2.4 Teorema da Aplica¸c˜ ao Impl´ıcita em Espa¸cos de Banach
2.4.2 Prova do Teorema da Aplica¸c˜ ao Impl´ıcita
Observe que os λij s˜ao cont´ınuos se, e somente se,λ ´e cont´ınua. Podemos reformular tal caso particular para as derivadas parciais no seguinte
Corol´ario 2.4.2. Seja U um aberto de E1 ×E2 e f : U → f1 ×f2 uma aplica¸c˜ao de classe Ck. Seja f = (f1, f2) representada pela suas fun¸c˜oes coordenadas f1 : U → F1 e f2 :U →F2. Ent˜ao para todo x∈U o operador linear Df(x)´e representado pela matriz
D1f1(x) D2f1(x) D1f2(x) D2f2(x)
!
Demonstra¸c˜ao: Basta aplicar o teorema anterior a cada uma das aplica¸c˜oes f1 e f2, e
usar a an´alise que fizemos acima.
2.4.2 Prova do Teorema da Aplica¸ c˜ ao Impl´ıcita
Provaremos agora o Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita.
Teorema 2.4.3. Sejam U e V abertos dos espa¸cos de Banach E e F respectivamente, e considere f : U ×V → G uma aplica¸c˜ao de classe Ck com G espa¸co de Banach. Seja (a, b)∈U×V e suponha queD2f(a, b) :F →G´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua. Considere f(a, b) = c. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao g : U0 → V de classe Ck onde a ∈ U0 e U0 ´e um aberto contido emU tal que g(a) =b e f(x, g(x)) =c para todo x∈U0.
Demonstra¸c˜ao: Come¸camos com a seguinte
Afirma¸c˜ao: Basta mostrar o teorema para o caso em que temos f : U ×V → F onde F =G com D2f(a, b) :F →F onde D2f(a, b) =IF.
De fato, suponha que valha a afirma¸c˜ao. Considere as hip´oteses do enunciado, defina λ := D2f(a, b) : F → G, e note que λ ´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua, da´ıλ−1 : G → F. Donde h := λ−1 ◦f : U ×V → F ´e de classe Ck. Segue Dh2(a, b) = (λ−1)0(f(a, b))◦ Df2(a, b) =λ−1◦D2f(a, b) =IF. Observe que estamos nas condi¸c˜oes da afirma¸c˜ao, assim existe ˜g : ˜U0 →V˜ tal que ˜g(a) =b e λ−1(f(x,g(x))) =˜ d onde λ−1(f(a, b)) =λ−1(c) = d para todox∈U˜0. Aplicando λ, temos que f(a, b) = c, o que prova a afirma¸c˜ao.
Suponhamos ent˜ao que f :U×V →F onde F =G com D2f(a, b) :F →F bije¸c˜ao onde D2f(a, b) = IF. Considere a aplica¸c˜aoφ:U×V →E×F dada porφ(x, y) = (x, f(x, y)).
Note que φ´e diferenci´avel e de classe Ck, pois suas fun¸c˜oes coordenadas o s˜ao.
A derivada de φ em (a, b) ´e representada pela matriz Dφ(a, b) = IE 0
D1f(a, b) D2f(a, b)
!
= IE 0
D1f(a, b) IF
!
em que Dφ(a, b)(v1, v2) = (v1, D1f(a, b)v1+v2) Afirma¸c˜ao Dφ(a, b) ´e uma bije¸c˜ao.
(Injetividade) Seja (v1, v2) e (w1, w2) emE×F tais queDφ(a, b)(v1, v2) =Dφ(a, b)(w1, w2).
Segue que
(v1, D1f(a, b)v1 +v2) = (w1, D1f(a, b)w1 +w2), e portanto v1 = w1 e v2 = w2, o que mostra a injetividade.
(Sobrejetiva) Seja (v, w)∈E×F. Note queDφ(a, b)(v,−D1f(a, b)v+w) = (v, D1f(a, b)v+
(−D1f(a, b)v+w)) donde temos queDφ(a, b)(v,−D1f(a, b)v+w) = (v, w), o que mostra a sobrejetividade.
Estamos nas condi¸c˜oes do Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, assim existem Z1 ×Z2 = Z aberto em U×V com Q e W abertos de E e F respectivamente tal que φ:Z →Q×W
´e um difeomorfismo de classe Ck onde (a, b) ∈ Z1 ×Z2 . Assim, φ(a, b) = (a, f(a, b)) ∈ Q×W segue que a ∈ Q e f(a, b) ∈ W. Seja ψ o difeomorfismo inverso de φ. Como φ(x, y) = (x, f(x, y)), temos que ψ(x, z) = (x, h(x, z)) onde h:Q×W →Z2. Mas ψ ´e de classe Ck, segue que h ´e de classe Ck.
Definimos g : Q → Z2 por g(x) = h(x, c) onde Q ´e um aberto de E e Z2 ´e um aberto contido em V, e lembre que b ∈Z2,a∈Q e f(a, b)∈W. Da´ıg ´e de classe Ck e
Vamos provar que f(x, g(x)) =cpara todo x∈Q. Note que
(x, f(x, g(x))) =φ(x, g(x)) = φ(x, h(x, c)) =φ(ψ(x, c)) = (x, c). Donde f(x, g(x)) =c, o que termina a prova.
Corol´ario 2.4.4. (Forma local das Submers˜oes para Espa¸cos de Banach) Sejam U e V abertos dos espa¸cos de Banach E e F respectivamente, e considere f : U × V → G uma aplica¸c˜ao de classe Ck com G espa¸co de Banach. Seja (a, b) ∈ U ×V e suponha que D2f(a, b) : F → G ´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua. Ent˜ao existem abertos Z em U ×V, a ∈ Q e f(a, b) ∈ W abertos de E e G respectivamente, e um difeomorfismo ψ :Q×W →Z de classe Ck tal que f(ψ(x, w)) =w para todo x∈Q e w∈W.
Demonstra¸c˜ao: Como fizemos antes, basta mostrarmos o teorema para o caso em que f :U ×V →F onde F =Gcom D2f(a, b) :F →F onde D2f(a, b) =IF.
Pela demonstra¸c˜ao do teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita temos que existem Z1 ×Z2 = Z aberto emU×V com QeW abertos deE eF respectivamente tal queφ :Z →Q×W ´e um difeomorfismo de classeCkonde (a, b)∈Z1×Z2. Assim,φ(a, b) = (a, f(a, b))∈Q×W segue que a∈Qe f(a, b)∈W. Seja ψ :Q×W →Z1×Z2 o difeomorfismo inverso de φ.
Comoφ(x, y) = (x, f(x, y)), temos que ψ(x, z) = (x, h(x, z)) ondeh:Q×W →Z2. Mas ψ ´e de classe Ck, segue que h ´e de classe Ck.
Considereψ :Q×W →Z1×Z2 ondeψ(x, z) = (x, h(x, z)). Para (x, w)∈Q×W temos que (x, w) =φ(ψ(x, w)) = φ(x, h(x, w)) = (x, f(x, h(x, w))) = (x, f(ψ(x, w))).
Logo f(ψ(x, w)) =w para todo (x, w)∈Q×W, e temos o desejado.
Corol´ario 2.4.5. (Forma local das Imers˜oes para Espa¸cos de Banach) Sejam E e F espa¸cos de Banach, comU aberto emE, eF =F1×F2, e f :U →F1×F2 uma aplica¸c˜ao suave com F1 e F2 fechados em F. Dado x0 ∈ U tal que f0(x0) : E → F1 × {0} ´e um isomorfismo linear com f(x0) = (0,0) ent˜ao existe um difeomorfismo h de um aberto de F1×F2 em um aberto de U ×F2 tal que h(f(x)) = (x,0).
Demonstra¸c˜ao: Sem perda de generalidade iremos supor que x0 = 0. Definimos a aplica¸c˜ao φ:U ×F2 →F1×F2 por φ(x, y2) =f(x) + (0, y2). Note que φ(x,0) = f(x), e φ(x, y2)0(v1, v2) = f0(x)v1+ (0, IF2)v2 dondeφ0(0,0)(v1, v2) =f0(0)v1+ (0, IF2)v2.
Como f0(0) ´e um isomorfismo linear com F1 × {0}, segue que φ0(0,0) ´e um ismorfismo e linear. Pelo teorema da aplica¸c˜ao inversa, existem V ×W vizinhan¸ca aberta de (0,0) em U ×F2 e um aberto Z := Z1 ×Z2 em F1 ×F2 tal que φ : V ×W → Z1 × Z2
´e um difeomorfismo. Seja h = φ−1 : Z → V ×W. Como φ(x,0) = f(x) temos que
(h◦f)(x) =h(φ(x,0)) = (x,0), e temos o desejado.
Variedades de Banach
Neste cap´ıtulo apresentamos a no¸c˜ao de variedade de Banach, bem como seus principais resultados. Em seguida, apresetamos a no¸c˜ao de derivada entre essas varie-dades, e definimos a aplica¸c˜ao de Fredholm entre variedades de Banach. Munidos dessa teoria estamos prontos para provar nosso principal resultado, o Teorema de Sard-Smale, que afirma que o conjunto dos valores cr´ıticos de uma aplica¸c˜ao suave e de Fredholm ´e magro.
Antes disso, exibimos um contra-exemplo devido a Bonic, que existe uma aplica¸c˜ao suave entre variedades de Banach, mas que seu conjunto dos valores cr´ıticos possui um conjunto aberto, e portanto o conjunto dos valores cr´ıticos n˜ao ´e um conjunto magro. Em seguida, provamos o Teorema de Sard-Smale.
Como aplica¸c˜ao desse Teorema, o Sard-Smale, provamos o Teorema de Trans-versalidade de Smale, que generaliza em certo sentido o Teorema de TransTrans-versalidade de Thom. Por fim, planejamos o estudo a teoria do grau em dimens˜ao infinita como dire¸c˜ao para estudo em futuro pr´oximo, visto que esse campo tamb´em tem como fundamento o Teorema de Sard-Smale. Al´em das aplica¸c˜oes da pr´opria teoria do Grau em dimens˜ao infinita, como o Teorema da Invariˆancia para aplica¸c˜oes de Fredholm de ´ındice nulo.
Defini¸c˜ao 3.0.6. Seja X um espa¸co topol´ogico de Hausdorff. Um atlas de classe Ck para k ≥0 sobre X ´e uma cole¸c˜ao de pares (Ui, φi) (com i indexado por um conjunto de
´ındices I) que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(i) Ui ´e um aberto de X para todo i∈I, e ∪i∈IUi =X.
(ii) φi :U →φi(Ui)´e um homeomorfismo sobre sua imagemφi(Ui) em que φi(Ui) ´e um aberto de algum espa¸co de vetorial Ei, e para quaisquer i e j temos que φi(Ui∩Uj)
´
e um aberto de Ei .
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(iii) Para todo i e j em I tais que Ui∩Uj 6=∅ temos que
φi◦φ−1j :φj(Ui∩Uj)→φi(Ui∩Uj)´e um homeomorfismo de classe Ck.
O par (Ui, φi) ´e chamada decarta deX, se x∈Ui dizemos que (Ui, φi) ´e uma carta em x.
Quando o espa¸co vetorialEi ´e o mesmo para todos os ´ındices i, dizemos que o atlas ´e um E-atlas.
Defini¸c˜ao 3.0.7. Dois atlas A e B de X classe Ck s˜ao compat´ıveis se A ∪ B ´e um atlas de X e classe Ck
Pode se mostrar que a rela¸c˜ao dada por A ∼ B se, e somente se, A e B s˜ao compat´ıveis
´e de equivalˆencia.
Defini¸c˜ao 3.0.8. Uma variedade de Banach de classe Ck ´e um par (X,[A]) onde X ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff conexo que satisfaz o segundo axioma de enume-rabilidade e[A] ´e a classe de equivalˆencia de um E-atlas e classe Ck onde E ´e um espa¸co de Banach.
Escreveremos X em vez de (X,[A]).
Defini¸c˜ao 3.0.9. Sejam X eY duas variedades de Banach de classe Ck com f :X →Y uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Dizemos quef ´e de classe Cp se para toda carta(U, φ)de X e (V, ψ)deY tal queU∩f−1(V)6=∅a aplica¸c˜ao dada porψ◦f◦φ−1 :φ(U∩f−1(V))→ψ(V)
´e de classeCp.
Quandof(U)⊆V denotaremos a aplica¸c˜ao ψ◦f ◦φ−1 :φ(U)→ψ(V) por fU,V :φ(U)→ψ(V).
E claro que a composi¸c˜´ ao de duas aplica¸c˜oes de classeCkentre variedades ´e uma aplica¸c˜ao de classeCk, pois ´e um resultado local, e j´a provamos isso nesse caso.
Defini¸c˜ao 3.0.10. SejamX eY duas variedades de Banach de classeCk comf :X →Y uma aplica¸c˜ao de classe Ck. Dado x∈X seja (U, φ) carta em x de X e (V, ψ) carta em f(x) de Y tal que f(U)⊆V.
(i) Dizemos que f ´e um imers˜ao em x se (fU,V)0(φ(x)) : E → F ´e uma aplica¸c˜ao injetora, onde E e F s˜ao espa¸cos de Banach.
(ii) Dizemos que f ´e um submers˜ao em x se (fU,V)0(φ(x)) : E →F ´e uma aplica¸c˜ao sobrejetora, onde E e F s˜ao espa¸cos de Banach.
Teorema 3.0.11. (Forma local das submers˜oes para Variedades de Banach) Sejam X e Y duas variedades de Banach de classe Ck com f : X → Y uma aplica¸c˜ao de classe Ck tal quef ´e uma submers˜ao emp. Ent˜ao existem cartas(U, φ)em pdeX comφ(U)aberto em E˜ e (V, ψ) em f(p) de Y com ψ(V) aberto em F tal que φ : U → Q×ψ(V) com Q aberto em E1 tal que ψ◦f ◦φ−1(x, w) = w para todo (x, w) ∈Q×ψ(V) em que E˜ e F s˜ao espa¸cos de Banach onde E˜ =E1×F com E1 espa¸co de Banach.
Demonstra¸c˜ao: Seja p ∈ X seja (U, φ) carta em p de X e (V, ψ) carta em f(p) de Y tal que f(U) ⊆ V onde φ(U) ´e um aberto de E e ψ(V) ´e um aberto de F em que E e F s˜ao espa¸cos de Banach. Como f ´e uma submers˜ao em p, por defini¸c˜ao, temos que (fU,V)0(φ(x)) : E → F ´e uma aplica¸c˜ao sobrejetora, onde E e F s˜ao espa¸cos de Banach com fU,V : φ(U)→ F aplica¸c˜ao de classe Ck. Assim, dimE ≥ dimF, segue que podemos escrever E como E =E1⊕E2 tal que E1 e E2 s˜ao espa¸cos de Banach onde E2
´e isomorfo a F via bije¸c˜ao linear cont´ınua entre espa¸cos de Banach. Donde D2fU,V ´e um isomorfismo. Temos queφ(p) = (a, b)∈ E1⊕E2, onde φ(U) = U1×U2 abertos em E1 e E2 respectivamente.
Pela Forma Local das Submers˜oes para Espa¸cos de Banach, temos que existemZ =Z1×Z2 aberto em U1 ×U2 = φ(U), a ∈ Q aberto em E1 e fU,V(a, b) ∈ W aberto em F, e um difeomorfismoθ :Q×W →Z de classeCk tal que fU,V(θ(x, w)) =w para todo x∈Q e w∈W.
Como ψ(V) ´e um aberto de F tal que ψ(f(p)) ∈ ψ(V) e p = φ−1(a, b), temos que W 3fU,V(a, b) = ψ(f(φ−1(a, b)))∈ψ(V). RestringindoW, se necess´ario, podemos tomar o abertoW contido em ψ(V), e note que Z ´e aberto em φ(U).
Segue que (VW,ψ) := (ψ˜ −1(W), ψ|ψ−1(W)) ´e uma carta em f(p) de Y,
e (UZ,φ) := (φ˜ −1(Z), φ|φ−1(Z)) ´e uma carta de p em X tal que f(UZ) ⊆ VW. Note que ψ(V˜ W) = W.
RestringindoQ se necess´ario para queQ⊆Z1 temos ainda que θ :Q×ψ(V˜ W)→Z com fU,V(θ(x, w)) =w para todo x ∈Q e w∈ψ(V˜ W). Como θ ´e difeomorfismo de classeCk, temos queθ−1 :Z →Q×ψ(V˜ W) ´e um difeomorfismo de classe Ck.
Mas ψ◦f ◦φ−1(θ(x, w)) = fU,V(θ(x, w)) = w para todo x ∈ Q e w∈ ψ(V˜ W). Note que φ−1◦θ :Q×ψ(V˜ W)→UZ. Defina ξ :=θ−1◦φ :UZ →Q×ψ(V˜ W) donde (ξ, UZ) ´e uma
carta de X tal que
ψ◦f◦φ−1(θ(x, w)) =fU,V(θ(x, w)) =w donde
ψ◦f◦ξ−1(x, w) = w, e temos o desejado.
Teorema 3.0.12. (Forma Local das Imers˜oes para Variedades de Banach) Sejam X e Y duas variedades de Banach com f : X → Y uma aplica¸c˜ao suave, carta (U, φ) em p de X em que φ(U) ´e aberto em E, e carta (V, ψ) em f(p) de Y com ψ(V) aberto em F tal que f(U) ⊆ V. Suponha que a aplica¸c˜ao f˜:= ψ ◦f ◦φ−1 : φ(U) → F ´e uma imers˜ao em φ(p), donde f˜0(φ(p)) : E → F ´e injetora. Seja F1 a imagem de f˜0(φ(p))(E) e subespa¸co fechado deF, F2 subespa¸co fechado de F tais que F =F1⊕F2. Ent˜ao existe um homeomorfismo ξ:V → φ(U)×F2 de V com sua imagem, um aberto de φ(U)×F2, tal que ξ◦f ◦φ−1 :φ(U)→φ(U)×F2 dada por x7→(x,0) para todo x∈φ(U).
Demonstra¸c˜ao: Segue que ˜f0(φ(p)) :E →F1× {0}´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua. Sem perda de generalidade, podemos supor ˜f(p) = (0,0), basta transladar a carta (V, ψ). Pela forma local das imers˜oes para espa¸cos de Banach existe um difeomorfismohde um aberto deF1×F2 em um aberto de φ(U)×F2 tal que h( ˜f(x)) = (x,0).
Assim,h◦(ψ◦f◦φ−1) :φ(U)→φ(U)×F2 dada porx7→(x,0) ´e a aplica¸c˜ao de inclus˜ao.
Definindoξ :=h◦ψ, temos o desejado.
Defini¸c˜ao 3.0.13. Seja X uma variedade de Banach sobre um espa¸co de Banach E, e Y um subconjunto de X. Dizemos que Y ´e umasubvariedade de X se para cada y∈Y existe uma carta (V, φ) em y de Y tal que φ : V → V1 ×V2 ´e um homeomorfismo em queV1 e V2 s˜ao conjuntos abertos de espa¸cos de BanachE1 e E2 respectivamente tais que E =E1⊕E2 onde
φ(Y ∩V) =V1× {a2} para algum pontoa2 deV2. Fazendo transla¸c˜oes, sempre poderemos considerar a2 = 0 ∈ V2. Definindo φ˜= φ|Y∩V : Y ∩V → V1 temos que φ˜ tamb´em ´e um homeomorfismo.
Note que a cole¸c˜ao de pares (Y ∩V,φ)˜ obtidos da maniera acima constitui um atlas de Y de classe Ck. Dizemos que (Y ∩V,φ)˜ ´e uma carta da subvariedade Y.
Defini¸c˜ao 3.0.14. SejamX eY duas variedades de Banach, eW um subconjunto de X, e f :W →Y uma aplica¸c˜ao de classe Ck. Dizemos que f ´e um mergulho em Y se
(i) f ´e um imers˜ao em W
(ii) f ´e homeomorfismo de W com f(W)
Teorema 3.0.15. SejamM eY variedades de Banach, ef :M →Y um mergulho suave.
Se M possui dimens˜ao finita ent˜ao f(M)´e uma subvariedade de dimens˜ao finita de Y. Demonstra¸c˜ao: Temos que f ´e um imers˜ao em M, e f ´e homeomorfismo de M com f(M). Para cada p∈M existe uma carta (U, φ) em pde M em que φ(U) ´e aberto em E espa¸co de Banach de dimens˜ao finita, e carta (V, ψ) em f(p) de Y comψ(V) aberto emF tal quef(U)⊆V. Comof´e imers˜ao temos que ˜f :=ψ◦f◦φ−1 :φ(U)→F ´e uma imers˜ao em φ(p), donde ˜f0(φ(p)) :E →F ´e uma aplica¸c˜ao linear, cont´ınua e injetora. Segue que a imagem F1 := ˜f0(φ(p))(E) possui dimens˜ao finita em F pois E possui dimens˜ao finita.
Pelo teorema 2.1.48 temos podemos escreverF como soma direta deF1 eF2 em queF1 e F2 s˜ao subespa¸cos fechados, ou seja, F =F1⊕F2. Donde ˜f0(φ(p)) :E →F1× {0}´e um homeomorfismo linear, e podemos identificarE com F1, assim E ∼=F1.
Pelo teorema das formas locais das imers˜oes em variedades de Banach, existe um home-omorfismo ξ :V → φ(U)×F2 de V com sua imagem, um aberto de φ(U)×F2, tal que ξ◦f ◦φ−1 : φ(U) → φ(U)×F2 dada por x 7→ (x,0) para todo x ∈ φ(U). Usando que E ∼=F1 temos que (ξ, V) ´e uma carta de Y.
Note que para y = φ−1(x) ∈ U onde x ∈ φ(U) temos que ξ(f(y)) = ξ◦f ◦φ−1(x) = (x,0) = (φ(y),0).
Segue queξ(f(U)) =φ(U)× {0} ⊆E×F2 ∼=F1×F2 =F.
Comof ´e homeomorfismo de M com f(M), temos que f(U) ´e aberto emf(M). Assim, existe ˜V aberto de Y tal quef(U) = ˜V ∩f(M). Suponhamos sem perda de generalidade que ˜V =V. Assim,
ξ(V ∩f(M)) = ξ(f(U)) =φ(U)× {0} ⊆E× {0} ∼=F1× {0} ⊆F
Dondef(M) ´e uma subvariedade de dimens˜ao finita de Y, e temos o desejado.
Defini¸c˜ao 3.0.16. SejamX eY duas variedades de Banach de classeCk comf :X →Y uma aplica¸c˜ao de classe Ck.
(i) Dizemos que p∈X ´e ponto regular para f se f ´e uma submers˜ao em p.
(ii) Um ponto q ∈Y ´e um valor regular para f se para todo p∈ f−1(q) temos que p
´
e um ponto regular.
(iii) Dizemos que p∈X ´e ponto cr´ıtico paraf se p n˜ao ´e um ponto regular.
(iv) Um ponto q∈Y ´e um valor cr´ıtico para f se q n˜ao ´e valor regular.
Segue da defini¸c˜ao que se q ∈Y e f−1(q) =∅ ent˜aoq ´e um valor regular.
Teorema 3.0.17. SejamX eY duas variedades de Banach de classeCk comf :X →Y uma aplica¸c˜ao de classeCk, e c∈Y valor regular def. Ent˜aof−1(c)´e uma subvariedade de classe Ck de X.
Demonstra¸c˜ao: Sejap∈f−1(c). Temos quef ´e uma submers˜ao emp, segue do teorema 3.0.11 que existem cartas (U, φ) em p de X com φ(U) aberto em ˜E e (V, ψ) em f(p) =c de Y com ψ(V) aberto em F tal que φ : U → Q×ψ(V) com Q aberto em E1 tal que ψ◦f◦φ−1(x, w) =w para todo (x, w)∈Q×ψ(V) em que ˜E eF s˜ao espa¸cos de Banach onde ˜E =E1×F comE1 espa¸co de Banach. Por uma transla¸c˜ao podemos suporψ(c) = 0.
Note que
φ(U ∩f−1(c)) = (ψ ◦f ◦φ−1)−1(0) = φ(U)∩(E1× {0}F) = Q× {0}F, donde f−1(c) ´e uma subvariedade de classeCk deX, e temos o desejado.
3.1 A Derivada
Seja X uma variedade de Banach de Classe Ck com k ≥ 1 sobre um espa¸co de Banach E. Seja p∈X. Definimos:
Ap :={(U, φ, v) : (U, φ) ´e uma carta de pe v ∈E}
Note que rela¸c˜ao (U, φ, v)∼p (V, ψ, w) dada porD(ψ◦φ−1)(φ(p))v =w´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em Ap. Segue diretamente da regra da cadeia.
Observamos que
(1) Dada uma tripla (U, φ, v) em Ap, e dada uma carta (V, ψ) de pem X temos que (U, φ, v)∼p (V, ψ, D(ψ◦φ−1)(φ(p))(v)).
(2) Temos que (U, φ, v1)∼p (U, φ, v2) se, e somente se, v1 =v2.
Defini¸c˜ao 3.1.1. O espa¸co tangente de X no ponto p´e o quocienteTpX :=Ap/∼p.
Os elementos de TpX s˜ao chamandos de vetores tangentes.
Denotamos por [U, φ, u]p a classe de equivalˆencia de (U, φ, u) em TpX.
Pelas observa¸c˜oes anteriores temos que para todo (V, ψ, v) em Ap, e toda carta (U, φ) de
pem X temos que [V, ψ, v]p = [U, φ, D(φ◦ψ−1)(ψ(p))(v)]p. Com [U, φ, v1]p = [U, φ, v2]p se, e somente se,v1 =v2. Segue que dada uma carta (U, φ) de X em p a aplica¸c˜ao:
Θ(U,φ)p :TpX →E dada por [U, φ, u]p 7→u est´a bem definida e ´e uma bije¸c˜ao.
Iremos mostrar agora que TpX ´e um espa¸co vetorial e Θ(U,φ)p ´e uma bije¸c˜ao linear.
Lema 3.1.2. Seja X variedade de Banach de classe Ck com (U, φ) e (V, ψ) cartas de p em X ent˜ao
Θ(U,φ)p ◦(Θ(V,ψ)p )−1 =D(ψ◦φ−1)(φ(p))
Em particular, D(ψ ◦φ−1)φ(p) ´e um isomorfismo linear cont´ınuo, pois ´e a composta de bije¸c˜oes.
Demonstra¸c˜ao: Seja u∈E. Temos que Θ(V,ψ)p ◦(Θ(U,φ)p )−1u= Θ(V,ψ)p ([U, φ, u]p), usando a observa¸c˜ao anterior temos que [U, φ, u]p = [V, ψ, D(ψ◦φ−1)(φ(p))(u)]p.
donde Θ(V,ψ)p ([V, ψ, D(ψ◦φ−1)(φ(p))(u)]p) =D(ψ◦φ−1)(φ(p))(u), como desejado.
Proposi¸c˜ao 3.1.3. Seja X variedade de Banach de classe Ck com p∈ X onde E ´e um espa¸co de Banach sobre o corpo K. Ent˜ao o espa¸co tangente TpX possui uma estrutura canˆonica de espa¸co vetorial sobre o corpo K.
Demonstra¸c˜ao: Dada uma carta (U, φ) deX emptemos que a aplica¸c˜ao Θ(U,φ)p :TpX → E dada por [U, φ, u]p 7→ u ´e uma bije¸c˜ao. Iremos usar essa aplica¸c˜ao para definir uma estrutura de espa¸co vetorial da seguinte maneira:
Dadosu, v ∈TpX com α e β em K definimos αu+βv := (Θ(U,φ)p )−1(αΘ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v))
Vamos verificar que essa defini¸c˜ao ´e independente da carta usada.
Seja (V, ψ) carta de p em X. Note que as seguintes senten¸cas s˜ao equivalentes:
(Θ(U,φ)p )−1(αΘ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v)) = (Θ(V,ψ)p )−1(αΘ(V,ψ)p (u) +βΘ(V,ψ)p (v))
⇔
αΘ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v) = (Θ(U,φ)p )(Θ(V,ψ)p )−1(αΘ(V,ψ)p (u) +βΘ(V,ψ)p (v)) Pelo Lema temos que Θ(U,φ)p ◦(Θ(V,ψ)p )−1 ´e uma bije¸c˜ao linear, da´ı
⇔
αΘ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v) =αΘ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v), que ´e o caso, ent˜ao temos o desejado.
Corol´ario 3.1.4. Sejam (U, φ) carta de X em p e a aplica¸c˜ao Θ(U,φ)p : TpX → E dada por [U, φ, u]p 7→u. Ent˜ao
(i) Θ(U,φ)p ´e uma bije¸c˜ao linear.
(ii) Sejam [U, φ, u]p e [U, φ, v]p em TpX com β em K ent˜ao [U, φ, u]p +β[U, φ, v]p = [U, φ, u+βv]p.
Demonstra¸c˜ao: (i) Dados u, v ∈TpX com β em K. Pela proposi¸c˜ao anterior temos que u+βv := (Θ(U,φ)p )−1(Θ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v)). Segue que
Θ(U,φ)p (u+βv) = Θ(U,φ)p ((Θ(U,φ)p )−1(Θ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v))) =
= Θ(U,φ)p (u) +βΘ(U,φ)p (v), o que prova que Θ(U,φ)p ´e linear.
(ii) Sejam [U, φ, u]p e [U, φ, v]p em TpX com β em K. Por (i) temos que
Θ(U,φ)p ([U, φ, u]p+β[U, φ, v]p) = Θ(U,φ)p ([U, φ, u]p) +βΘ(U,φ)p ([U, φ, v]p) =u+βv =
= Θ(U,φ)p ([U, φ, u+βv]p).
Assim, Θ(U,φ)p ([U, φ, u]p+β[U, φ, v]p) = Θ(U,φ)p ([U, φ, u+βv]p). Como Θ(U,φ)p ´e bije¸c˜ao, temos que [U, φ, u]p+β[U, φ, v]p = [U, φ, u+βv]p, e segue o desejado.
SejaX variedade de Banach e p∈X tal que (U, φ) ´e a carta deX em p. ConsidereTpX o espa¸co tangente de X no ponto p. Iremos definir uma norma para TpX com rela¸c˜ao a carta (U, φ). Para cadav ∈TpX da forma v = [U, φ, u]p definimos ||[U, φ, u]p||(U,φ):=||u||
a norma deTpX com respeito a carta(U, φ). Usando o corol´ario 3.1.4 ´e f´acil verificar que||.||(U,φ) ´e uma norma para TpX. Seja agora outra carta (V, ψ) de X em pe considere a norma deTpM com respeito a (V, ψ), ||.||(V,ψ). Note que ||.||(U,φ) e ||.||(V,ψ) s˜ao normas equivalentes. Basta observar que para todo x ∈ TpX temos que ||x||(V,ψ) ≤ ||D(ψ ◦ φ−1)φ(p)||.||x||(U,φ) e ||x||(U,φ) ≤ ||D(φ◦ψ−1)ψ(p)||.||x||(V,ψ).
SejaX variedade de Banach e p∈X tal que (U, φ) ´e a carta de X em p. TomandoTpX com a norma ||.||(U,φ) temos que Θ(U,φ)p :TpX →E ´e uma isometria linear.
Defini¸c˜ao 3.1.5. Sejam X eY duas variedades de Banach de classe Ck com f :X →Y uma aplica¸c˜ao de classe Ck. Seja (U, φ)carta de pem X e (V, ψ) carta de f(p)em Y tal
que f(U) ⊆V. A derivada de f no ponto p ´e a aplica¸c˜ao df(p) = dfp : TpX → Tf(p)Y definida por
dfp := (Θ(V,ψ)f(p) )−1◦D(ψ◦f ◦φ−1)φ(p)◦Θ(U,φ)p onde
Θ(U,φ)p :TpX →E e Θ(V,ψ)f(p) :Tf(p)Y →F s˜ao bije¸c˜oes lineares.
Como dfp ´e a composta de aplica¸c˜oes lineares, temos que dfp ´e linear.
Assim, devido a existˆencia dessas bije¸c˜oes lineares Θ(U,φ)p e Θ(V,ψ)f(p) para estudarmos o comportamento da derivadadfp basta que estudemos o comportamento de f localmente, i.e., considerando a derivada da aplica¸c˜aofU,V =ψ◦f◦φ−1 em φ(p). Segue da defini¸c˜ao, por exemplo, o seguinte fato
Fato 3.1.6. Sejam X e Y duas variedades de Banach de classe Ck com f :X →Y uma aplica¸c˜ao de classe Ck. Dado p∈ X seja (U, φ) carta em p de X e (V, ψ) carta em f(p) de Y tal que f(U)⊆V.
(i) f ´e um imers˜ao em p se, e somente se, dfp ´e uma aplica¸c˜ao injetora.
(ii) f ´e um submers˜ao em p se, e somente se, dfp ´e uma aplica¸c˜ao sobrejetora.
Proposi¸c˜ao 3.1.7. Seja X uma variedade de Banach sobre E espa¸co de Banach. Seja (U, φ) carta em X ent˜ao φ : U → φ(U) ´e um difeomorfismo e al´em disso temos que dφ(p) :TpX →E.
Demonstra¸c˜ao: Como U ´e um aberto de X. Considere a variedade (U, φ), ent˜ao φ : U →φ(U)⊆E ´e um difeomorfismo. De fato, temos que (φ(U), Idφ(U)) ´e a carta deφ(U), assim a express˜ao local deφ´e dada porIdφ(U)◦(φ)◦φ−1 =Idφ(U) :φ(U)→E, que ´e um difeomorfismo com sua imagem. Assim, para todop∈U dφ(p) :TpU →Tφ(p)φ(U) ´e uma bije¸c˜ao linear.
Temos que Θ(U,φ)p : TpU → E ´e uma bije¸c˜ao linear, e Θ(U,φ)p : TpX → E tamb´em ´e uma bije¸c˜ao linear, segue que TpU ∼= TpX via bije¸c˜ao linear. Analogamente, Θ(φ(U),Id)φ(p) : Tφ(p)φ(U)→E ´e uma bije¸c˜ao linear. Donde dφ(p) :TpX →E, e temos o desejado.
Defini¸c˜ao 3.1.8. Seja X uma variedade de Banach suave, denotamos por T X a uni˜ao disjunta T X = S
p∈X({p} ×TpX), e denotamos por π a aplica¸c˜ao π : T X → X dada por (p, v) 7→p chamada de proje¸c˜ao canˆonica de T X. O conjunto T X ´e chamado de fibrado tangente de X.
Habitualmente, identificamos{p} ×TpX comTpX, e escrevemosv em vez de (p, v). Pode-se mostrar queT X ´e uma variedade de Banach, e π ´e uma aplica¸c˜ao suave.