Prova do Teorema e Consequˆ encias

N´os iremos precisar do

Teorema 3.2.7. (Teorema de Sard) Sejam M e N variedades de dimens˜ao m e n res-pectivamente com f : M → N uma aplica¸c˜ao suave. Ent˜ao os valores cr´ıticos de f constituem um conjunto de medida nula em N.

Em consequˆencia, o conjunto dos valores regulares ´e denso em N.

Observa¸c˜ao 3.2.8. Lembre que paraXespa¸co topol´ogico um conjuntoAemX´e magro se Aest´a contido em uma uni˜ao enumer´avel de conjuntos raros (conjuntos cujo o interior do fecho ´e vazio). Como uni˜ao de enumer´aveis ´e enumer´avel, temos que a uni˜ao enumer´avel de magros ´e magro. Observamos tamb´em que se B contido em X ´e um conjunto aberto de X, e C ´e magro em B, ent˜ao C ´e magro em X.

O enunciado do nosso principal resultado ´e:

Teorema 3.2.9. (Teorema de Sard-Smale) Sejam X e Y variedades de Banach, e f : X → Y uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave. Ent˜ao o conjunto dos valores cr´ıticos de f ´e um conjunto de primeira categoria (magro) em Y.

Iremos fazer algumas simplifica¸c˜oes. Para cada x∈X existe (U_x, φ_x) carta em x tal que f(U_x) ⊆ V_f(x) em que (V_f(x), ψ_f(x)) ´e uma carta de Y em f(x). Note que ψ ◦f ◦φ⁻¹ : φ(U) → F ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm entre espa¸cos de Banach. Pelo corol´ario 3.2.6 podemos supor, sem perda de generalidade, queψ◦f◦φ⁻¹ :φ(U)→F ´e uma aplica¸c˜ao fechada.

Assim, para cada x ∈ X existe (U_x, φ_x) carta em x tal que f(U_x) ⊆ V_f(x) em que (Vf(x), ψf(x)) ´e uma carta de Y em f(x) eψx◦f ◦φ⁻¹_x :φx(Ux)→ F ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm fechada.

SejaC o conjunto dos pontos cr´ıticos def :X →Y. Para cadax∈Xexiste (Ux, φx) carta em x tal que f(U_x) ⊆ V_f(x) em que (V_f(x), ψ_f(x)) ´e uma carta de Y em f(x). Segue que X admite subcobertura enumer´avel, digamos X =Un≥1U_n pois X ´e segundo enumer´avel

onde (U_n, φ_n) carta emXtal quef(U_n)⊆V_nonde (V_n, ψ_n) ´e carta deY para todonemN. Segue queC =S

n≥1U_n∩C, definaC_n:=U_n∩C, dondef(C) = S

n≥1f(C_n). Note queC_n s˜ao os pontos cr´ıticos da aplica¸c˜ao g_n :=f|_Un :U_n →Y onde ψ_n◦f◦φ⁻¹_n :φ_n(U_n)→F

´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm fechada. Se mostrarmos que gn(Cn) ´e um magro em Y para todo n, temos que f(C) ´e magro em Y, pois ´e a uni˜ao enumer´avel de magros pela observa¸c˜ao anterior.

Continuamos com as redu¸c˜oes. Temos que para todonem Nvale queg_n(C_n) est´a contido em V_n aberto. Pela observa¸c˜ao, basta mostrarmos que o conjunto dos valores cr´ıticos da aplica¸c˜ao ˜g_n : U_n →V_n ´e magro em V_n onde ψ_n◦f◦φ⁻¹_n : φ_n(U_n)→F ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm fechada.

De fato, note primeiro que o conjunto dos pontos cr´ıticos de ˜g_n´eC_n, logo seu conjunto de valores cr´ıticos ´e dada por ˜g_n(C_n) = g_n(C_n). Se tivermos queg_n(C_n) ´e magro emV_n, como Vn ´e aberto em Y, segue que gn(Cn) ´e magro em Y, pela observa¸c˜ao. Para provarmos o Teorema de Sard-Smale, basta provarmos ent˜ao a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 3.2.10. SejamX eY variedades de Banach, (U, φ)carta emX, (V, ψ)carta em Y, e f :U →V uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave onde ψ◦f◦φ⁻¹ :φ(U)→F ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm fechada. Ent˜ao o conjunto dos valores cr´ıticos de f ´e um conjunto magro emV.

Nossa ´ultima redu¸c˜ao. Temos que φ(U) ´e um aberto de E, e ψ(V) ´e um aberto em F onde E e F s˜ao espa¸cos de Banach. Seja C o conjunto dos pontos cr´ıticos de f em U, temos que φ(C) ´e conjunto dos pontos cr´ıticos de (ψ ◦f ◦φ⁻¹) em φ(U). Para mostrar quef(C) ´e magro em V basta mostrar que (ψ⁻¹◦f◦φ)(φ(C)) ´e magro em F. Note que ψ⁻¹ ◦f ◦φ: φ(U)→F ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm fechada em queφ(U) ´e um aberto deE.

Devemos, portanto, nos restringir ao caso em quef :U →F ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm fechada onde U ´e aberto de E onde E e F s˜ao espa¸cos de Banach. Basta ent˜ao mostrar a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 3.2.11. SejamE e F espa¸cos de Banach com U aberto emE, e f :U →F uma aplica¸c˜ao de Fredholm, fechada e suave. Ent˜ao o conjunto dos valores cr´ıticos de f

´e um conjunto magro emF.

Observa¸c˜ao 3.2.12. Seja f : X → Y aplica¸c˜ao suave entre X e Y variedades de Ba-nach. Sabemos pelo teorema 2.1.34 que o conjunto dos operadores lineares, cont´ınuos e

sobrejetivos ´e aberto, isso implica que o conjunto dos pontos regulares de uma aplica¸c˜ao ´e aberto em X, e portanto o conjunto dos pontos cr´ıticos de uma aplica¸c˜ao ´e um conjunto fechado de X.

Estamos prontos para provar o Teorema de Sard-Smale:

Demonstra¸c˜ao: Sejam E eF espa¸cos de Banach comU aberto emE, e f :U →F uma aplica¸c˜ao de Fredholm, fechada e suave. DefinaC como o conjunto dos pontos cr´ıticos de f em U. Como C ´e um conjunto fechado, e f ´e fechada, temos que f(C) ´e um conjunto fechado emF. Iremos mostrar que int(f(C)) =∅, e portantof(C) ´e um conjunto magro.

Pelo teorema 3.2.4 sabemos que U = G(V) onde p ∈ U tal que m = dim ker(f⁰(p)) e n= dim(Coker(f⁰(p))) de forma que existem

(i) subespa¸cos fechados F₀ e E₀ de F e E respectivamente tais que E = E₀ ⊕R^m e F =F₀⊕Rⁿ;

(ii) um difeormorfismo local G : V → G(V) de F₀ ⊕R^m em E₀ ⊕R^m com p ∈ G(V) onde V e G(V) s˜ao abertos limitados;

(iii) uma aplica¸c˜ao ψ :V →Rⁿ suave tal quef ◦G(z, w) = (z, ψ(z, w)).

Veja figura abaixo:

Logo para todo (x, y)∈U =G(V)⊆E₀⊕R^m =Etemos quef(x, y)∈f(G(V)) e existem

´

unicos (z, w)∈ V ⊆ F₀ ⊕R^m tal que G(z, w) = (x, y). Mas (f ◦G)(z, w) = (z, ψ(z, w)) para (z, w) ∈ V. Temos que f(G(z, w)) = f(x, y) = (z, ψ(z, w)) onde y_w = w pois G

´e um difeomorfismo, segue que essa identifica¸c˜ao ´e uma bije¸c˜ao, e portanto f(x, y_w) = (z, ψ(z, w)).

Seja (u, v) ∈f(C) fixo e arbitr´ario, iremos mostrar que toda vizinhan¸ca de (u, v) possui valores regulares paraf.

SejaB((u, v), ε) vizinhan¸ca de (u, v) em F =F₀⊕Rⁿ. Temos que B_u((u, v), ε) :=B((u, v), ε)∩ {u} ⊕Rⁿ ´e aberto em {u} ⊕Rⁿ.

ComoC ⊆G(V) temos que existem (x₀, y₀)∈C ⊆G(V) tal quef(x₀, y₀) = (u, v). Donde existem (z₀, w₀) ∈ V ⊆ F₀ ⊕R^m tal que G(z₀, w₀) = (x₀, y₀). Segue que f(x₀, y_w0) = (u, v) = (z₀, ψ(z₀, w₀)), e assim u=z₀ e v =ψ(z₀, w₀).

Lembre que ψ : V → Rⁿ ´e uma aplica¸c˜ao suave tal que f ◦G(z, w) = (z, ψ(z, w)) onde V est´a contido em F0 ⊕R^m. Definimos a aplica¸c˜ao suave ˜ψ : {z0} ⊕R^m → {z0} ⊕Rⁿ dada por ˜ψ(z₀, w) := (z₀, ψ(z₀, w)). Como para cada (z₀, w) existe ´unico (˜x, y_w) tal que (z₀, ψ(z₀, w)) =f(˜x, y_w) temos que ˜ψ(z₀, w) =f(˜x, y_w).

Note que ˜ψ ´e uma aplica¸c˜ao suave entre variedades de dimens˜ao finita, e portanto vale o teorema de Sard. Temos que ψ(z₀, w₀) = ˜ψ(z₀, w₀) ∈ B_u((u, v), ε), pelo teorema de Sard, existew₁ ∈R^m tal que ˜ψ(z₀, w₁)∈B_u((u, v), ε) em que (z₀, w₁) ´e um ponto regular para ˜ψ, e portanto ´e um ponto regular para ψ. Donde (z₀, w₁) ´e um ponto regular para (f ◦G)(z, w) = (z, ψ(z, w)) para (z, w) ∈ V. Usando que G ´e um difeomorfismo temos que existe um ponto (˜x, y1) emU regular paraf tal que sua imagem est´a emB((u, v), ε).

Isso mostra que int(f(C)) = ∅, e portanto f(C) ´e um conjunto magro, o que prova o

Teorema de Sard-Smale.

Corol´ario 3.2.13. Se f : X → Y ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave com X e Y variedades de Banach ent˜ao para quase todo ponto y em Y temos que f⁻¹(y) ´e uma subvariedade de X.

Demonstra¸c˜ao: Segue diretamente do Teorema de Sard-Smale e do teorema 3.0.17 que afirma que imagem inversa de valor regular ´e uma subvariedade.

3.3 Transversalidade

O teorema de Sard-Smale possibilita um estudo da transversalidade em dimens˜ao infinita.

Iremos introduzir sua defini¸c˜ao, uma caracteriza¸c˜ao para aplica¸c˜oes transversais, e prova-remos o Teorema de Smale para Transversalidade. Considere f : X → Y uma aplica¸c˜ao suave entre variedades de Banach. No caso infinito, exigimos que aplica¸c˜ao seja suave e de

Fredholm; e estudamos a transversalidade def em uma subvariedade deY se a dimens˜ao dessa subvariedade for finita. Como toda aplica¸c˜ao suave entre variedades de dimens˜ao finita ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave, e a subvariedade deY tamb´em ´e exigida finita, temos que as defini¸c˜oes de transversalidade no caso finito e infinito coincidem.

Seja f : X → Y uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave entre variedades de Banach, e um mergulho g : M → Y de classe C¹ onde M ´e uma variedade m-dimensional. Dizemos que f ´e transversal a g (ou g ´e transversal a f) se para cada (x, y) ∈X×M tal que f(x) = g(y) temos que os subespa¸cos df(x)(T_xX) e dg(y)(T_yM) de T_f(x)Y s˜ao tais que df(x)(T_xX) +dg(y)(T_yM) = T_f(x)Y. Quando f ´e transversala g indicamos por f−

tg.

No caso acima, usando o teorema 3.0.15, temos que a imagem deM pelag ´e uma subva-riedade de Y de dimens˜ao finita, pois g ´e um mergulho e M possui dimens˜ao finita. Ou seja, a defini¸c˜ao de transversalidade em espa¸cos de Banach acima coincide com a defini¸c˜ao de transversalidade em dimens˜ao finita.

Lema 3.3.1. Sejam f : X → Y uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave entre variedades de Banach sobre E e F respectivamente, M uma variedade de dimens˜ao finita com g : M → Y um mergulho C¹, e seja (p, q) ∈ X × M tal que f(p) = g(q). Ent˜ao existe V vizinhan¸ca aberta de f(p) = g(q) em Y e Ψ : V → F₀ (onde F = F₀ ⊕F₁) tal que g(M)∩V = (π₀◦ψ)⁻¹(0) onde {0} ⊆F₀ ondeΨ := π₀◦ψ, e π₀ :F₀⊕F₁ →F₀ a proje¸c˜ao na primeira coordenada.

Demonstra¸c˜ao: Como g : M → Y ´e um mergulho e a dimens˜ao de M ´e finita segue do teorema 3.0.15 que g(M) ´e uma subvariedade de dimens˜ao finita de Y, digamos que sua dimens˜ao seja k. Segue do teorema tamb´em que existem carta (U, φ) em q de M tal que φ(U) ´e um aberto de F₁ = R^k, espa¸co de Banach de dimens˜ao finita k, e dado que g(q)∈g(M) existe carta (V, ψ) emg(q) = f(p) deY tal queψ(g(q)) = 0 eψ :V →V₀×V₁

´e um homeomorfismo em que V₀ e V₁ s˜ao conjuntos abertos de espa¸cos de Banach F₀ e φ(U) respectivamente tais que F =F₀⊕F₁.

Mais ainda, pela demonstra¸c˜ao do teorema 3.0.15 sabemos que para todog(y)∈g(M)∩V temos queψ(g(y)) = (0, φ(y)). Definimos ˆg :=ψ◦g◦φ⁻¹ :φ(U)→ {0} ×F1. Segue que ψ(g(U)) = {0} ×φ(U) ⊆ F. Vale tamb´em que ψ(g(M)∩V) = {0} ×φ(U). Note que ψ(g(M)∩V) =ψ(V)∩({0} ×R^k) onde{0} ⊆F₀. Como g ´e um mergulho, temos que ˆg

´e uma imers˜ao.

Seja π₀ : F₀ ⊕F₁ → F₀ a proje¸c˜ao na primeira coordenada. Note que π₀ ´e um operador linear, cont´ınuo e pois tanto F₀ quanto F₁ s˜ao fechados. Note que ψ⁻¹({0} × R^k) =

g(M)∩V = (π₀◦ψ)⁻¹(0) onde {0} ⊆F₀. Definimos Ψ :=π₀◦ψ :V →F₀.

Pela proposi¸c˜ao 3.1.7, como (V, ψ) ´e uma carta de Y, temos que ψ : V → V₀ ×V₁ ⊆ F

´e um difeomorfismo com sua imagem, e dψ_f(p) : T_f(p)Y → F ´e uma bije¸c˜ao linear. Pela mesma raz˜ao, como (g(M)∩V, ψ|_g(M)∩V) ´e uma carta deg(M), subvariedade de dimens˜ao k, temos que ψ|_g(M)∩V : g(M)∩V → {0} ×φ(U) ⊆ {0} ×R^k ´e um difeomorfismo com sua imagem, e dψ_g(q):T_g(q)M → {0} ×R^k ´e uma bije¸c˜ao linear.

Observamos tamb´em que Ψ ´e uma submers˜ao em q. De fato, lembramos que Ψ ´e uma aplica¸c˜ao de V para F₀ dada por π₀◦ψ : V → F₀. Usando que V e F₀ s˜ao variedades, e (V, ψ) ´e uma carta de V, e (F₀, Id_F0) ´e uma carta de F₀. Temos que a express˜ao local de Ψ ´e dada por Id_F0 ◦(π₀ ◦ψ)◦ψ⁻¹ = π₀ : V₀ ×V₁ → F₀. Como a proje¸c˜ao ´e uma

submers˜ao, temos o desejado.

Apresentamos agora uma vers˜ao da proposi¸c˜ao 1.6.4 para variedades de Banach.

Proposi¸c˜ao 3.3.2. Sejamf :X →Y uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave entre variedades de Banach sobre espa¸cos de BanachE eF respectivamente,M uma variedade de dimens˜ao finita com g : M → Y um mergulho C¹, e seja (p, q) ∈ X ×M tal que f(p) = g(q).

Suponha que exista V vizinhan¸ca aberta de f(p) = g(q) em Y e Ψ : V → F0 (onde F = F₀⊕F₁) tal que g(M)∩V = (π₀◦ψ)⁻¹(0) onde {0} ⊆ F₀. Seja (W, ξ) carta de p em X tal que f(W)⊆V onde Ψ :=π₀◦ψ, e π₀ :F₀ ⊕F₁ →F₀ a proje¸c˜ao na primeira coordenada. Ent˜ao

f−

tg se, e somente se, Ψ◦f ´e uma submers˜ao emp

Demonstra¸c˜ao: Seja (W, ξ) carta de p em X tal que f(W) ⊆ V. Temos que ˆf :=

ψ◦f ◦ξ : ξ(W) → F₀ ⊕F₁ ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm. Definimos Ψ◦f : W → F₀. Temos qued(Ψ◦f)_p :T_pX →F₀ n˜ao-necessariamente ´e um isomorfismo. Lembramos que f(p) = g(q), e dψ_f(p) :T_f(p)Y →F ´e uma bije¸c˜ao linear, e dψ_g(q) :T_g(q)M → {0} ×R^k ´e uma bije¸c˜ao linear. Al´em disso, observe que como T_qM tem dimens˜ao finita k, e T_g(q)M tem dimens˜ao finita k, dado que dg(q) ´e injetiva, temos quedg(q)(T_qM) = T_g(q)M. f−

tg em p ⇐⇒ df(p)(T_pX) +dg(q)(T_qM) =T_f(p)Y f −

t g em p ⇐⇒ dψ_f(p)·df_p ·(T_pX) +dψ_f(p) ·(T_g(q)M) = dψ_f(p)(T_f(p)Y), pois dψ_f(p) ´e

isomorfismo linear, segue que

Enunciamos a seguir o Teorema de Transversalidade de Smale, e analisamos as suas diferen¸cas e semelhan¸cas com a vers˜ao em dimens˜ao finita logo em seguida.

Teorema 3.3.3. (Teorema de Transversalidade de Smale) Sejam f : X → Y uma aplica¸c˜ao de Fredholm suave entre variedades de Banach eM uma variedade de dimens˜ao finita com g : M → Y um mergulho C¹. Ent˜ao existe uma aproxima¸c˜ao C¹ g˜ para g tal que g˜ ´e transversal a f. Mais ainda, se f ´e transversal a restri¸c˜ao de g a um conjunto fechado F de M ent˜ao poderemos escolher g˜tal que ˜g =g em F.

Observe que esse teorema generaliza em partes o Teorema de Transversalidade de Thom, teorema 1.6.14. Ambos os teoremas nos informam que a transversalidade ´e uma propri-edade densa em certo sentido. No Teorema de Thom, consideramos o espa¸co C^∞(X, Y) munido da topologiaC¹, e fixamos uma subvariedadeSemY, e mostramos que o conjunto das aplica¸c˜oeshemC^∞(X, Y) tais queh´e transversal aS´e denso emC^∞(X, Y). Por ou-tro lado, no Teorema de Smale, fixamos uma aplica¸c˜aof :X → Y suave e de Fredholm, e uma variedade M de dimens˜ao finita, e mostramos que o conjunto das aplica¸c˜oes J de C^∞(M, Y) tais que J −

t f ´e denso em C^∞(M, Y). De fato, seja g ∈ U aberto em C^∞(M, Y), pelo Teorema de Smale, existe ˜g aproxima¸c˜aoC¹ deg tal que ˜g−

tf e ˜g ∈U, e temos o desejado.

Demonstra¸c˜ao: Uma vez que X e Y possuem uma base enumer´avel de abertos, basta provar o resultado localmente. Seja (p, q)∈X×M tal quef(p) = g(q). Devemos mostrar que existe uma vizinhan¸ca ˜U de q tal que para todo ε >0 existe uma aproxima¸c˜ao-C¹ ˜g para g tal que f ´e transversal para ˜g|U˜.

Como g : M → Y ´e um mergulho e a dimens˜ao de M ´e finita segue do teorema 3.0.15

que g(M) ´e uma subvariedade de dimens˜ao finita de Y, digamos que sua dimens˜ao seja k. Segue do teorema tamb´em que existem carta (U, φ) em q de M tal que φ(U) ´e um aberto deF₁, espa¸co de Banach de dimens˜ao finitak, e dado queg(q)∈g(M) existe carta (V, ψ) em g(q) =f(p) de Y tal que ψ(g(q)) = 0 e ψ :V →V0 ×V1 ´e um homeomorfismo em que V₀ e V₁ s˜ao conjuntos abertos de espa¸cos de Banach F₀ e φ(U) respectivamente tais que F = F₀ ⊕ F₁; temos que ψ(g(U)) = {0} × φ(U) ⊆ F. Vale tamb´em que ψ(g(M)∩V) = ψ(g(U)).

Mais ainda, pela demonstra¸c˜ao do teorema 3.0.15 sabemos que para todog(y)∈g(M)∩V temos queψ(g(y)) = (0, φ(y)). Definimos ˆg :=ψ◦g◦φ⁻¹ :φ(U)→ {0} ×F₁.

Suponhamos que φ(U)⊆ A com A aberto em M. Seja γ : M →R uma aplica¸c˜ao suave tal que atribui valores 1 para elementos em φ(U) e 0 para elementos fora deA.

Seja π₀ : F₀ ⊕F₁ → F₀ a proje¸c˜ao na primeira coordenada. Note que π₀ ´e um operador linear, cont´ınuo e sobrejetor cujo o n´ucleo ker(π₀) =F₁ possui dimens˜ao finita, donde π₀

´e um operador de Fredholm.

Seja (W, ξ) carta depemX tal quef(W)⊆V. Temos que ˆf :=ψ◦f◦ξ⁻¹ :ξ(W)→F₀⊕ F1 ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm. Pelo Teorema do ´ındice 2.1.83 sabemos que composta de operadores de Fredholm ´e um operador de Fredholm, donde π₀◦fˆ:ξ(W)→F₀ ´e uma aplica¸c˜ao de Fredholm.

Veja figura abaixo:

Pelo Teorema de Sard-Smale, existez ∈F₀ valor regular paraπ₀◦fˆperto de 0∈F₀.

Tomandoz t˜ao pr´oximo de 0 quanto se queira, conclu´ımos que ˜gˆ´e uma aproxima¸c˜ao para ˆ

Planejamos o estudo a teoria do grau em dimens˜ao infinita como dire¸c˜ao para estudo em futuro pr´oximo, visto que esse campo tamb´em tem como fundamento o Teorema de Sard-Smale, devido ao pr´oprio Smale usando cobordismo em 1965, veja em [34].

Al´em das aplica¸c˜oes da pr´opria teoria do Grau em dimens˜ao infinita, como o Teorema da Invariˆancia do Dom´ınio para aplica¸c˜oes de Fredholm de ´ındice nulo injetivas provado primeiramente por Tromba em 1972, veja em [37]; e mais tarde, usando outra teoria do Grau (sem a id´eia de cobordismo, mas que tamb´em usa o Teorema de