Interpretação das categorias emergentes

As unidades de análise extraídas de cada sessão didática foram classificadas em categorias, descrevendo, de modo geral, o papel exercido por estas durante as aulas. Comparando ambas as sessões, as reclassificamos como subcategorias, conforme mostra o quadro 15, que as define conforme sua função nas aulas analisadas.

Quadro 15 - Significado das categorias emergentes das sessões didáticas 1 e 2

Subcategorias Significado

Conteúdo Conteúdo a ser trabalhado na sessão didática.

Essência do conteúdo

Se refere ao âmago do conteúdo, base a partir da qual interagem as demais noções, relações e procedimentos. É o conceito ou operação com a qual o professor guiará a construção do conceito trabalhado. O docente precisa ter um bom domínio do assunto para poder identifica-la adequadamente.

Raciocínio matemático

Atividade mental que pode levar à compreensão de cada conteúdo. Precisa ser estimulado pelo docente, que deve orientar os discentes na busca pela compreensão das relações e conexões entre os objetos matemáticos estudados.

Elemento desafiador

Se refere a um aspecto específico do conteúdo capaz de provocar os desequilíbrios necessários a acomodação dos novos saberes, promovendo a dúvida entre os alunos, de modo que estes se sintam impulsionados a buscar o equilíbrio, ou seja, sintam-se motivados a alcançar o

entendimento do que estão a manipular. Envolve o conhecimento prévio do aluno e propicia a interação entre saberes antigos e novos.

Interação saber antigo/novo

Parte do conhecimento prévio do aluno buscando relacionar saberes antigos e novos através do elemento desafiador, responsável por desencadear os desequilíbrios necessários à aprendizagem.

Estratégias/recursos de ensino

São procedimentos e recursos didáticos utilizados pelo professor para facilitar a abordagem do conteúdo, em especial, de particularidades que precisam ser compreendidas sob diferentes enfoques.

Manipulação algorítmica

Se refere ao conhecimento matemático subjacente aos procedimentos algorítmicos e técnicas de resolução, que precisam ser exercitados após compreensão da essência do conteúdo trabalhado.

Fonte: Pesquisa direta (2016).

Comparando as subcategorias descritas no quadro 15 com o referencial teórico que trata dos princípios da Sequência Fedathi, definidos por Sousa (2015), chegamos no quadro 16 que evidencia relações diretas com a análise teórica e o plateau.

Quadro 16 - Relações entre as subcategorias e os princípios da Sequência Fedathi

Categorias a priori Subcategorias

Princípios da Sequência Fedathi (SOUSA, 2015) Análise teórica Essência do conteúdo Raciocínio matemático Estratégias de ensino Manipulação algorítmica Plateau Elemento desafiador/motivador

Interação saber antigo/novo Fonte: Pesquisa direta (2016).

Segundo o quadro 16, estão inseridos na análise teórica a essência do conteúdo, o raciocínio matemático, as estratégias de ensino e a manipulação algorítmica. A essência do conteúdo pode guiar a escolha do desafio, as estratégias de ensino e o delineamento dos objetivos. Além disso, o professor poderá pensar em como estimular o raciocínio matemático dos discentes, trabalhando aspectos relacionados à metacognição, daí a importância da escolha de estratégias de ensino adequadas para estes fins. A manipulação algorítmica, também, faz parte da análise teórica, sendo importante que o professor tenha consciência de seu papel, pois precisa ser explorada, de modo que o aluno possa internalizar ambos os enfoques: o conceitual e o algorítmico.

Outro ponto importante é a escolha do elemento desafiador que provocará nos alunos os desequilíbrios necessários à acomodação dos novos saberes. Essa escolha requer o conhecimento do plateau, em que a partir do conhecimento prévio dos alunos, o docente poderá vislumbrar como fazer a interação do que os alunos já sabem com o que precisam aprender. Ao preparar a aula com esta estrutura, o contrato didático estará, à medida que for sendo executado em sala de aula, implicitamente, sendo modificado, pois os alunos, conscientemente ou não, internalizarão a maneira como o professor trabalha, bem como o modo de a atividade matemática ser desenvolvida. Assim, poderão eles próprios, a cada conteúdo, buscar perceber o funcionamento da atividade matemática, analisando suas ações, o próprio pensamento matemático, se questionando: qual a estrutura que está por trás deste assunto? Esse conteúdo pode ser generalizado? Que características precisam ser extraídas?

6.4 Sistematização dos resultados

Tendo os resultados desta análise convergido com as categorias análise teórica e plateau, estruturamos o esquema ilustrado na figura 20, que descreve como o conteúdo foi tratado na abordagem metodológica da Sequência Fedathi. Assim, mostramos a análise teórica, delineada com base nas relações entre as subcategorias evidenciadas no quadro 15 e os pressupostos da Sequência Fedathi, caracterizando uma estrutura organizacional que guiou a elaboração das sessões didáticas elaboradas e ministradas na segunda parte desta pesquisa.

Figura 20 - Esquema organizacional dos conteúdos na Sequência Fedathi

Fonte: Pesquisa direta (2016).

De acordo com a figura 20, definido o conteúdo matemático que será trabalhado, o professor deve identificar sua essência, bem como os procedimentos necessários à manipulação algorítmica, as ações do raciocínio matemático necessárias à construção conceitual do conteúdo e, ainda, escolher estratégias de ensino que o auxiliem na abordagem. Além disso, é preciso considerar que o ensino deve partir do que o aluno já conhece. Desse modo, o professor precisa identificar os conhecimentos prévios dos alunos (diagnóstico do plateau) e analisar se estão em consonância com os pré-requisitos mínimos necessários ao bom acompanhamento do assunto. Com isso poderá verificar relações entre saberes antigos e novos, que ajudará a definir um elemento desafiador ou, simplesmente, um desafio que possa ser usado para instigar o interesse e o senso investigativo dos estudantes.

Segundo os resultados obtidos, além de verificar tais elementos, é importante que o professor tenha uma visão geral da sessão didática, compreendendo que o ensino, na perspectiva da Sequência Fedathi, deve partir de uma situação generalizável, que possa se utilizar de procedimentos e operações que permitam fazer uma sistematização dos passos realizados e ideias trabalhadas, que culminarão num modelo geral de resolução, conforme ilustra a figura 21.

Figura 21 - Visão geral da sessão didática na Sequência Fedathi

Fonte: Pesquisa direta (2016).

Na sessão didática 1 que abordou sistemas lineares, por exemplo, a situação generalizável foi o sistema: _{{𝑥 + 𝑦 = 36}

𝑥 − 𝑦 = 2 com características triviais, com a qual os estudantes se sentiam à vontade para resolver. As operações sobre as linhas de sistemas equivalentes caracterizaram os procedimentos e operações, que culminaram na sistematização da solução e no esboço de um modelo geral de resolução, nesse caso, a base do método de eliminação de Gauss.

Concluímos que, nessas aulas, os elementos que surgiram como subcategorias evidenciaram uma estrutura organizacional do conhecimento inerente aos conteúdos trabalhados nas sessões didáticas, dando sustentação ao processo de mediação do ensino, uma vez que influenciaram no modo como o ensino foi conduzido. Portanto, resultaram em ferramentas teóricas que podem ser utilizadas na preparação de sessões didáticas, sobretudo na análise teórica, visando à organização do conteúdo voltada para a construção conceitual. A figura 22 ilustra este resultado.

Figura 22 – Relações entre a organização do conteúdo e as fases da Sequência Fedathi

Fonte: Pesquisa direta (2016).

Nesse caso, a figura 22 é uma junção das figuras 20 e 21, que relaciona a organização do conteúdo às fases da Sequência Fedathi, conforme a percebemos na estrutura das sessões didáticas observadas. Com base nesse modelo, condensamos as informações em diagrama, ilustrado na figura 23, de modo que este pudesse auxiliar a organizar o conteúdo, de sorte a planejar as aulas do curso Introdução às Noções Elementares da Álgebra Linear com vistas a propor situações nas quais os alunos pudessem vivenciar a construção conceitual.

Figura 23 - Esquema utilizado na análise teórica

Fonte: Pesquisa direta (2016).

Na figura 23, o estímulo ao raciocínio matemático fica implícito na maneira como o professor irá mediar o desafio a ser trabalhado em cada sessão didática, cuja escolha deverá considerar a essência do conteúdo e o plateau, em consonância com a utilização de recursos e estratégias de ensino que auxiliem o aluno a superá-lo. Nesse sentido, temos indícios de que os processos de PMA podem existir desde a preparação das sessões didáticas, uma vez que o professor pode planejar como fará a mediação do ensino, de modo a contemplar o estímulo ao raciocínio matemático que subjaz à mobilização destes processos pelos estudantes.

O capítulo a seguir descreve a segunda etapa da investigação, em que a Sequência Fedathi foi vivenciada por nós no Curso de Introdução à Álgebra Linear, destinado a alunos de licenciatura em Matemática. Nesse caso, as sessões didáticas foram preparadas utilizando os resultados sintetizados na figura 23.

7 A VIVÊNCIA DA SEQUÊNCIA FEDATHI E O DESENVOLVIMENTO DO PMA

Neste capítulo, exprimimos os resultados da pesquisa, situando-os nos níveis da Sequência Fedathi - preparação, vivência e análise. Destacamos os principais achados referentes a postura e mediação docente, buscando relações com os processos que constituem o Pensamento Matemático Avançado.

Especificamente, na preparação, descrevemos como se deu o planejamento das sessões didáticas; na vivência, contemplamos os diálogos e a maneira como foram explorados os recursos didáticos e estratégias de ensino; e, na análise, verificamos a mediação docente na perspectiva das impressões dos sujeitos sobre a Sequência Fedathi. Assim, analisamos os resultados na perspectiva dos processos de PMA, definidos por Dreyfus (2002), Harel e Tall (1995) e Tall (1988;1995).

Os dados foram coletados na segunda e terceira partes da pesquisa de campo, que aconteceu nos meses de março e abril de 2017, com a realização de um curso de extensão (40h) denominado “Introdução às Noções Elementares da Álgebra Linear” e, em seguida de um grupo de estudos (20h) sobre a Sequência Fedathi. Ambos aconteceram na Universidade Estadual Vale do Acaraú, localizada no Município de Sobral/CE, tendo como público-alvo estudantes do curso de Licenciatura em Matemática.