Grau m´ odulo 2

Proposi¸c˜ao 1.3.9. Sejam X e Y variedades suaves de mesma dimens˜ao, onde X ´e uma variedade compacta com f, g : X → Y fun¸c˜oes suaves. Ent˜ao existe y ∈ Y tal que y ´e valor regular para f e g.

Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema de Sard, existe z valor regular de f em Y. Pela demons-tra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 4.4.15, existe V aberto tal que z ∈ V ⊆ Tr

i=1f(U_i) onde f|_Ui ´e um difeomorfismo com U_i vizinhan¸ca aberta de p_i em X e f(U_i) =V_i aberto de Y com U_i’s dois-a-dois disjuntos. Onde vale que para todo w ∈ V ⊆ Tr

i=1f(U_i) temos que

#f⁻¹(w) = #f⁻¹(z). Assim, todo ponto deV ´e valor regular para f.

ComoV ´e aberto em Y pelo teorema de Sard existe y∈V tal que y´e valor regular para

g, logoy ´e um valor regular para f eg.

Proposi¸c˜ao 1.3.10. Sejam f, g : X → Y fun¸c˜oes suavemente homot´opicas entre varie-dades de mesma dimens˜ao, onde X ´e uma variedade compacta sem fronteira.

Seja F :X×[0,1]→Y a homotopia entre f e g. Ent˜ao vale que

(i) Se y ´e valor regular de F ent˜ao #f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y) mod 2.

(ii) Se z ´e valor regular de f e g ent˜ao #f⁻¹(z)≡#g⁻¹(z) mod 2.

Demonstra¸c˜ao: Seja F : X×[0,1] → Y a homotopia entre f e g. Como [0,1] ´e uma variedade com bordo, segue da proposi¸c˜ao 4.4.20 que X ×[0,1] ´e uma variedade com bordo onde seu bordo ´e dado por ∂(X×[0,1]) =X× {0} ∪X× {1}.

(i) Suponha que y ´e valor regular de F. Segue que y tamb´em ´e valor regular para F|∂(X×[0,1]). Como F⁻¹(y)⊆ X×[0,1] ´e fechado, e X e [0,1] s˜ao compactos, temos que X×[0,1] ´e compacto, e segue que F⁻¹(y) ´e compacto. Como X×[0,1] ´e uma variedade com bordo, e y´e valor regular para F e F|∂X×[0,1], pelo lema 4.4.19 temos que F⁻¹(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional, logo F⁻¹(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional compacta. Al´em disso:

∂F⁻¹(y) =F⁻¹(y)∩∂(X×[0,1]) =F⁻¹(y)∩(X× {0} ∪X× {1}) =

=f⁻¹(y)× {0} ∪g⁻¹(y)× {1}

Segue que #∂F⁻¹(y) = #f⁻¹(y) + #g⁻¹(y). Como F⁻¹(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional compacta pelo teorema 4.4.21 temos que F⁻¹(y) possui um n´umero finito de componentes conexas homeomorfas a c´ırculos ou a intervalos fechados. Mas os extre-mos das componenetes conexas homeomorfas a intervalos fechados constituem o bordo

∂F⁻¹(y). Da´ı∂F⁻¹(y) possui um n´umero par de pontos ent˜ao #f⁻¹(y) e #g⁻¹(y) s˜ao finitos. Como #f⁻¹(y) + #g⁻¹(y) ´e um n´umero par segue que se #f⁻¹(y) ´e par (´ımpar), temos que #g⁻¹(y) ´e par (´ımpar). Assim, #f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y) mod 2 como desejado.

(ii) Vimos na proposi¸c˜ao 1.3.9 que existe tal valor regular z. Suponha que z ´e valor regular de f e g. Se z ´e um valor regular de F pelo item (i) temos o desejado. Suponha quez n˜ao ´e um valor regular deF. Pela proposi¸c˜ao 4.4.15 existem V1 e V2 abertos de Y tais que para todoa emV₁ temos que #f⁻¹(a) = #f⁻¹(z) e para todob emV₂ temos que

#g⁻¹(b) = #g⁻¹(z). Segue que V₁∩V₂ ´e um aberto de Y, assim pelo teorema de Sard, existey valor regular deF tal quey ∈V₁∩V₂. Segue do item (i) que #f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y) mod 2. Masy∈V₁∩V₂obtemos que #f⁻¹(y) = #f⁻¹(z) e #g⁻¹(y) = #g⁻¹(z). Obtemos portanto que #f⁻¹(z)≡#g⁻¹(z) mod 2, como desejado.

O lema a seguir ´e exatamente o item (ii) da proposi¸c˜ao anterior, destacamos ele abaixo por tradi¸c˜ao.

Lema 1.3.11. (de Homotopia)

Sejam f, g : X → Y fun¸c˜oes suavemente homot´opicas entre variedades de mesma di-mens˜ao, onde X ´e uma variedade compacta sem fronteira. Se y ´e valor regular de f e g

ent˜ao #f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y) mod 2.

Proposi¸c˜ao 1.3.12. Se z ∈ B(0,1) ⊆ Rⁿ ent˜ao existe um difeomorfismo ξ : Rⁿ → Rⁿ com ξ(0) =z tal que ξ ´e isot´opica `a identidade do Rⁿ, Id_Rⁿ.

Demonstra¸c˜ao: Existe uma fun¸c˜ao suave ψ :Rⁿ →R tal que ψ(x)>0 se x∈B(0,1)

ψ(x) = 0 se x /∈B(0,³₂)

Iremos considerar nossa ψ definida como ψ(x) =λ(³₂ − ||x||²) ondeλ(t) = 0 para t≤0 e λ(t) =e^−1t parat >0. Segue queψ´e suave, e portanto limitada, basta usar a compacidade da bolaB[0,³₂] e queψ ´e nula fora dessa bola. Seja c∈Sⁿ⁻¹ fixo e arbitr´ario, e considere a E.D.O. x⁰(t) =ψ(x(t))c. Note que o campoψ(·)c:Rⁿ →Rⁿ dado por ψ(x)c´e suave e limitado tamb´em, assim pelo teorema de existˆencia e unicidade, existe solu¸c˜ao x(t) para o problema de Cauchy dada porx⁰(t) =ψ(x(t))c ex(0) = x₀ qualquer que seja x₀ ∈ Rⁿ, e al´em disso a solu¸c˜ao ´e global, ou seja, a solu¸c˜ao est´a definida para todo t∈R.

Pelo teorema do fluxo local, podemos considerar o fluxoφ^c :R×Rⁿ→Rⁿsuave do campo ψ(·)c que possui as seguintes propriedades: φ^c_t :Rⁿ →Rⁿ ´e um difeomorfismo para todo t ∈ R, e φ^c_t+s = φ^c_t ◦φ^c_s. Observe que a fun¸c˜ao φ^c₀ :Rⁿ →Rⁿ ´e a identidade do Rⁿ, pois φ^c(0, x) =x.

Agora, fixado t ∈ R arbitr´ario, definimos G : Rⁿ×[0,1] → Rⁿ com G(x, s) = φ^c(ts, x), segue que G ´e suave. Note que G(x,0) = φ^c(0, x) = x = Id_Rⁿ(x) e G(x,1) = φ^c(t, x), assim G´e uma homotopia suave entre φ^c_t e a identidade do Rⁿ, mas como φ^c_r : Rⁿ→Rⁿ

´e um difeomorfismo para todo r∈R, temos que φ^c_t ´e isot´opica a identidade do Rⁿ. Pelo teorema de existˆencia e unicidade, para cadac∈Sⁿ⁻¹ existe uma trajet´oria do campo φ^c que passa por z ∈ B(0,1). Devido a simetria da esfera, existe d ∈ Sⁿ⁻¹ e t^∗ ∈ R tal queφ^d(t^∗,0) =z. Pelo par´agrafo anterior, temos que φ^d(t^∗,·) ´e isot´opica a identidade do

Rⁿ, e temos o desejado.

Lema 1.3.13. (de Homogeneidade)

Sejam y e z pontos arbitr´arios no interior de uma variedade suave e conexa Y. Ent˜ao existe um difeomorfismo h:Y →Y com h(y) =z que ´e isot´opica a identidade.

Demonstra¸c˜ao:

Afirma¸c˜ao (1) : Seja a um elemento fixo e arbitr´ario da variedade Y ent˜ao existe uma vizinhan¸caV dea tal que para todo a⁰ ∈V existe um difeomorfismo g com g(a) =a⁰ que

´e isot´opica a identidade.

De fato, seja a ∈ N, como Y ´e suave existe U vizinhan¸ca aberta de a em Y tal que h : U → Rⁿ ´e um difeomorfismo. Sem perda de generalidade podemos supor h(a) = 0.

Seja V = h⁻¹(B(0,1)) aberto em U, como U ´e aberto em Y, temos que V ´e aberto em Y.

Seja a⁰ ∈ V fixo e arbitr´ario segue que h(a⁰) ∈ B(0,1). Pela proposi¸c˜ao anterior, temos que existe ξ : Rⁿ → Rⁿ tal que ξ(0) = h(a⁰) tal que ξ ´e isot´opica a identidade do Rⁿ, ξ∼=Id.

Agora, lembre queh(a) = 0, assim ξ(h(a)) =ξ(0) =h(a⁰)

(h⁻¹◦ξ◦h)(a) =a⁰

Masξ ∼=Id,h∼=h e h⁻¹ ∼=h⁻¹ segue da proposi¸c˜ao 1.3.4 que h⁻¹◦ξ◦h∼=h⁻¹◦h=Id.

Definindog :=h⁻¹◦ξ◦h, pelo que fizemos acima temos queg(a) =a⁰ eg ∼=Id. Por fim, g ´e um difeomorfismo pois ´e a composi¸c˜ao de difeomorfismos, e vale a afirma¸c˜ao.

Dizemos quew₁ e w₂ pontos de Y s˜aopontos isot´opicos se existeg difeomorfismo com g(w₁) = w₂ tal que g ´e isot´opica a identidade, g ∼=Id. Denotamos por w₁ ∼ w₂ quando w₁ e w₂ s˜ao pontos isot´opicos.

Afirma¸c˜ao (2): ∼´e rela¸c˜ao de equivalˆencia

(Reflexividade) Sejaw∈Y considere g =Id assimg(w) =weg ∼=Id, e portantow∼w.

(Simetria) Sejam w₁ e w₂ em Y com w₁ ∼ w₂, assim existe g difeomorfismo tal que g(w₁) = w₂ com g ∼=Id. Como g⁻¹ ∼=g⁻¹ segue da proposi¸c˜ao 1.3.4 que Id =g⁻¹◦g ∼= g⁻¹ ◦Id = g⁻¹, e portanto Id ∼= g⁻¹ mas g⁻¹(w₂) = w₁ e g⁻¹ tamb´em ´e difeomorfismo, temos quew2 ∼w1.

(Transitividade) Sejamw1,w2 e w3 em Y e suponha w1 ∼ w2 e w2 ∼ w3. Assim existem g₁ e g₂ difeomorfismos tais que g₁(w₁) = w₂ e g₂(w₂) =w₃ com g₁ ∼= Id e g₂ ∼= Id. Pela proposi¸c˜ao 1.3.4 temos que g₂ ◦g₁ ∼= Id◦Id = Id, da´ıg₂◦g₁ ∼= Id. Defina g :=g₂◦g₁ temos queg(w₁) =w₃ eg´e um difeomorfismo portantow₁ ∼w₃ e temos o desejado. Vale a afirma¸c˜ao.

Assim ∼ quocienta Y em classes de equivalˆencias, digamos [w] := {x ∈ Y : x ∼ w}.

ComoY ´e conexo basta mostrar a seguinte Afirma¸c˜ao (3): [y] ´e um aberto fechado de Y.

([y] ´e aberto) Sejaw∈[y] fixo e arbitr´ario, temos quew∼y. Comow∈Y pela afirma¸c˜ao (1) temos que existeV_w aberto de Y tal que para todow⁰ ∈V_w temos quew⁰ ∼w. Como w∼ y temos que w⁰ ∼ y para todo w⁰ ∈ V_w. Assim, w ∈V_w ⊆[y]. Como w foi tomado arbitrariamente temos que [y] ´e aberto.

([y] ´e fechado) Seja b ∈[y] assim b_n →b quando n → ∞onde b_n ∈ [y] logo b_n ∼y para todo n ∈ N. Pela afirma¸c˜ao (1) existe Vb aberto de Y tal que para todo b⁰ ∈ Vb temos que b⁰ ∼ b. Por defini¸c˜ao de convergˆencia, existe n₀ ∈ N tal que para n ≥ n₀ temos que b_n ∈ V_b, assimb_n ∼ b. Como b_n ∼ y temos que b ∼ y, e b ∈ [y]. Portanto [y] ´e fechado.

Vale a afirma¸c˜ao.

Pela conexidade deY, temos que Y = [y], e temos o desejado.

Teorema 1.3.14. Sejam f : X →Y fun¸c˜ao suave entre variedades de mesma dimens˜ao onde X ´e uma variedade compacta sem fronteira e Y conexo.

Se y e z s˜ao valores regulares de f ent˜ao #f⁻¹(y)≡#f⁻¹(z) mod 2.

Seja n ∈ {0,1} tal que #f⁻¹(y) ≡ n mod 2 onde y ´e valor regular de f. Dizemos que n ´e a classe de res´ıduo de f. Essa classe de res´ıduo ´e denominada grau m´odulo 2 da fun¸c˜ao f denotamos como deg₂f e depende apenas da classe de homotopia de f. Demonstra¸c˜ao: Devemos mostrar que

(i) Sey e z s˜ao valores regulares de f ent˜ao #f⁻¹(y)≡#f⁻¹(z) mod 2.

(ii) Sef ´e homot´opica a g ent˜ao deg₂f ≡deg₂g mod 2.

(i) Sejam y ez valores regulares def. Pelo lema de Homogeneidade, existe um difeomor-fismo h: Y →Y com h(y) =z tal queh ´e isot´opica a identidade, id, em particular, h e id s˜ao homot´opicas, assim h 'id. Como h ´e um difeomorfismo, z ´e um valor regular de h◦f, segue que z ´e um valor regular de f e h◦f. Note que h ' id e f ' f ent˜ao pela proposi¸c˜ao 1.3.4 temos que h◦f ' id◦f = f, i.e., h◦f e f s˜ao homot´opicas. Estamos nas condi¸c˜oes do lema de Homotopia, assim

#(h◦f)⁻¹(z)≡#f⁻¹(z) mod 2

Mas (h◦f)⁻¹(z) = f⁻¹(h⁻¹(z)) = f⁻¹(y). Da´ı #f⁻¹(y)≡ #f⁻¹(z) mod 2, como dese-jado.

Definamos deg₂f ≡#f⁻¹(y) mod 2 para um y valor regular qualquer de f, o qual est´a

bem definido pelo que acabamos de fazer.

(ii) Suponha f homot´opica a g, pela proposi¸c˜ao 1.3.9 temos que existe z valor regular para f e g, pelo lema de Homotopia temos que #f⁻¹(z) ≡#g⁻¹(z) mod 2. Agora, z ´e valor regular para f, assim deg₂f ≡ #f⁻¹(z) mod 2; por outro lado z ´e valor regular para g logo deg₂g ≡#g⁻¹(z) mod 2 portanto deg₂f ≡deg₂g mod 2.

Vejamos algumas consequˆencias desse teorema.

Proposi¸c˜ao 1.3.15. SejamX eY variedades de mesma dimens˜ao tais queX ´e compacta e sem fronteira e Y ´e conexa. Valem os seguintes resultados:

(i) A fun¸c˜ao constante f : X → Y tal que f(x) = c∈ Y para todo x em X possui grau m´odulo 2 par, i.e., deg₂f ≡0.

(ii) Se X ´e conexo, ent˜ao a fun¸c˜ao identidade Id : X → X possui grau m´odulo 2

´ımpar, i.e., deg₂Id≡1.

(iii) Se X ´e conexo, ent˜ao a fun¸c˜ao constante f : X → X e a fun¸c˜ao identidade Id :X →X n˜ao s˜ao homot´opicas.

Demonstra¸c˜ao: (i) Basta observar que #f⁻¹(y) = 0 para todo y valor regular de f. Pelo teorema anterior, deg₂f ≡0 mod 2.

(ii) Como Id ´e uma bije¸c˜ao, temos que #Id⁻¹(y) = 1 para todo y ∈ X. Pelo teorema anterior, deg₂Id≡1 mod 2.

(iii) Suponha, por absurdo, quef eIdsejam homot´opicas, pelo teorema anterior, ter´ıamos que deg₂f ≡ deg₂Id mod 2, o que n˜ao ocorre por (i) e (ii). Logo f e Id n˜ao s˜ao

homot´opicas.

Seja Bⁿ a bola fechada de raio unit´ario e centrada na origem do Rⁿ. Mostramos utili-zando o teorema de Sard que n˜ao existe retra¸c˜ao da bola fechada na esfera. Vejamos a demonstra¸c˜ao desse mesmo teorema pela teoria de homotopia.

Lembre que dado F ⊆ E dizemos que uma fun¸c˜ao r : E → F ´e uma retra¸c˜ao se r ´e cont´ınua er(x) =x para todox em F.

Teorema 1.3.16. (do Ponto Fixo de Brouwer re-visitado) N˜ao existe retra¸c˜ao r:Bⁿ→ Sⁿ⁻¹.

Demonstra¸c˜ao: Suponha, por absurdo, que exista retra¸c˜ao r : Bⁿ → Sⁿ⁻¹ cont´ınua.

Assim,r(x) =xpara todox∈Sⁿ⁻¹, logor|_Sⁿ⁻¹ =Id_Sⁿ⁻¹ :Sⁿ⁻¹ →Sⁿ⁻¹comId_Sⁿ⁻¹(x) =

x. Note que r ´e uma extens˜ao de Id_Sⁿ⁻¹. Tomando X = Sⁿ⁻¹, pela proposi¸c˜ao 1.3.5 temos queId_Sⁿ⁻¹ ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao constante Sⁿ⁻¹ →c∈Sⁿ⁻¹, o que ´e um absurdo pelo item (iii) da proposi¸c˜ao anterior. Portanto n˜ao existe tal retra¸c˜ao, e temos

o desejado.