 3 . 2 4 0 0 7 0 6 4 29 7 3 . 3 1 8 7 8 1 0 8 7 4 . 4 8 3 6 9 5 7 7 4 . 4 9 9 4 3 7 7 8 7 5 . 2 2 3 5 7 3 8 9 7 5 . 9 7 1 3 2 3 1 4 7 6 . 0 7 3 6 4 6 7 2 30 7 6 . 1 1 3 0 0 1 9 4 7 6 . 1 3 6 6 1 5 0 8 7 7 . 6 0 8 5 0 0 4 3 7 9 . 0 8 0 3 8 5 7 8 7 9 . 1 0 3 9 9 8 9 2 8 0 . 0 3 2 7 8 2 1 9 31 8 0 . 0 7 2 1 3 7 4 1 8 0 . 0 9 5 7 5 0 5 4 8 0 . 1 5 0 8 4 7 8 6 8 1 . 4 8 1 0 5 4 4 1 8 1 . 9 3 7 5 7 5 8 2 . 1 8 9 4 4 8 4 3 32 8 2 . 2 9 9 6 4 3 0 5 8 2 . 3 5 4 7 4 0 3 6 8 3 . 0 5 5 2 6 3 3 4 8 3 . 1 3 3 9 7 3 7 9 8 3 . 2 2 8 4 2 6 3 2 8 3 . 3 5 4 3 6 3 0 4 33 8 5 . 2 1 9 8 0 0 6 2 8 6 . 4 6 3 4 2 5 6 8 8 6 . 5 5 7 8 7 8 2 2 8 6 . 5 7 3 6 2 0 3 1 8 7 . 9 1 9 5 6 8 9 4 8 9 . 1 9 4 6 7 8 1 8 34 8 9 . 5 9 6 1 0 1 4 6 8 9 . 8 7 9 4 5 9 0 7 8 9 . 9 0 3 0 7 2 2 8 9 . 9 5 0 2 9 8 4 7 9 0 . 0 6 8 3 6 4 1 4 9 2 . 0 4 3 9 9 6 3 5 35 9 3 . 5 7 0 9 7 9 0 2 9 6 . 8 7 6 8 1 7 7 8 9 7 . 4 7 5 0 1 7 1 7 ] 36
Figura 2.21: Output do terminal da estatísitica da região de alta frequência com um modelo gaussiano determinado.
Nas linhas de 1 a 17 são realizadas as operações descritas usando a equação 2.41 e os devidos intervalos de confiança gerais. Adiante nas linhas 23 e 24 o código exporta os valores das variáveis globais sísmicas da estrela, as quais serão usadas nas relações de escala. Ressalta-se que os valores obtidos ai, são devido a escolha da região pelo usuário, o que pode parecer diferente numa segunda medição. Para contornar este percalço, determinamos que o mínimo do valor de entrada para o centro da gaussiana será a média dos intervalos escolhidos pelo usuário, assim, tiramos o viés da frequência de máxima potência. Nossos intensos usos durante o período dos nossos estudos verificaram que 17Aprendizado de máquina ou aprendizado automático que busca padrões em certos conjunto de dados.
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO E FERRAMENTAS
o intervalo de confiança fica 2.5 unidades de frequência para mais ou menos, a partir do qual o código tirará suas aproximações dentro desse intervalo de valores encontrados para ‘amplitude’ e ‘center’. Com isso, o código dá preferência ao tratamento local em detrimento do global, respeitada a equação 2.40. Isso se deve ao fato de que o LMA se baseia em um método de gradiente, no caso aqui as amplitudes de mínimo, passando pelo máximo e novamente pelo mínimo. Com isso, na linha 24 o valor corrigido de νmax é então guardado. Nas linhas 26 à 35 serão mostradas as frequências detectadas e a quantidade delas, as quais ainda precisarão ser corrigidas pelos efeitos de superfície.
Até aqui temos um robusto script que basicamente, extraí os dados sísmicos conforme citamos. Identificamos os valores de cada modo de oscilação, determinamos o período de rotação e, talvez, a atividade mais importante, a correção dos modos devido a efeitos de superfície.
Correções nas frequência devido aos efeitos de superfície
Modelos teóricos podem determinar um padrão significativo nos valores das frequências dos modos, uma vez que as quantidade νmax e ∆ν podem ser inseridas na entrada do código. Essa resposta é importante, pois a asterossismologia envolve a comparação delas com as frequências observadas. Nas camadas mais próximas da superfície da estrela, os modos tendem a sofrer um leve deslocamento lateral, o que é independente do número ou grau do modo, isto é, do l, como afirmaKjeldsen et al. (2008).
Outra constatação nas proximidades da superfície estelar é o grande crescimento da diferença entre valores observados e modelados a medida que a frequência aumenta. Em pulsadores evoluídos esse fenômeno é sútil, mas mesmo assim, valores significativos dessa diferença podem omitir efeitos de modos mistos, por exemplo.
As causas desses efeitos são basicamente as seguintes: nos modelos é quase impossível determinar com precisão os gradientes de temperatura, não são levadas em conta a pressão turbulenta e a estrutura da atmosfera estelar ainda é bastante desconhecida, o que torna difícil a modelagem. Rotação e campos magnéticos podem afetar também as propriedades das estruturas de equilíbrio, itens ainda complexos na inserção dos modelos, além ainda das teorias convectivas serem ineficientes para explicar as regiões proximas à superfície, como afirmaSonoi et al. (2015). Em outra palavras, o modelo trata a estrela como uma esfera super-simétrica enquanto sabemos que ela não é bem assim.
As modelagens inadequadas da superfície requerem parametrizações, a fim de evitar que as reais frequências dos modos sejam utilizadas sismicamente. O efeito de superfície ou termo de superfície pode ser minimizado com alguma correção matemática, seja por múltiplos ou séries de potência, ou mesmo suas combinações, como afirma Ball & Gizon
(2017). Para tal, usamos a relação: χ2 = 1 N N X i=1 νobs i − νimod i 2 . (2.42) em que νobs
i e νimod são as frequências observadas e modeladas, respectivamente, e i, as incertezas das medidas.
Semelhantemente à minimização utilizada na equação 2.41 que minimizava a diferença entre termos observados e modelados, a frequência corrigida agora é oriunda, além de avaliada para um conjunto N de modos, de uma correção de termos cúbico e inverso, denominado de correção combinada, na equação (4) emBall & Gizon (2017). A diferença a ser reduzida é: νobs− νmod = " a−1 νmod νac −1 + a3 νmod νac 3# .I−1 (2.43)
e que, por fim, se torna generalizada para qualquer modo das estrelas analisadas:
νn,lcorr = νn,l+ a3 1 En,l νn,l νac 3 + a−1 1 En,l νn,l νac −1 (2.44)
Os coeficientes a−1e a3 são determinados por uma regressão linear após a minimização, e νac é a frequência de corte, já definida na equação 2.38. A quantidade En,l é a inércia de um dado modo normalizada pela inércia da superfície I. Mais detalhes na seção 3.1 a partir deDi Mauro et al.(2018), em que aplicamos para KIC 4448777. Tal trabalho será discutido mais adiante.