Incas: A Contagem através de Cordas

A civilização Inca construiu um grande império na região dos Andes, na América do Sul, a partir de meados do século XIII. De acordo com Struik (1997) a grandeza da civilização Inca não se evidenciou apenas em suas técnicas de engenharia, mas também na maneira como essa civilização organizou seu Estado, criando, para tanto, um sistema de cordas – os quipus – para registro alfanumérico, usados nos séculos XV e XVI para codificar suas informações e resolver problemas numéricos.

Figura 11 – Quipus( Khipus)

Fonte: http://www.am-sur.com/am-sur/peru/gs/Campos/05_Incas-Inkas-ESP.html

O império Inca se originou da junção de grupos indígenas que tiveram em comum governo, religião e idioma, mas que possuíram origens culturais distintas. Esse fato, não só influenciou o aspecto cultural, mas também o desenvolvimento da Matemática inca.

No campo da Matemática desenvolveram um método de contagem através de cordas, denominado Quipus – que na língua quéchua significa cordão – era constituído de uma corda principal, esticada horizontalmente, à quais cordas mais finas coloridas eram amarradas, reunidas em vários grupos e ligadas a intervalos regulares por diferentes tipos de nós. Cada grupo tinha de 1 a 9 nós. Por exemplo, um grupo de 4 seguido de um com 2 e de um com 8 nós representava o número 428. “Deste modo, constituía um sistema de posição no qual o nosso zero era representado por uma distância maior entre os nós” (STRUIK, 1997, p. 40) e, com os nove nós, representava um sistema de contagem decimal completa Almeida (1998).

Os Quipus (Figura 12) podem ser descritos de acordo com Ascher & Ascher (1981) como um sistema formado pela reunião de cordas de diversas cores com nós. A análise das cores, do posicionamento das cordas e dos nós constituem elementos de origem lógico- numérica.

Figura 12 – Reunião de cordas com diversos nós Fonte: ASCHER & ASCHER, 1981

O Sistema de numeração dos Incas era o decimal, diferente do vigesimal utilizado pelos Maias e Astecas. Essa particularidade facilitava o registro e as operações numéricas. No estudo da Matemática inca, existem dois aspectos a serem considerados: a representação de números por meio de nós (laços) nos quipus e a representação de palavras por meio de números. Embora estejam relacionados, esses dois aspectos são distintos.

Nos Quipus cada nó nos cordões tinha a mesma função, mas com significados variados. Assim, um nó simples indicava o algarismo um. Nós cada vez mais grossos figuravam os algarismos de dois a nove. O conceito de zero era conhecido e estava subtendido nas operações numéricas. Alguns historiadores (Faria, Berutti e Marques, 1998: 109) chegam a declarar que os espaços vazios entre os nós dos quipus representavam o zero.

De acordo com a posição do nó na parte inferior, mediana ou superior dos cordões verticais, os algarismos que eles representavam equivaliam à dezena, centena e milhar.

As palavras, em Quechua mostradas na Figura 13, designam cada um dos algarismos de 1 a 10, e constituem uma lista básica de palavras-número, que serão usadas na composição de palavras-número mais complexas.

Figura 13 – Palavras em Quechua Fonte: STRUIK, 1997

As palavras, em Quechua, que designam cada um dos algarismos de 1 a 10, constituem uma lista básica de palavras-número, que serão usadas na composição de palavras- número mais complexas.

Utilizavam esse instrumento na realização das operações numéricas cotidianas, no registro vivo de todos esses cálculos, que representavam entre esses as informações dos recursos ou dados do império, ou seja, a vasta burocracia na administração (STRUIK, 1997).Os Quipus eram as tecnologias de registros concretos para quantificar os diversos tipos de dados dos segmentos da civilização, com a mesma intenção dos tempos atuais, ou seja, as informações são armazenadas através da aplicação da informatização dos arquivos.

Procura-se, portanto, tirar conclusões e posições a partir de uma análise histórica e de um olhar mais crítico, deixando de lado aspectos lendários e concentrando em aspectos possíveis de comprovação histórica, ou que pelo menos seja suportável do ponto de vista de uma lógica ou racionalidade.

Dessa forma, apesar de uma incursão histórica do povo Inca, foi dada ênfase ao estudo dos conhecimentos matemáticos desse povo. Muitos dos conhecimentos antigos estão fora da alçada da Arqueologia uma vez que não houve registros dos mesmos.

Esse parece ser o caso específico de conhecimentos matemáticos, que foram sendo passados através de muitos séculos de forma oral.

2.2.3 Os Astecas

Os Astecas possuíam um disco composto por várias cores. O disco tem no centro, dentro de um círculo, o rosto do deus sol, e ao redor quatro retângulos que representariam as estações do ano. Também em um círculo seguinte ao do deus sol, vinte figuras diferentes que representavam os vinte dias do mês deles.

Figura 14 – Calendário Asteca Fonte: MORAES, 1998.

O calendário Asteca mostrado na Figura 14 era basicamente igual ao dos Maias. Para eles o ano era composto por 18 meses de vinte dias cada e mais um curto período, ou mês diminuto de 5 dias.

O círculo era contado da esquerda para a direita 18 vezes, resultando 360 dias e mais cinco dias chamados de Nemonterni que seriam dias de lazer ou de sacrifício, que eram cinco pontos encontrados dentro do círculo entre retângulos.

Figura 15 – Nomes no Calendário Asteca Fonte: MORAES, 1998.

O calendário Asteca (Figura 15) dava aos dias nomes próprios que correspondiam a números de ordem no decorrer do mês. Os dias corriam de 1 a 20, e os festivais eram comemorados no último dia do mês.

A escrita da data informava o ano em curso, o número e o nome do dia, sem mencionar o dia do mês e o próprio mês. Para citar uma ocorrência de longa duração, os Astecas informavam apenas o ano em curso.

Figura 16 – Meses do Calendário Asteca Fonte: MORAES, 1998.

Os meses no calendário asteca eram 18 (Figura 16), totalizando 360 dias, mais cinco dias suplementares, denominados Nemotemi ou "dias vazios".

2.2.3.1 Ábaco Asteca

Já que os Astecas eram peritos em Matemática, não é uma surpresa que eles tenham desenvolvido ferramentas, como o ábaco, que podiam ser usadas para fazer cálculos. Embora não tenham inventado o primeiro, eles fizeram um que é bastante semelhante.

O ábaco dos Astecas segundo Kooreda (s/a), mostrado na Figura 17 é feito de madeira, com fios que eram torcidos com grãos de milho atravessados por cordeis montados numa armação de madeira, utilizava uma contagem de base 20 com 5 dígitos, era composto por 7 linhas e 13 colunas, já que esses números eram sagrados para os Astecas.

Figura 17 – O ábaco dos Astecas

Fonte: http://www.miniweb.com.%20br/ciencias/artigos/abaco_historia.html

2.2.3.2 O sistema numérico

Os Astecas tinham um sistema numérico pictográfico vigezimal, razoavelmente complexo. Ao invés de escrever os números "1, 2, 3" e assim por diante, eles simbolizavam cada um com um ponto. Por exemplo, um ponto para o número um, dois para o número dois e três para o número três. Conforme ia aumentando, mais símbolos eram adicionados. Para 10 e

20, eles eram uma mistura de pontos, barras e um rombo. Para números grandes como 100, 200 e 300, ainda mais símbolos, como penas, eram adicionados aos pontos.

Na civilização Maia e Asteca toda a Matemática e sistema de calendário utilizava a base vigesimal, o que lhes valeu a possibilidade de calcular cifras altíssimas e assim conseguir precisão superior à da Matemática em uso na Europa da época dos descobrimentos.

Nesse sentido Lira (s/a)1 explica que quando Colombo chegou à América, em 1492, encontrou o continente habitado há muito tempo por várias civilizações e povos. Os povos pré-colombianos apresentavam diferentes estágios de desenvolvimento cultural e material, classificados em sociedades de coletores/caçadores e sociedades agrárias. Dentro desse segundo grupo, três culturas merecem maior destaque: os Maias, os Astecas e os Incas. Alcançaram notáveis conhecimentos de astronomia e Matemática, além de dominar técnicas complexas de construção, metalurgia, cerâmica e agricultura que diretamente e indiretamente recebiam e precisavam dos recursos da Matemática.