4.3 Identificação de Modelos Orientados por Blocos
4.3.2 Identificação dos Modelos Hammerstein
A identificação dos modelos Hammerstein é geralmente mais simples do que a identi- ficação dos modelos Wiener, já que a função não linear só vai afectar os regressores do sinal de entrada. A forma como se define a função não linear f (.) do modelo Hammers- tein vai restringir o tipo de classe de identificação a utilizar.
A identificação do bloco linear dinâmico G(.) é realizada utilizando o método dos mínimos quadrados que estima os parâmetros do modelo através de dados de entrada e saída dinâmicos do sistema, como apresentado na secção 4.3.1.
A função do bloco não linear estático f (.) pode ser aproximada utilizando várias estruturas não lineares, tais como:
• funções matemáticas que descrevam o fenómeno; • funções polinomiais;
• redes neuronais;
• funções de base radial (Radial Based Functions - RBF ); • séries de Volterra;
Consoante a estrutura escolhida para o modelo Hammerstein (tipo de função que aproxima o bloco não linear) e o tipo de dados disponíveis do sistema, podem ser utilizadas duas classes de identificação.
Classe de identificação em dois passos
A identificação dos modelos Hammerstein é efectuada, neste caso, em dois momentos separados. Se a função f (.) for conhecida à partida através de conhecimentos adquiridos sobre o sistema ou conhecimentos fenomenológicos (primeiro passo), então o problema de identificação do modelo Hammerstein resume-se à identificação dos parâmetros do modelo linear dinâmico (segundo passo) θ = [a1, ..., ana, b1, ...bnb]
T da equação 4.9 apli-
cando o método do mínimos quadrados (equação 4.19) e utilizando os dados dinâmicos do sistema, em que y é o vector com todas as saídas de dimensão N − k (equação 4.24) e X é a matriz dos regressores (equação 4.25) em que z(k) = f (u(k):
y= [y(k + 1), ..., y(N )]T (4.24) X= y(k) ... y(k− na) z(k− d) ... z(k− d − nb) y(k + 1) y(k + 1− na) z(k + 1− d) z(k + 1− d − nb) ... ... ... ... y(N − 1) ... y(N − 1 − na) z(N− 1 − d) ... z(N − 1 − d − nb) (4.25) Quando a função f (.) é desconhecida, existem como foi atrás referido, várias al- ternativas possíveis para a construção e identificação do seu modelo. Neste caso, são apresentadas duas abordagens para a modelização desta função que utilizam funções polinomiais e sistemas neuro-difusos.
Na primeira abordagem, a função f (.) é modelizada por uma função polinomial de ordem l definida pela equação 4.26:
z(k) = f (u(k)) = o1u(k) + o2u(k)2+ ... + olu(k)l (4.26)
em que o1, ..., ol são os parâmetros lineares do polinómio de grau l a identificar.
Na segunda abordagem, a função f (.) é modelizada por um sistema difuso do tipo Takagi-Sugeno de ordem zero definido pela equação 4.27 (capítulo 3, secção 3.2):
z(k) = f (u(k)) = r P i=1 µAi(u(k))di r P i=1 µAi(u(k)) (4.27)
em que r é o número de regras do sistema difuso, µAi(u(k))é o grau de pertença relativo
à entrada u(k) e ao conjunto difuso Ai, e em que di é a constante estática de saída da
regra i. Para a definição dos conjuntos difusos utilizam-se funções de pertença do tipo Gaussiano (equação 4.28) cujo centro e a forma são definidos através dos parâmetros σi
e ci respectivamente. Neste caso, existem parâmetros lineares (di)e não lineares (σi e
variando número de parâmetros a identificar e a capacidade das respectivas estruturas na aproximação das não linearidades do sistema:
µAi(u(k)) = e
(−(u(k)−ci) 2
2σ2i ), i = 1..k (4.28)
Se existirem dados de entrada e saída estáticos e dinâmicos disponíveis, então a função do bloco estático não linear é identificada (primeiro passo) seguida da identi- ficação do bloco dinâmico linear (segundo passo). Se a função não linear f (.) é mo- delizada por um polinómio de ordem l (equação 4.26) utilizando os dados estáticos de entrada e saída {u} e {z = y}, os parâmetros o1, o2, ...ol são estimados pelo método dos
mínimos quadrados. Para evitar redundância nos modelos o ganho estático do sistema é todo incluído na função f (.), ficando a função do bloco linear dinâmico G(.) com ganho unitário. A identificação dos parâmetros θ do bloco linear é efectuada aplicando o método do mínimos quadrados (equação 4.19) definindo o vector y com as saídas (equação 4.24) e a matriz X dos regressores (equação 4.25), em que z(k) = f (u(k)).
Se a função f (.) é modelizada por um sistema difuso (equação 4.27), então, utili- zando conhecimentos experimentais e dados estáticos de entrada e saída ({u} e {z = y}), o conjunto de regras r é definido e os parâmetros σi, ci e di são estimados através
dos métodos do gradiente ou híbrido, semelhantes aos apresentados no capítulo 3. Como já referido atrás, para evitar redundância nos modelos, o ganho estático do sis- tema é todo incluído na função f (.), ficando a função do bloco linear dinâmico G(.) com ganho unitário. A identificação dos parâmetros θ do bloco linear dinâmico é efec- tuada aplicando o método do mínimos quadrados (equação 4.19) definindo o vector y com as saídas (equação 4.24) e a matriz X dos regressores (equação 4.25) em que z(k) = f (u(k)).
Outra situação é quando só existem dados de entrada e saída dinâmicos disponíveis. Neste caso, os parâmetros do bloco dinâmico linear são identificados (primeiro passo), utilizando dados dinâmicos locais, através da expressão definida na equação 4.23 que impõe um ganho unitário, em que y é o vector com todas as saídas de dimensão N − k e X é a matriz com todos os regressores de dimensão (N − k) × (na+ nb) definidos,
respectivamente, nas equações 4.20 e 4.21.
De seguida são identificados os parâmetros da função estática não linear (segundo passo) utilizando dados dinâmicos globais do sistema. Utilizando as funções apresen- tadas para a modelização da função não linear estática (função polinomial e sistema neuro-difuso), a sua identificação é efectuada da forma já descrita, com a excepção de que dados utilizados são dados dinâmicos.
Identificação iterativa ou num único passo
A identificação dos modelos Hammerstein é efectuada, neste caso, de uma forma ite- rativa ou num único passo. Desta classe de identificação destaca-se o método apresen- tado por Abonyi que identifica um modelo Hammerstein difuso utilizando programação quadrática (quadratic programming) [ABB+00] e o método apresentado por Narendra
e Gallaman em que os dois blocos do modelo são identificados alternadamente de forma iterativa [NG66]. Este último método processa-se da seguinte forma: em cada iteração
numa primeira fase fixam-se os parâmetros ai, bj do bloco linear e identificam-se os
parâmetros o1, ..., ol da função não linear, através do método dos mínimos quadra-
dos, numa segunda fase, com os parâmetros o1, ..., ol identificados no passo anterior
(primeira aproximação), identificam-se os parâmetros ai, bj do bloco linear (próxima
aproximação), através do método dos mínimos quadrados. Iterativamente, este al- goritmo irá convergir para a solução que minimiza a respectiva função de custo, no entanto, a respectiva solução pode apresentar redundância [Sto81]. Para evitar este problema utiliza-se a imposição de ganho unitário do bloco linear como definida nas equações 4.22 e 4.23.
Na classe de identificação Hammerstein, num único passo, destaca-se uma variante do método anterior com a imposição de restrições para evitar a redundância nos mode- los em que todos os parâmetros são lineares e identificados de uma só vez pelo método dos mínimos quadrados.