Técnicas de Probabilistic Constellation Shaping para sistemas 400G

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Universidade de Aveiro Departamento deEletrónica, Telecomunica¸cões e Informática 2019

Joel

Sanches B´

arrios

T´

ecnicas de Probabilistic Constellation Shaping

para sistemas 400G

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Universidade de Aveiro Departamento deEletrónica, Telecomunica¸cões e Informática 2019

Joel

Sanches B´

arrios

T´

ecnicas de Probabilistic Constellation Shaping

para sistemas 400G

Disserta¸cão apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos re-quisitos necessários à obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia Eletrónica e Telecomunica¸cões, realizada sob a orienta¸cão cient´ıfica do Professor Dou-tor Mário José Neves de Lima, Professor do Departamento de Eletrónica, Telecomunica¸cões e Informática da Universidade de Aveiro e do Engenheiro Francisco Manuel Ruivo Rodrigues, CEO na empresa PICadvanced, inte-grada na Incubadora de Empresas da Universidade de Aveiro.

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o j´uri / the jury

presidente / president Professor Doutor Telmo Reis Cunha

Professor Auxiliar do Departamento de Eletrónica, Telecomunica¸cões e Informática da Universidade de Aveiro

vogais / examiners committee Doutor Henrique Manuel de Castro Faria Salgado

Professor Associado do Departamento de Engenharia Eletrot´ecnica e de Computa-dores da Universidade do Porto (arguente principal)

Professor Doutor M´ario Jos´e Neves de Lima

Professor Auxiliar do Departamento de Eletrónica, Telecomunica¸cões e Informática da Universidade de Aveiro (orientador)

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agradecimentos / acknowledgements

´

E quase inacreditável que esta longa e incr´ıvel jornada está agora prestes a terminar. Foi um percurso com muitos altos e baixos, um curso que me obrigou a sair da zona de conforto e a superar-me dia após dia.

Quero agradecer, de uma forma especial, à minha mãe e à minha irmã, que me apoiaram incondicionalmente e que me deram a for¸ca necessária para que eu conseguisse chegar aqui. Foi gra¸cas a vocês que eu não desisti e tive a coragem para seguir em frente.

Agrade¸co ao Ricardo Ferreira, da PICAdvanced, por toda as vezes que me ajudou sem nunca hesitar. Digo, com toda a certeza, que, sem a sua dis-ponibilidade incondicional, não conseguiria terminar esta disserta¸cão com sucesso. Agrade¸co igualmente ao meu orientador, Mário Lima, e ao meu coorientador, Francisco Rodrigues, por todo o acompanhamento da minha disserta¸cão e por me colocarem sempre uma pressão positiva para cumprir os prazos.

Obrigado a todos os amigos e familiares que estiveram lá nos momentos em que mais precisei. Um agradecimento particular ao Daniel Almeida, por me ter ajudado a superar algumas das fases menos boas pelas quais passei ao longo da realiza¸cão desta disserta¸cão.

Este trabalho ´e financiado pelo Fundo Europeu de Desenvolvimento Regio-nal (FEDER), atrav´es do Programa Operacional Regional do Centro (CEN-TRO 2020) do Portugal 2020 [Projeto HeatIT com o no 017942 (CENTRO-01-0247-FEDER-017942)].

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Palavras chave: Probabilistic Constellation Shaping, Forward Error Correction, Quadrature Amplitude Modulation

Resumo O mundo está a evoluir nas mais diversas áreas. Contudo, a evolu¸cão mais assinalável verifica-se ao n´ıvel do desenvolvimento tecnológico, como uma resposta às necessidades da popula¸cão. O avan¸co no mundo tecnológico implica um aumento no tráfego de dados e no ritmo de transmissão a que os mesmos são transportados.

Para fazer face às exigências no que toca ao desempenho dos sistemas digi-tais, é esencial que existam técnicas que permitam a otimiza¸cão do processo de transferência de informa¸cão. Embora a utilidade da modula¸cão Quadra-ture Amplitude Modulation (QAM) seja um dado adquirido, nomeadamente em aplica¸cões de entrega de transmissão domésticas por cabo ou em comu-nica¸cões por ondas de rádio, nada impede que a comunica¸cão QAM seja melhorada. É neste contexto que surge o Probabilistic Constellation Sha-ping (PCS), que promete diminuir o número de erros ocorridos durante a transmissão, assim como reduzir a energia necessária para que a modula¸cão QAM seja efetuada. Tratando-se de um esquema de codifica¸cão, a aplica¸cão do Forward Error Correction (FEC), a um sistema de transmissão digital, permite a obten¸cão de um número de erros extremamente reduzido. Tanto o PCS como o FEC providenciam ganhos, em termos de rela¸cão sinal-ru´ıdo, ao sistema no qual são aplicados.

Nesta disserta¸cão, pretende-se explorar o conceito de PCS, apresentando-se algumas técnicas para a sua implementa¸cão em sistemas a operar a uma taxa de 400Gb/s. Ilustrar-se-ão as constela¸cões QAM modeladas probabi-listicamente e comparar-se-ão os valores de Bit Error Ratio (BER), energia média e entropia dos sistemas com e sem o bloco de PCS presente. O conceito do FEC também é explicado, com destaque para os códigos de blocos, que são os escolhidos para a implementa¸cão do mesmo num con-texto prático. Nos resultados das simula¸cões dos sistemas com codifica¸cão, o principal objetivo é a determina¸cão do ganho de codifica¸cão.

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Keywords: Probabilistic Constellation Shaping, Forward Error Correction, Quadrature Amplitude Modulation

Abstract The world is evolving in many different areas. However, the most remar-kable improvement occurs in the technological development, as a response to the needs of the population. The advancement in technological world implies increases in data traffic and at the transmission rate at which they are carried over.

To meet the performance demands of digital systems, techniques allowing the optimization of the information transfer process are essential. Although the usefulness of Quadrature Amplitude Modulation (QAM) is taken as gua-ranteed, namely in cable home transmission delivery applications or radio wave communications, nothing prevents QAM communication from being improved. It is in this sense that Probabilistic Constellation Shaping (PCS) arises, which promises to decrease the number of errors occured during the transmission, as well as reducing the required energy for QAM modulation being performed. As a coding scheme, Forward Error Correction (FEC) is applied to a digital transmission system to obtain extremely small error numbers. Both PCS and FEC provide gains, in terms of signal-to-noise ratio, to the system in which they are applied.

In this dissertation, it is intended to explore the concept of PCS, introducing some techniques for its implementation on systems operating at a rate of 400 Gb/s. Probabilistically modeled QAM constellations will be ilustrated and the values of Bit Error Ratio (BER), average energy and entropy of the systems will be compared, with or without the PCS block. The concept of FEC is also explained, highlighting the block codes, which are the codes chosen for its implementation in a practical context. In the simulation re-sults of systems with coding, the main objective is to determine the coding gain.

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(13)

Conte´

udo

Conte´udo i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas v

Lista de Siglas e Acr´onimos vii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Contexto e Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Objetivos . . . 1

1.3 Estrutura . . . 2

2 Fundamentos básicos de um sistema de transmissão digital 5 2.1 Sistema de transmissão digital . . . 5

2.2 Modula¸c˜ao . . . 7

2.2.1 Modula¸c˜ao digital . . . 7

2.2.1.1 Amplitude Shift Keying (ASK) . . . 8

2.2.1.2 Phase Shift Keying (PSK) . . . 9

2.2.1.3 Frequency Shift Keying (FSK) . . . 10

2.2.2 Quadrature Amplitude Modulation (QAM) . . . 10

2.2.2.1 Convers˜ao entre bits e s´ımbolos . . . 14

2.3 Ru´ıdo . . . 16

2.4 M´etricas de desempenho de um sistema de transmiss˜ao digital . . . 19

2.4.1 Entropia . . . 19

2.4.2 Entropia relativa . . . 19

2.4.3 Informa¸c˜ao m´utua . . . 20

2.4.4 Energia m´edia de um sinal . . . 20

2.4.5 Bit Error Ratio (BER) . . . 20

2.5 Limita¸c˜oes de um canal de transmiss˜ao . . . 21

2.5.1 Largura de Banda . . . 21

2.5.2 Bit rate . . . 22

2.5.3 Rela¸c˜ao entre bit rate e largura de banda: modelos de Nyquist e Shannon 22 2.6 Conclus˜oes . . . 23

3 Probabilistic Constellation Shaping e Forward Error Correction 25 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 25

3.2 Probabilistic Constellation Shaping . . . 26

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3.2.2 Conceito . . . 28

3.2.3 Ganho de shaping . . . 29

3.2.4 Distribui¸c˜ao de Maxwell-Boltzmann . . . 29

3.2.5 Diferentes algoritmos de Probabilistic Constellation Shaping . . . 30

3.2.5.1 Constant Composition Distribution Matching (CCDM) . . . 30

3.2.5.2 Hierarchical Distribution Matching (HiDM) . . . 34

3.2.5.3 DM constitu´ıdo por uma ´unica LUT . . . 37

3.3 Forward Error Correction (FEC) . . . 40

3.3.1 Evolu¸c˜ao do FEC . . . 40

3.3.2 C´odigos de blocos . . . 41

3.3.3 Matriz geradora e matriz de verifica¸c˜ao de paridade . . . 42

3.3.4 C´odigos Low-Density Parity-Check (LDPC) . . . 43

3.3.5 Descodifica¸c˜ao FEC . . . 44

3.3.5.1 Hard decision e soft decision . . . 45

3.3.5.2 C´alculo de LLRs e descodifica¸c˜ao . . . 45

3.3.5.3 Descodifica¸c˜ao por m´axima verosimilhan¸ca . . . 46

3.3.5.4 S´ındroma e descodifica¸c˜ao de erros . . . 46

3.3.5.5 Distˆancia m´ınima . . . 47

3.3.5.6 Capacidade de dete¸cão e corre¸cão de um código de blocos linear 47 3.3.6 Códigos convolucionais . . . 48

3.3.7 Ganho de codifica¸c˜ao . . . 50

3.4 Bit rates e baud rates das diferentes arquiteturas . . . 51

3.5 Conclus˜oes . . . 51

4 Simula¸cão e Análise de Resultados 53 4.1 Implementa¸cão do PCS . . . 53

4.2 Implementa¸c˜ao do FEC e do CCDM . . . 54

4.3 Metodologia de simula¸c˜ao . . . 55

4.4 Resultados e an´alise de resultados . . . 55

4.4.1 Compara¸c˜ao entre 16QAM e 64QAM . . . 56

4.4.2 Hierarchical Distribution Matching . . . 58

4.4.3 Distribution Matchers de LUT ´unica . . . 61

4.4.4 Constant Composition Distribution Matching . . . 63

4.4.5 Forward Error Correction . . . 65

4.4.6 Compara¸c˜ao entre os diferentes algoritmos de PCS . . . 68

4.5 Conclus˜oes . . . 70

5 Conclus˜oes e Trabalho Futuro 71 5.1 Conclus˜oes . . . 71

5.2 Trabalho Futuro . . . 72

(15)

Lista de Figuras

2.1 Esquem´atico de um sistema de transmiss˜ao, com bloco de Probabilistic

Cons-tellation Shaping inclu´ıdo [3] . . . 5

2.2 Sinal da modula¸c˜ao OOK [9] . . . 8

2.3 Sinal da modula¸c˜ao DPSK [9] . . . 9

2.4 Modula¸c˜ao BFSK [7] . . . 10

2.5 Sistema de modula¸c˜ao e desmodula¸c˜ao de sinais QAM [13] . . . 11

2.6 Constela¸c˜ao 4QAM (QPSK) [15] . . . 12

2.7 Constela¸c˜ao 16QAM [15] . . . 13

2.8 Constela¸c˜ao 64QAM [15] . . . 13

2.9 Sinal de ru´ıdo branco gaussiano aditivo para uma SNR de 15dB . . . 17

2.10 Potˆencia de um sinal de ru´ıdo branco [20] . . . 18

2.11 Gráfico da distribui¸cão normal, com média µ e variância σ2 [22] . . . 18

2.12 Largura de banda de um sistema de comunica¸c˜oes[27] . . . 21

3.1 Geometric shaping [33] . . . 26

3.2 Probabilistic shaping [33] . . . 27

3.3 Ilustra¸cão gráfica de quatro esquemas de PCS aplicados a constela¸cões 64QAM, com diferentes valores de entropia: (a) H(P1)= 5.73 bits, (b) H(P2)= 5.23 bits, (c) H(P3)= 4.60 bits, (d) H(P4)= 4.13 bits [3] . . . 28

3.4 Exemplo de um c´odigo aritm´etico [42] . . . 32

3.5 Exemplo de um codificador CCDM [37] . . . 33

3.6 Esquema da arquitetura HiDM, que converte conjuntos de 16 bits uniforme-mente distribu´ıdos em sequências de 24 bits com uma dada distribui¸cão não uniforme [31] . . . 35

3.7 Esquem´atico do DM constitu´ıdo por uma ´unica LUT, sem FEC aplicado . . . 38

3.8 Esquem´atico do DM constitu´ıdo por uma ´unica LUT, com FEC aplicado . . . 39

3.9 Representa¸cões alternativas de um código LDPC (3,12), que adiciona nove bits de paridade por cada três bits de dados [50] . . . 44

3.10 Esquem´atico de um codificador convolucional [58] . . . 48

3.11 Esquem´atico de um codificador convolucional (2,1,3) [48] . . . 49

3.12 Ilustra¸c˜ao do ganho de codifica¸c˜ao [59] . . . 50

4.1 Esquem´atico para o dimensionamento do CCDM . . . 54

4.2 Rela¸cão entre a BER e a SNR para um sistema 16QAM (preto) e 64QAM (azul) 56 4.3 Ilustra¸cão das constela¸cões 16QAM e 64QAM, para uma SNR de 22dB . . . . 57

4.4 Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para um sistema 64QAM, com PCS (cor de vinho) e sem PCS (azul) . . . 58

(16)

4.6 Histogramas das distribui¸c˜oes dos 45000 s´ımbolos 64QAM, para uma SNR de 22dB . . . 60 4.7 Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para um sistema 64QAM, com PCS

implemen-tado por uma LUT de 65536x8 s´ımbolos (laranja) e por uma LUT de 128x3 s´ımbolos (verde) . . . 61 4.8 Ilustra¸c˜ao das constela¸c˜oes 64QAM, com PCS implementado por um DM

cons-titu´ıdo por uma LUT, para uma SNR de 17dB . . . 62 4.9 Histogramas das distribui¸c˜oes dos 45000 s´ımbolos 64QAM, para uma SNR de

17 dB . . . 62 4.10 Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para um sistema 64QAM com CCDM aplicado

(cor de rosa) e para um sistema 16QAM (preto) . . . 64 4.11 Constela¸cão 64QAM produzida pelo CCDM . . . 64 4.12 Distribui¸cão probabil´ıstica dos s´ımbolos gerados pelo CCDM . . . 65 4.13 Rela¸cão entre a BER e a SNR para modula¸cão 16QAM, com FEC aplicado

(vermelho) e sem FEC (preto) . . . 66 4.14 Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para modula¸c˜ao 64QAM, com FEC aplicado

(vermelho) e sem FEC (azul) . . . 66 4.15 Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para um sistema 64QAM com PCS, com FEC

aplicado (vermelho) e sem FEC (cor de vinho) . . . 67 4.16 Rela¸c˜ao entre a BER e a SNR para os sistemas com e sem PCS aplicado . . . 69

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Lista de Tabelas

2.1 LUT da modula¸c˜ao 16QAM . . . 14

2.2 LUTs da modula¸c˜ao 64QAM . . . 15

3.1 LUT do DM3 . . . 36

3.2 LUT do DM2 . . . 36

3.3 LUT do DM1 . . . 36

3.4 LUT do DM1 em termos de s´ımbolos QAM . . . 37

3.5 Bit rates dos diferentes sistemas estudados . . . 51

4.1 Valores de SNR para uma BER de 10−4 . . . 68

4.2 Ganhos de codifica¸c˜ao e de shaping para uma BER de 10−4 . . . 68

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(19)

Lista de Siglas e Acr´

onimos

ASK Amplitude Shift Keying

AWGN Additive White Gaussian Noise BCH Bose, Chaudhuri and Hocquenghen BER Bit Error Ratio

BFSK Binary Frequency Shift Keying BPSK Binary Phase Shift Keying

CCDM Constant Composition Distribution Matching DM Distribution Matching

DPSK Differential Phase Shift Keying DSP Digital Signal Processor

FEC Forward Error Correction FSK Frequency Shift Keying

GCS Geometric Constellation Shaping HiDM Hierarchical Distribution Matching LDPC Low-density parity-check

LLR Log-likelihood ratio LUT Look-up table NRZ Non-return-to-zero OOK On-off Keying

PAS Probabilistic Amplitude Shaping PCS Probabilistic Constellation Shaping PSK Phase Shift Keying

QPSK Quadrature Phase Shift Keying QAM Quadrature Amplitude Modulation

(20)

RS Reed-Solomon RZ Return-to-zero

(21)

CAP´ITULO

1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contexto e Motiva¸

c˜

ao

De forma a acomodar a crescente evolu¸cão no mundo tecnológico, exige-se que o tráfego de dados, nas redes de transporte de informa¸cão, seja cada vez mais elevado, pelo que é necessário intervir na velocidade a que essa informa¸cão é transmitida, sem esquecer alguns dos critérios que garantem que essa transmissão é efetuada com um elevado grau de confiabilidade. Uma premissa essencial é a de ser poss´ıvel reduzir o custo associado à transmissão de informa¸cão, aumentando simultaneamente a bit rate e a eficiência espetral. Assim, a tendência passa por desenvolver tecnologias que assegurem um ritmo de transmissão cada vez mais elevado, sendo a informa¸cão transmitida através de formatos de modula¸cão sucessivamente mais complexos [1].

Para o desenvolvimento de tecnologias 400G, podem ser aproveitados os trabalhos já efetuados no dom´ınio das tecnologias 100G. No entanto, há certamente algumas melhorias necessárias a levar a cabo nesta transi¸cão para o mundo dos 400G, entre as quais se podem referir: o uso de algoritmos de dete¸cão e corre¸cão de erros mais sofisticados; o desenvolvimento de formatos de modula¸cão mais avan¸cados; a constru¸cão de tecnologias mais complexas e um aumento na largura de banda utilizada. Apesar de ser necessário aumentar a complexidade para se chegar a 400 Gbit/s, a verdade é que, a este ritmo de transmissão, conseguem-se efetuar comunica¸cões de elevada qualidade a longas distâncias. Dadas as potencialidades do 400G, é importante otimizar o desempenho dos sistemas a operar a esta taxa de transmissão.

´

E neste âmbito que a existência de blocos, como o Forward Error Correction e o Probabilistic Constellation Shaping, se pode revestir de uma importância assinalável [2].

1.2 Objetivos

A principal finalidade desta disserta¸cão é explorar as potencialidades das técnicas de Probabilistic Constellation Shaping para transmissão digital de informa¸cão a uma taxa de 400 Gb/s. Também serão estudadas as contribui¸cões que o Forward Error Correction pode dar ao sistema ao qual é aplicado. Para tal, ao longo deste documento, tentar-se-ão atingir os seguintes objetivos:

(22)

• Apresenta¸cão do PCS, abordando-se os princ´ıpios de opera¸cão dos principais algoritmos que permitem a sua implementa¸cão, que são o caso do HiDM, do CCDM e do DM constru´ıdo com uma única look-up table.

• Simula¸cão de cada um dos algoritmos PCS, no programa MATLAB, com a finalidade de retirar gráficos da evolu¸cão da BER em fun¸cão da SNR, assim como calcular os valores de energia média transmitida e de entropia das constela¸cões QAM produzidas por cada um deles.

• Análise cr´ıtica dos resultados obtidos, estabelecendo-se uma compara¸cão entre o desem-penhos das diferentes propostas de PCS e entre as mesmas e os formatos de modula¸cão uniformes (16QAM e 64QAM).

• Teste do desempenho dos sistemas com o bloco FEC inclu´ıdo, procurando-se medir qual o ganho que esta t´ecnica proporciona.

1.3 Estrutura

A estrutura da disserta¸c˜ao engloba os seguintes cap´ıtulos:

• Cap´ıtulo 1 - Introdu¸cão: Neste cap´ıtulo introdutório, é explicado o contexto e a mo-tiva¸cão para a elabora¸cão desta disserta¸cão, sendo também apresentados a sua estrutura e os objetivos a alcan¸car com a elabora¸cão da mesma.

• Cap´ıtulo 2 - Fundamentos básicos de um sistema de transmissão digital: Este cap´ıtulo come¸ca por expor a estrutura do sistema de transmissão estudado ao longo desta disserta¸cão, introduzindo, sucintamente, o papel de cada um dos seus blocos constituintes. De seguida, são explicados, de uma forma mais aprofundada, os princ´ıpios teóricos subjacentes aos conceitos de modula¸cão digital, com especial foco no QAM, e de ru´ıdo. Para conclusão deste cap´ıtulo, são referidas métricas para avaliar o desempenho de um sistema e também são apresentados critérios, que dão corpo à certeza de que todo e qualquer sistema real tem limita¸cões.

• Cap´ıtulo 3 - Probabilistic Constellation Shaping e Forward Error Correction: Este cap´ıtulo centra aten¸cões no estudo daqueles que são os dois blocos mais falados ao longo desta disserta¸cão: os blocos do PCS e do FEC. No que à parte do PCS diz respeito, o conceito do mesmo é explicado e são apresentadas algumas das técnicas, que permitem a sua implementa¸cão, como são o caso do HiDM, do CCDM e do DM constitu´ıdo por uma só LUT. A parte do FEC come¸ca com uma explica¸cão teórica de alguns dos fundamentos teóricos basilares desta técnica, principalmente os que se referem aos códigos de blocos, que são utilizados nas simula¸cões a efetuar. Os códigos convolucionais são abordados de um modo muito resumido. Finalmente, são calculadas as bit rates dos sistemas estudados ao longo desta disserta¸cão.

• Cap´ıtulo 4 - Simula¸cão e Análise de Resultados: No in´ıcio do cap´ıtulo, são mencionados alguns pormenores importantes da implementa¸cão prática dos algoritmos de PCS, sobretudo do CCDM. De seguida, são apresentados e analisados os resultados

(23)

• Cap´ıtulo 5 - Conclusões e Trabalho Futuro: Neste cap´ıtulo, pretende-se realizar uma reflexão cr´ıtica sobre os resultados obtidos e especificar o que pode ser feito no futuro ao n´ıvel do estudo da técnica de Probabilistic Constellation Shaping.

(24)

(25)

CAP´ITULO

2

Fundamentos b´

asicos de um sistema

de transmiss˜

ao digital

Este cap´ıtulo aborda os princ´ıpios teóricos subjacentes ao funcionamento de um sistema de transmissão digital, sendo abordados os elementos que o constituem. Vai ser explicado, de uma forma relativamente aprofundada, o conceito de modula¸cão digital e algumas das suas variantes. Discutir-se-á a no¸cão de ru´ıdo, em particular, a de ru´ıdo branco gaussiano, sendo apresentadas as principais caracter´ısticas do mesmo. Seguidamente, apresentam-se alguns dos critérios que permitem avaliar o desempenho de um sistema de transmissão digital. Finalmente, são introduzidos conceitos importantes para se perceber as limita¸cões de um sistema no que à quantidade máxima de dados transmitida por unidade de tempo diz respeito.

2.1 Sistema de transmiss˜

ao digital

A figura 2.1 apresenta um esquemático com a constitui¸cão do sistema de transmissão digital, que será estudado ao longo desta disserta¸cão.

Figura 2.1: Esquem´atico de um sistema de transmiss˜ao, com bloco de Probabilistic Constel-lation Shaping inclu´ıdo [3]

O sistema de transmissão digital recebe, à sua entrada, uma sequência binária (designada na figura 2.1 como data), tendo como objetivo reproduzi-la o mais fidedignamente poss´ıvel na sua sa´ıda.

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Relativamente à data, há que dizer que a mesma é uma sequência de bits independentes e uniformemente distribu´ıdos, em que os acontecimentos de se transmitir um bit a ’0’ e a ’1’ são equiprováveis.

Verifica-se que o sistema da figura apresenta os seguintes componentes [3]:

• PCS: este componente, que se assume como o de maior relevância no contexto desta disserta¸cão, é essencialmente constitu´ıdo por dois sub-blocos. Um deles é o distribution matcher (DM), que é o responsável pela gera¸cão de uma sequência de s´ımbolos ou bits não uniformemente distribu´ıdos a partir da sequência de bits de entrada, cuja distribui¸cão é uniforme. O segundo sub-bloco do PCS tem a fun¸cão de identificar cada s´ımbolo, produzido à sa´ıda do DM, por um conjunto finito de bits (conhecido por ”etiqueta binária”).

• Codificador FEC: este é o segundo bloco de maior importância para o estudo levado a cabo nesta disserta¸cão. Este componente permite reduzir o número de erros existente entre a sequência enviada ao PCS e aquela que é gerada pelo bloco do PCS inverso. Isto só é poss´ıvel acrescentando bits redundantes à sequência de dados.

• Modulador QAM: este componente tem a fun¸cão de fazer a correspondência entre conjuntos de n bits e um dos 2n_{s´ımbolos existentes na constela¸}_c˜_{ao QAM. A modula¸c˜}_ao, como vai ser discutido de seguida, é um processo vital para que seja poss´ıvel enviar sinais através do canal de transmissão.

• Canal de transmissão: considera-se que o canal corrompe a constela¸cão, resultante da modula¸cão QAM, com ru´ıdo additive white gaussian noise (AWGN).

• Desmodulador QAM: este bloco recebe a sequência de s´ımbolos, afetada por ru´ıdo AWGN, exigindo-se ao mesmo a resolu¸cão de duas tarefas extremamente importantes: a decisão, ou seja, diminuir o impacto do ru´ıdo, e a desmodula¸cão propriamente dita, que consiste em proceder ao mapeamento dos s´ımbolos QAM na sequência de bits correspondente.

• Descodificador FEC: este bloco nada mais faz do que retirar os bits de controlo adi-cionados pelo codificador FEC, tentando assim recuperar-se a sequˆencia de bits outrora gerada pelo bloco do PCS.

• PCS inverso: gera a sequência de bits inicial a partir da sequência de s´ımbolos ou bits com distribui¸cão não uniforme.

´

E extremamente importante que a sequência binária de entrada seja uniformemente dis-tribu´ıda para assegurar o correto funcionamento do PCS. Como este bloco visa produzir uma sequência de bits com uma distribui¸cão de probabilidade não uniforme desejada à priori, caso a sequência de entrada do PCS já tivesse uma distribui¸cão não uniforme, existiria aqui uma certa incongruência e a a¸cão do PCS estaria negativamente condicionada logo à partida.

(27)

2.2 Modula¸

c˜

ao

Define-se modula¸cão como o processo que promove a varia¸cão de uma caracter´ıstica de uma onda periódica de frequência elevada, a onda portadora, de acordo com um sinal de informa¸cão de baixa frequência, que se pretende transmitir. A modula¸cão de um sinal de informa¸cão tem como finalidade torná-lo mais adaptável às condi¸cões impostas pelo canal de transmissão, fazendo com que a comunica¸cão seja mais eficiente do que seria caso o mesmo fosse enviado diretamente através do canal [4].

Existem, fundamentalmente, dois tipos de modula¸cão: analógica e digital. A diferen¸ca entre elas reside na forma de transmissão de informa¸cão. Na modula¸cão analógica, o sinal de dados é analógico, admitindo-se válido qualquer valor que caia dentro de um intervalo de valores previamente definido. A modula¸cão digital é mais complexa, porque, sendo o sinal modulante do tipo digital, necessita-se de um conversor analógico-digital antes da transmissão e de um conversor digital-analógico para recuperar o sinal original. A maior complexidade na implementa¸cão de um modulador digital é compensada pela maior imunidade deste tipo de modula¸cão em rela¸cão ao ru´ıdo do que a de um modulador analógico. Deve-se isto ao facto de o recetor apenas ter de decidir entre dois s´ımbolos poss´ıveis (’0’ e ’1’), enquanto que o recetor na modula¸cão analógica tem uma gama bem mais alargada de s´ımbolos poss´ıveis, o que dificulta o ato de descodifica¸cão de uma mensagem afetada por ru´ıdo [5].

Dentro das modula¸cões analógica e digital, existem vários subtipos de modula¸cão, que diferem no atributo da onda portadora que se altera em fun¸cão do sinal a transmitir, que pode ser a sua amplitude, a sua frequência ou a sua fase. Dada a similitude existente entre as modula¸cões analógica e digital, detalhar-se-ão, em seguida, apenas os tipos de modula¸cão digital, ficando-se com a a conviçcão de que os mesmos existem na modula¸cão analógica, mas diferindo no facto de o sinal modulante ser analógico e não digital [5].

2.2.1 Modula¸c˜ao digital

Procedendo à conversão analógico-digital de um sinal de informa¸cão analógico e promo-vendo a varia¸cão de uma das caracter´ısticas de uma portadora sinusoidal, tem-se a chamada modula¸cão digital. Consoante o parâmetro da portadora que se está a fazer variar, temos os seguintes tipos de modula¸cão digital: Amplitude Shift Keying (ASK), caso se fa¸ca variar a sua amplitude; Frequency Shift Keying (FSK), que envolve a varia¸cão da frequência da portadora e Phase Shift Keying (PSK), que está associada a altera¸cões na sua fase. A modula¸cão digi-tal, comparativamente à analógica, tem as seguintes vantagens: maior imunidade aos efeitos nefastos do ru´ıdo, largura de banda dispon´ıvel superior e um maior valor de potência máxima admiss´ıvel [4].

Descrever-se-ão, de seguida, os formatos de modula¸cão digital mais comuns para modular sinais digitais binários.

(28)

2.2.1.1 Amplitude Shift Keying (ASK)

Na modula¸cão ASK, a amplitude da onda portadora varia entre um conjunto discreto de valores poss´ıveis, dependendo estes única e exclusivamente do bit (ou s´ımbolo) que se pretende transmitir. Consoante o número de valores que a amplitude da portadora modulada (Am) pode assumir, existem algumas variantes da modula¸cão ASK [10].

A variante da modula¸cão ASK mais simples e de maior interesse é a modula¸cão On-Off Keying (OOK), na qual existem somente dois valores poss´ıveis para a amplitude da portadora: ao se transmitir um bit ’0’, a amplitude é nula; transmitindo o bit ’1’, a portadora mantém o seu valor de amplitude inalterado [10].

A expressão do sinal resultante da modula¸cão ASK (s(t)) é apresentada na expressão 2.1, na qual: m(t) é um sinal modulante binário unipolar (m(t) = {0, 1}) e A, ωc e θ são, respetivamente, a amplitude, a frequência e a fase da portadora não modulada.

s(t) = A × m(t) cos (ωct + θ) (2.1)

Na figura 2.2, ´e apresentado um exemplo que ilustra o funcionamento deste tipo de mo-dula¸c˜ao.

Figura 2.2: Sinal da modula¸c˜ao OOK [9]

Analisando a expressão 2.1 e a observando a figura 2.2, verifica-se que o sinal modulante elimina ou preserva o sinal da portadora, consoante assuma, respetivamente, os valores 0 e 1. Não é dif´ıcil verificar que a informa¸cão é transmitida por altera¸cão da amplitude da portadora, sendo que a sua fase e a sua frequência mantêm-se constantes [11].

Uma das vantagens da modula¸cão ASK é a sua fácil implementa¸cão. Do lado das desvan-tagens, há que referir que esta modula¸cão não lida bem com a presen¸ca de ru´ıdo, pelo que é mais comum ser utilizada juntamente com outros formatos de modula¸cão ou então na sua versão M-ária (com M n´ıveis de amplitude) [4].

(29)

2.2.1.2 Phase Shift Keying (PSK)

Define-se modula¸cão PSK como o processo que altera a fase da onda portadora de acordo com um sinal modulante. A forma mais simples da modula¸cão PSK é conhecida como Binary Phase Shift Keying (BPSK). No BPSK, o sinal modulante binário é bipolar e tem a fun¸cão de controlar a fase da portadora, alternando este parâmetro entre dois valores poss´ıveis desfa-sados de 180o, correspondendo cada valor de fase a um s´ımbolo diferente. Se m(t) for o sinal em banda-base, o sinal produzido à sa´ıda do modulador (s(t)) é dado pela expressão 2.2, na qual m(t) é o sinal bipolar em banda base, ωc é a frequência da portadora e θ é a fase da portadora não modulada [6, 8].

s(t) = m(t) × cos (ωct + θ) 0 ≤ t ≤ T (2.2)

O sinal m(t), que assume somente os valores −1 e 1, interfere apenas na fase da portadora, mantendo a sua amplitude e a sua frequˆencia inalteradas [6, 8].

Uma outra variante da modula¸cão PSK é o Differential Phase Shift Keying (DPSK). Neste formato de modula¸cão, a fase da portadora depende não só do bit transmitido no instante atual como também do bit enviado no instante anterior [6].

Na figura 2.3, mostra-se como é gerado o sinal DPSK a partir de uma sequência de bits de informa¸cão.

Figura 2.3: Sinal da modula¸c˜ao DPSK [9]

Observando a figura 2.3, verifica-se o seguinte: quando se está a transmitir o bit ’0’, a fase da portadora não se altera, sendo igual à fase apresentada no bit anterior; caso se pretenda enviar um bit ’1’, ocorre uma inversão da fase da onda portadora [9].

A modula¸cão BPSK é robusta e simples em termos de implementa¸cão, mas acaba por revelar um uso ineficiente da largura de banda dispon´ıvel. Para além disso, é considerado um formato de modula¸cão não linear [4].

(30)

2.2.1.3 Frequency Shift Keying (FSK)

O princ´ıpio do FSK que, quando aplicado a um sinal digital binário recebe a designa¸cão de Binary Frequency Shift Keying (BFSK), consiste no uso de duas frequências diferentes para representar cada um dos dois s´ımbolos a transmitir [6].

Em termos matemáticos, a cada s´ımbolo corresponde uma onda sinusoidal com uma frequência espec´ıfica, cuja expressão é apresentada nas expressões 2.3a e 2.3b [6].

s1(t) = A × cos (2 × π × f1× t + θ) (2.3a) s2(t) = A × cos (2 × π × f2× t + θ) (2.3b) Pela análise das expressões anteriores, verifica-se que a amplitude (A) e a fase (θ) das sinusoides associadas a cada s´ımbolo (s1 e s2) são iguais, enquanto que a cada s´ımbolo é atribu´ıda a sua própria frequência (f1 ou f2).

A ilustra¸cão do princ´ıpio da modula¸cão FSK é apresentada na figura 2.4, na qual se representa o sinal modulante binário e o sinal modulado, que é resultante da varia¸cão da frequência da portadora consoante o s´ımbolo que se pretenda transmitir.

(a) Sequˆencia de bits (sinal modulante)

(b) Sinal FSK

Figura 2.4: Modula¸c˜ao BFSK [7]

2.2.2 Quadrature Amplitude Modulation (QAM)

Na modula¸cão QAM, têm-se duas portadoras sinusoidais em quadratura (com diferen¸ca de fase de 90o entre elas), que são moduladas em amplitude e fase de forma independente. O sinal resultante da modula¸cão QAM (s(t)) é expresso matematicamente pela expressão 2.4, na qual: I e Q são, respetivamente, as amplitudes das portadoras em fase e em quadratura; fcé a frequência da portadora e T é a dura¸cão de um s´ımbolo [12].

(31)

Figura 2.5: Sistema de modula¸c˜ao e desmodula¸c˜ao de sinais QAM [13]

Algumas conclusões podem ser ditas em rela¸cão à figura 2.5 e aos processos de modula¸cão e desmodula¸cão QAM [13]:

• Os sinais m1(t) e m2(t) são sinais polares, que modulam as duas componentes em qua-dratura da portadora. Estes sinais são do tipo: m1(t) = aip(t) e m2(t) = bip(t). Assim, o sinal à sa´ıda do modulador, φQAM(t), é dado pela expressão 2.5. É de salientar que o sinal p(t) é um impulso em banda base e que os pares de valores (ai, bi) variam con-soante o s´ımbolo QAM produzido e são os responsáveis pela existência dos M s´ımbolos da constela¸cão QAM. Se m1(t) e m2(t) assumirem n valores poss´ıveis, ter-se-á uma constela¸cão com M = 2n s´ımbolos.

φQAM(t) = aip(t) cos(ωct) + bip(t) sin(ωct) , i = 1, 2, ..., n (2.5)

• A opera¸cão do desmodulador envolve a recupera¸cão dos sinais m1(t) e m2(t) a partir do sinal φQAM(t). O procedimento, que permite obter o sinal x1(t) e que pode ser facilmente replicado para obter x2(t), é explicado pelas rela¸cões trigonométricas esta-belecidas pela expressão 2.6.

x1(t) = 2 cos (ωct)φQAM(t)

= 2[m1(t) cos (ωct) + m2(t) sin (ωct)] cos (ωct) = m1(t) + m1(t) cos (2ωct) + m2(t) sin (ωct)

(2.6)

• O filtro passa-baixo elimina as componentes m₁(t) cos (2ωct) e m2(t) sin (ωct) do sinal x1(t), recuperando-se assim o sinal modulante m1(t). No ramo inferior do desmodulador, ocorre uma situa¸cão semelhante à do ramo superior, que culmina com a recupera¸cão do sinal m2(t).

(32)

Mediante a modula¸cão da amplitude e da fase das duas portadoras ortogonais, o sinal QAM apresenta diferentes estados poss´ıveis, em que cada estado representa uma amplitude e uma fase espec´ıficas. O conjunto de todas os estados poss´ıveis é representado numa grelha de pontos equidistantes nas dire¸cões horizontal e vertical, correspondendo o eixo horizontal do gráfico à componente em fase (I) e o eixo vertical à componente em quadratura (Q). Esta representa¸cão designa-se por constela¸cão e contém um número de pontos igual a potências de 2 (2, 4, 8, 16, e assim sucessivamente). O número de pontos que a constela¸cão apresenta é identificado na designa¸cão do formato de modula¸cão QAM: por exemplo, 64QAM refere-se ao formato QAM com 64 combina¸cões poss´ıveis de amplitude e fase da portadora. A cada combina¸cão ou estado é associado um conjunto de bits. Se a constela¸cão for constitu´ıda por N s´ımbolos, a cada um destes é associado um conjunto de log₂N bits. Pensando na modula¸cão 64QAM, sabe-se que um s´ımbolo (cada ponto da constela¸cão) é identificado pela sua própria sequência de 6 bits. Conclui-se então que, quanto maior for o número de pontos existentes na constela¸cão QAM, maior será o número de bits transmitidos por s´ımbolo. Um aumento no número de s´ımbolos implica que estes estejam mais próximos uns dos outros e, consequente-mente, vai existir uma maior suscetibilidade para a ocorrência de erros devidos à influência do ru´ıdo [14].

As figuras 2.6 a 2.8 mostram exemplos de constela¸cões QAM com diferentes números de s´ımbolos. Na modula¸cão QPSK Quadrature Phase Shift Keying, transmitem-se dois bits, definindo cada combina¸cão poss´ıvel dos mesmos uma fase espec´ıfica da portadora. Assim, a fase da mesma pode assumir quatro valores diferentes. na figura 2.6, os bits b0 e b1 de-terminam, respetivamente, os sinais dos coeficientes das partes real e imaginária do s´ımbolo. Na constela¸cão 16QAM, da figura 2.7, os pares (b0, b1) e (b2, b3) codificam, respetivamente, as componentes dos s´ımbolos nos eixos I e Q do plano complexo, sendo o sinal das mesmas determinado pelos bits b0 e b2. Na constela¸cão 64QAM, ilustrada na figura 2.8, os bits b0 e b3 especificam, respetivamente, se os sinais dos coeficientes das partes real e imaginária dos s´ımbolos são positivos ou negativos. Os conjuntos (b0, b1, b2) e (b3, b4, b5) referem-se, respetivamente, às componentes em fase e em quadratura [15].

(33)

Figura 2.7: Constela¸c˜ao 16QAM [15]

(34)

Para formatos de modula¸cão QAM de maior ordem (com um maior número de pontos na respetiva constela¸cão), a gera¸cão e dete¸cão de s´ımbolos adquire maior complexidade e o ru´ıdo torna-se cada vez mais relevante e mais dif´ıcil de eliminar. Quando uma dada constela¸cão QAM é afetada por ru´ıdo, verifica-se um desvio na posi¸cão dos s´ımbolos relativamente àquelas que seriam as sua posi¸cões de referência.

2.2.2.1 Convers˜ao entre bits e s´ımbolos

A informa¸cão da codifica¸cão binária dos s´ımbolos QAM, exposta pelas figuras 2.7 e 2.8, pode ser armazenada em look-up tables, que permitam o estabelecimento de uma corres-pondência direta e un´ıvoca entre sequências de n bits e um dos 2n _{s´ımbolos da constela¸}_c˜_ao.

Antes de apresentar as referidas tabelas, há que explicar como é que as mesmas foram constru´ıdas. Tanto na modula¸cão 16QAM como no 64QAM, a representa¸cão binária dos s´ımbolos segue a lógica da codifica¸cão de Gray. Um código binário de Gray, de ordem m, é um conjunto de 2m palavras poss´ıveis, tal que duas quaisquer strings cont´ıguas do código difiram, exatamente, num único bit. Ao se impôr que as primeira e última palavras do código tenham um só bit diferente entre si, diz-que o código de Gray é c´ıclico. Este tipo de codi-fica¸cão, inventado por Frank Gray, surgiu com o intuito de tornar as transi¸cões entre s´ımbolos consecutivos mais suaves e rápidas, sendo amplamente usado em áreas como o controlo de circuitos combinatórios e sequenciais. Neste campo, a necessidade de se especificar que apenas se altera um d´ıgito, numa transi¸cão entre valores consecutivos, é um dado importante para que estes sistemas apresentem um melhor funcionamento [16, 17].

Na tabela 2.1, é apresentada a codifica¸cão dos s´ımbolos 16QAM, em que os bits b0 e b2, por determinarem, respetivamente, os sinais das partes real e imaginária do complexo do s´ımbolo, são os bits de quadrante.

Tabela 2.1: LUT da modula¸c˜ao 16QAM b0b1b2b3 S´ımbolo 1 1 1 1 1+1i 1 0 1 1 3+1i 1 0 1 0 3+3i 1 1 1 0 1+3i 0 1 1 0 -1+3i 0 0 1 0 -3+3i 0 0 1 1 -3+1i 0 1 1 1 -1+1i 0 1 0 1 -1-1i 0 0 0 1 -3-1i 0 0 0 0 -3-3i 0 1 0 0 -1-3i 1 1 0 0 1-3i 1 0 0 0 3-3i 1 0 0 1 3-1i 1 1 0 1 1-1i

(35)

Pela análise da tabela, é intuitivo perceber-se que, se b0= 1, o coeficiente da parte real é positivo (será negativo se o referido bit for 0) e que, tendo-se b2 = 1 ou b2 = 0, o coeficiente da parte imaginária é, respetivamente, positivo ou negativo.

As LUTs para a modula¸c˜ao 64QAM s˜ao apresentadas pela tabela 2.2.

Tabela 2.2: LUTs da modula¸c˜ao 64QAM (a) Primeiro quadrante

b0b1b2b3b4b5 S´ımbolo 1 1 0 1 1 0 1+1i 1 1 1 1 1 0 3+1i 1 0 1 1 1 0 5+1i 1 0 0 1 1 0 7+1i 1 0 0 1 1 1 7+3i 1 0 1 1 1 1 5+3i 1 1 1 1 1 1 3+3i 1 1 0 1 1 1 1+3i 1 1 0 1 0 1 1+5i 1 1 1 1 0 1 3+5i 1 0 1 1 0 1 5+5i 1 0 0 1 0 1 7+5i 1 0 0 1 0 0 7+7i 1 0 1 1 0 0 5+7i 1 1 1 1 0 0 3+7i 1 1 0 1 0 0 1+7i (b) Segundo quadrante b0b1b2b3b4b5 S´ımbolo 0 1 0 1 0 0 -1+7i 0 1 1 1 0 0 -3+7i 0 0 1 1 0 0 -5+7i 0 0 0 1 0 0 -7+7i 0 0 0 1 0 1 -7+5i 0 0 1 1 0 1 -5+5i 0 1 1 1 0 1 -3+5i 0 1 0 1 0 1 -1+5i 0 1 0 1 1 1 -1+3i 0 1 1 1 1 1 -3+3i 0 0 1 1 1 1 -5+3i 0 0 0 1 1 1 -7+3i 0 0 0 1 1 0 -7+1i 0 0 1 1 1 0 -5+1i 0 1 1 1 1 0 -3+1i 0 1 0 1 1 0 -1+1i (c) Terceiro quadrante b0b1b2b3b4b5 S´ımbolo 0 1 0 0 1 0 -1-1i 0 1 1 0 1 0 -3-1i 0 0 1 0 1 0 -5-1i 0 0 0 0 1 0 -7-1i 0 0 0 0 1 1 -7-3i 0 0 1 0 1 1 -5-3i 0 1 1 0 1 1 -3-3i 0 1 0 0 1 1 -1-3i 0 1 0 0 0 1 -1-5i 0 1 1 0 0 1 -3-5i 0 0 1 0 0 1 -5-5i 0 0 0 0 0 1 -7-5i 0 0 0 0 0 0 -7-7i 0 0 1 0 0 0 -3-7i 0 1 1 0 0 0 -5-7i 0 1 0 0 0 0 -1-7i (d) Quarto quadrante b0b1b2b3b4b5 S´ımbolo 1 1 0 0 0 0 1-7i 1 1 1 0 0 0 3-7i 1 0 1 0 0 0 5-7i 1 0 0 0 0 0 7-7i 1 0 0 0 0 1 7-5i 1 0 1 0 0 1 5-5i 1 1 1 0 0 1 3-5i 1 1 0 0 0 1 1-5i 1 1 0 0 1 1 1-3i 1 1 1 0 1 1 3-3i 1 0 1 0 1 1 5-3i 1 0 0 0 1 1 7-3i 1 0 0 0 1 0 7-1i 1 0 1 0 1 0 5-1i 1 1 1 0 1 0 3-1i 1 1 0 0 1 0 1-1i

(36)

Relativamente à modula¸cão 64QAM, os bits de quadrante são b0 e b3, definindo estes, respetivamente, os sinais dos coeficientes das partes real e imaginária dos s´ımbolos: se b0 for igual a 1 ou 0, o s´ımbolo tem, respetivamente, parte real positiva ou negativa; se b3 = 1, a parte imaginária é positiva, sendo esta negativa no caso de o referido bit ser igual a 0.

Como se pode constatar pela análise do conteúdo das tabelas, as sequências binárias, que codificam dois s´ımbolos cont´ıguos de cada uma das constela¸cões, diferem em apenas um bit. O uso de codifica¸cão de Gray permite a obten¸cão de valores de BER mais reduzidos do que no caso de se usar outra forma de codifica¸cão, sendo este facto mais notório no caso em que o recetor confunde um s´ımbolo com o seu vizinho da constela¸cão. Neste caso, ao usar codifica¸cão de Gray, sabe-se que apenas se está a cometer erro num único bit, algo que não se garantiria com o uso de outras formas de codifica¸cão. Espera-se que, para valores elevados de SNR, o código de Gray permita reduzir significativamente o número de erros, dado que a decisão errada de se ter transmitido um s´ımbolo vizinho do verdadeiro é a mais provável de ocorrer.

2.3 Ru´ıdo

Como já foi poss´ıvel perceber, o objetivo de qualquer comunica¸cão é sempre o de transmitir informa¸cão desde um transmissor até um recetor. Para que a comunica¸cão seja efetivada, a mensagem tem de ser transportada por um qualquer canal de transmissão, que vai corromper a mesma com ru´ıdo. Apesar de a existência de ru´ıdo ser algo indesejável, a verdade é que a presen¸ca do mesmo é inevitável. Para além disso, o estudo do ru´ıdo é de vital importância para se compreenderem quais as limita¸cões no desempenho de sistemas e para saber o que pode ser feito para que estas limita¸cões possam ser ultrapassadas [18].

Em termos genéricos, o ru´ıdo pode ser entendido como um qualquer sinal indesejado, de natureza determin´ıstica ou aleatória, que interfira com a transmissão, o processamento ou a aquisi¸cão de um sinal de informa¸cão. O ru´ıdo pode reduzir a qualidade de uma comunica¸cão de diversas formas. Pensando num sistema de telefonia celular digital, este fator indesejável pode surgir como: ru´ıdo acústico de fundo; interferências entre as ondas eletromagnéticas ou ru´ıdo térmico. Sendo o ru´ıdo um fenómeno de natureza predominantemente aleatória, este deve ser caracterizado em termos estat´ısticos, pelo facto de não ser poss´ıvel prever o seu comportamento ao longo do tempo [19].

No contexto desta disserta¸cão, vão ser estudados os efeitos do ru´ıdo branco gaussiano, cuja sigla inglesa popularmente difundida é AWGN (additive white gaussian noise).

Escrutinando esta designa¸cão, importa perceber o conceito de ru´ıdo branco. Antes disso, é importante referir que o ru´ıdo pode ser descrito por um processo estocástico, que nada mais é que um conjunto de variáveis aleatórias indexadas pelo parâmetro tempo. O ru´ıdo branco é definido por um processo estocástico descorrelacionado, com média nula e variância constante [20].

Estas propriedades são apresentadas nas expressões 2.7 a 2.9, nas quais se representa o ru´ıdo pela variável aleatória t. Na expressão 2.8, como a média do ru´ıdo branco µ é igual a zero, a partir da defini¸cão de variância, prova-se que a potência do sinal de ru´ıdo (igual a E[2_t]) é igual à sua variância, assumindo-se que esta assume um valor finito. Na expressão

(37)

Na expressão 2.9, Cov (t, t+s) e ρ(t, t+s) designam, respetivamente, a covariância e o coeficiente de autocorrela¸cão entre duas variáveis aleatórias de ru´ıdo distanciadas de s instantes de tempo, considerando que s é um valor inteiro positivo. A expressão 2.9 usa a propriedade de que a covariância e o coeficiente de correla¸cão entre duas quaisquer variáveis aleatórias são diretamente proporcionais [20].

µ = E [t] = 0 (2.7) V ar [t] = E(t− µ)2 = E 2t = σ2 < ∞ (2.8) Cov (t, t+s) = ρ(t, t+s) V ar[t] = 0 (2.9)

A ausência de autocorrela¸cão num qualquer par de variáveis aleatórias, definidas em ins-tantes de tempo diferentes do processo estocástico do ru´ıdo branco, tem como consequência que estas não tenham nenhuma correla¸cão entre si. Isto significa que o valor assumido pelo si-nal de ru´ıdo num dado instante não é influenciado por qualquer um dos valores que o mesmo assumiu em instantes temporais anteriores. Este facto corrobora a tese de ser imposs´ıvel verificar qualquer padrão de repeti¸cão no comportamento do sinal de ru´ıdo [20].

´

E também poss´ıvel afirmar que o ru´ıdo branco é caracterizado por apresentar densidade espetral constante. Como a potência do ru´ıdo é igual à sua variância e esta é constante, a potência do ru´ıdo também o será para qualquer frequência [19].

A figura 2.9 apresenta uma ilustra¸cão gráfica de um sinal de ru´ıdo AWGN, gerado em MATLAB, para uma SNR de 15dB. A figura 2.10 ilustra uma das principais caracter´ısticas do mesmo, que é a de apresentar potência constante ao longo de todo o eixo de frequências. No sentido prático, é necessário impôr uma largura de banda ao sinal de ru´ıdo branco, porque a ausência desta imposi¸cão faria com que a potência do mesmo fosse infinita.

(38)

Figura 2.10: Potˆencia de um sinal de ru´ıdo branco [20]

Falta perceber os motivos pelos quais se diz que o ru´ıdo ´e aditivo e gaussiano.

O termo aditivo indica que o sinal recebido é igual ao sinal transmitido mais o ru´ıdo, cabendo ao recetor a tarefa de tentar recuperar, da melhor forma poss´ıvel, a mensagem original. Significa isto que o canal de transmissão adiciona ru´ıdo ao sinal s, chegando ao recetor o sinal r (expressão 2.10). Refira-se ainda que o ru´ıdo é estatisticamente independente do sinal transmitido [21].

r = s + (2.10)

As consequências de o ru´ıdo ser gaussiano é que este segue uma distribui¸cão de probabili-dade normal (também conhecida por gaussiana). Seguindo esta distribui¸cão, há vários factos a assinalar: o ru´ıdo pode assumir valores positivos, negativos ou nulos; a probabilidade de o ru´ıdo assumir valores próximos de zero é muito superior à a probabilidade de ocorrência de valores afastados de zero. O gráfico da distribui¸cão normal é apresentado pela figura 2.11, na qual se pode verificar que a referida distribui¸cão é simétrica relativamente à sua média [21].

Figura 2.11: Gráfico da distribui¸cão normal, com média µ e variância σ2 [22]

(39)

2.4 M´

etricas de desempenho de um sistema de transmiss˜

ao

digital

Nesta seçcão, vão ser discutidos alguns dos parâmetros que permitem avaliar o desempenho de um sistema de transmissão digital. Nesta disserta¸cão, vão ser usadas as seguintes métricas: entropia, energia média e Bit Error Ratio.

2.4.1 Entropia

Considere-se X como uma variável aleatória discreta com fun¸cão massa de probabilidade p(x). A entropia da variável X, H(X), é calculada a partir da expressão 2.11, na qual o operador E[.] representa o valor esperado da variável aleatória em questão [23].

H(X) = −Xp(x) log p(x) = −E[log(p(x))] (2.11)

A entropia H(X) quantifica a incerteza esperada associada a uma dada variável aleatória X, representando a quantidade de informa¸cão média que se adquire a partir de observa¸cões dessa mesma variável. A entropia será tanto mais elevada quanto maior for a incerteza que se tem relativamente ao conhecimento de uma dada variável aleatória X, sendo que esta terá um valor máximo quando a fun¸cão massa de probabilidade p(x) segue uma distribui¸cão uniforme e será nula quando a fun¸cão p(x) se resume a um ponto, tendo-se apenas um valor poss´ıvel para a variável aleatória X [23].

2.4.2 Entropia relativa

Considere-se a existência de duas distribui¸cões de probabilidade poss´ıveis, p e q, para uma só variável aleatória X, assumindo esta valores pertencentes ao conjunto X . Tem-se que a entropia relativa (ou distância de Kullback-Leibler) entre essas duas distribui¸cões é calculada a partir da expressão 2.12 [24].

D (p||q) = X x∈X

p(x) log₂ q(x)

p(x) (2.12)

Sendo usada como uma medida da distância entre duas distribui¸cões probabil´ısticas, a entropia relativa acaba por permitir perceber também quais as consequências negativas, em termos de ineficiência, que traz uma errada escolha da distribui¸cão para a variável aleatória. Assumindo que p é a distribui¸cão verdadeira de X, há dois casos poss´ıveis: se for escolhida p, são necessários H(p) bits para descrever a variável aleatória X; se a op¸cão para a distri-bui¸cão de probabilidades de X recair sobre q, então são necessários H(p) + D (p||q) bits para caracterizar X [25].

A entropia relativa ´e sempre um valor igual ou superior a zero, sendo nula apenas no caso especial em que p = q [25].

(40)

2.4.3 Informa¸c˜ao m´utua

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com fun¸cões massa de probabilidade p(x) e p(y), respetivamente, e uma fun¸cão massa de probabilidade conjunta p(x, y). A informa¸cão mútua entre as variáveis aleatórias X e Y , I(X; Y ), é calculada a partir da expressão 2.13. A informa¸cão mútua entre X e Y é definida como a entropia relativa entre duas distribui¸cões: a distribui¸cão conjunta de X e Y , p(x, y), e o produto das suas distribui¸cões marginais, p(x)p(y) [25]. I (X; Y ) = X x∈X X y∈Y p(x, y) log₂ p(x, y) p(x)p(y) = D(p(x, y)||p(x)p(y)) (2.13) A informa¸cão mútua mede a dependência mútua entre duas variáveis aleatórias, quanti-ficando a informa¸cão que uma variável aleatória contém acerca da outra variável. Enquanto medida da informa¸cão compartilhada por duas variáveis aleatórias, é definida como a redu¸cão na incerteza de uma variável consequente do conhecimento adquirido sobre a outra [25].

2.4.4 Energia m´edia de um sinal

No estudo do sistema apresentado anteriormente, um dos parâmetros mais importantes, para aferir o seu desempenho, é a energia média transmitida. Embora haja outras formas de prever teoricamente qual será a potência média expectável subjacente à transmissão de uma constela¸cão QAM, a determina¸cão da energia média, no contexto desta disserta¸cão, vai ser diretamente aplicada à constela¸cão QAM produzida à sa´ıda do modulador. Assim, se τ designar um ponto genérico da constela¸cão, a energia média da mesma vai ser dada pela razão entre o somatório das energias de todos os s´ımbolos da constela¸cão e o número de pontos da mesma (expressão 2.14. E = P τ|τ |2 Ntotal (2.14) Na expressão 2.14, Ntotal refere-se ao número total de s´ımbolos existentes na constela¸cão QAM e não ao número de s´ımbolos poss´ıveis para cada modula¸cão QAM (por exemplo, este é igual a 64 no caso de se ter uma constela¸cão 64QAM).

Obviamente, o sistema ser´a tanto mais eficiente quanto menor o valor de E.

2.4.5 Bit Error Ratio (BER)

Contrariamente ao que acontece com outros critérios de teste do desempenho de um sistema, a Bit Error Ratio (BER) permite avaliar o desempenho global do sistema como um todo. A determina¸cão da BER é relativamente simples: compara-se a sequência de bits `

a entrada do transmissor com a aquela que é gerada à sa´ıda do recetor e contabilizam-se o número de bits que diferem entre essas duas sequências. A BER é uma forma de estima¸cão da probabilidade de ocorrência de erros, sendo dada pela razão entre os números de bits errados e o total de bits enviados [26].

(41)

2.5 Limita¸

c˜

oes de um canal de transmiss˜

ao

Um sistema e um canal de transmissão reais nunca conseguem responder totalmente às proje¸cões teóricas, uma vez que estas são constru´ıdas à base de modelos teóricos, que são simplifica¸cões da realidade. Nesta seçcão, são apresentadas diferentes defini¸cões para um elemento comum: a velocidade máxima a que um canal consegue transportar dados, sem que estes sejam corrompidos, de forma significativa, por ru´ıdo.

2.5.1 Largura de Banda

A largura de banda é uma caracter´ıstica f´ısica de um sistema de telecomunica¸cões, que dá indica¸cão sobre a velocidade a que o canal consegue transmitir informa¸cão num determinado instante. Em sistemas analógicos, é expressa em Hertz (Hz), enquanto que, nos sistemas digitais, a largura de banda é especificada em bits por segundo [13].

No dom´ınio analógico, a largura de banda é entendida como a faixa de frequências dentro da qual se consegue transmitir informa¸cão de uma forma confiável.

Na figura 2.12, a largura de banda é delimitada pelas frequências f1 e f2, às quais se verifica uma redu¸cão de 3dB em rela¸cão à potência máxima do sinal. Em termos lineares, um decréscimo de 3dB na potência de um sinal significa que a mesma se reduziu para metade do seu valor inicial. As frequências f1 e f2 correspondem, respetivamente, às frequências de corte inferior e superior [13, 27].

Figura 2.12: Largura de banda de um sistema de comunica¸c˜oes[27]

A largura de banda é diretamente proporcional ao ritmo de transmissão: se um canal de largura ∆f transmite N impulsos por segundo, ao se pretender transmitir KN impulsos por segundo, então a largura de banda do canal tem de ser aumentada para K∆f [13].

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2.5.2 Bit rate

No dom´ınio digital, a capacidade de transmitir informa¸cão é medida em bits por segundo, o que é o mesmo que dizer que a bit rate está para os sistemas digitais como a largura de banda para os analógicos. Quando se estabelece um determinado valor de bit rate, está-se a assumir que todos os bits têm a mesma dura¸cão e que são transmitidos uns a seguir aos outros sem qualquer interrup¸cão. A bit rate acaba por ser uma medida da velocidade máxima a que é poss´ıvel transmitir informa¸cão digital através de um dado canal [28].

2.5.3 Rela¸c˜ao entre bit rate e largura de banda: modelos de Nyquist e Shannon

A abordagem mais básica para relacionar estes dois parâmetros é afirmar que só é poss´ıvel transmitir um bit por cada Hz, ou seja, se por exemplo se pretender estabelecer uma liga¸cão a 1200 bits por segundo, necessitar-se-ia de um canal com uma largura de banda de 1200 Hz. No entanto, o engenheiro eletrónico Harry Nyquist trouxe um contributo fulcral para o desenvol-vimento dos conhecimentos na área da teoria da informa¸cão, dizendo ser poss´ıvel transmitir, sem erros, a uma bit rate igual a 2f1 através de um filtro passa-baixo com frequência de corte igual a f1. Por outras palavras, isto significa que se consegue transmitir dois bits in-dependentes, sem qualquer interferência entre eles, num canal com 1Hz de largura de banda [28].

Claude Shannon enunciou um modelo diferente. Este matemático e engenheiro eletrónico apresentou uma expressão para a capacidade de um canal de transmissão que, sendo expressa em bits por segundo e usualmente referenciada pela letra C, é definida como o número máximo de bits que esse canal consegue transmitir por segundo com uma probabilidade de erro tão próxima de zero quanto se desejar. De acordo com o Teorema de Shannon, considerando que se está a transmitir um sinal de potência média igual a S (em W ), através de um canal com largura de banda B (em Hz), afetado por ru´ıdo branco gaussiano com potência média de N (em W ), tem-se que a capacidade do canal C é dada pela equa¸cão 2.15 [13].

C = B log₂ 1 + S N (2.15) Analisando a equa¸cão 2.15, verifica-se que, caso não existisse ru´ıdo (N = 0), se tinha que C = ∞, pelo que se poderia transmitir uma quantidade ilimitada de informa¸cão, através do canal, sem quaisquer erros de transmissão. Vulgarmente, ouve-se falar em limite de Shannon para refor¸car a ideia de que os sistemas práticos não conseguem transmitir informa¸cão à velocidade dada pela expressão 2.15 [13]. Dificuldades com as quais se tem que lidar no mundo dos sistemas reais são, por exemplo, a distor¸cão de fase ou o facto de existirem canais de largura de banda limitada, nos quais valores elevados de bit rate come¸cam a provocar interferência entre os s´ımbolos transmitidos [28].

A razão S/N representa a rela¸cão sinal-ru´ıdo, que é muitas vezes referida como SNR (signal-to-noise ratio). Esta é uma quantidade adimensional e é tanto maior quanto maior for a potência do sinal de informa¸cão comparativamente à do ru´ıdo que o distorce.

(43)

Preferen-SN RdB = 10 log10 Psinal Pruido = 10 log₁₀ S N (2.16) Quando se quer transmitir um sinal em banda base com uma bit rate superior à permitida pelo canal de transmissão, a solu¸cão passa por usar modula¸cão. Na verdade, a taxa de transmissão de dados, que um determinado canal consegue transportar, não é definida pela bit rate, mas sim pelo número de transi¸cões ocorridas no sinal por segundo, que recebe o nome de baud rate. Quanto mais avan¸cado for o formato de modula¸cão, maior será a quantidade máxima de bits pass´ıvel de ser transmitida por unidade de tempo [28, 29].

A rela¸cão entre a bit rate e a baud rate não é tão linear como à partida possa parecer. Só é poss´ıvel estabelecer que baudrate = bitrate × n, em que n será o número de bits por s´ımbolo, no caso de se ter um sinal em banda base do tipo RZ, que sofre várias mudan¸cas de estado por segundo. Neste caso particular, se fosse usado, por exemplo, o 16QAM para modular o sinal de informa¸cão, a bit rate seria o quádruplo da baud rate, uma vez que cada s´ımbolo é representado por quatro bits. Já não haverá uma rela¸cão tão linear entre bit rate e baud rate se o sinal for NRZ (non-return-to-zero), no qual só é admiss´ıvel uma transi¸cão por segundo [28].

Uma outra condicionante na rela¸cão entra a bit e a baud rates é o tipo de polariza¸cão utilizado na modula¸cão QAM. Se esta for simples, só é necessário modular a amplitude e a fase das duas componentes da portadora, entretanto geradas por um deslocador de fase de 90o, significando isto que apenas se precisa de um modulador IQ. Se a polariza¸cão for dupla, seriam necessários dois moduladores IQ e o dobro dos bits. No sistema estudado nesta disserta¸cão, usar-se-á polariza¸cão simples na modula¸cão QAM.

2.6 Conclus˜

oes

Relativamente ao que foi apresentado neste cap´ıtulo, é poss´ıvel concluir que o QAM con-siste na modula¸cão da amplitude e da fase de duas portadoras sinusoidais em quadratura, correspondendo cada uma destas a cada um dos eixos perpendiculares do gráfico da cons-tela¸cão. Cada s´ımbolo da mesma é codificado por um conjunto de n bits, tendo a constela¸cão um total de 2n s´ımbolos poss´ıveis. A modula¸cão QAM pode ser facilmente implementada por LUTs, havendo sempre que ter em conta que existem bits que determinam o sinal dos coeficientes das partes real e imaginária do s´ımbolo e outros que definem a magnitude do mesmo. Os dois tipos de modula¸cão estudados vão ser o 16QAM e o 64QAM e, como se vai verificar mais à frente, a modula¸cão 16QAM apresenta uma BER inferior ao 64QAM, dado que os s´ımbolos estão mais distanciados uns dos outros e, por isso, os efeitos do ru´ıdo são menos danosos do que no 64QAM.

Neste cap´ıtulo, estabeleceu-se ainda que vai ser aplicado ru´ıdo AWGN ao sistema em estudo. Este ru´ıdo é caracterizado por um processo estocástico com média nula, variância constante e por ausência de autocorrela¸cão entre variáveis do ru´ıdo definidas em instantes de tempo distintos. A distribui¸cão probabil´ıstica do ru´ıdo AWGN é a distribui¸cão normal (ou Gaussiana).

Finalmente, apresentaram-se alguns dos critérios importantes para avaliar o desempenho do sistema de transmissão digital. Os mais usados serão a BER, a energia média da cons-tela¸cão QAM e a entropia.

(44)

(45)

CAP´ITULO

3

Probabilistic Constellation Shaping

e Forward Error Correction

Neste cap´ıtulo, explicar-se-ão, de forma detalhada, os conceitos de Probabilistic Constella-tion Shaping e de Forward Error CorrecConstella-tion. Mencionar-se-ão os benef´ıcios que, tanto o PCS como o FEC, trazem ao sistema de transmissão digital em que são aplicados. Em rela¸cão ao PCS, serão apresentados não só os fundamentos teóricos basilares desta técnica como também serão abordados alguns dos diferentes algoritmos existentes para a sua execu¸cão. Relativa-mente à parte do FEC, serão explicados alguns dos conceitos teóricos que suportam este método, com especial aten¸cão para os códigos de blocos.

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Muitos são os requisitos que os sistemas de transmissão atuais devem cumprir, sendo que os mais significativos são a eficiência espetral e a máxima distância de transmissão, que se consegue alcan¸car de modo a explorar todos os recursos dispon´ıveis.

As caracter´ısticas da comunica¸cão mudam consoante as condi¸cões em que a mesma é estabelecida. No caso de um sistema consistir numa rede de pequenas dimensões, com um elevado valor de SNR, este deve ter eficiência espetral máxima, de forma a maximizar a taxa de transmissão binária ao longo da liga¸cão. Caso se tenha, por exemplo, uma rede intercontinental, com um reduzido valor de SNR, deve-se usar um formato de modula¸cão QAM, com uma constela¸cão constitu´ıda por poucos s´ımbolos, e aplicar um esquema FEC complexo para que a comunica¸cão seja mais confiável. Preferencialmente, são usados formatos de modula¸cão QAM simples, havendo, por este motivo, uma penaliza¸cão expressa em termos de SNR, que é explicada pelo facto de a capacidade do sistema ser inferior ao valor da capacidade de Shannon [30].

Para reduzir a diferen¸ca para a capacidade de Shannon, podem ser usadas duas aborda-gens: codifica¸c˜ao (assegurada pelo Forward Error Correction) e modela¸c˜ao (ou concretizada pelo Probabilistic Constellation Shaping) [31].

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Com a codifica¸cão, pretende-se encontrar uma sequência de s´ımbolos apropriadamente distanciados uns dos outros, de forma a que cada s´ımbolo seja fidedignamente identificado e distinguido dos restantes, quando se verifica a presen¸ca de ru´ıdo. Com o shaping, procura-se transmitir informa¸cão, com uma dada bit rate, com a menor energia média transmitida poss´ıvel. Tem-se, então, que a codifica¸cão procura maximizar a distância entre os diferentes s´ımbolos transmitidos, de forma a minimizar a influência do ru´ıdo, enquanto que o shaping procura transmitir o máximo de informa¸cão poss´ıvel com o m´ınimo dispêndio de energia [32].

3.2 Probabilistic Constellation Shaping

Nesta seçcão, estudar-se-ão os princ´ıpios teóricos necessários à compreensão do conceito de PCS, abordando-se alguns dos métodos que possibilitam a sua realiza¸cão.

3.2.1 Geometric shaping e probabilistic shaping

A técnica de otimiza¸cão do desempenho de um sistema, que será mais abordada ao longo desta disserta¸cão, é o signal shaping, que se subdivide em duas formas: geométrico (geometric shaping) e probabil´ıstico (probabilistic shaping). No geometric shaping, é atribu´ıda igual probabilidade de ocorrência a todos os s´ımbolos, mas a distância entre s´ımbolos cont´ıguos, na constela¸cão QAM, não é constante. No probabilistic shaping, usa-se uma constela¸cão com pontos equitativamente espa¸cados nas dire¸cões horizontal e vertical do plano complexo, mas os s´ımbolos vão ter diferentes probabilidades de serem transmitidos [30].

Nas figuras 3.1 e 3.2, são apresentados os resultados da aplica¸cão de modela¸cões geométrica e probabil´ıstica a constela¸cões 16QAM uniformes.

(47)

Figura 3.2: Probabilistic shaping [33]

Tal como é poss´ıvel verificar, o shaping geométrico altera a distribui¸cão espacial dos s´ımbolos, mantendo as suas probabilidades inalteradas (todos os pontos da constela¸cão apre-sentam uma densidade idêntica, estando esta associada à colora¸cão que lhe é atribu´ıda). O shaping probabil´ıstico altera a probabilidade dos s´ımbolos, verificando-se uma densidade dos mesmos tanto maior quanto mais próximos estiverem do centro da constela¸cão, mas não in-tervém na sua distribui¸cão no espa¸co.

Falando agora da evolu¸cão do Probabilistic Constellation Shaping, é de real¸car que, primei-ramente, foi usado o Geometric Constellation Shaping. Neste tipo de modula¸cão, procurava-se redistribuir os s´ımbolos de uma constela¸cão de uma forma tão mais aproximada da distribui¸cão Gaussiana quanto poss´ıvel. Rapidamente se percebeu que este não era o caminho, uma vez que este tipo de shaping apresenta os seguintes problemas: grande dificuldade na determina¸cão da posi¸cão de todos os s´ımbolos da constela¸cão e aumento da complexidade do Digital Signal Processor (DSP), responsável pela recupera¸cão do sinal original. Assim, a elimina¸cão do ru´ıdo acaba por ser um processo bastante moroso em termos de hardware. O PCS come¸cou a ser desenvolvido em 2015 e, contrariamente ao geometric shaping, deixa as posi¸cões dos s´ımbolos no plano complexo inalteradas, mexendo apenas nas suas probabilidades de transmissão de modo a que estas sigam a distribui¸cão gaussiana [34]. Ao se utilizar o PCS, a determina¸cão da posi¸cão dos s´ımbolos é trivial, uma vez que não se altera a localiza¸cão dos mesmos no plano complexo, fazendo com que a atenua¸cão do ru´ıdo não necessite de tecnologia muito complexa. A outra vantagem do PCS é a facilidade na imposi¸cão de probabilidades aos s´ımbolos, bas-tando, muitas vezes, alterar um só parâmetro. Estudos, para permitir a combina¸cão destas duas formas de shaping, ainda estão numa fase muito embrionária [34].

Nesta disserta¸cão, o foco será totalmente virado para o estudo e desenvolvimento de técnicas que permitam concretizar a modela¸cão probabil´ıstica de constela¸cões QAM.

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3.2.2 Conceito

O elemento, que implementa o shaping probabil´ıstico, é o Distribution Matcher (DM). O DM consiste numa fun¸cão, localizada no transmissor, que converte sequências binárias, com uma distribui¸cão de Bernoulli (probabilidade de 0.5 para cada bit), em sequências de bits ou s´ımbolos com uma dada distribui¸cão probabil´ıstica não uniforme e definida previamente[35]. O DM, sendo um elemento invert´ıvel, admite que exista um distribution dematcher, que é o elemento principal do bloco que implementa a fun¸cão inversa do PCS, mapeando sequências de s´ımbolos ou bits não uniformemente distribu´ıdos para conjuntos de bits com distribui¸cão uniforme. No caso espec´ıfico de PAS (Probabilistic Amplitude Shaping), o DM transforma k bits uniformemente distribu´ıdos em n amplitudes com uma distribui¸cão de probabilidades previamente especificada [3, 36].

O conceito de PCS é apresentado na figura 3.3, na qual se ilustram as fun¸cões massa de probabilidade (P1, P2, P3, P4), referentes às constela¸cões 64QAM resultantes de quatro esquemas de PCS aplicados. A probabilidade de ocorrência dos s´ımbolos é dada pela altura das barras verticais dos gráficos apresentados na figura.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.3: Ilustra¸cão gráfica de quatro esquemas de PCS aplicados a constela¸cões 64QAM, com diferentes valores de entropia: (a) H(P1)= 5.73 bits, (b) H(P2)= 5.23 bits, (c) H(P3)= 4.60 bits, (d) H(P4)= 4.13 bits [3]

Desde as ilustra¸cões (a) até à (d) da figura 3.3, existe um aumento na intensidade do shaping aplicado, verificando-se que a distribui¸cão dos s´ımbolos fica cada vez mais confinada aos pontos mais interiores da constela¸cão [3].