Operadores Compactos x Operadores de Fredholm

Vejamos agora as rela¸c˜oes entreoperadores compactos e operadores de Fredholm.

Proposi¸c˜ao 2.1.84. Seja T ∈ B(X, Y) onde X e Y s˜ao espa¸cos de Banach com T um operador de Fredholm. Se vale qualquer uma das alternativas abaixo

(i) dimX =∞ (ii) dimY =∞ (iii) dimIm(T) =∞

ent˜ao T n˜ao ´e um operador compacto.

Demonstra¸c˜ao: Segue diretamente do corol´ario 2.1.74.

Pela proposi¸c˜ao para que T ∈ B(X, Y) onde X e Y s˜ao espa¸cos de Banach com T um operador de Fredholm seja um operador compacto devemos ter dimX <∞e dimY <∞.

Teorema 2.1.85. Seja K : X → X um operador compacto com X espa¸co de Banach ent˜ao K−I ´e um operador de Fredholm com ´ındice nulo.

Demonstra¸c˜ao: Pela Alternativa de Fredholm 2.1.75 temos que dim ker(K−I) = dim ker(K^∗− I^∗)<∞eIm(K−I) ´e fechada. Iremos mostrar queK^∗−I^∗´e um operador de Fredholm, (e portantoK−I ser´a de Fredholm).

J´a temos que dim ker(K^∗ −I^∗) < ∞. Agora, Im(K −I) ´e fechada, pelo lema 2.1.80, temos que dim ker(K −I)⁰ = dimX⁰/(Im(K^∗−I^∗)). Agora, dim ker(K −I) < ∞ logo dim ker(K−I) = dim ker(K−I)⁰, portanto dim ker(K−I) = dimX⁰/(Im(K^∗−I^∗))<∞.

Da´ı dim ker(K^∗ −I^∗) = dim ker(K −I) = dimX⁰/(Im(K^∗ −I^∗)) < ∞, logo K^∗ −I^∗

´e operdaor de Fredholm com i(K^∗ −I^∗) = 0. Mas i(K −I) = −i(K^∗ −I^∗), segue que i(K −I) = 0.

PortantoK−I ´e o operador de Fredholm com ´ındice nulo, o que prova o teorema.

O pr´oximo resultado devido a F. V. Atkinson caracteriza os operdaores de Fredholm.

Teorema 2.1.86. (Atkinson) Seja T ∈ B(X, Y) com X e Y espa¸cos de Banach. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) T ´e um operador de Fredholm

(ii) Existem um operador S ∈ B(Y, X) e duas proje¸c˜oes de posto finito P₁ ∈ B(X) e P₂ ∈ B(Y) tais que ST =I_X −P₁ e T S=I_Y −P₂.

(iii) Existem operadores compactos K₁ ∈ B(X) e K₂ ∈ B(Y) e S ∈ B(Y, X) tais que ST =I_X −K₁ e T S =I_Y −K₂.

(iv) Existem operadores compactos K1 ∈ B(X)e K2 ∈ B(Y) e S1, S2 ∈ B(Y, X)tais que S₁T =I_X −K₁ e T S₂ =I_Y −K₂.

Demonstra¸c˜ao: (i) ⇒ (ii) Suponha que T seja um operador de Fredholm. Ent˜ao pela proposi¸c˜ao 2.1.59 temos que podemos escreverXeY comoX= ker(T)⊕V eY =Im(T)⊕

W com ker(T), V, W, Im(T) subespa¸cos fechados em queW possui dimens˜ao finita. Sejam P_N : X → ker(T) e P_W : Y → W proje¸c˜oes cont´ınuas j´a que ker(T), V, W, Im(T) s˜ao subespa¸cos fechados. Note que PN e PW possuem posto finito, pois dim ker(T) < ∞ e dimW <∞.

TomeS₁ :=T|_V :V →Im(T) = T(V) bije¸c˜ao linear e cont´ınua. Como Im(T) ´e fechado, temos que S₁⁻¹ :T(V)→V ´e cont´ınua e linear pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, assim S⁻¹(T(v)) =v ´e cont´ınua. Defina S :=S₁⁻¹(I_Y −P_W)∈ B(Y, X).

Assim, para x=n+v ∈X = ker(T)⊕V temos que

ST(x) = ST(n + v) = S(T(v)) = S₁⁻¹(I_Y −P_W)(T(v)) = v = (I_X −P_N)(n +v) = (I_X −P_N)(x)

Agora, para y=w+T(v)∈Y =W ⊕Im(T) com v ∈V temos que T S(y) = T S₁⁻¹(IY −PW)(w+T(v)) = T S₁⁻¹(T(v)) =T(v) = (IY −PW)y Ent˜aoST = (IX −PN) e T S= (IY −PW), o que mostra o ´ıtem (ii).

(ii)⇒(iii) Basta lembrar que todo operador de posto finito ´e compacto, e temos (iii).

(iii)⇒(iv) Tome S₂ =S₁ =S no ´ıtem (iii), e obtemos (iv).

(iv) ⇒ (i) Suponha que existam operadores compactos K₁ ∈ B(X) e K₂ ∈ B(Y) e S₁, S₂ ∈ B(X, Y) tais que S₁T =I_X −K₁ eT S₂ =I_Y −K₂.

ComoK₁´e operador compacto pelo teorema 2.1.85 anterior temos que dim ker(I_X−K₁)<

∞, como S1T = IX −K1 temos que dim ker(S1T) < ∞. Mas ker(T) ⊆ ker(S1T) logo dim ker(T) < ∞. Agora, K₂ ´e compacto ent˜ao I_Y −K₂ ´e um operador de Fredholm, e portanto I_Y^∗ −K₂^∗ ´e um operador de Fredholm, segue que dim ker(I_Y^∗ − K₂^∗) < ∞.

Como T S₂ = I_Y −K₂ segue que S₂^∗T^∗ = I_Y^∗ −K₂^∗ da´ı dim ker(S₂^∗T^∗) < ∞, e note que

ker(T^∗)⊆ker(S₂^∗T^∗) donde dim ker(T^∗)<∞.

Afirma¸c˜ao: Im(T) ´e fechado em Y

Temos queI_Y −K₂´e um operador de Fredholm, assim existe umZ subespa¸co de dimens˜ao finita deY tal queIm(I_Y−K₂)⊕Z =Y. ComoT S₂ =I_Y−K₂ temos queIm(I_Y −K₂) = Im(T S₂) ⊆ Im(T) segue que Z + Im(T) = Y. Assim, existe Z₁ ⊆ Z (e portanto dimZ₁ <∞) tal queY =Z₁⊕Im(T). Pelo corol´ario 2.1.56 temos queIm(T) ´e fechada em Y, o que prova a afirma¸c˜ao.

Estamos nas condi¸c˜oes do lema 2.1.80 segue que dim ker(T^∗) = dim(Y /Im(T))⁰ <∞, e portanto dim(Y /Im(T)) < ∞. Assim dim ker(T) < ∞ e dim(Y /Im(T)) < ∞, T ´e um operador de Fredholm , o que mostra (i) e termina a prova.

Uma pertuba¸c˜ao do operador T pelo operador S ´e T −S. Nosso pr´oximo resultado afirma que a pertuba¸c˜ao de um operador de Fredholm por operador compacto continua a ser um operador de Freholm e n˜ao muda seu ´ındice.

Corol´ario 2.1.87. Seja T ∈ B(X, Y) um operador de Fredholm ent˜ao para cada K ∈ K(X, Y) temos que T +K ´e um operador de Fredholm e i(T +K) = i(T)

Demonstra¸c˜ao: Seja T ∈ B(X, Y) operador de Fredholm e fixe K ∈ K(X, Y) operdaor compacto. Pelo teorema 2.1.86 temos que existem S₁, S₂ ∈ B(Y, X) e dois operadores compactos K1 ∈ B(X) e K2 ∈ B(Y) tais que S1T = IX −K1 e T S2 = IY −K2. Segue que

S₁(T +K) =S₁T +S₁K = (I_X −K₁) +S₁K =I_X −(K₁−S₁K), e (T +K)S2 =T S2+KS2 = (IY −K2) +KS2 =IY −(K2−KS2)

Agora, (K1−S1K)∈ K(X) e (K2−KS2)∈ K(Y) pois o conjunto dos operadores ´e um subespa¸co e gozam da propriedade de ideal. Observe que T +K est´a nas condi¸c˜oes do

´ıtem (iv) do teorema 2.1.86 segue queT +K ´e um operdor de Fredholm.

Pelo Teorema do ´Indice ´ıtem (ii) temos queS₁ ´e operador de Fredholm pois S₁(T+K) = I_X−(K₁−S₁K) ´e operador de Fredholm com ´ındice nulo (j´a queK₁−S₁K ´e compacto) e (T +K) ´e operador de Fredholm, e portanto

i(S₁(T +K)) =i(S₁) +i(T +K) =i(I_X −(K₁−S₁K)) = 0 seguei(T +K) =−i(S₁).

Considerando S₁T = I_X − K₁. Como K₁ ´e compacto temos que I_X −K₁ ´e operador de Fredholm com ´ındice nulo. Mas T e S₁ tamb´em s˜ao operadores de Fredholm, pelo

Teorema do ´Indice, temos que

i(S₁) +i(T) = i(S₁T) = i(I_X −K₁) = 0 e portanto i(T) =−i(S₁)

Assim, i(T +K) = i(T) e temos o desejado.

Denotamos porF red(X, Y) o conjunto dos operadores de Fredholm deX em Y. Quando X = Y escrevemos simplesmente F red(X) em vez de F red(X, X). A fun¸c˜ao ´ındice i : F red(X, Y) → Z ´e definida por i(T) para cada T ∈ F red(X, Y). Nosso pr´oximo resultado mostra que F red(X, Y) ´e um conjunto aberto de B(X, Y) e a fun¸c˜ao ´ındice ´e cont´ınua quando Z est´a munido da topologia discreta.

Teorema 2.1.88. Sejam X e Y espa¸cos de Banach ent˜ao F red(X, Y)´e um subconjunto aberto de B(X, Y) e a fun¸c˜ao ´ındice i:F red(X, Y)→Z ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: (Caso 1) Suponha que X possui dimens˜ao finita.

Se dimens˜ao deY tamb´em finita temos queX eY s˜ao espa¸cos finitos, logoF red(X, Y) = B(X, Y), que ´e aberto em B(X, Y). Suponha agora que dimens˜ao de X ´e finita e a dimens˜ao de Y ´e infinita ent˜ao F red(X, Y) = ∅, que tamb´em ´e aberto. De fato, caso existisseT ∈F red(X, Y) operador de Fredholm com X dimens˜ao finita e Y de dimens˜ao infinita ter´ıamos pela proposi¸c˜ao 2.1.84 que dimens˜ao de Y tamb´em seria finita, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

(Caso 2) Suponha queX possua dimens˜ao infinita.

Seja T ∈ F red(X, Y) operador de Fredholm pelo teorema 2.1.86 existem um operador S∈ B(Y, X) e dois operadores compactos K₁ ∈ K(X) e K₂ ∈ K(Y) tais que

ST =I_X −K₁ e T S =I_Y −K₂ (*)

Como K₁ ´e operador compacto temos que I_X −K₁ ´e operdaor de Fredholm com ´ındice nulo. Segue queST =I_X −K₁ ´e operador de Fredholm, como T tamb´em ´e operador de Fredholm, temos pelo Teorema do ´Indice queS tamb´em ´e operdaor de Fredholm, e segue quei(S) +i(T) =i(ST) =i(I_X −K₁) = 0, logo

i(T) = −i(S) (**)

Como S ´e um operador de Fredholm e X possui dimens˜ao infnita segue que S 6= 0. De fato, caso S ≡ 0 ter´ıamos que ker(S) = X e portanto dim kerS = ∞, o que n˜ao ocorre poisS ´e de Fredholm.

Lembre que Pelo corol´ario 2.1.32 temos que para Z um espa¸co de Banach, e A ∈ B(Z) um operador linear cont´ınuo tal que ||A|| < 1 temos que I_Z+A ´e invert´ıvel e portanto

I_Z+A ´e um isomorfismo.

Seja C ∈ B(X, Y) tal que ||C|| < _||S||¹ . Ent˜ao os operadores SC ∈ B(X) e CS ∈ B(Y) satisfazem||CS||<1 e||SC||<1. Ent˜aoI_X+SC ∈ B(X) e I_Y +CS ∈ B(Y) s˜ao ambos isomorfismos e portanto s˜ao ambos operadores de Fredholm de ´ındice nulo. Pelo corol´ario 2.1.87 temos que I_X +SC −K₁ e I_Y +CS−K₂ s˜ao ambos operadores de Fredholm de

´ındice nulo. Mais ainda por (*) temos que

S(T +C) = ST +SC = (IX −K1) +SC =IX +SC −K1 e (T +C)S =T S+CS = (IY −K2) +CS =IY +CS−K2

Como S ´e de Fredholm o Teorema do ´Indice garante que (T +C) ´e um operador de Fredholm com ´ındice dado por

i(S) +i(T +C) =i(S(T +C)) =i(IX +SC −K1) = 0 logo i(T +C) =−i(S) segue de (**) quei(T +C) = i(T)

N´os mostramos que dado T ∈ F red(X, Y) existe S ∈ B(X, Y) tal que para todo C ∈ B(X, Y) tal que||C||< _||S||¹ temos que (T+C) ´e operador de Fredholm ei(T+C) = i(T).

Isto mostra que F red(X, Y) ´e um conjunto aberto de B(X, Y) e que a fun¸c˜ao ´ındice ´e

cont´ınua. O que termina a prova.