8.7 Modelização e Identificação Orientada por Blocos
8.7.2 Identificação do Modelo Hammerstein Adaptativo
A identificação dos modelos Hammerstein propostos para o esquentador é efectuada em duas fases. Numa primeira fase, é identificada, fora de linha, a função não linear estática
utilizando dados estáticos de entrada e saída para um dado caudal fixo. Numa segunda fase, é identificado o modelo de 1a ordem dinâmico de forma recursiva utilizando dados
dinâmicos do sistema.
Como se pretende dividir o modelo do esquentador em dois blocos, o ganho do sistema tem de ser distribuído de forma bem definida pelos dois blocos para evitar redundância nos modelos construídos. Um procedimento muito comum é a imposição de ganho unitário ao modelo linear dinâmico, sendo o restante ganho modelizado pela função não linear estática.
Identificação do Modelo Hammerstein Adaptativo Polinomial
Identificação do Modelo Directo Numa primeira fase é efectuada a identificação da função não linear estática, e numa segunda fase é efectuada a identificação da função linear dinâmica de 1a ordem.
Considerando o ganho de G(.) igual a um, os aumentos de temperatura ∆t(k) vão corresponder à variável intermédia zg(k) em estado estacionário, em que zg(k− d1(k))
= zg(k) = ∆t(k).
Para identificar esta função é necessário um conjunto de dados de entrada e saída em estado estacionário. Este conjunto de dados é retirado do conjunto de dados de treino EN E como apresentado na figura 8.17.
∆tee(k) ... fg max(.) fg min(.) fg(k) fgee(k) ∆t(k) ∆tmin(.) ∆tmax(.)
Figura 8.17: Figura ilustrativa do processo de recolha dos dados em estado estacionário EEN EE com base nos dados estáticos e dinâmicos EN E, para um caudal fixo ( ∆t(k) -
linha tracejada e fg(k) - linha contínua).
estacionário, em que fgee(k) e de ∆tee(k) são os valores de fg(k) e de ∆t(k) em es-
tado estacionário e N EE é o número de elementos de cada vector desse conjunto. O procedimento ilustrado na figura 8.17 retira um par de pontos de (fg(k); ∆t(k)) em
EN E em cada degrau de f
g(k) em estado estacionário. Deste modo N EE é igual a o
número de degraus de fg(k)existentes em EN E, desde o valor mínimo até ao valor má-
ximo de fg(k). A identificação dos três parâmetros a0, a1 e a2 do polinómio de segunda
ordem é realizada, fora de linha, através do método dos mínimos quadrados.
Para identificar a função linear dinâmica de 1a ordem utilizaram-se os dados de
treino DN D e o método recursivo de mínimos quadrados (RLS). Deste modo, os parâ-
metros p1 e q1 são identificados, em que a entrada é o sinal intermédio zg(k− d1(k))
e a saída é ∆t(k). Os valores de zg(k− d1(k)) são calculados com o auxilio da função
polinomial identificada na primeira fase.
Estes parâmetros tem de ser identificados em linha uma vez que variam de caudal para caudal. Como o caudal de água possui variações em forma de degrau, estas vão provocar variações em degrau nos parâmetros do modelo linear. Para uma adaptação eficaz da variação rápida dos parâmetros lineares utiliza-se a técnica da reinicialização da matriz das covariâncias (Reset Covariance Matrix - RCM ). Esta reinicialização é efectuada com base no valor do erro de estimação.
O diagrama de blocos da figura 8.18 mostra o esquema de identificação recursivo uti- lizado para estimar os parâmetros do modelo linear dinâmico do modelo Hammerstein adaptativo. g(.) f(.) fg Esquentador ∆t ^ ca zg ∆t RLS com RCM Tempo morto d1(.)
Figura 8.18: Identificação recursiva do bloco linear do modelo Hammerstein.
Identificação do Modelo Inverso Dentro das condições já referidas anteriormente, o modelo Hammerstein adaptativo polinomial inverso não necessita de ser identificado, uma vez que é possível inverter, matematicamente, o modelo Hammerstein adaptativo polinomial directo.
Identificação do Modelo Hammerstein Adaptativo Neuro-Difuso
Identificação do Modelo Directo Numa primeira fase, é efectuada a identificação da função não linear estática e, numa segunda fase, é efectuada a identificação da função linear dinâmica de 1a ordem.
Utilizando os dados em estado estacionário EEN EE={fgee(k); ∆tee(k)}, k = 1..NEE,
e a função de custo definida na equação 8.19, o modelo neuro-difuso directo da função não linear estática é identificado. Os doze parâmetros do modelo neuro-difuso ci, σi
e ni, mi com i = 1..3, são identificados fora de linha, utilizando o método híbrido de
identificação referido na identificação do modelo neuro-difuso, apresentado na secção 8.6.
Para identificar a função linear dinâmica de 1a ordem utilizou-se exactamente o
mesmo procedimento utilizado para a identificação do modelo linear de 1a ordem do
modelo Hammerstein adaptativo polinomial.
Identificação do Modelo Inverso A identificação do modelo inverso da função não linear estática é realizada da mesma forma que a identificação do modelo directo, com a excepção dos regressores utilizados EEN EE = {∆tee(k); fgee(k)}, k = 1..NEE. A
estrutura e o número de parâmetros do modelo neuro-difuso inverso da função estática é igual à do modelo neuro-difuso directo. Os parâmetros do modelo neuro-difuso inverso da função não linear estática, apesar de referidos com nomes idênticos, tomam valores diferentes dos identificados para o modelo neuro-difuso directo.
Os parâmetros do modelo linear inverso de 1a ordem são os identificados para o
modelo linear directo 1a ordem do modelo Hammerstein.
8.7.3
Resultados
Modelo Não Linear Estático Polinomial
A figura 8.19 apresenta os resultados obtidos pelo modelo polinomial da função não linear estática.
Modelo Linear Dinâmico
A figura 8.20 apresenta a evolução da identificação dos parâmetros p1 e q1 do modelo
linear de 1a ordem do modelo Hammerstein adaptativo polinomial. Estes parâmetros variam essencialmente com o caudal de água como era previsto pelos conhecimentos a priori existentes sobre o esquentador.
Modelo Hammerstein Adaptativo Polinomial
A tabela 8.3 apresenta os valores de pJ(θ, DN D) e V (θ, HN H) obtidos, respectiva-
mente, para os modelos Hammerstein adaptativo polinomial directo e inverso.
Função Modelo
de Custo Directo[oC] Inverso[%]
Treino - pJ(θ, DN D) 0,41 1,21
Teste - V (θ, HN H) 0,40 1,22
0 2 4 6 8 10 12 14 5 10 15 20 25 30 35 40 ∆ t e ∆ t [ºC]
NEE [amostras em estado estacionário]
^
Figura 8.19: Resultados da identificação da função não linear estática do modelo Ham- merstein adaptativo polinomial directo, função estática real e estimada (linha tracejada e contínua, respectivamente).
Modelo Directo Na figura 8.21 estão apresentados os resultados obtidos pelo modelo directo Hammerstein adaptativo polinomial. De cima para baixo, o gráfico 1 apresenta o aumento da temperatura estimado e real (linha tracejada e contínua, respectivamente) e o gráfico 2 apresenta o erro entre os dois sinais referidos para os dados de treino.
Modelo Inverso Os resultados obtidos pelo modelo inverso Hammerstein adaptativo polinomial estão apresentados na figura 8.22. De cima para baixo, o gráfico 1 apresenta o fluxo de gás estimado e real (linha tracejada e contínua, respectivamente) e o gráfico 2 apresenta o erro entre os dois sinais referidos para os dados de treino.
Modelo Hammerstein Adaptativo Neuro-Difuso
A tabela 8.4 apresenta os valores de pJ(θ, DN D) e V (θ, HN H) obtidos, respectiva-
mente, para os modelos Hammerstein adaptativo neuro-difuso directo e inverso. Uma vez que os resultados obtidos com o modelo directo e inverso Hammerstein neuro-difuso são muito semelhantes aos apresentados nas figuras 8.21 e 8.22 obtidos utilizando o modelo polinomial, estes não serão apresentados neste documento.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 q1 (k) p1 (k ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 5 10 15 ca [l/m in] Tempo [amostras=segundos]
Figura 8.20: Evolução da identificação dos parâmetros do modelo linear para o modelo Hammerstein adaptativo polinomial para os dados de teste. De cima para baixo, gráfico 1 - parâmetros estimados e gráfico 2 - caudal da água.
Função Modelo
de Custo Directo[oC] Inverso[%]
Treino - pJ(θ, DN D) 0,40 1,19
Teste - V (θ, HN H) 0,41 1,20
Tabela 8.4: MSEs obtidos com o modelo Hammerstein Adaptativo neuro-difuso.
8.7.4
Comentários
O modelo Hammerstein do esquentador foi identificado em duas fases. Na primeira fase, são identificados fora de linha os parâmetros da função não linear estática; na segunda fase, são identificados “em linha” os parâmetros do modelo linear dinâmico. O algoritmo de adaptação em linha do modelo Hammerstein aumenta a complexidade matemática do modelo, no entanto, este trás vantagens óbvias de adaptabilidade do modelo a perturbações desconhecidas.
Pelas figuras 8.21 e 8.22 pode observar-se que os sinais reais e estimados pelos modelos adaptativos directo e inverso estão praticamente sobrepostos, o que indicia uma boa modelização.
Os resultados apresentados nas tabelas 8.3 e 8.4 mostram que os modelos Ham- merstein adaptativos obtêm erros de modelização baixos.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 10 20 30 40 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -2 -1 0 1 2 Tempo [amostras=segundos] ∆ t e ∆ t [º C ] err o [ºC] ^
Figura 8.21: Resultados do modelo Hammerstein adaptativo polinomial directo. De cima para baixo, gráfico 1 - aumento da temperatura estimada e real (linha tracejada e contínua, respectivamente) e gráfico 2 - sinal de erro entre os dois sinais anteriores, em ordem ao tempo.
Quanto às duas variantes de modelo Hammerstein apresentadas para o esquentador, o modelo Hammerstein adaptativo polinomial é o “preferível”, uma vez que atinge igualmente bons resultados com uma estrutura muito mais simples. Neste caso, a não linearidade estática do esquentador é correctamente modelizada por um polinómio de ordem dois. Os sistemas neuro-difusos devem ser utilizados quando a função não linear estática é mais complexa como, por exemplo, uma função quadrática com saturação ou uma função não linear com histerese.