Recombinação ou cruzamento

A decodificação de cromossomo em dois parâmetros:

c1=01101001001001101000001000111000100001110010 Passo 1: divisão de cadeia de bits c1 em duas cadeias de 22 bits:

0110100100100110100000 e 1000111000100001110010 Passo 2: conversão da base dois para base 10:

1722784 e 2328690

Passo 3: conversão da base dois para base 10:mapear esses resultados para o intervalo [-100,100]:

3.5.3 Recombinação ou cruzamento

A geração de novos indivíduos é feita através da reprodução, que nos algoritmos genéticos e representada pelo operador recombinação (crossover). A recombinação é o principal mecanismo para exploração do espaço de busca, e consiste na troca de informações genéticas entre dois indivíduos da população intermediária, gerando filhos que irão herdar características dos pais.

O operador recombinação é utilizado após o de seleção. Esta fase é marcada pela troca de segmentos entre “casais” de cromossomos selecionados para dar origem a novos indivíduos que formarão a população da próxima geração.

A ideia central do cruzamento é a propagação das características dos indivíduos mais aptos da população por meio de troca de informações entre os mesmos que dará origem a novos indivíduos.

O operador recombinação mais tradicional na representação binária é o de um ponto (simples), que corta a cadeia de bits de cada um dos cromossomos pais em uma posição aleatória, produzindo duas cabeças e duas caudas. As caudas são permutadas gerando dois novos cromossomos. A tabela 2 ilustra o comportamento desse operador.

Tabela 3.2 - Recombinação de um ponto

Pais Filhos

01100011011║100001101 01100011011║000010010 11001100110║000010010 11001100110║100001101

Além da recombinação de um ponto existem outros tipos de cruzamento, como a recombinação de n pontos de corte, uniforme, por variável, entre indivíduos e por média. A primeira descrita consiste no corte da cadeia de bits em n pontos e a troca de características da solução entres esses pontos. As tabelas 3 e 4 apresentam, respectivamente, exemplos de operadores de 2 e 3 pontos.

Tabela 3.3 - Recombinação de dois pontos

Pais Filhos

0110║00110║11000 0110║11001║11000

1100║11001║10010 1100║00110║10010

Tabela 3.4 - Recombinação de três pontos

Pais Filhos

0110║00110║111║010 0110║11001║111║100 1100║11001║100║100 1100║00110║100║010

Para determinados problemas é interessante que algumas soluções sejam preservadas, por isso a recombinação é aplicada com uma probabilidade que geralmente varia de 70% a 100%. Dessa forma 70% a 100% dos pares dos indivíduos da população intermediária gerarão filhos, e para o restante, os filhos serão iguais aos pais. Na representação real, os principais operadores utilizados para simular a combinação de informações genéticas entre os dois indivíduos estão apresentados a seguir:

Tabela 3.5 – Operadores genéticos utilizados no AG 3.5.4 Mutação e Substituição de Indivíduos

O operador mutação é um mecanismo de busca que explora regiões desconhecidas do espaço amostral, alterando o valor de um gene, situado em uma posição aleatória; de 1 para 0, ou de 0 para 1, no caso de representação binária.

Apesar de melhorar a diversidade de indivíduos na população, a mutação pode destruir boas informações contidas no cromossomo, por isso se utiliza a uma pequena taxa de mutação, geralmente entre 0,1% a 5%, que seja suficiente para assegurar a diversidade. Os principais tipos de mutação para representação real são: Uniforme, Gaussiana, Limite e Não uniforme. Após a aplicação dos operadores genéticos de recombinação e mutação, inicia-se o processo de substituição de alguns ou todos os indivíduos gerados, formando uma nova população. Esse processo de substituição pode ser classificado em dois tipos: geracional e steady-state.

O tipo de mutação mais simples é a mutação uniforme em que um único gene. Ou seja, dado um cromossomo p com o j-ésimo gene selecionado para mutação, é produzido um cromossomo c da seguinte forma:

 

A tabela 6, a seguir, apresenta um esquema de mutação simples para representação binária:

Tabela 3.6 – Operadores genéticos utilizados no AG Pai (antes da mutação) Filho (depois da mutação)

011000110 011010110

A tabela 4 mostra alguns dos principais tipos de mutação que podem ser encontrados na literatura:

Tabela 3.7 – Tipos de mutação (adaptada de Neves, 2007)

Tipos de Mutação Descrição

Uniforme

A mutação uniforme é a simples substituição de um gene por um numero aleatório gerado de uma distribuição uniforme.

Gaussiana

Na mutação gaussiana é feita a substituição de um gene por um número aleatório de distribuição normal.

Limite Neste tipo de mutação, substitui-se o parâmetro

mutante por um dos limites permitidos para este.

Mutação não uniforme Simples substituição de um gene por um valor obtido em uma distribuição não uniforme.

Mutação não uniforme múltipla Todos os genes dos cromossomos sofrem mutação não uniforme.

3.5.5 Elitismo

Há diversas maneiras de se proceder na escolha dos cromossomos mais aptos. Para o presente trabalho será adotado um procedimento de seleção proporcional à aptidão baseado na ideia do Elitismo. Ele é um método que tem se mostrado bastante eficaz para melhorar a convergência dos AGs. O elitismo foi primeiramente introduzido por Kenneth De Jong em 1975 e é uma adição aos vários métodos de seleção que força os AG’s a reterem certo número de “melhores” indivíduos em cada geração. Tais indivíduos podem ser perdidos se eles não forem selecionados para reprodução ou se eles forem destruídos por cruzamento ou mutação.

Muitos pesquisadores têm encontrado no elitismo vantagens significativas para a performance dos AGs. O procedimento de seleção do elitismo adotado nesse trabalho consiste nas seguintes etapas:

1. Seja a população de NC indivíduos (a1, a2, ..., aNC);

2. A aptidão, F_obj(a_i), de cada indivíduo é calculada conforme o valor da função objetivo;

3. Faz-se o ordenamento crescente da aptidão (para problema de minimização);

4. Selecionam-se os melhores indivíduos deste ordenamento de maneira a formar uma população de pe x NC indivíduos, onde te está sendo definido como taxa de elitismo;

5. Forma-se o restante da população com uma escolha aleatória de indivíduos (dentre os melhores) que irão compor a população de pais.

6. Finalmente vem a sucessão. Este procedimento visa melhorar o desempenho do AG.

3.6 Convergência

Através dos operadores genéticos, os indivíduos se reproduzem com a tendência de gerarem descendentes mais aptos, caracterizando dessa forma a evolução da população a cada geração. O processo de evolução se encerra quando uma solução satisfatória é identificada por meio de critérios de parada dos quais podem se destacar: convergência da função objetivo, convergência da aptidão, número de gerações e quantidades de indivíduos que convergem para um mesmo valor.

3.7 Vantagens e aplicações dos algoritmos genéticos

Situando os algoritmos genéticos no contexto das ferramentas de calibração em geral, a tabela 3.8 descreve algumas das principais classes de métodos de otimização, suas vantagens e desvantagens.

Os algoritmos genéticos diferem dos procedimentos de busca e otimização convencionais em vários aspectos. A tabela 3.9 destaca as principais características desta técnica e os respectivos benefícios.

Tabela 3.8 – Métodos de Otimização.

Métodos Descrição Vantagens Desvantagens

Gerar Testar

Gerar aleatoriamente ou

sistematicamente possíveis soluções, que são avaliadas até que sejam encontradas soluções satisfatórias.

As soluções são encontradas por meio de técnicas do Cálculo Diferencial (teoria dos limites e funções derivadas).

As soluções são encontradas por meio de técnicas do Cálculo Diferencial (teoria dos limites e funções derivadas).

Tabela 3.9 – Características dos Algoritmos Genéticos

Característica Vantagem

Trabalha com codificação de parâmetros e não com os próprios

parâmetros.

Funciona tanto com parâmetros contínuos como discretos ou combinação deles.

Trabalha com população de pontos e não simplesmente com um ponto

Realiza busca simultâneas de em várias regiões do espaço amostral, reduzindo a incidência de ótimos locais; otimiza um grande número de variáveis, identificando uma lista de parâmetros ótimos e não uma simples solução; possibilita o uso de soluções encontradas por outros métodos de otimização.

A vantagem principal dos AGs ao trabalharem com o conceito de população, ao contrário de muitos outros métodos que trabalham com um só ponto, é que eles encontram segurança na quantidade. Tendo uma população de pontos bem distribuidos, é reduzida a possibilidade de alcançar um falso ótimo. Os AGs conseguem grande parte de sua amplitude simplesmente ignorando informação que não constitua parte do objetivo, enquanto outros métodos se sustentam fortemente nesse tipo de informação e, em problemas nos quais a informação necessária não está disponível ou se apresenta de difícil acesso, estes outros métodos falham. Portanto, os AGs podem ser aplicados praticamente em qualquer problema.

Apesar de aleatórios, eles não são caminhadas aleatórias não direcionadas, ou seja, buscas totalmente sem rumo, pois exploram informações históricas para encontrar novos pontos de busca onde são esperados melhores desempenhos. Isto é feito através de processos iterativos, onde cada iteração é chamada de geração.

As principais vantagens dos AGs podem ser resumidas no que se sega seguir:

 São procedimentos de busca paralela que podem ser implementados em máquinas de processamento paralelo, acelerando em muito o processo;

 São aplicáveis a problemas de otimização contínuos e discretos;

 São estocásticos e, portanto, menos sujeitos a ficarem presos em mínimos locais, frequentes em muitos problemas práticos de otimização;

 Sua flexibilidade facilita a estruturação e identificação de parâmetros em modelos complexos tais como redes neurais e sistemas de inferência nebulosos.

3.8 Fases de um algoritmo genético

A fim de se compreender melhor o funcionamento de um algoritmo genético, dispõe-se dos passos abaixo para melhor repredispõe-senta-lo.

(i) Geração da população inicial de cromossomos;

(ii) Avaliar os cromossomos da população;

(iii) Aplicar o operador elitismo

(iv) Aplicar os operadores de recombinação (crossover) e mutação para gerar novos indivíduos;

(v) Atualizar os membros da população;

(vi) Avaliar todos os novos cromossomos e inseri-los na população;

4 MODELO HIDRÁULICO

Este capítulo apresenta o modelo hidráulico adotado para a análise do transitório hidráulico. As equações parciais diferenciais (EDP) não lineares são transformadas em equações diferenciais ordinárias (EDO) de modo a facilitar a compreensão do transitório e da sua aplicação. Embora essa não seja a finalidade de transformar as EDPs em ODEs.

4.1 Introdução ao sistema transiente em tubulação

Os sistemas hidráulicos, constituídos de tubulação com água sob pressão, podem sofrer alterações nas condições de escoamento caracterizadas pela variação de pressão e velocidade de escoamento do fluido em função do tempo, ocasionando regimes variados.

O regime variado que ocorre durante a passagem de um regime permanente para outro regime permanente chama-se transiente ou transitório. Portanto, qualquer alteração no movimento ou paralisação eventual de um elemento do sistema dá origem aos fenômenos transitórios. Após a ocorrência da perturbação, como o desligamento de uma bomba ou fechamento de uma válvula, o regime permanente é alterado, dando origem a um regime não permanente que posteriormente passará a um novo estado de permanência. Assim, os tipos de transientes mais comuns numa tubulação são: mudança no ajuste de válvula, acidental ou planejada; partida ou parada de bombas; variação de demandas ou consumos; alteração do nível de água de um reservatório.

As sobrepressões e subpressões que ocorrem durante o transitório hidráulico podem causar sérios problemas à tubulação e seus equipamentos, se estes não forem dimensionados para suportar tais sobrecargas, comprometendo a segurança e o funcionamento do sistema.

Logo, faz-se necessário a quantificação das pressões máximas e mínimas para que o projetista dimensione a tubulação e instale equipamentos de proteção a fim de evitar amortecer as varrições de carga, prejudiciais à vida útil da instalação.

O fenômeno transiente pode ser analisado considerando dois tipos de modelos: a modelo da coluna rígida e o modelo da coluna elástica. A teoria da coluna rígida tem como características que os fluidos são incompressíveis, os condutos rígidos e hipótese unidimensional. Esse modelo tem como consequências um modelo mais simplificado, equações mais simples, porém com cálculo mais longe da realidade física. A aplicação para este modelo se resume aos cálculos simples de manobras muito simples e estabilidade de

chaminés de equilíbrio. Por outro lado, o modelo da coluna elástica apresenta como hipóteses:

fluido compressível, condutos elásticos e direção unidimensional. As consequências desse sistema apresentam um modelo mais complexo; equações mais simples e um cálculo mais próximo da realidade física. Esse modelo tem como aplicações o cálculo do golpe de aríete e cavitação. Nesse trabalho, a utilização do modelo elástico é o mais adequado.

A análise dos transientes nos sistemas hidráulicos é baseada nas equações da continuidade e da conservação da quantidade de movimento. Essas equações que descrevem o fenômeno transiente são equações diferenciais parciais com presença de termos não lineares, podem inviabilizar uma solução analítica explícita. Portanto, embora as equações sejam conhecidas há algum tempo, as simplificações assumidas na obtenção e resolução dessas equações, levam a resultados que nem sempre reproduzem satisfatoriamente os efeitos observados experimentalmente.

4.2 Método das Características

Em 1953, C.A.M. Gray (apud WYLIE et al. e CHAUNDHRY) foi o primeiro a propor o uso da método das características orientado para análise computacional do transiente hidráulico. Em 1962, Streeter e Lai (apud CHAUNDHRY) publicaram um método para o cálculo de transientes com uso de computadores, difundindo finalmente seu uso nesse tipo de estudo.

O método numérico mais utilizado na resolução de escoamentos transientes é ainda o Método das Características. Uma vez que as características representam seu curso de ondas ou perturbações que se deslocam, esse é o método mais apropriado para analisar sistemas hiperbólicos (CHAUNDHRY). O Método das Características apresenta uma série de vantagens sobre os outros métodos para resolução de golpes de aríete, tais como critério de estabilidade bem definido, solução explícita e procedimento por aproximações relativamente simples.

O fluxo transiente em um conduto forçado é regido pelas equações diferenciais parciais não lineares a seguir:

4.1 0

2 





 



x H gA a t H

4.2

Em que H é a carga piezométrica, Q é a vazão volumétrica, A é a área da seção transversal do tubo, a é a celeridade da onda de pressão, D é o diâmetro interno da tubulação, f é o fator de atrito de Darcy-Weisbach, g é a aceleração da gravidade, x é a distância e t o tempo.

As equações (4.1) e (4.2) representam a equação da conservação da massa e do

“momentum”, respectivamente. Para sua resolução, como não existe uma solução analítica simples para esse conjunto de equações, utiliza-se o recurso dos métodos numéricos. Portanto, essas equações devem ser transformadas em equações diferenciais ordinárias para serem resolvidas.

ARAÚJO (2003) explica que rápidas mudanças no fluxo, causadas por operações planejadas ou acidentais, podem criar grandes pulsos de pressão capazes de romper ou prejudicar as linhas da tubulação. Sendo, portanto, nesse caso, a utilização do modelo da coluna elástica mais adequado.

Será utilizado o modelo da coluna elástica através do método das características como ferramenta de modelagem do fenômeno transiente pelo fato do mesmo considerar os efeitos elásticos da água em um conduto.

ARAÚJO (2003) explica que as equações (4.1) e (4.2) são equações diferenciais parciais não lineares. Elas serão discretizadas e linearizadas no modelo da coluna elástica 4.2.1 Cálculo da celeridade

HALLIWELL apud CHAUDHRY (1987) apresenta uma expressão geral para o cálculo da velocidade da onda:

4.3 onde:  é um parâmetro adimensional que depende das propriedades elásticas do conduto; E = módulo de elasticidade de Young da parede do conduto; K e ρ são o módulo de elasticidade e a massa específica do fluido, respectivamente. Existem várias expressões que

2 0

calculam o parâmetro  para diferentes condições dos condutos. Neste trabalho, os condutos serão considerados como elásticos de paredes finas. A expressão é a seguinte:

4.4 onde D = diâmetro do conduto, e = espessura da parede e   = razão de Poisson.

4.2.2 Equações fundamentais do Método das Características

As equações (4.1) e (4.2) representam matematicamente o transiente hidráulico e através dela é possível calcular os valores da vazão Q e da carga piezométrica H ao longo da tubulação x e do tempo t.

Para resolver sistemas de equações diferenciais torna-se necessário um método numérico e condições de contorno apropriadas. Alguns métodos numéricos podem ser encontrados na literatura, entre eles, têm-se os seguintes: método das características, método do contorno integral, método dos volumes finitos, método dos elementos finitos, método espectral e método das diferenças finitas.

A preferência pelo método das características se justifica pelo fato do fenômeno

As equações (4.1) e (4.2) podem ser reescritas como:

4.5

Aplicando uma combinação linear das equações (4.5) e (4.6), tem-se que: então as derivadas totais podem ser escritas como:

4.11 4.12

O multiplicador pode ser definido como:

4.13

Utilizando as equações (4.10), (4.11) e (4.12), as equações características tornam-se:

2 0

4.14 (4.15) e a segunda associada com a equação (4.17).

As equações (4.15) e (4.17) representam no plano x, duas linhas retas com y declividades, como se pode observar pela Figura 4.1. Essas linhas retas são chamadas de linhas características, daí o nome Método das Características. A reta de inclinação 1cé chamada característica positiva e a reta de inclinação 1 c é a característica negativa, sendo convenientemente chamada de C^ e C^ respectivamente.

Desta forma, discretizando-se o domínio x e o tempo t em intervalos, uma solução numérica pode ser obtida.

Figura 4.1. Linhas Características no plano x-t Fonte: ARAÚJO (2003)

A malha de discretização acima permite o calculo da vazão Q_P e carga H_P no tempo

0

0 t

t  a partir das vazões e cargas a montante Q_PH_Me jusante Q_J H_J conforme as equações características C^ e C^. Na figura abaixo, tem-se os pontos M,J e Pque correspondem, respectivamente, aos pontos de coordenadas



xi_1,tj



,



xi_1,tj



,



x_i,t_j1



. Onde i representa um ponto na malha de discretização e t é o tempo. A Eq. (4.12) é usada para relacionar os valores de H_P e Q_P com o par de valores Q_M H_Me a Eq. (4.14) para relacionar H_P e Q_P com H_J e Q_J.

Figura 4.2. Definição da malha de discretização do método das características.

A aproximação de 1ª ordem para as equações (4.13) a (4.15), sugeridas por ARAÚJO (2003) são:

4.18 para: dx/dta

4.19

para: dx/dt a Onde:

4.20

4.21 Fonte: ARAÚJO (2003)

0

|

|

:   

 dH BdQ RQ Q dt

C

0

|

|

:   

 dH BdQ RQ Q dt

C

gA B a

2gDA2

R fa

As constantes R e B são, respectivamente, constante do termo de atrito e constante auxiliar.Quando o termo de atrito torna-se consideravelmente grande como, por exemplo, em tubos rugosos com pequenos diâmetros, torna-se necessário uma aproximação de 2ª Ordem para estabilização e melhor calibração do modelo.

Integrando as equações (4.18) e (4.19) ao longo de MP e JP, respectivamente, da figura 4.2:

4.22

4.23 Os dois primeiros termos das equações (4.22) e (4.23) podem ser facilmente avaliados, entretanto o terceiro termo destas, representando perdas por atrito, apresenta certa dificuldade, pois não se conhece explicitamente a variação de Q com t. De acordo com WYLIE e

Com a aproximação do termo do atrito:

4.26

Segundo ARAÚJO (2003) esse método é conhecido como explícito e produz usualmente resultados satisfatórios em aplicações na engenharia. Entretanto, se o termo do atrito tornar-se muito grande, a aproximação de primeira ordem pode produzir resultados instáveis. Para tais casos, um método previsor-corretor ou uma aproximação de segunda ordem devem ser usados para evitar instabilidade.

A teoria desenvolvida será válida se o fluxo transiente não flutuar muito distante do estado permanente por um longo período de tempo.

4.2.3 Condições de contorno

Um sistema hidráulico complexo é dividido em trechos contínuos, os quais são interligados pelas condições de contorno em cada extremidade. Nas seções desses trechos contínuos, chamadas seções internas, as funções que relacionam as diversas grandezas não possuem descontinuidades, sendo seu comportamento descrito pelas equações (4.18) e (4.19).

Porém, como explicitado anteriormente, nos contornos apenas uma equação característica é possível de ser utilizada, assim, uma ou mais equações relacionando Q e/ou H com o tempo devem ser fornecidas para solucionar o problema.

As equações características positiva (4.18) e negativa (4.19) são válidas apenas para as seções internas do conduto. Portando, para as seções de montante e jusante do tubo, onde apenas uma equação característica é possível de ser utilizada, uma ou mais equações relacionando Q e/ou H com o tempo devem ser fornecidas para solucionar o problema. Tal ou tais equações são denominadas Condições de Contorno ou de Fronteira. Essas condições devem ser expressas por relações matemáticas que representem, da maneira mais realística possível, o escoamento nessas seções durante o transiente hidráulico. Assim, qualquer equipamento, acessório ou mudança nas características existentes são condições de contorno potenciais, devendo ser usadas em conjunto com a equação característica respectiva para se determinar o transiente hidráulico.

O método das características providencia um meio sistemático de cálculo das condições transientes em uma tubulação. Cada trecho é dividido em N 1 segmentos de comprimentox com N seções. No início de cada trecho (primeira seção) e ao término do trecho (última seção) uma equação de contorno e uma equação característica são necessárias.

Nos nós interiores (1 < i < N), ambas as equações características são empregadas. Aplicando

este esquema de discretização, obtêm-se equações para as diversas seções de uma rede

este esquema de discretização, obtêm-se equações para as diversas seções de uma rede

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL (páginas 40-0)