Hierarchical Distribution Matching

Para os resultados apresentados nesta sec¸c˜ao, foi aplicada uma sequˆencia bin´aria de 180000 bits para o PCS e de 270000 bits para o sistema sem PCS. Pretende-se que as sequˆencias de entrada do modulador QAM nos dois sistemas tenham o mesmo n´umero de elementos. Como RHiDM = 16/24 = 1.5, ao existirem 18000 bits `a sua entrada, v˜ao ser produzidos 180000 × 1.5 = 27000 bits `a sua sa´ıda. A dimens˜ao das sequˆencias de entrada ´e cinco vezes superior `as usadas noutras simula¸c˜oes para permitir que os gr´aficos das constela¸c˜oes QAM sejam mais percept´ıveis.

Apresentam-se, na figura 4.4, as evolu¸c˜oes das BER dos sistemas 64QAM, com e sem PCS inclu´ıdo, `a medida que o valor da rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo vai aumentando. O PCS foi implementado a partir da t´ecnica de HiDM, cuja arquitetura ´e a que ´e mostrada na figura 3.6 da sec¸c˜ao (3.2.4.2), na qual se tˆem 16 bits uniformemente distribu´ıdos `a entrada e 24 bits `

a sa´ıda do DM. Para recordar, 8 dos bits de entrada n˜ao s˜ao modelados, porque s˜ao usados como bits de quadrante. Nos gr´aficos apresentados, considere-se um distanciamento de 0.5dB entre pontos consecutivos dos mesmos.

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 SNR [dB] 10-8 10-6 10-4 10-2 BER 64QAM PCS HiDM 64QAM

Figura 4.4: Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para um sistema 64QAM, com PCS (cor de vinho) e sem PCS (azul)

Observando a figura 4.4, ´e poss´ıvel retirar duas conclus˜oes. A primeira ´e que o HiDM exibe a sua contribui¸c˜ao, sobretudo a partir de uma SNR de 15dB, constatando-se que o sistema 64QAM, com este bloco inclu´ıdo, apresenta sempre uma BER inferior ao do sistema 64QAM sem PCS a partir desse valor de SNR. A segunda conclus˜ao tem que ver com eficiˆencia energ´etica e pode ser retirada a partir de uma observa¸c˜ao da SNR necess´aria para que cada

Sem PCS, o sistema alcan¸ca esse valor de BER para uma SNR de 24.5dB, enquanto que o sistema com PCS exibe uma BER de 10−4 para uma SNR de 22dB. O shaping probabil´ıstico permite uma poupan¸ca de 2.5dB, sendo este valor o ganho de shaping. ´E igualmente impor- tante conhecer outros dados ilustrativos do princ´ıpio de funcionamento do HiDM e dos efeitos por ele provocados. Neste sentido, s˜ao ilustradas, na figura 4.5, as constela¸c˜oes resultantes da modula¸c˜ao 64QAM em duas situa¸c˜oes distintas: ausˆencia e presen¸ca de shaping probabil´ıstico da constela¸c˜ao. -5 0 5 In-phase -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Quadrature

(a) 64QAM uniforme

-5 0 5 In-phase -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Quadrature

(b) 64QAM com HiDM aplicado

Figura 4.5: Ilustra¸c˜ao gr´afica das constela¸c˜oes 64QAM para uma SNR de 22dB

O efeito do PCS ´e bem vis´ıvel. A modula¸c˜ao 64QAM resulta na esperada constela¸c˜ao uniforme, em que todos os s´ımbolos s˜ao equiprov´aveis e est˜ao equitativamente distanciados uns dos outros. O PCS, por aplicar modela¸c˜ao probabil´ıstica, n˜ao vai intervir na distribui¸c˜ao espacial dos s´ımbolos, mantendo-os a todos nas mesmas posi¸c˜oes, mas sim no seu n´umero de ocorrˆencias. Como ´e observ´avel pela figura 4.5, o HiDM produz uma constela¸c˜ao QAM constitu´ıda maioritariamente por s´ımbolos de menor energia, diminuindo-se a probabilidade de ocorrˆencia dos s´ımbolos de maior energia (os mais exteriores).

A mesma informa¸c˜ao pode ser apresentada de outra forma, nomeadamente a partir dos histogramas das distribui¸c˜oes dos s´ımbolos (figura 4.6).

(a) 64QAM uniforme (b) 64QAM com HiDM aplicado

Figura 4.6: Histogramas das distribui¸c˜oes dos 45000 s´ımbolos 64QAM, para uma SNR de 22dB

Observando os histogramas da figura 4.6, verifica-se que a consequˆencia do PCS ´e a de se ter uma ocorrˆencia muito maior dos s´ımbolos de maior energia, enquanto que, sem PCS, tem-se uma distribui¸c˜ao probabil´ıstica praticamente uniforme de todos os s´ımbolos, n˜ao ha- vendo uma escolha preferencial de nenhum grupo de s´ımbolos.

Determinando-se a probabilidade de ocorrˆencia de cada um dos 64 s´ımbolos e recorrendo- se `a express˜ao 2.11 da sec¸c˜ao (2.4.1) da disserta¸c˜ao, consegue-se obter o valor da entropia associada `as duas constela¸c˜oes QAM ilustradas na figura 4.5. Se H designar a entropia e Pu e PHiDM forem as distribui¸c˜oes probabil´ısticas das constela¸c˜oes 64QAM sem e com HiDM, respetivamente, obt´em-se que: H(Pu) ' 6 bits e H(PHiDM) ' 5.4 bits. A menor entropia significa que a incerteza associada ao conhecimento de qual o s´ımbolo QAM produzido ´e menor ou, por outras palavras, indica que, na pr´atica, s˜ao necess´arios menos bits para representar completamente toda a informa¸c˜ao veiculada pela constela¸c˜ao. Esta redu¸c˜ao na entropia acaba por possibilitar que a ´area de interesse da constela¸c˜ao QAM seja mais restrita do que a constela¸c˜ao completa, o que faz com que o n´umero de erros tamb´em possa ser menor, uma vez que h´a menos s´ımbolos e bits a considerar.

Em rela¸c˜ao `as energias m´edias das respetivas constela¸c˜oes, ao se utilizar a express˜ao 2.14, chega-se aos seguintes valores: E64QAM ' 42 e EHiDM ' 21.6. Verifica-se que o HiDM permite uma redu¸c˜ao de cerca de metade na energia m´edia transmitida, o que acaba por ser o objetivo principal que se pretende atingir a partir da aplica¸c˜ao do mesmo. Tem-se, assim, um sistema mais eficiente.

Em suma, verificou-se que a inclus˜ao do PCS no sistema permite alcan¸car os seguintes objetivos, que acabam por estar interligados uns com os outros: redu¸c˜ao substancial no valor da bit error ratio; diminui¸c˜ao do valor da entropia da distribui¸c˜ao probabil´ıstica dos s´ımbolos e maior eficiˆencia energ´etica, que ´e verificada pelo consider´avel menor valor de energia m´edia e pelos menores valores de SNR exig´ıveis para alcan¸car os mesmos r´acios de erros que o sistema 64QAM sem PCS.